混凝土碳化深度预测中的贝叶斯方法及应用

李英民^{1, 2}，周小龙¹，贾传果^{1, 2}

(1. 重庆大学 土木工程学院，重庆，400045；

2. 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室，重庆，400045)

摘要：针对现有混凝土结构碳化深度预测模型不能反映其影响因素具有时变性特点的现状，引入贝叶斯更新方法对已有模型的预测结果进行重估计。应用该方法时，首先确定一个已有的碳化深度预测模型为先验信息，然后结合现场检测数据并通过选用共轭先验分布来推导贝叶斯公式，从而对混凝土碳化深度均值进行重估计。通过2组试验检测数据说明贝叶斯方法在改进混凝土碳化深度预测模型中的应用过程。研究结果表明：基于贝叶斯方法的混凝土碳化深度预测值平衡先验预测信息和实际检测样本信息，能使预测结果的准确性和客观性得到有效提高。

关键词：混凝土结构；概率分布；贝叶斯方法；碳化深度

中图分类号：TU528             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)09-3121-06

Bayesian method and its application in prediction of concrete carbonation depth

LI Yingmin^{1, 2}, ZHOU Xiaolong¹, JIA Chuanguo^{1, 2}

(1. School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China;

2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area, Ministry of Education,

Chongqing 400045, China)

Abstract: Currently most predicting models of concrete carbonation depth neglect the time-dependent property of its influence factors. To enhance its accuracy, Bayesian method was introduced to reevaluate the results obtained via well-established models. Along with Bayesian updating, the results obtained via the well-established methods were assumed to be the prior information; the distribution of the posteriori probability conditioned on the mean value of the deterioration depths was derived by view of the measured data; then the conjugate distribution was adopted to reevaluate the carbonation depth determined via the prior predicting formula. By virtue of two typical examples, the proposed method was emphasized as well as its detailed solution procedure. The numerical application reveals that the result obtained via the proposed method integrates the subjective predicting information and the objective measured information together, and its accuracy and objectivity is enhanced extensively via only a few steps of Bayesian updating.

Key words: concrete structures; probability distributions; Bayesian method; carbonation depth

在混凝土结构耐久性研究中，一个极为关键的问题就是混凝土碳化速度的准确评定，国内外学者对这个问题进行了大量研究^[1-2]，也提出过许多相关模型，不同的模型指导着不同国家的耐久性设计规范。我国作为拥有混凝土结构最多的国家，近年来关于混凝土碳化深度预测模型的研究也很多^[3-6]。张誉等^[3]建立了环境湿度较大时的碳化深度预测模型；牛荻涛模型^[4]对影响混凝土碳化的因素考虑最全面；潘洪科等^[5-6]建立了考虑应力因素的混凝土碳化深度预测模型。虽然这些模型对预测混凝土碳化深度有借鉴作用，但由于一般大气环境下，影响混凝土碳化深度的因素很多，随机性也很大。这些模型都不能反映实际工程中各种影响因素具有时变性的特点，更不能实时考虑混凝土结构在服役过程中通过实际检测所获得的新信息。特别是混凝土结构服役时间跨度大，各种影响因素具有很强的个性和不确定性。譬如由于结构劣化或地震损伤等因素很可能造成结构中应力出现转移或变化，如果简单地采用统一的碳化深度预测公式，而不考虑这些因素变化所带来的影响，可能使结果失真。考虑到结构在服役过程中采集到的数据能够降低这些影响因素的不确定性，若能找到一种方法既能使用已有的碳化深度预测公式又能及时充分考虑实际工程中检测到的新数据，则混凝土结构碳化深度的预测结果会更可靠，而贝叶斯方法为这一矛盾的解决提供了有效的途径^[7-11]。贝叶斯方法的基本思路是：若基于已有预测模型确定的样本分布中某一状态参数的先验概率分布与基于实际检测数据而确定的该状态参数的条件后验概率分布一致，则可依据后验分布概率密度对先验分布的相关参数重新进行估计和检验。由于基于贝叶斯方法的预测结果平衡了主观先验样本信息和客观后验检测样本信息，这样能使预测结果的准确性和客观性得到有效提高。

1  混凝土碳化深度预测模型更新

1.1  混凝土碳化深度先验信息模型

引入贝叶斯更新方法对混凝土碳化深度进行预测，首要任务就是先选择一个已有的预测模型作为先验模型，然后对该预测模型的预测结果进行修正。由于影响混凝土碳化的因素有很多，为了选择一个较准确的碳化深度预测模型，需要尽可能多地考虑这些因素的影响。目前国内对混凝土碳化深度影响因素研究最全面的是牛荻涛提出的预测模型^[4]。但该模型简单规定拉应力影响系数取1.1，压应力影响系数取1.0，使得拉应力状态下的预测结果偏于不安全、压应力状态下的预测结果偏于保守。而事实上，混凝土构件所处的应力状态对该处碳化深度的影响是显著的。

在前期研究过程中，本文作者通过对不同拉压应力状态下的混凝土试件的快速碳化试验数据进行分析，在牛荻涛模型^[4]的基础上提出了考虑不同应力水平的混凝土碳化深度预测模型。该预测模型能较好反映混凝土结构在服役期内碳化深度的演化规律，可作为贝叶斯方法中的先验信息，预测模型如下：

 (1)

其中，受拉时：

受压时：

式中：x_t为龄期为t时混凝土构件碳化深度预测值；k_j为碳化位置影响系数，角部取1.4，非角部取1.0；k(CO₂)为CO₂浓度影响系数，取k(CO₂)=(c₀/0.03)^0.5，c₀为二氧化碳浓度；k_p为浇筑面修正系数，根据实际工程调查，建议对浇筑面取k_p=1.0^[4]；k_f为混凝土质量影响因素，取k_f=57.94/f_cuk-0.76^[4]；f(s_s, w/c)为综合考虑应力水平和水灰比因素的影响系数，s_t，s_c和s_s分别为混凝土构件轴心受拉和受压强度以及碳化位置应力，w/c为水灰比；T为混凝土构件表面附近年平均温度；H_R为构件表面附近年平均湿度；t为混凝土碳化时间，a。

1.2  贝叶斯方法对碳化深度均值的重估计

统计资料表明^{[4, 12-13]}，混凝土碳化深度的随机分布模型符合正态分布。由于不同的混凝土结构其碳化深度统计样本的状态参数(方差s²和均值m)并不一致，而应用贝叶斯方法对预测模型进行第1次修正时，一般方差s²并不能确定，但若需要进行第2次更新，则先验模型的随机分布参数方差s²可通过分析前一次的检测样本来确定。因此，本文将分别推导总体样本分布中具有2个未知状态参数(方差s²和均值m)的贝叶斯公式和仅有1个未知状态参数(均值m)的贝叶斯公式。

1.2.1  总体样本均值与方差未知时的贝叶斯估计

将t时刻混凝土构件碳化深度检测值x₁, x₂, x₃, …, x _n记为来自总体样本N(m,s²)的1个样本，假设m，s²已知，则该检测样本的似然函数为

    (2)

式中：μ表示两边仅相差1个常数因子。

根据贝叶斯理论，当给定混凝土碳化深度的检测样本分布p(x|m,)和先验分布p(m,s²)后，m和s²的后验条件概率可表示为p(u,s²|x)=p(x|u,s²)p(u,s²)/m(x)。式中：m(x)为一个不依赖于m,s²的表达式，起到一个正规化因子的作用。故贝叶斯公式可以等价为

      (3)

式(3)同时充分考虑了预测公式和检测样本中m和s²的信息，可以视为是对先验信息的一个调整结果，因此，基于贝叶斯方法对m和s²的统计推断更合理和有效。

虽然先验分布中均值m和方差s²均未知，但二者具有相依性，s²的变化肯定会伴随有m的改变，故s²的先验分布取倒伽马分布^{[7, 14]}比较合适，记为。μ的先验分布可取为正态分布，记为：，式中k₀为先验自由度，s²/k₀表示对均值m的先验方差做适当调整，以反映均值m的先验方差和检测值x的方差的不同。假设n₀和m₀已知，则m和s²的联合先验分布为

 (4)

这种形式的分布称为正态-倒伽马分布，记为：。

将式(2)和式(4)代入式(3)，式(3)可表示为

 (5)

其中：

          (6)

，

通过对比式(4)和式(5)可以看出：两式具有相同的概率分布，即正态-倒伽马分布。因此，总体样本均值m和方差s²均未知时，可利用式(6)对混凝土碳化深度做出估计，即t时刻经调整后的混凝土碳化深度平均值m_t=m_n。

1.2.2  总体样本方差已知时的贝叶斯估计

将总体样本分布记为N(m,s²)，其中s²已知，则t时刻检测样本{x₁, x₂,…, x_n}的似然函数可表示为

    (7)

取另一正态分布N(w,t²)作为均值m的先验分布，即

     (8)

则m的条件后验分布为：p(m|x)μp(x|m)·p(m)，同前述μ表示式子两边只相差一个常数因子，代入式(7)和(8)得：

     (9)

记,其中n为t时刻检测样本个数，，，，代入式(9)得：

   (10)

由式(10)可以看出：混凝土碳化深度均值m的后验分布同其先验分布一样均服从正态分布。因此，根据贝叶斯方法，可以通过均值的条件后验概率分布来对混凝土碳化深度做出修正，即t时刻混凝土碳化深度均值修正值w_t为

         (11)

1.3  混凝土碳化深度预测公式更新

式(6)和式(11)分别给出了统计参数方差s²和均值m均未知时以及仅有均值m未知时对先验混凝土碳化深度预测值的修正方法。可以看出，无论哪种情况碳化深度修正值均是先验均值与检测样本均值的加权平均，对于方差和均值未知时，权重依次为和；当方差已知时，权重依次为和。令和，式(6)和式(11)可统一表示为

；i=1, 2         (12)

其中：为基于贝叶斯方法的碳化深度预测值；为检测样本均值；为先验混凝土碳化深度预测模型在t时刻的预测值。

由式(12)可知：基于贝叶斯方法的混凝土碳化深度模型修正主要问题就是确定l_i。确定l₁时，k₀可根据先验预测模型的置信水平取值，一般可取先验信息的样本个数，n为实际检样本的个数；确定l₂时，s²可取前一次或几次预测时检测样本方差的最大似然估计值，t²取当前检测样本方差的最大似然估计值即

          (13)

图1给出了混凝土碳化深度基于贝叶斯方法的更新过程。

图1  基于贝叶斯方法的碳化深度预测值更新流程图

Fig. 1  Flow diagram of carbonation depth prediction based on Bayesian method

2  算例分析

为了验证贝叶斯方法对改进混凝土碳化深度预测结果的准确性和有效性，同时考虑到在混凝土碳化深度预测模型中，仅有应力因素可能在结构的服役期内变化较明显，因此作者搜集了文献[5, 15]中的试验数据来进行分析。其中文献[5]给出了混凝土试件处于拉应力状态时的快速碳化试验结果，该试验的相关环境参数如下：年平均温度为20 ℃，环境年平均湿度为70%，二氧化碳体积分数为20%，水灰比为0.4，混凝土立方体抗压强度为26 MPa，应力水平为0.35；文献[15]给出了室内自然暴露10 a的几组试件在不同龄期时碳化深度的实测值，该试验的相关环境参数如下：年平均温度为20 ℃，环境年平均湿度为70%，二氧化碳体积分数为0.034%，水灰比为0.65，混凝土立方体抗压强度为17.9 MPa，应力水平为0。本文同时选取式(1)模型和牛荻涛模型^[4]作为贝叶斯数据更新时的先验信息。图2给出了以上2个试件实际检测的碳化深度和通过预测模型确定的混凝土碳化深度的对比。

从图2可以看出：1) 在2种工况下，式(1)模型的预测结果均比牛荻涛模型的预测结果相对误差小；2) 式(1)模型和牛荻涛模型在试件处于有应力状态时的预测结果均比试件处于无应力状态时的预测结果相对误差小，这主要是因为虽然文献[15]中的试件未受外部荷载作用，但由于试件自身重力作用，试件内部也会处于有应力状态；3) 牛荻涛模型在2种工况下的预测结果均随着混凝土试件碳化龄期的增长相对误差逐渐增大，而式(1)模型随着混凝土碳化龄期的增长预测结果的相对误差分布较均匀，这种现象的产生主要与预测模型本身的准确程度有关。通过以上分析可以得出：混凝土的碳化深度预测模型应充分考虑应力因素的影响，特别是实际工程中混凝土结构随着龄期的增长，应力因素的不确定性将增大，预测相对误差也将随之增大。本文根据贝叶斯数据更新方法，仍结合文献[5]和[15]中的实测数据分别对式(1)模型和牛荻涛模型进行检验和重评估。图3和图4分别给出了式(1)和牛荻涛模型经Bayesian方法更新后的预测曲线，其中图3和图4中贝叶斯第1次更新均是在考虑t₂时刻检测值的基础上对预测模型进行修正，然后与后续碳化龄期为t₃~t₄时刻的检测值对比。而第2次贝叶斯更新是在考虑t₃时刻检测值的基础上对t₂时刻修正后的模型再调整，即第1次贝叶斯更新与t₃~t₄时刻的检测值无关，第2次贝叶斯更新与t₄时刻的检测值无关。

图2  已有预测模型碳化深度预测值与试验值对比

Fig. 2  Comparison of predicting data via established models with measured data

从图3和图4可以看出：1) 经贝叶斯方法更新后的预测曲线平衡了先验预测模型中的信息和实际检测样本中的信息，更新后的预测值更接近实测值；2)更新后的预测曲线在未来龄期内的发展趋势与先验预测模型所反映的规律一致；3) 经有限次数的数据更新能使预测结果精度得到明显改善；4) 较好地先验预测模型只需较少次数的贝叶斯更新，就能使预测结果达到较高的准确度。表1所示为式(1)模型和牛荻涛模型结合实际检测数据经贝叶斯更新后的预测值及相对误差。从表1可以看出：每经过一次贝叶斯更新，混凝土构件在未来龄期的碳化深度预测值的准确度都会得到提高。同时，需要指出的是在以上2个实例中经贝叶斯方法更新后的预测结果与实测值的误差分布较均匀，且随着龄期的增大，误差逐渐减小。这主要是因为文献[5]和[15]中试件在试验过程中处于较稳定的环境中，各种影响因素在不同龄期内变化不大，且随着龄期的增长这些因素也更趋于稳定。但实际工程中，由于结构服役时间跨度大，各种影响因素特别是应力因素的变化较显著，因此，引入贝叶斯方法对混凝土碳化深度进行预测很有必要。

图3  式(1)模型Bayesian更新

Fig. 3  Bayesian updating of Formula (1)

图4  牛荻涛模型Bayesian更新

Fig. 4  Bayesian updating of NIU Ditao model

表1  不同龄期预测误差与贝叶斯更新数的关系

Table 1  Relationship of Predicting errors VS. different ages and different steps of Bayesian updating

3  结论

1) 贝叶斯数据更新方法充分考虑了已有预测模型和实际检测样本所提供的信息，基于贝叶斯的混凝土碳化深度预测结果更接近真实。

2) 经贝叶斯方法更新后的预测曲线与先验预测模型曲线的变化规律一致。

3) 先验预测模型经过有限次数的贝叶斯数据更新就能使预测结果明显改善。

4) 较好的先验预测模型只需经过较少次数的贝叶斯更新，就能使预测结果达到较高的准度。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2013-11-12；修回日期：2014-03-18

基金项目：国家科技支撑计划项目(2009BAJ28B01-02)；中央高校基本科研业务费资助项目(CDJXS11201167)；重庆市科技攻关计划项目(2011GGB127)

通信作者：李英民(1968-)，男，山东无棣人，教授，博士生导师，从事地震工程与工程抗震研究；电话：13708341840；E-mail: liyingmin@cqu.edu.cn