DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.09.036

基于因素分布模型的微震定位精度敏感性分析

高永涛，吴庆良，吴顺川，杨凯，豆丽萍，姚鹏飞

(北京科技大学 土木与环境工程学院，金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京，100083)

摘要：根据微震定位方程，基于误差最小原理，构造微震定位精度敏感性评价的输入输出数学模型，选取震源点到各检波器之间距离测量误差、微震波波速标定误差和信号到时拾取误差3个影响因素作为分析因子。从信息熵的角度，分析因素分布密度函数，并通过泛函变分求得相应表达式。采用正交法设计16组方案，根据分布函数求取因素各水平值，进行全局敏感性分析。研究结果表明：3个因子取值在给定区间内均符合均匀分布；无论是对内场震源点还是外场震源点，微震波波速误差，是对定位结果影响最大的因素，各因子对定位精度影响的主次顺序为：V_e，T_e，D_e；对于内场震源点，3个因素对定位精度均有高度显著影响。但对于外场震源点，可能由于因素之间的交互作用或者试验误差影响，仅微震波波速标定误差对定位精度有高度显著影响。相关研究可为微震监测的准确定位等提供针对性指导。

关键词：微震；定位精度；敏感性；分布模型；误差

中图分类号：TU46             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)09-3429-08

Sensitivity analysis of microseismic positioning accuracy based on distribution models of influencing factors

GAO Yongtao, WU Qingliang, WU Shunchuan, YANG Kai, DOU Liping, YAO Pengfei

(Key Laboratory of the Ministry of Education of China for High-Efficient Mining and Safety of Metal Mines,

School of Civil & Environment Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Abstract: Based on microseismic positioning equation and minimum error principle, an input and output mathematical model for evaluating sensitivity of microseismic positioning accuracy was constructed. Distance error between microseismic sources and sensors, seismic wave velocity error and trigger times error were selected as analysis factors. Factor distribution fanction was discussed by using information entropy, and the corresponding expression was obtained by functional variation. Scheme of 16 groups was designed by using orthogonal method. Level value of each factor was given according to the factor distribution function. And the global sensitivity analysis was performed. The results show that three factors accord with uniform distribution in a given interval; for both the internal and external field sources, seismic wave velocity error is the most influential factor that affects the positioning results, and the significant order from big to small of influence on positioning accuracy is V_e, T_e and D_e. For internal field source, all three factors have some significant influence on positioning accuracy; while for the external field source, only the seismic wave velocity error has some significant influence on positioning accuracy, which may probably be affected by the interaction between the factors or experimental errors. The research conclusions may offer specific guidance for the accurate location analysis of microseismic monitoring in the similar projects.

Key words: microseismic; positioning accuracy; sensitivity; distribution model; errors

随着深部矿产资源的采掘和地下空间的开发利用，地下工程不断走向深部，特别是非煤矿山及隧道工程，高应力条件下岩爆、地质缺陷活化等问题日渐突出，单纯靠传统的岩石力学手段已经远远不能满足现实安全监测的需要，基于地球物理学发展起来的微震技术可以有效的监测岩石微破裂发生的位置，近年来，已经广泛地应用于矿山、水电等地下工程监测^[1-3]。微震事件的空间分布规律包含着岩体不稳定区域的位置、范围和方向等大量信息，然而由于实际工程的复杂多样，造成定位结果会出现不同程度的误差，少则几米，多则数十米。影响微震定位精度的因素较多，且大部分具有随机性、可变性、模糊性等不确定特点，要进行准确可靠的定量分析较为困难，因此，对影响定位精度的根本因素进行敏感性分析十分必要。目前用于因素敏感性分析的方法很多，按考虑影响因素多少可分为单因素分析法(局部敏感性分析)和多因素分析法(全局敏感性分析)。单因素分析法只检验单个因素对模型的影响程度，计算简单快捷，但需要一定的假设，与实际情况不符，代表性的研究有Garson算法^[4]、随机检验法^[5]等；而多因素分析法可检验多个因素对模型结果产生的总影响，并考虑了因素之间的相互作用对模型输出的影响，更符合实际情况，在桥  梁、结构、经济、水文、环境、生态等领域得到广泛应用^[6-12]，代表性的研究有方差分解法^[10]、偏导数(PaD2)法^[11]，拉丁超立方单因子每次(LH-OAT)方法^[12]。由于敏感性分析在一定的输入输出模型和因素分布模型基础上进行的，因此，本文作者根据微震定位方程，基于误差最小原理构造相应的输入输出数学模型，并从信息熵的角度分析因素分布密度函数，最后采用正交设计法进行全局敏感性分析，找出相应的较敏感因素和最敏感因素。本文作者的研究可为微震监测的准确定位等提供针对性指导。

1  输入输出模型的建立

记震源坐标为，编号的检波器坐标为，为震源点到各检波器之间的距离。则有

    (1)

若发震时间为t₀，检波器接收到信号的时间为，震源到各检波器之间岩层中的微震波传播速度(均匀速度模型)为，则定位方程为

           (2)

从式(2)可以看出：矿山现场地质地形复杂、资源开采时人类活动干扰等原因对微震事件定位精度的影响最终体现在3个方面：震源点到各检波器之间距离的测量误差(即检波器坐标测量误差)、微震波波速标定误差、信号到时拾取误差。假定参数测量值与真值之间误差为(i=1, 2, …, n; j=1, 2, 3)，则

                (3)

将式(3)代入定位方程可得：

   (4)

显然越小，求解的误差越小，反演出的震源参数越接近实际情况。当时，根据式(4)可反演出震源参数真值。为消除数值正负对求解结果的影响，基于误差最小原理，构造敏感性分析输入输出数学模型如下：

        (5)

式中：，(i=1, 2, …, n; j=1, 2, 3)引入向量值函数，将式(5)转化成二次泛函形式，定义函数

   (6)

则函数的极小点就是式(5)的最优解。即：

式中：

2  影响因素分布密度函数

为分析微震定位精度对相关参数的敏感程度，选取震源点到各检波器之间的距离测量误差D_e、微震波波速标定误差V_e和信号到时拾取误差T_e这3个因素作为分析因子。假定在某次微震事件定位分析过程中，某个因子值有n种可能，且它们出现的概率分别为，则这个因子的熵为

        (7)

若测量误差值有无穷多个可能，且连续分布，则熵可写为

   (8)

求极限可得

   (9)

式中：，称为概率分布密度函数。

由式(9)可知：当时，连续信息熵。通常采用信息熵的相对值来评价因子出现的不确定性，故而去除常数项，将连续信息熵定义为

         (10)

假定某个因子只可能出现在有限区域[a, b]内，则限制条件记为。由于事先无法准确预测该因子取值，即不确定性最大，则对应的熵应为极值，对熵变分，则有。

定义函数

         (11)

使其满足欧拉方程

            (12)

其解即为因子分布密度函数。

通过限制条件，求得

        (13)

显然某个因子取值在给定区间内符合均匀分布，式(13)为均匀分布的一般表达式。

3  因子各水平取值及试验方案的优化设计

在全局敏感性分析中，若对每个因素的每个水平都相互搭配进行全面分析，则随着因素和水平数的增加，处理组合数将急剧增加，必然会耗费大量的时间、人力和物力。大量研究表明：在全部处理组合中，采用正交设计方法，仅挑选部分有代表性的水平组合(处理组合)进行分析，同样能达到理想结果。

若某个因子值的分布区间为[a, b]，分布密度函数为，选取m个水平将该分布密度函数曲线下的全部面积做m-1等分，算上头尾区间，则相应的积分上限即为各水平值，即

             (14)

采用3因素4水平L16(4⁵)进行正交设计。正交试验设计方案如表1所示。

表1  正交试验设计方案

Table 1  Design scheme based on orthogonal design

4  算例分析

假定在空间区域O内，6个传感器位于球体的6个方位点，坐标(单位均为m)分别是A(0，500，500)，B(500，0，500)，C(1 000，500，500)，D(500，1 000，500)，E(500，500，1 000)和F(500，500，0)。假定微震源H(232，604，746)和I(673，700，1 200)分别位于检波器阵列的内、外场区域，微震波在介质中传播的等效波速v=5.2 m/ms，发震时间统一为某日10:00:00:20，传感器与震源空间分布位置如图1所示，本文规定在某1次微震事件中，外界对单一因素造成的误差相等。

选用北京科技大学自主研发的微地震监测系统(BMS)作为监测设备，对河北某矿山进行1 a多的微震监测^[13]统计发现，震源点到各检波器之间的距离测量误差D_e(m)、微震波波速标定误差V_e(m/ms)和信号到时拾取误差T_e(ms)这3个因子的分布区间分别为[0, 6]，和[0, 3]，参照因素各水平的求解方法和正交试验方案，可得内、外场震源点的3因素4水平值如表2所示。

图1  传感器与震源空间分布位置示意图

Fig. 1  Distribution of sensors and microseismic sources

最终求得内、外场震源点的定位结果(各16组)，如表3所示。

5  敏感性分析

根据表3所示的定位结果，分别采用直观分析方法和方差分析法对影响微震定位精度的3个因素进行敏感性分析。设试验次数为n，每个因素的水平数为m个，每个水平作n/m(即r次)试验。

5.1  直观分析(极差分析)

表4所示为内场震源点试验结果的极差分析，表5所示为外场震源点试验结果的极差分析。表4和表5中：K_jk为第j列因素k水平所对应的试验指标的和；为K_jk的平均值；R_j为第j列因素的极差，反映了第j列因素的水平变动时，定位精度的变动幅度。根据极差R_j，可以判断因素的主次。

从表4和表5可知：各列的极差不相等，这说明各因素的水平改变对定位精度的影响不相同，R_j越大，表示该列因素的数值在试验范围内的变化会导致定位精度在数值上变化越大，所以，极差最大的那1列即微震波波速误差，对定位结果影响最大的因素，也就是最主要的因素。由于内场和外场震源点试验结果的极差R_j从大到小的顺序均为V_e，T_e，D_e，故各因素从主到次的顺序为：V_e，T_e，D_e。

相对各因子列(第1，2和3列)，空白列(第4列)的水平均值随着水平数的改变而变化(变化很小)，说明因素之间有一定的交互作用，或试验有一定的试验误差影响(外场震源定位结果较为明显)。但由于其极差小于各因素列的极差，故而本算例中暂不考虑其影响。

表2  正交设计时内、外场震源点的3因素4水平值

Table 2  Value of three factors and four levels of internal and external field sources using orthogonal design

表3  内、外场震源点的定位结果

                      Table 3  Positioning results of internal and external field sources                       m

表4  内场震源点试验结果的极差分析

Table 4  Range analysis of test results for internal field source

续表4

表5  外场震源点试验结果的极差分析

Table 5  Range analysis of test results for external field source

5.2  方差分析(显著性分析)

为克服因子直观分析法无法判别试验的精度，且不能提出1个标准判断因素作用的显著程度等缺点，采用方差法对试验结果进行分析。方差分析法的基本思想是将数据的总偏差平方和分解为试验因素的偏差平方和和试验误差的偏差平方和，用各因素的方差与误差的方差相比，进行F检验，即可判断因素的作用是否显著。即

            (15)

         (16)

式中：S_T为总偏差平方和，反映了试验数据的总波动

     (17)

S_j为列偏差平方和，反映了第j列水平变动而引起的试验数据的波动

   (18)

S_e为误差(空白列)的偏差平方和，反映了由于试验误差和未被考察的某些交互作用或某些条件因素所引起的波动

          (19)

f_j和f_e分别为第j列偏差平方和的自由度和误差列平均偏差平方和的自由度。

内、外震源点的方差分析最终计算结果如表6和表7所示。

从表6可见：对于内场震源点，由于＞，所以震源到检波器之间距离的测量误差对定位精度有高度显著影响。同理由＞，＞可得，微震波波速和信号到时误差对定位精度同样有高度显著影响。根据表6中相应的平均偏差平方和大小可知：各因子对定位精度影响的主次顺序为：V_e，T_e，D_e。

从表7可见：对于外场震源点，根据相应的平均偏差平方和大小可知，各因子对定位精度影响的主次顺序仍为：V_e，T_e，D_e。但由于因素的交互作用或者试验误差影响，造成误差列平均偏差平方和较大，其值达到99.43。计算F值并与进因素显著性检验可得，＜，＞29.457，＜，即，波速标定误差对定位精度仍有高度显著影响，而震源到检波器之间距离和信号到时的测量误差对定位精度无显著影响。

表6  内场震源点的方差分析表

Table 6  Variance analysis of test results for internal field source

表7  外场震源点的方差分析表

Table 7  Variance analysis of test results for external field source

6  结论

1) 根据微震定位方程，基于误差最小原理，构造了微震定位精度敏感性评价的输入输出数学模型，选取了震源点到各检波器之间距离测量误差D_e、微震波波速标定误差V_e和信号到时拾取误差T_e这3个影响因素作为分析因子。从信息熵的角度分析了因素分布密度函数，通过泛函变分得出某个因子取值在给定区间内符合均匀分布，并给出相应函数表达式。

2) 采用正交法设计16组方案进行敏感性分析，结果表明：无论是对内场震源点还是外场震源点，微震波波速误差是对定位结果影响最大的因素，也就是最主要的因素。各因子对定位精度影响的主次顺序为：V_e，T_e，D_e。

3) 对于内场震源点，3个因素对定位精度均有高度显著影响。而对于外场震源点，可能由于因素之间的交互作用或者试验误差影响，震源点到各检波器之间的距离测量误差和信号到时拾取误差对定位精度无显著影响，但是微震波波速标定误差对定位精度仍有高度显著影响。与直观分析结果相同，各因子对定位精度影响的主次顺序为：V_e，T_e，D_e。因此，有关微震波在介质中传播的速度模型研究是微震定位分析的核心。

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(编辑  罗金花)

收稿日期：2014-10-11；修回日期：2014-12-20

基金项目(Foundation item)：长江学者和创新团队发展计划项目(IRT0950)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(FRF-SD-12-002A) (Project(IRT0950) supported by the Program for Changjiang Scholars and Innovative Research Team in University; Project(FRF-SD-12-002A) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

通信作者：吴庆良，博士研究生，从事岩土和采矿工程方面研究；E-mail: wuqingliangmy@163.com