DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.12.010

基于GM-LS-SVM层级模型的数控机床热误差建模

谭峰，殷国富，殷勤，董冠华，王亮

(四川大学 制造科学与工程学院，四川 成都，610065)

摘要：为了更精确地对数控机床热误差进行预测及补偿以提高其加工精度，针对单独使用灰色模型或最小二乘支持向量机模型进行机床热误差建模的不足，并利用这2种模型在数据不同处理阶段的优点，提出一种基于灰色模型和最小二乘支持向量机层级模型的数控机床热误差建模方法。根据机床关键点温度数据和热误差数据，首先建立多个不同数据序列长度的机床热误差灰色模型作为前处理层，然后把经过前处理层前处理的热误差和实测热误差分别作为最小二乘支持向量机模型的输入和输出，作为后处理层，以进行预测精度校正。利用该方法在一台精密卧式加工中心上进行建模实验，并与单独使用灰色模型、最小二乘支持向量机模型和BP神经网络模型进行预测精度对比分析。研究结果表明：基于灰色模型和最小二乘支持向量机层级模型的数控机床热误差建模方法具有更高的预测精度和更强的泛化能力。

关键词：数控机床；热误差建模；灰色模型；最小二乘支持向量机；BP神经网络

中图分类号：TH161             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)12-4028-07

CNC machine tool thermal error modeling based on GM-LS-SVM hierarchical model

TAN Feng, YIN Guofu, YIN Qin, DONG Guanhua, WANG Liang

(School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Abstract: In order to predict and compensate thermal error of CNC (computer numerical control) machine tools more accurately, and to make up the shortcomings of single use of grey model (GM) or least squares support vector machine (LS-SVM) model, a hierarchical model (GM-LS-SVM) combining the data processing merits of GM with that of LS-SVM was proposed for thermal error modeling in machine tools. According to the temperature data and thermal error data of the machine tool, first several thermal error GMs with different data sequence length were established as preprocessing layer, and then the preprocessed thermal errors of preprocessing layer and the measured thermal errors were used as input and output of LS-SVM model respectively, to correct prediction accuracy. A modeling experiment was carried out on a precision horizontal machining center, and the prediction accuracies were compared among the proposed GM-LS-SVM hierarchical model, GM, LS-SVM model and BP neural network. The results show that the proposed GM-LS-SVM hierarchical model has higher prediction accuracy and better generalization ability than the other three models in CNC machine tools’ thermal error modeling.

Key words: CNC machine tool; thermal error modeling; grey model; least squares support vector machine; BP neural network

随着机床向高速高精度的方向发展，机床的热误差已成为影响机床加工精度的重要因素，众多研究表明：机床热误差占机床总误差的70%^[1-2]。因此，最大限度地减少热误差是提高机床加工精度的重要手段。目前，主要从机床的硬件和软件2方面来减少机床的热误差^[3-4]。硬件维度是采用各种新材料和新结构等来构建机床，从根本上减小热变形，从而减少热误差的产生。软件方面是利用补偿的思想建立准确的机床热误差预测模型，通过该模型产生一个补偿误差去抵消机床的原始热误差，从而达到减少热误差的目的。为了达到相同的精度水平，软件方面的研究比硬件方面的研究费用少，且具有更好的适应性，因此软件补偿是数控机床热误差研究的一个重要方向。软件补偿有直接补偿和间接补偿2种方法。直接补偿是直接测量由温度引起的刀具和工件之间的相对位移，然后对其进行补偿，直接补偿由于需要频繁测量刀具和工件之间的相对位移，对于快速加工的机床来说测量比较困难且费时，同时直接测量易受切屑、冷却液和运动干涉等的影响而导致直接补偿不准确。通常用得较多的是间接补偿，其关键是建立能准确反映机床关键点温度与机床热误差之间关系的数学模型，常用的方法为实验建模法，即根据统计理论对机床关键点温度数据和热误差数据进行拟合建模。章婷等^[5]提出热误差变参数灰色GM(1,1)模型，迭代更新模型参数，解决了传统GM(1,1)模型难以预测大样本数据和非线性变化趋势的问题。ABDULSHAHED等^[4]建立了基于网格的自适应神经模糊推理系统和基于模糊c均值聚类的自适应神经模糊推理系统的机床热误差预测模型，2种模型都取得了较好的热误差预测效果。朱小龙等^[6]采用基于AVQ网络聚类法和OIF-Elman神经网络的预测模型，降低了机床温度测点之间耦合作用的影响，提高了建模精度。余文利等^[7]提出一种基于PLS-IPSO-CVR的数控机床热误差建模方法，预测精度和速度优于传统SVR模型和神经网络模型。姜辉 等^[8]提出一种基于贝叶斯推断的最小二乘支持向量机建模方法，用贝叶斯推断方法对LS-SVM的参数进行优化选择，具有较高的预测精度。ZHANG等^[9]综合了灰色理论与神经网络模型建立了机床热误差复合模型，取得了较好的预测效果。上述建模方法取得了一些较好的预测及补偿效果，但仍有对建模数据要求高、建模过程复杂和预测精度和泛化能力有待进一步提高等缺点。由于测量的不确定性和不完备性，用于热误差建模的温度数据和热误差数据不可避免地包含一些“灰色信息”，导致建模准确性降低。为了进一步提高机床热误差预测模型的预测精度和泛化能力，结合灰色模型(grey model, GM)对温度数据和热误差数据“灰色信息”的处理能力和最小二乘支持向量机(least squares support vector machine, LS-SVM)模型在回归建模中的优势，提出一种更有效的基于灰色模型和最小二乘支持向量机层级模型(GM-LS-SVM)的数控机床热误差建模方法。

1  GM-LS-SVM层级模型

机床热误差建模实质上是一个典型的机器学习问题，通过实际测得的机床关键点温度数据和热误差数据建立能准确反映两者之间变化关系的数学模型，利用所建的数学模型和机床未来的温度数据对机床热误差进行预测，从而对其进行补偿。采用合适的机器学习方法是准确建立机床热误差预测模型的前提和基础，作为有效的机器学习方法，灰色模型和最小二乘支持向量机模型已在热误差建模及预测中得到了广泛的应用^[10-12]。

由灰色理论可知^[13-14]，对于相同的温度和热误差数据序列，建模所用数据序列长度不同，预测得到的热误差也略有不同。为了得到更好的预测效果，首先建立多个不同数据序列长度的热误差灰色模型作为前处理层，然后将前处理层的前处理热误差和实测热误差分别作为最小二乘支持向量机模型的输入和输出作为后处理层，以进行预测精度校正，从而得到基于灰色模型和最小二乘支持向量机的机床热误差预测层级模型GM-LS-SVM。图1所示为GM-LS-SVM层级模型的结构示意图。对于传统单独使用最小二乘支持向量机模型进行热误差预测来说，其输入为机床各关键温度测点的温度，输出为所预测的热误差^{[8, 10-11]}。然而对于本文所提的GM-LS-SVM层级模型中的最小二乘支持向量机来说，其输入为经过灰色模型前处理层前处理的热误差，输出为最终经过最小二乘支持向量机误差校正得到的热误差回归预测值。这样就分别明确了灰色模型和最小二乘支持向量机模型的输入和输出的物理意义，并充分发挥了2种模型在数据不同处理阶段的优势，从而得到了具有高预测精度的GM-LS-SVM热误差层级模型。

图1  GM-LS-SVM热误差层级模型结构

Fig. 1  Structure of GM-LS-SVM thermal error hierarchical prediction model

1.1  GM前处理层建模

对于采用温度数据作为输入，热误差数据作为输出的GM建模来说，在GM前处理层中采用GM(1,N)模型建模。为了得到多个经过GM前处理层前处理的热误差，在GM前处理层中，利用不同数据序列长度的温度数据和热误差数据建立多个GM(1,N)模型。其建模过程如下：

步骤1) 数据序列变换。为了减弱建模数据序列的随机性并突出其变化趋势，在建立GM(1,N)模型时需对建模数据序列进行变换。设为热误差序列，为关键温度测点温度序列，其中i=2，3，…，N，单个温度序列中包含的数据为N-1个，也说明用于建模的关键温度测点数为N-1个。温度和热误差数据序列的一次累加生成序列(1-AGO)为

       (1)

式中：k=1，2，…，n，n为数据序列长度。紧邻均值序列为

  (2)

步骤2) 模型参数求解。由此可建立GM(1,N)模型

         (3)

式中：a为模型发展系数；b_i为驱动系数(或称灰作用量)，构成系数矢量

            (4)

由n-1组热误差数据构成的列矢量为

经过一次累加处理的热误差数据及温度数据构成矩阵

此时，式(3)可写为矩阵方程组

               (5)

由最小二乘法，可求出模型的系数矢量

           (6)

步骤3) GM_i(1,N)前处理。由灰色系统理论可知，GM(1,N)的近似时间响应式为

           (7)

式中：。

将式(6)计算出的系数矢量代入式(7)中，得到序列，再由式(8)进行一次累减还原处理即可得到经过GM(1,N)前处理的热误差前处理值

        (8)

在GM(1,N)模型中采用不同的数据序列长度进行建模所得到的热误差前处理结果略有不同，并且较难确定采用何种长度的数据序列进行建模具有更高的预测精度。因此，为了更容易地达到更高的预测精度，分别建立l个不同数据序列长度的灰色模型GM₁(1,N)，GM₂(1,N)，…，GM_l(1,N)，其数据序列长度分别为n₁，n₂，…，n_l。每一组序列的l个GM(1,N)前处理模型的热误差前处理值作为GM前处理层的输出，也即是作为该组序列的LS-SVM误差校正层的输入，从而进行误差校正。

1.2  LS-SVM误差校正层建模

LS-SVM是在VAPNIK^[15]提出的支持向量机基础上发展而来的一种机器学习方法。

根据图1所示，LS-SVM误差校正层的输入为GM前处理层的输出，LS-SVM误差校正层的输出为最终热误差预测值。为了增强LS-SVM模型的误差校正能力，在模型训练阶段，需对其输入、输出进行归一化处理，在模型预测阶段，需对其输入进行归一化处理，对得到的预测结果进行反归一化处理。采用LS-SVM建立的误差校正模型为

         (9)

式中，拉格朗日乘子α_i和偏差量b为模型参数，其求解公式为

                (10)

由式(9)和(10)可知：LS-SVM模型的核函数为RBF核函数，由此可得该模型的主要参数为径向基核函数参数σ和可调参数γ，LS-SVM误差校正层的校正能力由这2个参数决定。常用网格搜索法或其变形形式来确定这2个参数^[16]，但该方法具有耗费时间长和搜索盲目性大的缺点，并且搜索到的参数不一定是全局最优参数。因此，本文通过更加高效、快速的粒子群优化算法(particle swam optimization, PSO)来寻优这2个参数的最优值^[7]，该算法模仿鸟类的捕食行为，算法中每个粒子代表问题的一个潜在解，每个粒子对应一个由适应度函数决定的适应度，通过在可解空间中更新个体极值和群体极值来寻优参数最优值。

综上所述，提出的基于灰色模型和最小二乘支持向量机层级模型的机床热误差预测模型的建模流程如图2所示。

图2  GM-LS-SVM热误差层级模型建模流程

Fig. 2  Modeling procedure of GM-LS-SVM thermal error hierarchical prediction model

2  热误差建模实验

为了验证本文所提方法的可行性与有效性，将所提出的基于GM-LS-SVM层级模型的数控机床热误差建模方法应用到一台THM6380精密卧式加工中心的热误差建模上。

2.1  整机热误差实验

为了获得机床在实际加工过程中最能反映热误差变化趋势的温度数据，采用基于灰作用量的模糊c均值聚类方法在机床上优化选取4个关键温度测点^[4]，分别用于测量主轴、主轴箱、主轴电机外壳和立柱温度。由于环境温度也会对机床的加工误差造成一定影响，需同时测量机床所处环境温度。通过分析机床主轴历史热误差数据可知，Y向和Z向为热误差最大的方向，因此，只需测量这2个方向的热误差即可。在热误差测量中，用芯棒代替实际加工用的刀具以便于测量。实验所用测量仪器为API Spindle Analyzer，它可以同时测量机床温度数据和热误差数据，环境温度采用水银温度计进行测量。实验测点布置图和实验现场图分别如图3和4所示。

图3  实验测点布置图

Fig. 3  Layout of measuring points

图4  实验现场图

Fig. 4  Experiment field

机床从停机状态开始以4 000 r/min的转速空载连续运行4.5 h，然后停机。在机床运转过程中，以2 min为采样间隔实时采集各关键温度测点温度数据T_i(i=1，2，…，5)和热误差数据△_Y和△_Z。同一时刻采集的温度数据和热误差数据为一组样本序列，共采集了136组样本序列。所采集的温度数据和热误差数据分别如图5和6所示。

图5  关键测点温度采集数据

Fig. 5  Temperature data of key points

图6  热误差采集数据

Fig. 6  Thermal error data

从图5可以看出：机床从冷态开始运转，机床各零部件温升快慢程度不一，主轴和主轴电机外壳温升相对较快，主轴箱和立柱温升相对较慢。主轴箱达到热平衡的时间要明显滞后于主轴达到热平衡的时间，同时其热平衡温度要明显高于主轴的热平衡温度。在大约4 h后机床所有零部件都大致达到热平衡状态，说明4.5 h的运行时间已包含机床主轴从冷态到热平衡状态的全温度范围。从图6可以看出：主轴Y向和Z向热误差随温度升高不断增长，但增长幅度随温度升高趋于缓和。对比图5和图6还可知：热误差增长曲线略滞后于温升曲线。

2.2  GM前处理层热误差建模

为叙述方便，先仅以主轴Z向热误差为例对所提方法进行验证。为了验证GM-LS-SVM层级模型的有效性，本文采用50组数据(第16组到第65组)进行模型的训练，前40组用于GM前处理层建模，后10组用于GM前处理层得到前处理热误差，前处理热误差作为LS-SVM误差校正层的输入。在GM前处理层中设计了4个数据序列长度分别为25，30，35和40的GM(1,N)模型，均采用全信息法进行模型训练。由于有5个温度变量，1个热误差变量，GM(1,N)模型中的N=6。根据上述前40组GM前处理层建模序列以及1.1节所述GM前处理层建模方法，分别建立4种数据序列长度的灰色模型GM₁(1,6)，GM₂(1,6)，GM₃(1,6)和GM₄(1,6)，其模型参数分别为=(1.81，-52.96，86.01，-23.54，-15.34,0.72)，=(1.81，-18.82，42.46，-13.01，-13.63，0.70)，=(1.72，-24.57，45.40，-12.87，-15.04，4.39)，=(1.76，-11.95，12.72，-4.58，-18.14，21.42)。进而将后10组GM前处理层前处理序列通过这4个灰色模型进行前处理，并将得到的前处理热误差作为后续LS-SVM误差校正层的输入。

2.3  LS-SVM误差校正层热误差建模

根据步骤2)中后10组序列的GM前处理层的前处理热误差数据及原始热误差数据以及1.2节所述LS-SVM误差校正层建模方法建立LS-SVM误差校正层模型。利用粒子群优化算法寻优计算得到模型参数γ=331.03，σ=6.49，γ和σ即为粒子群优化算法中的最优群体极值位置，进而可得LS-SVM误差校正层模型参数b=0.65，a=(-6.30，7.21，22.80，-11.21，16.41，-0.56，-30.86，-14.22，20.64，-3.92)。通过上述建模即得到了完整的GM-LS-SVM层级热误差预测模型。

为了验证GM-LS-SVM层级模型的预测能力，用51组数据(第66组到第116组)进行验证。同时，为了说明GM-LS-SVM层级模型在机床热误差建模及预测中的优势，从预测精度和泛化能力2个方面与灰色模型GM(1,N)、最小二乘支持向量机模型和BP神经网络模型进行对比分析。

3  热误差模型预测能力分析

3.1  模型预测精度分析

利用与GM-LS-SVM层级模型建模相同的温度数据和热误差数据，分别采用GM(1,N)模型、LS-SVM模型和BP神经网络模型(5-5-1结构)进行机床主轴Z向热误差建模及预测，并将预测结果进行比较。各模型预测值与实测值对比结果如图7所示，各模型预测残差如图8所示，相关统计数据如表1所示。

从图7和图8可以看出：GM-LS-SVM层级模型热误差预测值与实测值吻合良好，其残差基本围绕零轴分布，说明GM-LS-SVM层级模型能有效跟随机床热误差的变化趋势，具有较高的预测精度。

由表1可知：在机床热误差预测精度上，GM-LS-SVM层级模型除了较LS-SVM模型在残差范围R指标项上略有扩大外，残差平均值e、残差方差S²、均方根误差RMSE和灰色综合关联度ρ等几项指标GM-LS-SVM模型都明显优于GM(1,N)模型、LS-SVM模型和BP神经网络模型。

图7  热误差预测结果

Fig. 7  Thermal error prediction results

图8  热误差预测残差

Fig. 8  Residual errors of thermal error prediction

3.2  模型泛化能力分析

为了验证GM-LS-SVM层级模型的泛化能力，用上述4种模型对机床主轴Y向热误差进行建模及预测，不同模型预测精度如表2所示。

由表2可以看出：在上述4种热误差预测模型中，GM-LS-SVM层级模型对机床主轴Y向热误差的预测精度仍然是最好的，说明GM-LS-SVM层级模型具有更强的泛化能力。

表1  Z向热误差不同模型预测精度比较

Table 1  Prediction accuracy of different models in Z direction

表2  Y向热误差不同模型预测精度比较

Table 2  Prediction accuracy of different models in Y direction

4  结论

1) 为了进一步提高机床热误差预测模型的预测精度，提出了一种基于灰色模型和最小二乘支持向量机层级模型的机床热误差建模方法。实验结果表明：采用GM-LS-SVM层级模型建立的热误差预测模型相较于GM(1,N)模型、LS-SVM模型和BP神经网络模型具有更高的预测精度和泛化能力。

2) 结合了灰色模型对“灰色信息”处理能力的优点和最小二乘支持向量机的回归预测优点建立了层级模型，避免了单独使用任一模型信息遗失的缺陷，提高了模型的预测精度，很好地弥补了现有热误差预测模型的一些不足。

3) 所提GM-LS-SVM层级模型结构简单、建模流程清晰，可以方便地应用于数控机床热误差建模、预测及补偿中，提高机床的加工精度。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2015-12-10；修回日期：2016-03-20

基金项目(Foundation item)：国家科技重大专项项目(2013ZX04005-012)(Project(2013ZX04005-012) supported by the National Science and Technology Major Project of China)

通信作者：殷国富，教授，博士生导师，从事制造自动化和智能设计技术研究；E-mail：gfyin@scu.edu.cn