简介概要

提高充型过程数值模拟运算速度的动态超松弛迭代算法

来源期刊：中国有色金属学报2003年第5期

论文作者：吴士平于彦东王丽萍郭景杰

文章页码：1219 - 1222

关键词：数值模拟；动态；松弛因子；充型过程；铝合金

Key words：numerical simulation; dynamic; relaxation factor; filling process; aluminum alloys

摘要：在模拟铝合金压铸件型腔充型过程时，采用传统的固定松弛因子ω（0＜ω＜2）不能有效地减少运算中的迭代次数，而采用一种提高充型过程数值模拟运算速度的新算法—动态超松弛迭代算法，在0＜ω＜2范围内，运用自适应计算方法，根据运算的迭代次数的增减可以决定松驰因子的增大或减少，动态调整松弛因子可使运算中的迭代次数减少。经实际运算检验，运用该方法可以大幅度提高运算速度，运算的迭代次数减少25%。

Abstract: A new algorithm—dynamic over-relaxation iteration algorithm was brought forward, which was used for increasing operational speed of numerical simulation during filling mold process. The dynamic over-relaxation iteration algorithm is aimed at reducing number of iteration. Using adaptive calculation method, the relaxation factor ω is changed according to increasing or decreasing of the number of iteration within the range from 0 to 2, thus dynamic adjustment of ω can be obtained. Practical calculation results show that the calculation iteration numbers can be reduced by 25%, and operational speed increases greatly.

中国有色金属学报 2003,(05),1219-1222 DOI:10.19476/j.ysxb.1004.0609.2003.05.033

提高充型过程数值模拟运算速度的动态超松弛迭代算法

吴士平于彦东王丽萍郭景杰

哈尔滨工业大学材料科学与工程学院,哈尔滨理工大学机械动力工程学院,哈尔滨理工大学材料科学与工程学院,哈尔滨工业大学材料科学与工程学院哈尔滨150001,哈尔滨理工大学材料科学与工程学院,哈尔滨150080 ,哈尔滨150080 ,哈尔滨150080 ,哈尔滨150001

摘要：

在模拟铝合金压铸件型腔充型过程时 ,采用传统的固定松弛因子ω(0 <ω <2 )不能有效地减少运算中的迭代次数 ,而采用一种提高充型过程数值模拟运算速度的新算法—动态超松弛迭代算法 ,在 0 <ω <2范围内 ,运用自适应计算方法 ,根据运算的迭代次数的增减可以决定松驰因子的增大或减少 ,动态调整松弛因子可使运算中的迭代次数减少。经实际运算检验 ,运用该方法可以大幅度提高运算速度 ,运算的迭代次数减少 2 5 %。

关键词：

数值模拟;动态;松弛因子;充型过程;铝合金;

中图分类号： TG244

作者简介：吴士平(1963),男,副教授,博士.;

收稿日期：2002-11-19

基金：黑龙江省自然科学基金资助项目 (F9912 );黑龙江省教育厅科学技术研究项目 (95 5 110 8);

Dynamic over-relaxation iteration algorithm to increase operational speed of numerical simulation during filling mold

Abstract：

A new algorithm-dynamic over-relaxation iteration algorithm was brought forward, which was used for increasing operational speed of numerical simulation during filling mold process. The dynamic over-relaxation iteration algorithm is aimed at reducing number of iteration. Using adaptive calculation method, the relaxation factor ω is changed according to increasing or decreasing of the number of iteration within the range from 0 to 2, thus dynamic adjustment of ω can be obtained. Practical calculation results show that the calculation iteration numbers can be reduced by 25%, and operational speed increases greatly.

Keyword：

numerical simulation; dynamic; relaxation factor; filling process; aluminum alloys;

Received： 2002-11-19

近年来随着科学技术的不断发展, 铝合金压铸件充型过程数值模拟的研究取得了极大的进步, 并且在实际工作中得到了很大的应用 ^{[1,2,3,4,5,6,7]} 。铝合金压铸件充型过程数值模拟采用迭代计算方法, 在实际应用过程中特别是对于大型、复杂铝合金压铸件的计算时常常花费大量的时间, 直接影响了这一技术在生产实践中的应用。因此, 关于提高铝合金充型过程数值模拟速度的研究受到了普遍重视。本文作者等人在其发表的文章中指出, 采用超松弛因子可以提高运算速度, 减少迭代次数 ^[8] 。陈立亮等的研究提出了动态超松弛因子的数学模型, 并在轮毂的充型过程数值模拟中进行了应用, 结果表明: 使用超松弛因子可以减少迭代次数, 提高运算速度 ^[9,10,11,12] 。在上述研究的基础上, 本研究结合实际运算提出了一种自适应动态超松弛迭代新算法, 并且在实际运算中得到了应用。

1液态金属充填铸型过程数值模拟

液态金属充填铸型过程数值模拟是以动量守恒方程, 即Navier-Stokes (N-S)方程和质量守恒方程, 即连续方程为基础, 通过追踪自由表面来得到任意时刻的流场形状, 采用数值计算的方法求解N-S方程, 从而获得充型过程的速度场和压力场及

流体的形状。在求解N-S方程时, 通常采用修正压力和试探速度的迭代算法进行求解, 在求解的迭代计算中, 通过连续性方程来检验所计算的速度是否符合要求, 具体处理方法如下。

质量守恒方程(连续性方程):

$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 (1)$

对连续性方程进行离散处理, 然后计算单元的散度D_{i, j, k}。

$\begin{array}{l} D_{i, j, k} = \frac{u_{i + 1 / 2, j, k}^{δ t} - u_{i - 1 / 2, j, k}^{δ t}}{δ x_{i}} + \\ \frac{u_{i, j + 1 / 2, k}^{δ t} - u_{i, j - 1 / 2, k}^{δ t}}{δ y_{i}} + \\ \frac{u_{i, j, k + 1 / 2}^{δ t} - u_{i, j, k - 1 / 2}^{δ t}}{δ x_{k}} (2) \end{array}$

若散度D_{i, j, k}< a (a为给定的计算精度值), 说明该单元的计算速度是合理的, 则单元的速度无须调整; 若散度D_{i, j, k}>a, 说明单元的计算速度不合理, 则需调整单元的速度。调整的方法采用修正压力的方法, 通过推导得出压力修正公式为

$δ p^{n} = - \frac{D_{i, j, k}}{\frac{\partial D_{i, j, k}}{\partial p}} (3)$

其中

$\begin{array}{l} \frac{\partial D_{i, j, k}}{\partial p} = \frac{δ t}{δ x_{i}} (\frac{1}{ρ δ x_{i + 1 / 2}} + \frac{1}{ρ δ x_{i - 1 / 2}}) + \\ \frac{δ t}{δ y_{j}} (\frac{1}{ρ δ y_{j + 1 / 2}} + \frac{1}{ρ δ y_{j - 1 / 2}}) + \\ \frac{δ t}{δ z_{k}} (\frac{1}{ρ δ z_{k + 1 / 2}} + \frac{1}{ρ δ z_{k - 1 / 2}}) (4) \end{array}$

修正压力为

pⁿ⁺¹=pⁿ+δpⁿ (5)

上述公式中 u, v, w为流速在3个坐标轴方向上的速度分量, m/s; δx, δy, δz为空间步长在x, y, z坐标轴上的分量, m; δp为修正压力, Pa; p为流场中(x, y, z)点的压力, Pa; ρ为金属流体的密度, kg/m³; δt为时间步长, s。

采用修正压力和试探速度的迭代算法进行求解, 新的试探速度的计算式为 $\begin{array}{l} u^{'}_{i + 1 / 2, j, k}^{n + 1} = u^{'}_{i + 1 / 2, j, k}^{n} + \frac{δ t \cdot δ p^{n} \cdot ω}{ρ δ x_{i + 1 / 2}} \\ u^{'}_{i - 1 / 2, j, k}^{n + 1} = u^{'}_{i - 1 / 2, j, k}^{n} - \frac{δ t \cdot δ p^{n} \cdot ω}{ρ δ x_{i - 1 / 2}} \\ v^{'}_{i, j + 1 / 2, k}^{n + 1} = v^{'}_{i, j + 1 / 2, k}^{n} + \frac{δ t \cdot δ p^{n} \cdot ω}{ρ δ y_{j + 1 / 2}} \\ v^{'}_{i, j - 1 / 2, k}^{n + 1} = v^{'}_{i, j - 1 / 2, k}^{n} - \frac{δ t \cdot δ p^{n} \cdot ω}{ρ δ y_{j - 1 / 2}} \\ w_{i, j, k + 1 / 2}^{n + 1} = w^{'}_{i, j, k + 1 / 2}^{n} + \frac{δ t \cdot δ p^{n} \cdot ω}{ρ δ z_{k + 1 / 2}} \\ w^{'}_{i, j, k - 1 / 2}^{n + 1} = w^{'}_{i, j, k - 1 / 2}^{n} - \frac{δ t \cdot δ p^{n} \cdot ω}{ρ δ z_{k - 1 / 2}} \end{array}}$ (6)

式中 ω为松弛因子(0<ω<2), n与n+1为修正循环次数。 ω的范围表明松弛因子可以取0~2之间的任何一个数, 然而, ω的取值是否合适对迭代次数及运算速度有直接影响, 但究竟是ω取值大能减少迭代次数, 还是ω取值小可以减少迭代次数, 这并无规律, 完全取决于计算当时的情况。迭代次数与计算压铸件单元的多少, 计算压铸件的复杂程度及计算精度等因素有直接关系。在计算初期, 由于计算单元数少, ω的影响很小。但是, 在计算复杂压铸件和计算单元较多, 特别是到计算后期, 迭代次数明显增加, 如何选取ω是个很大的问题。为此, 本研究提出了自适应动态超松弛迭代算法, 在计算过程中根据每次计算的迭代次数自动调节ω值, 达到使每-次计算的迭代次数为最小。首先, 在0~2之间任意指定一个数赋予ω, 然后进行运算, 并且记录下本次计算的迭代次数作为基础数据, 在此基础上再一次以此ω值进行计算, 将本次计算的迭代次数和上次的迭代次数进行比较, 如果本次迭代次数多于上次迭代次数, 则说明本次所取的ω值不是最好的, 需要调整ω。然而, ω是增大好还是减小好, 我们不妨在此基础上减去一个Δω或加上一个Δω, 然后继续计算, 将计算所获得的迭代次数和上一次进行比较, 若迭代次数少于上次的迭代次数, 则说明上一个Δω的加或减是正确的, 则继续保持上一次的符号; 反之, 若迭代次数多于上次的迭代次数, 则说明上一个Δω的加或减是不对的, 这时需要改变上一次Δω的符号; 若上一次是加, 则这一次就应当改为减; 若上一次是减, 则这一次就应该改为加, 依次类推。总之, 以迭代次数为基础, 通过比较本次计算的迭代次数和上次迭代次数, 来决定下次计算的ω, 自动适应最低的迭代次数, 其流程图如图1所示。

图1 动态因子计算流程图 Fig.1 Calculation flow chart of dynamic factor

2 计算结果及分析

将上述建立的模型应用于数值模拟程序中, 使用PⅡ-233计算机, 计算单元为61384, 分别采用静态因子和动态因子进行计算, 然后从实际计算中分段取出几个部分, 其对应数据如图2所示。图2表明了使用静态因子和使用动态因子的计算时间与迭代次数的关系。由图2可以看出, 对应同一计算时间, 静态松弛因子的迭代次数多于动态松弛因子的迭代次数, 动态超松弛因子的迭代次数在短时间内即使迭代次数处于最低状态, 整体计算的时间如表1所示。

从表1中可以看出, 由于使用动态松弛因子时间节约了2.2 h。图3所示为该件的数值模拟结果。图4所示为采用上述模拟方法模拟的实际铸件图。

从式(6)可以看出, ω的主要作用是调整修改试探速度的步伐: 当ω大于1时, 增加每次计算时速度的修改步伐; 反之, 减少每次计算时速度的修

图2 静态和动态因子迭代次数关系图 Fig.2 Iterative degree for dynamic and static factor

表1 静态和动态因子计算时间的比较 Table 1 Comparison of computing time forstatic and dynamic factor

Factor	Starting time	Ending time	Time required
Static	11∶50∶36	20∶54∶55	09∶04∶18
Dynamic	20∶42∶43	03∶34∶38	06∶51∶43

图3 圆桶形铸件的充填过程数值模拟结果 Fig.3 Simulated results of filling process for cylinder casting (a)—0.8 s; (b)—4.0 s

改步伐。 ω值越大, 修改的步伐越大, 但是, 这并不表明计算的迭代次数就越少。研究表明, ω的取值在0.8~1.8, 可以使计算的迭代次数显著减少 ^[8] 。因此, 本研究采用自适应动态因子ω的取值范围为0.8~1.8, 太大和太小的ω都会使计算的迭代次数增加。当自由边界单元占多数时, 边界单元的速度

图4 模拟计算的铸件 Fig.4 Casting by simulation calculation

调整量加大, 此时, 采用加大修改速度的步伐, 来修改试探速度, 可以减小计算的迭代次数。当内部充满单元占大多数时, 其速度相对变化较小, 若采用较大的修改步伐, 会加大已经是正常计算速度的调整量, 因此, 此时采用相对较小的ω来修正速度较为合适。采用自适应动态因子ω正是根据这个原理, 自动调整ω使得它可以通过计算的迭代次数来作为判断的依据, 自动修改ω来适应计算的情况, 使得计算的迭代次数较小。由于静态因子不考虑计算的具体情况, 因此, 在计算中静态因子不能保证计算迭代次数最小。