基于摄动法的不确定性汽车悬架振动控制特征值的凸模型分析

贾爱芹，陈建军，徐亚兰

(西安电子科技大学 机电工程学院，陕西 西安，710071)

摘要：对含有不确定性参数悬架系统的振动控制问题进行研究。应用多维椭球凸模型理论将区间不确定参数悬架系统的振动控制问题转化为确定性问题来处理。基于矩阵摄动法利用凸模型理论分析不确定参数对汽车悬架系统的影响，推导具有不确定参数闭环系统特征值的上、下界计算公式。计算结果表明：所提出方法对两自由度汽车悬架系统有效。

关键词：汽车悬架系统；不确定性；振动控制；矩阵摄动；凸模型理论

中图分类号：U461.1，O327          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)04-1320-05

Convex model analysis of vibration control eigenvalues of vehicle suspension system based on perturbation method

JIA Ai-qin, CHEN Jian-jun, XU Ya-lan

(School of Electromechanical Engineering, Xidian University, Xi ’an 710071, China)

Abstract: The vibration control question of the uncertainty parameter suspension system was studied. Using the multidimensional convex model theory, the vibration control problem of vehicle suspension system with uncertain parameters approximated by a deterministic one was discussed. Using the convex model theory, the uncertain parameters impact on the vehicle suspension systems was analyzed based on matrix perturbation method, and estimating the upper and lower bounds of the real and imaginary parts of eigen values of the closed-loop systems was presented. The calculation results of two freedom degrees vehicle suspension system show the effectiveness of the method.

Key words: automobile suspension system; uncertainty; vibration control; matrix perturbation; convex model theory

汽车悬架系统是汽车的重要组成部分，路面不平度引起的车体振动主要是通过悬架系统得以衰减和控制。目前，对确定性参数汽车悬架系统的振动控制问题已有充分的研究，如Atray等^[1-4]应用模糊神经网络、多模态智能对确定性磁流变悬架系统的振动进行控制。然而，在实际应用中，由于行驶道路条件和工况环境的复杂性，以及车辆悬架及轮胎刚度和阻尼参数等随使用环境和工况的改变而在一定范围内发生变化，从而使车辆悬架系统产生了不可忽略的系统参数不确定性。同时，考虑到实际中执行器动力学特性简化处理而引起的汽车悬架未建模动态不确定性等因素，都将在一定程度上影响控制系统的稳定性，进而恶化车辆行驶的平顺性能^[5]。为此，有必要对不确定性参数汽车悬架系统的振动控制进行分析与研究。目前，对于具有不确定性系统问题的研究方法主要有随机矢量法^[6]、模糊统计方法^[7]以及概率统计方法^[8]。在无足够实验数据来证明假设模型有效性的情况下，概率统计方法不能给出满足精度要求的可靠结果。对于模糊方法，当存在着模糊统计误差和模糊隶属度函数的选择存在人为等因素时，亦可使计算结果产生较大的偏差。基于此，Ben-Haim等^[9-11]提出并倡导使用不确定性的凸集模型。凸模型理论把不确定量作为约束集合，只需较少的信息，就能得到较为可靠的结果，如椭球模型、区间分析^[12-16]等。这种理论将不确定变量视为有界的，而将其包含在某一集合中(如椭球或区间)，然后分别应用优化技术或区间数学来求解系统响应所在的范围。本文作者应用多维椭球凸模型理论来描述系统的不确定性，并将不确定性系统的控制问题近似地转化为确定性系统的控制问题来处理。把反馈控制应用于汽车悬架不确定性系统，利用摄动方法和优化技术来估计闭环系统特征值的实部和虚部的上、下界。最后通过计算实例验证该方法的有效性。

1  不确定性汽车悬架系统的控制  方程

本文以两自由度汽车悬架系统为研究对象，对振动控制系统的特征值进行分析。两自由度汽车悬架振动控制系统如图1所示。图中：m₁为车轮和车桥的非悬挂质量；k₁和c₁分别为车轮的刚度参数和阻尼参数；m₂为车身部分的悬挂质量；k₂和c₂分别为悬架的刚度参数和阻尼参数；z₁和z₂和P(t)分别为轮胎、车身的垂向位移和路面激励。该系统的动力学方程为：

          (1)

其中：，，C=，分别为系统结构的质量、刚度和阻尼矩阵。

当该悬架系统的诸参数具有不确定性时，对应系统动力学方程中的矩阵与状态向量将由2部分组成：一部分为确定参数部分；另一部分为不确定参数部分。将方程(1)改写为状态方程形式，其状态变量为。则具有不确定参数悬架控制系统的状态方程为：

    (2)

其中：C₀和D₀分别为状态矩阵和控制矩阵的确定性部分；ΔC和ΔD分别为状态矩阵和控制矩阵的不确定部分；x₀，u₀和K₀分别为状态向量、输入向量和反馈增益矩阵的确定性部分；Δx，Δu和ΔK为它们的不确定部分；x(t)=x₀(t)+Δx(t)，为状态向量；u(t)=u₀(t)+Δu(t)为输入向量；C=C₀+ΔC，为状态矩阵；D=D₀+ΔD，为控制矩阵；K=K₀+ΔK为状态反馈增益矩阵。不确定参数悬架控制系统的状态方程也可表为如下形式：

；     (3)

将式(2)展开，忽略二阶以上高阶小量并比较两边阶次相同的量，得到：

             (4)

      (5)

其中：式(4)为控制系统(2)中的确定性部分；式(5)为控制系统(2)中的不确定部分。

利用文献[13]可求得闭环系统的反馈增益K₀，忽略其不确定性部分，再将K₀应用于原来的不确定性系统(3)，可得到不确定性系统的闭环控制方程为：

          (6)

忽略K₀的不确定性部分作为反馈矩阵应用于实际的不确定系统以及C的不确定性，会引起闭环系统的特征值与所配置的特征值之间存在有偏差。这里将利用不确定性椭球凸模型来计算偏差的上、下界。

图1  汽车悬架振动控制系统

Fig.1  Vibration control system of automotive suspension

2  椭球凸模型理论

对于任意有界不确定参数，，其中和为的上界和下界。用下式来表示椭球凸模型有界不确定参数：

(7)

其中：；Ω为模型特征矩阵，它确定了椭球主轴的方向，若各变量相互独立，则Ω为I(单位阵)；ε为椭球的半径；a_i为椭球的半轴，a_i和ε一起表征不确定参数的不确定程度。这个凸模型的数学意义是把n个不确定量均映射在1个n维的椭球之中。按照凸模型理论^[9-10]，在参数空间中，所有不确定参数均可用上面表示的椭球进行定量化。

3  闭环系统特征值的上下界估计

系统中的任一不确定参数用ξ_j表示，由多维椭球凸模型理论，系统不确定状态矩阵C可表示为：

             (8)

式中：C₀为状态矩阵的确定部分；C_j为系统中相应于不确定参数ξ_j的第j个状态子矩阵；N为不确定状态的个数。由式(7)，ξ_j满足：

       (9)

式中：Ω为N阶对称正定加权矩阵；ξ为待定的实常数向量。

将式(9)代入式(6)，得到下式所示的不确定闭环系统的控制方程为：

     (10)

若不考虑输入矩阵的不确定性，即可令D₀=D。

设，则式(10)可表示为：

  (11)

闭环系统式(10)的特征值为：

              (12)

即A的特征值所配置的极点为，即有

，

          (13)

式中，β^*和α^*分别为A的左、右模态矩阵。由摄动理论可得闭环系统特征值的一阶摄动为：

 (14)

式中：， ，Q和S分别为C的第i个左、右模态向量。下面将分别讨论λ_i的实部和虚部的取值范围。设

     (15)

式中：σ_i和ω_i分别为λ_i的实部和虚部；和分别为的实部和虚部；R_i和H_i分别为Cⁱ的实部和虚部。

将式(15)的对应项分别代入式(14)可得：

         (16)

由复数表达式等号两边对应项相等的原则，得到实部和虚部的表达式分别为：

，

i=1，2，…，2n            (17)

当不确定性参数ξ在式(7)所表示的范围变化时，可通过优化方法分别确定出特征值实部和虚部上界的一阶近似，和下界的一阶近似和，即

(i=1，2，…，2n)         (18)

式(17)中的实部和虚部的极值将在式(7)的椭球区域的边界即椭球壳上达到^[17]。

       (19)

为获得这些极值，现构造如下的拉格朗日函数：

(20)

(21)

式中：ρ₁和ρ₂为拉格朗日乘子。由拉格朗日函数取极值的必要条件

；

           (22)

可得：

；       (23)

将式(23)代入式(19)得：

；  (24)

将式(24)中的ρ₁代入式(23)，得到特征值实部取极值时：

           (25)

将式(25)代入式(17)中的实部表达式，得特征值实部的上、下界分别为：

；

；i=1，2，…，2n (26)

将式(25)代入式(17)中的虚部表达式，得特征值虚部的上、下界分别为：

；

；i=1，2，…，2n  (27)

4  汽车悬架振动控制系统的数值  算例

利用前节汽车悬架系统模型对其振动控制系统的特征值进行分析。设：；，ξ₁和ξ₂为系统中的不确定参数；m₁=1 t，m₂=1.5 t，c₁=c₂=2 kN·s/m，k=50 kN/m。系统的刚度矩阵和阻尼矩阵分别为：

设系统的控制输入为P(t)=[0 1]^T，则控制矩阵为

，系统的状态向量为，

则系统的状态矩阵为：

其中：A₀，K₀和C₀分别系统状态矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵中的确定性部分；A₁和A₂，K₁和K₂，C₁和C₂分别为系统状态矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵中的不确定性部分。A₀的特征值为：

取加权矩阵，则≤ε²。

为使汽车悬架系统具有较好的稳定性，通过反馈控制将系统特征值的负实部增大，即反馈控制系统特征值被指定如下：保持系统的频率不变，只改变系统的阻尼特性，将系统的后2个特征值的实部均指定为-0.5，即。由文献[13]即可求出反馈增益向量为：

P=10³×[0.132 7  2.473 2  0.464 4  9.024 3]

再把P作为反馈矩阵，应用于含有不确定参数的悬架系统。由于忽略了不确定性部分，将会引起闭环系统的特征值与所配置的特征值产生不确定性偏差。根据方程(26)和(27)，可求得闭环系统特征值的上、下界。表1和表2列出了ε取不同值时不确定系统特征值的实部和虚部的上下界。其中，和分别代表第1，2个特征值和3，4个特征值的实部；和分别代表第1，2特征值和第3，4个特征值的虚部。

从表1和表2可见：上、下界相对误差随着不确定参数即椭球半径ε的增大而增大；当ε=0.01时，第1和第2个特征值的虚部最大相对误差为14.040 6%；而当ε=0.1时，第1和第2个特征值的虚部最大相对误差为25.419 3%。此结果表明：文中的方法仅适用于汽车悬架系统中不确定参数的分散性较小的情况。当系统中不确定参数的分散性较大时，则应考虑使用二阶摄动处理方法。

表1  不确定参数汽车悬架系统特征值的实部(σ)和虚部(ω)的取值范围(ε=0.01)

Table 1  Upper and lower bounds of real and imaginary parts of eigenvalues of vehicle suspension system with uncertain parameters (ε= 0.01)

表2  不确定参数汽车悬架系统特征值的实部(σ)和虚部(ω)的取值范围(ε=0.1)

Table 2  Upper and lower bounds of real and imaginary parts of eigenvalues of vehicle suspension system with uncertain parameters (ε=0.1)

5  结论

(1) 对不确定参数两自由度汽车悬架系统的控制方程进行研究。对不确定参数汽车悬架系统进行了一阶摄动分析，利用凸模型理论得到了具有不确定参数汽车悬架系统的不确定闭环系统极点的实部和虚部上下界的表达式。

(2) 对于不确定参数的分散性为较小的情况，计算结果产生的偏差较少，而对于不确定参数的分散性较大的情况，计算结果产生的偏差较大，一阶摄动分析方法将不再适用。

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(编辑 赵俊)

收稿日期：2011-05-05；修回日期：2011-09-05

基金项目：国家高技术研究发展计划(“863”计划)项目(2006AA04Z402)；中央高校基本科研资金资助项目(JY10000904012)

通信作者：贾爱芹(1977-)，女，河南濮阳人，博士研究生，从事机电系统智能控制与机械系统的可靠性研究；电话：13891842837；E-mail：jaq2007@126.com