一类高阶非线性系统的鲁棒反推终端滑模控制

苏磊¹，姚宏²，杜军¹，冀捐灶¹

(1. 空军工程大学航空航天工程学院，陕西 西安，710038；

2. 空军工程大学理学院，陕西 西安，710051)

摘要：针对一类高阶非匹配不确定非线性系统，结合动态面控制方法，设计一种鲁棒自适应反推终端滑模控制方案，在消除控制抖振的同时，提高系统对不确定性的鲁棒性。设计非线性干扰观测器，对系统中由外界干扰引起的非匹配不确定性进行观测补偿。在反推过程中，基于动态面控制方法引入低通滤波器，有效降低控制器复杂性。引入边界层厚度设计系统建模误差自适应律。在反推最后一步，采用双曲正切函数替换符号函数降低控制抖振。给出观测器和系统在设计控制方案下的稳定性定理及证明，观测误差和跟踪误差一致终结有界。通过对比仿真，验证观测器对系统不确定性的精确观测能力。研究结果表明：设计的控制方案对系统非匹配不确定性和建模误差具有较好的鲁棒性。

关键词：非匹配不确定性；终端滑模；自适应反推；动态面控制；非线性干扰观测器

中图分类号：TP273            文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)09-3068-08

Robust backstepping terminal sliding mode control for a class of high-order nonlinear systems

SU Lei¹, YAO Hong², DU Jun¹, JI Juanzao¹

(1. School of Aeronautics and Astronautics Engineering, Air Force Engineering University, Xi’an 710038, China;

2. School of Science, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

Abstract: Combined with dynamic surface control (DSC) method, a robust adaptive backstepping terminal sliding mode (TSM) control method was proposed for a class of high-order nonlinear systems with unmatched uncertainties. The chattering of control signal was eliminated. Moreover, system’s robustness for uncertainties was recovered and strengthened. Nonlinear disturbance observers (NDOs) were designed for compensation of the unmatched uncertainties caused by external disturbances. In the procedure of backstepping, law pass filters (LPFs) were employed to simplify the design of controller, which was based on DSC method. An adaptive law was designed for system modelling error, in which the boundary layer thickness was used. In the last step of backstepping, hyperbolic tangent function was employed to replace the sign function in traditional sliding mode. The chattering of control signal was effectively suppressed. The stability theories and proofs of NDOs and close-loop system were presented. The observation errors and tracking error were uniformly ultimately bounded. Simulation results and comparisons were given. The results show that the control method can validate the accurate observation ability of designed NDOs and the robustness of the proposed control method for both system uncertainties and modelling errors.

Key words: unmatched uncertainties; terminal sliding mode; adaptive backstepping; dynamic surface control; nonlinear disturbance observer

滑模控制(SMC)是现代控制理论中的重要方法，具有对系统匹配不确定性的完全鲁棒性，但是难以处理系统非匹配不确定性^[1-3]。反推控制(BC)能够有效处理系统中的非匹配不确定性^[4-5]。将BC和SMC相结合，设计反推滑模控制器，可以实现对同时含有匹配和非匹配不确定性系统的鲁棒控制^[6-8]。在反推滑模控制方法中，存在有3个主要问题：

1) 在逐步递推中，需要对虚拟控制函数反复求导，从而产生“微分爆炸”现象^[9-10]。基于文献[10]提出的动态面控制 (DSC)方法，文献[11]在设计反推滑模控制器时，通过引入一系列低通滤波器(LPF)，实现对虚拟控制律的滤波估计，较好的解决了这一问题。

2) 传统SMC中，采用由符号函数构成的切换函数，控制信号在不同控制器之间频繁切换，造成控制输入的不连续性，即产生抖振现象^{[6, 12]}。采用饱和函数或者双曲正切函数，可有效降低控制抖振。如文献[13]在终端滑模(TSM)控制器中采用饱和函数，但是系统只能收敛到滑模面的一个边界层处，控制性能降低；文献[7]在SMC中采用双曲正切函数，但是未同时考虑控制对象中参数摄动和外界扰动的影响。

3) 传统SMC中，抖振意味着系统对不确定性的鲁棒性，两者密切相关，以降低系统鲁棒性为代价消除系统抖振是毫无意义的。

恢复和增强无抖振滑模鲁棒性的一种重要方法是采用不确定性估计策略^[14-15]。非线性干扰观测器(NDO)^[16-17]根据已知系统信息，通过对系统不确定性和外界干扰的实时观测进行反馈补偿，具有目标明确、物理含义清晰且系统结构和被控系统相互独立等特点。文献[18-19]分别在反推滑模和动态TSM中采用NDO对系统不确定性和外界干扰进行观测补偿，并用于飞行器控制，取得了较好的控制效果。针对一类同时具有建模误差和非匹配外界干扰的高阶非线性系统输出跟踪问题，本文作者设计了一种基于NDO的鲁棒自适应反推TSM控制方案。在控制方案中，针对由外界未知干扰引起的系统非匹配不确定性，设计NDO进行观测补偿；借鉴DSC方法简化反推过程控制器设计；引入边界层厚度设计系统建模误差自适应律，并采用双曲正切函数替换传统SMC中的符号函数，提高控制信号平滑性；给出NDO和受控系统的稳定性定理及证明，指出观测误差和跟踪误差一致终结有界，并通过仿真对比进行验证。本文提出的控制方案，在实现对指定轨迹精确跟踪的同时，能够有效消除控制信号抖振，且具有较好的鲁棒性。

1  问题描述

本文的研究对象为一类同时具有非匹配不确定性和建模误差的n阶非线性不确定系统：

        (1)

其中：为系统状态；和分别为系统输入和输出；为已知光滑非线性状态函数；为控制增益函数，并有存在，且f和g满足Lipschitz条件； 为系统建模误差函数，其中为状态建模误差函数，为控制增益不确定函数；，i=1, 2, …, n为由外界干扰引起的系统非匹配不确定性。令系统轨迹指令为，对式(1)及进行以下假设。

假设1：d_i, i=1, 2, …, n上界未知，但满足Lipschitz连续有界和一阶导数有界，即

             (2)

其中：已知。

假设2：F连续可导，且有。

假设3：有界且满足一阶可导。

注1：现有文献中，通常假设外界干扰变化缓慢，即，这在很多条件下并不成立，本文建立的假设1，具有更广泛的适应范围。

注2：设F的估计值和估计误差分别为和，令，进而由假设2容易得。

本文控制器设计的任务是针对如式(1)所示的一类高阶非匹配不确定非线性系统，在假设1~3下，考虑F和d_i, i=1, 2, …, n影响，设计轨迹跟踪控制器，使得系统输出y稳定跟踪指定的参考轨迹，并在消除控制抖振的同时，增强系统的鲁棒性。

2  基于NDO的反推TSM控制器设计

本文设计的基于NDO的反推TSM控制方案如图1所示。

控制器设计中，首先针对d_i, i=1, 2, …, n设计NDO进行观测补偿，确保系统对不确定性的鲁棒性；其次将BC和TSM相结合，并基于DSC方法，在BC中引入LPF解决“微分爆炸”问题；在BC最后一步设计建模误差自适应律和终端滑模控制律，最终实现系统输出对指定轨迹的稳定跟踪。

图1  基于NDO的反推TSM控制方案

Fig. 1  NDO based backstepping TSM control method

2.1  NDO设计及收敛性分析

设和分别为NDO对的观测值和观测误差，令，其中i=1, 2, …, n。根据式(1)模型的特点，NDO的设计分为以下2类。

第Ⅰ类NDO：当i=1, …, n-1时，针对d_i设计NDO进行观测补偿。

定理1：如果设计系统第i，i=1, …, n-1阶的NDO状态方程为^[16]

         (3)

其中：为NDO内部变量；为待定系统增益；为待定函数，满足，则指数收敛，且收敛域为。

证明：由式(1)和式(3)，对求导可得

          (4)

由式(4)可解得的解析表达式为

   (5)

由假设1可知，分2种情况分析。

(1) 当时，由式(5)可得

      (6)

(2) 当时，由式(5)可得

      (7)

因为，故由式(6)~(7)可得

              (8)

由以上对系统前i，i=1, …, n-1阶d_i的分析可知：在设计的NDO状态方程式(3)下，指数收敛，且收敛域为。定理1得证。

第Ⅱ类NDO：当i=n时，针对d_n设计NDO进行观测补偿，此时d_n和系统第n阶中的不确定性相互耦合。

定理2：如果设计系统第n阶NDO状态方程为

      (9)

则指数收敛，且收敛域为。其中：为NDO内部变量；为待定系统增益，为待定函数，满足。

证明：式(9)中是F的估计值，本文通过设计自适应律来实现，具体见2.2节。对求导可得

            (10)

由式(10)可解得的解析表达式为

     (11)

由假设1有，设计满足＞＞ ，进而可得不等式成立，当时，满足

           (12)

由以上分析可知，在设计的NDO状态方程式(9)下，系统第n阶未知干扰d_n的观测误差同样指数收敛，收敛域为，定理2得证。

注3：由定理1和定理2可知，NDO的观测误差全局有界，且L_i越大时的收敛域越小，同时观测器收敛也越快。但是，当L_i取值过大时，若d_i变化过快，则NDO观测性能退化，甚至会演化成一种新的干扰而导致整个系统失稳，因此，L_i的选取要结合系统精度要求综合考虑^[16]。

2.2  反推TSM控制器设计及稳定性分析

控制器设计中，定义式(1)状态跟踪误差为

     (13)

其中：为第i步的虚拟控制函数。

反推TSM控制器由BC和TSM相结合设计而成，共有n步，前n-1步采用BC设计过渡控制函数；第n步设计系统建模误差自适应律和TSM控制器。具体设计过程详述如下。

步骤1：由式(1)和式(13)，对z₁求导可得

            (14)

式(14)中，定义x₂为

          (15)

其中：为待定常数。由式(14)~(15)可得

            (16)

基于式(16)，取步骤1的过渡控制函数如下：

            (17)

步骤i(i=2, 3, …, n-2)：由式(1)和式(13)有

       (18)

式(18)中，定义为

   (19)

其中：为待定常数。由式(18)~(19)可得：

     (20)

基于式(20)，取步骤i的过渡控制函数为

    (21)

步骤n-1：由式(1)和式(13)有

           (22)

此时，不同于步骤i，i=2, 3, …, n-2，定义x_n为

        (23)

其中：为待定常数。由式(22)~(23)可得

          (24)

基于式(24)，取步骤n-1的过渡控制函数为

      (25)

在前n-1步反推中，含有的一阶导数，要求至少是连续的函数，但是不一定连续可导，即使连续可导，由于反复求导也会导致出现“微分爆炸”问题^[9-10]，使得控制器复杂化。为简化控制器设计，借鉴DSC方法^[10-11]引入LPF，采用过渡控制函数对虚拟控制函数进行估计，从而得到期望的。LPF设计如下：

   (26)

其中：为LPF时间常数。定义LPF边界误差为，由式(26)可得

                (27)

对求导，由式(27)可得

              (28)

令，由式(17)和式(21)可知为连续函数^[11]。

为便于系统控制器设计，在此给出引理1。

引理1：对于，有如下不等式成立：

其中：＞0，a＞1，b＞1，且有。特别的，当，时，有不等式成立。

由引理1和式(28)可得：

     (29)

定义步骤i(i=1, …, n-1)的Lyapunov函数为

          (30)

由式(16)，(20)，(24)和(30)可得，当i=1, …, n-2时，有

 (31)

当i=n-1时，有

          (32)

为正常数，定义如下：

          (33)

步骤n：由式(1)和式(13)有

         (34)

设计如下的系统终端滑模面：

              (35)

其中：为待定参数；p和q为正奇数，满足1＜p/q＜2。

则对于本文设计的基于NDO的反推TSM轨迹跟踪控制方法，其稳定性如定理3所述。

定理3：针对如式(1)所示的一类高阶不确定非线性系统输出跟踪问题，当系统不确定性和跟踪轨迹满足假设1~假设3时，如果设计如式(3)和式(9)所示的NDO，设计系统建模误差自适应律为

                 (36)

设计系统终端滑模控制律为

          (37)

其中：为自适应律常数，为待定调节系数，，f₁的定义如下：

      (38)

则系统是Lyapunov稳定的，且输出跟踪误差一致终结有界。其中，p，q，h₁，h₂，, c_i,和L_i (i=1, 2, …, n)是合适的设计参数。

证明：式(37)中，为连续可导的双曲正切函数，用来替换传统滑模中不连续不可导的符号函数，当调节系数有。对式(35)中s求导并代入得

      (39)

定义步骤n的Lyapunov函数为

           (40)

对式(40)求导可得

       (41)

定义系统Lyapunov函数为，即

      (42)

对V求导，并由假设2可得

  (43)

把式(38)代入式(43)可得

   (44)

把式(36)~(37)代入式(44)可得

           (45)

由式(45)可得，当且仅当s=z_i=0时，有=0，此时系统稳定在滑模面s=0上且系统所有阶跟踪误差满足z_i=0，由式(13)有y=x₁=x_d，即输出y实现对x_d的无误差跟踪。

由以上分析可知：在本文设计的基于NDO的反推TSM控制方案下，系统能够实现Lyapunov意义下的渐进稳定。若设计的NDO稳定，则观测误差指数收敛，即一致终结有界，进而系统前n-1阶子系统的过渡控制函数和虚拟控制函数均有界，系统每一步的状态跟踪误差z_i均一致终结有界，故输出跟踪误差亦有界。定理3得证。

另外，为避免系统建模误差估计发散，在此设计自适应律边界层厚度s₀，将自适应律式(36)改进为

           (46)

3  数值仿真及分析

考虑如式(47)所示三阶不确定非线性系统：

   (47)

即由外界未知干扰引起的系统不确定性为，， 。系统状态函数，控制增益，系统建模误差。

设系统跟踪轨迹，初始状态。控制器参数取值如下：h₁=2, h₂=10, c₁=5, c₂=20, L₁=15, L₂=10, L₃=50, μ=1.5, γ=0.01, s₀=0.01, p=7, q=5, δ=2, τ₁=0.15, τ₂=0.05。

首先，采用本文设计的基于NDO的反推TSM控制器，称为控制器1；其次，设计无NDO的传统终端滑模控制器，且采用饱和函数替换符号函数，取饱和函数边界层厚度，称为控制器2。在相同控制参数和不确定性下，对式(47)进行轨迹跟踪仿真。控制器1和控制器2的跟踪轨迹、跟踪误差和控制输入分别设为y₁，e₁，u₁和y₂，e₂，u₂。仿真结果如图2~6所示。

由图2和图3可知：在控制器1和控制器2作用下，系统(47)输出均能够实现对x_d的稳定跟踪，y₁和x_d基本重合，y₂和x_d则有较大误差，即跟踪误差e₁明显小于e₂，同时，跟踪误差有限时间内收敛到零点的一个有限邻域内。

由图4和图5可知：对于2个控制器的控制信号而言，u ₁平滑无抖振，而u₂在开始出现剧烈抖振，经过约2.1 s才进入无抖振状态，且控制信号幅值大于u₁。

由图6可知：控制器1中NDO的观测曲线和系统未知非匹配不确定性曲线能够较好地吻合。若定义平均观测误差(i=1, 2, 3)，其中t=40 s为仿真时间，N=633为仿真程序Matlab/Simulink计算步数，可求得，，，故可知NDO能够实现对系统非匹配不确定性的高精度观测和补偿，观测误差很小，且所有状态信号均有界。

图2  2种控制器的跟踪轨迹

Fig. 2  Tracking trajectories of two controllers

图3  2种控制器的跟踪误差

Fig. 3  Tracking errors of two controllers

图4  控制器1的控制输入和自适应律

Fig. 4  Control input and adaptive law of controller 1

图5  控制器2的控制输入

Fig. 5  Control input of controller 2

图6  系统不确定性和NDOs观测值

Fig. 6  System uncertainties and observations of NDOs

进一步，定义2种控制器的跟踪误差和控制能耗E如下：

，

则可得2种控制器的性能比较如表1所示。

表1  2种控制器性能比较

Table 1  Comparisons of two controllers

由表1可知：与控制器2相比，本文设计的控制器1具有跟踪误差小和控制能耗低的优点，同时也验证了饱和函数虽然能够降低抖振，却是以降低跟踪精度和提高控制能耗为代价的；不足之处在于：由于NDO观测误差的存在和自适应律调整能力的有限，导致系统输出跟踪存在一定的误差，但是可以通过控制参数的调整，把输出跟踪误差限制在精度要求之内。

4  结论

1) 针对一类高阶非匹配不确定非线性系统，结合动态面控制思想，设计了一种基于NDO的反推TSM控制方法。设计NDO实现对由外界干扰引起的系统非匹配不确定性的精确观测和补偿，NDO指数收敛且观测误差有界；引入自适应律边界层厚度设计鲁棒自适应律，实现对系统建模误差的估计；借鉴动态面控制方法解决“微分爆炸”问题，最终实现系统输出对指定轨迹的稳定跟踪，且跟踪误差一致终结有界。

2) 与无NDO的传统终端滑模控制器相比，本文设计的控制方法跟踪精度高，控制能耗低，并在消除抖振的同时，确保了控制器的鲁棒性。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2013-11-03；修回日期：2014-03-22

基金项目：航空科学基金资助项目(20111396011)；陕西省自然科学基金资助项目(2012JM8035)

通信作者：苏磊(1985-)，男，河南开封人，博士研究生，从事先进控制理论与应用的研究；电话：029-84787887；E-mail: sulei_0412@163.com