重力式挡土墙结构模糊随机可靠性分析

肖尊群¹，刘宝琛¹，乔世范¹，杨小礼¹，刘宇飞¹，杨仙²，何礼彪¹，李小林³

(1. 中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙，410075；

2. 中南大学 地学与环境工程学院，湖南 长沙，410083；

3. 中铁工程设计咨询集团有限公司，北京，100055)

摘  要：考虑可靠性分析模型中随机参数的模糊性，利用一次二阶矩法建立模糊随机可靠性分析模型。利用分解定理，取一系列λ截集，将模糊数转换为一系列区间数进行运算，得到一种模糊随机可靠度的计算方法即λ截集法。分别建立倾覆失稳和滑移失稳2种失稳模式下的结构功能函数，确定2种失稳模式下模糊随机变量，利用模糊随机可靠度的计算方法分别对2种失稳模式进行计算，得到2个相应的模糊随机可靠度指标及失稳概率。将该计算方法与相关文献提供的计算方法进行对比。研究结果表明：由λ截集法与其他算法所得计算结果差异明显，其原因是其他算法把挡土墙的结构功能函数Z假设成正态分布，从而得出的概率密度函数f(Z)有误差；采用λ截集法计算的模糊随机可靠度更符合实际情况。

关键词：一次二阶矩法；模糊随机可靠度；λ截集；区间数；挡土墙

中图分类号：TU43         文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2010)04-1522-06

Analysis of fuzzy reliability for gravity retaining wall structure

XIAO Zun-qun¹, LIU Bao-chen¹, QIAO Shi-fan¹, YANG Xiao-li¹, LIU Yu-fei¹,
YANG Xian², HE Li-biao¹, LI Xiao-lin³

(1. School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2. School of Geoscience and Environmental Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

3. China Railway Engineering Consultants Groups, Beijing 100055, China)

Abstract: Considering the fuzzy uncertainties of the parameters of stochastic variables, FOSM (First order second moment) was utilized and fuzzy random dependability analyzing model was set up. By using decomposing theorem and introducing λ cut set，fuzzy numbers were convened into a series of interval numbers and fuzzy random reliability computing technology was received. The major unstable modes of gravity retaining walls are overturning and sliding. Two performance functions against overturning and sliding of gravity retaining walls were established and the fuzzy random variables were confirmed for the two kinds of invalid modes. Two kinds of failure modes are calculated separately by using fuzzy random reliability computing technology, and two fuzzy random reliability indexes and corresponding failure probabilities are received. Comparing with computing technology proposed in relevant literature, the result of calculation shows that the difference of calculation result is obvious. The reason for producing the difference is that other methods supposes performance functions Z of the gravity retaining wall into normal distribution, there exists error to obtain the probability density function f(Z) in this treatment. Fuzzy random reliability value calculated by λ cut set way is in accordance with the actual results further.

Key words: first order second moment; fuzzy stochastic reliability; λ cut set; interval numbers; retaining wall

传统挡土墙采用定值设计方法设计，以安全系数来表征挡土墙结构的稳定性程度。但定值设计方法忽略了挡土墙稳定性分析中的随机不确定性和模糊不确定性。随机不确定性主要是指土的各项物理力学指标的随机性导致挡土墙失稳过程的随机性。模糊不确定性主要是指挡土墙在失稳与稳定之间存在一个模糊过渡区，即失稳和稳定的边界并不清晰。国内外一些研究者将可靠度理论引入挡土墙的设计，如：Enrque   等^[1]把传统的安全系数法和基于概率的可靠度方法结合在一起，提出一种新的挡土墙设计方法；张建仁^[2]利用一次二阶矩法中的中心点法计算某挡土墙实例，并对参数的敏感性进行了分析；王良等^[3]运用一次二阶矩法中的中心点法计算了忠州隧道进洞口道路挡土墙的抗滑移可靠度；蔡阳^[4]研究了重力式挡土墙的可靠度设计方法，对概率极限状态设计中分项系数的确定进行了讨论；杜永峰等^[5]将挡土墙的倾覆失稳和滑移失稳视为串联系统，由逐步等效平面法计算结构体系可靠度指标，最后由结构体系可靠度指标计算出该挡土墙稳定性的结构体系失稳概率；王广月^[6]综合考虑了挡土墙失稳的随机性和模糊性，建立了挡土墙结构稳定性的模糊可靠度分析基本模型，提出了模糊可靠度的计算方法。但是，Enrque等^[1-5]只考虑了挡土墙稳定性分析中的随机不确定性。王广月虽然考虑了挡土墙稳定分析中的模糊不确定性，但把结构抗滑力(R)和滑动力(S)假设成服从正态分布，并把结构功能函数Z也假设成服从正态分布，从而得出了函数Z的概率密度函数f(Z)，再通过积分法计算出重力式挡土墙的随机模糊可靠度，这种假设的成立与否有待证明，这种处理的合理性有待证实。在此，本文作者绕开这种假设，采用截集法将模糊集合转化为常规的区间集合，通过得到的区间解求模糊随机可靠度，从而使计算结果更趋合理。

1  模糊可靠性分析理论

图1所示为经典理论极限状态和模糊随机极限状态对挡土墙结构体系稳态的不同划分，其中：u_f(R,S)和u(R, S)分别为模糊随机稳态和经典稳态下结构抗滑力与滑动力之比。模糊随机极限状态在稳定区和失稳区之间存在过渡区域，在极限状态附近的区域既有稳定的可能性，又有失稳的可能性。在极限状态右侧稳定性不断加强，左侧失稳性不断增加。

图1  2种稳态划分示意图

Fig.1  Sketch of two statements of stability

1.1  L-R型模糊数及分解定理

工程中的模糊数通常可以用L-R型模糊数表  示，则称为 L-R型模糊数，其模糊数的隶属函数满足：

式中：L(x)为增函数，右连续，0≤L(x)＜1，；R(x)为减函数，左连续，0≤R(x)＜1，。

L-R型模糊数也可用三元组(m，α，β)表示。m对应隶属度为1的数；α和β分别为模糊数的左、右分布；L(x)和R(x)称为模糊数的左、右参照函数。工程中常用的2种参照函数是线性参照函数和正态型参照函数。线性参照函数的L(x)和R(x)分别为

     (2)

正态型参照函数的L(x)和R(x)分别为

      (3)

设为论域U上的模糊集合，对任意A∈[0,1]，记

式中：为的λ截集；为普通集合；λ为截集水平。λ截集如图2所示。为论域U上的模糊集合，则λ也为一模糊集合，其隶属函数为

              (5)

式中：为交集运算。设为论域U上的模糊集合，为λ的水平截集 ，则模糊集合可以用普通集合表示为

               (6)

即式(6)为分解定理^[7]，它揭示了任何模糊集合都可以用普通集合表示，而模糊数的运算也可以转换为区间数的运算。

图2  λ截集示意图

Fig.2  Sketch of λ cut set

1.2  模糊可靠性分析模型

传统可靠性理论用极限状态描述结构可靠与失效的界限，并用极限方程Z=R-S表示，如图1(b)所示。但可靠到失效之间很难明确界定，因为其间存在过渡状态，是一个模糊范围，该范围表示失效是逐渐发生的，如图1(a)所示。模糊功能函数的方程为：

                (7)

当模糊性存在时，应将安全状态看作是模糊事 件。模糊事件可用功能函数Z对的隶属度进行描述，即

     (8)

模糊可靠度是指模糊事件的概率，即≥0的概率，表示为

≥0)                (9)

故结构的模糊随机可靠度计算公式为

       (10)

式中：f(x)为基本随机变量的分布密度函数；为模糊安全事件的隶属函数，其2个特例是：

(1) 当结构最大载荷效应和结构抗力只具有随机性而没有模糊性时，在有效域内隶属度为1，在有效域外隶属度为0，则式(10)转化为

               (11)

式(11)即为常规的可靠度计算式。

(2) 当结构最大荷载效应和结构抗力只具有模糊性而不具有随机性时，将变为1个常数，式(10)则转化为P_r=，相当于结构反应对结构安全这一事件的隶属度，称为普通模糊可靠度^[8]。表明当结构参数中仅具有模糊性时，同样会产生可靠性问题。

2  重力式挡土墙模糊可靠度计算模型

模糊可靠度计算有2条途径：一是以模糊集合描述模糊随机现象，利用模糊事件概率定义结构模糊可靠度，用积分法通过式(10)直接计算；二是以模糊随机变量为基本变量描述模糊随机现象，用λ水平截集法计算结构可靠度^[9]。积分法计算十分繁杂，且因难于获取分布密度函数和模糊事件隶属函数具体表达式而导致无法求解。在此，本文作者采用截集法将模糊集合转化为常规的区间集合，通过得到的区间解求模糊随机可靠度。

2.1  重力式挡土墙结构功能函数的建立

重力式挡土墙结构最主要的失稳模式是倾覆失稳和滑移失稳。图3所示为重力式挡土墙设计，绕墙趾转动的抗倾覆稳定的功能函数为

        (12)

其中：M_R为抗倾覆弯矩；M_S为倾覆弯矩。

图3  重力式挡土墙设计图

Fig.3  Gravity retaining wall design

抗滑移稳定的功能函数为

    (13)

           (14)

式中：F_R为抗滑力；F_S为滑动力；G为每延米挡土墙的自重；r为墙后土体重度；H为挡土墙的高度；c为墙后土体的粘聚力；K_a为主动土压力系数；X和Y分别为墙体重力、主动土压力到墙趾的力臂；μ为土对挡土墙基底的摩擦因数；为墙后土体的内摩擦角^[10]。

对于图2所示重力式挡土墙，忽略墙顶荷载以及挡土墙的被动土压力，挡土墙的几何尺寸和物理参数为已知量。大量工程实践证明影响挡土墙的主要模糊随机变量为，，和，通常这4个随机模糊变量呈正态分布^[11]。为方便表达，分别以(i=1, 2, 3, 4)代替上面4个随机模糊变量，在统计参数模糊均值和模糊标准差已知的情况下，可以根据结构模糊可靠度分析法计算模糊可靠性指标和^[12]。本研究中2个功能函数对应于各自变量的偏导数为

      (15)

        (16)

  (17)

                  (18)

        (19)

          (20)

  (21)

                (22)

2.2  重力式挡土墙模糊可靠度计算

模糊随机极限状态的方程为：

; i=1, 2, 3, 4   (23)

基于一次二阶中心矩法，采用泰勒级数在中心点处将极限状态函数展开使之线性化。

  (24)

则模糊可靠性指标可以表示为^[13]：

                (25)

式中：； ；(n=1, 2, 3, 4)为方差。

在λ水平截集下，可靠性指标为

    (26)

式中：和分别表示模糊可靠性指标在λ水平下截集区间的上下界；和分别表示第n个模糊均值和模糊方差在λ截集下对应的区间；max和min表示取区间数的上界和下界值。根据区间可靠度计  算^[14-15]，结构模糊可靠度在λ水平截集下的值为

       (27)

对(27)式在右端进行换序积分^[16]，得：

    (28)

因此，模糊可靠度的估计值为

              (29)

也可近似表示为

              (30)

3  计算实例

某重力式挡土墙如图2所示，墙背平直光滑，忽略被动土压力，挡土墙顶部无附加荷载。墙体结构参数为常量，其中：H=5.4 m，X=1.14 m，G=98.8 kN/m，Y=1.62 m，a=1.0 m，b=3.6 m。各L-R型模糊数的隶属函数均为线性函数。，，，为随机模糊变量。

=((21, 2.2, 3.2)_LR, (0.1, 0.01, 0.015)_LR),

=((12, 1.5, 2.1)_LR, (0.1, 0.01, 0.015)_LR),

=((40?, 4?, 4.2?)_LR, (0.1, 0.01, 0.015)_LR),

=((0.5, 0.01, 0.03)_LR, (0.1, 0.01, 0.015)_LR)。

其中：下标LR表示其为L-R型模糊数三元组。

计算结果如表1所示。从表1可知：若忽略模糊性(如经典可靠性分析模型)，将导致结果有较大偏差，而模糊性是客观存在的，因此，只有考虑模糊性才更合理。同时，用模糊一次二阶矩法所得的模糊可靠性指标及模糊可靠度均小于不考虑模糊性时的值。因此，用模糊可靠性分析模型衡量挡土墙的可靠性更强。另外，模糊可靠性分析模型计算的可靠性指标和可靠度与文献[6]中模型的计算结果差异明显。产生这种差异的原因是：文献[6]中模型把结构功能函数Z假设成正态分布，得出结构功能函数的概率密度函数f(Z)，然后，通过积分法计算结构的可靠度，这个过程产生误差。因为结构功能函数Z不一定服从正态分布。本文作者绕开这个假设，采用截集法将模糊集合转化为常规的区间集合，通过得到的区间解求得模糊随机可靠度，不需要考虑结构功能函数Z的分布情况，与实际情况更符合。可见，本文建立的模糊可靠性分析模型的计算结果更趋合理。

表1  不同模型的计算结果对比

Table1  Comparison of calculated results

4  结论

(1) 将模糊数学和随机可靠度的理论相结合，建立了重力式挡土墙结构的模糊随机可靠性分析模型，通过分解定理，将模糊变量转换为一系列的区间变量运算，分别得出了某挡土墙抗倾覆稳定性和抗滑移稳定性的可靠度指标和各自的可靠度。

(2) 该模型的计算量与经典可靠性分析模型的计算量大致相当。模糊可靠度模型与经典模型的计算结果存在一定的差异，因此，在可靠性分析中，模糊性不可以忽略。

(3) 模型在重力式挡土墙稳定性可靠度分析中，不考虑结构功能函数Z的具体分布情况，与实际情况更符合，计算结果更趋合理。

参考文献：

[1] Enrque C, Roberto M, Ana R T, et al. Design and sensitivity analysis using the probability-safety-factor method: an application to retaining walls[J]. Structural Safety, 2004, 26(2): 159-179.

[2] 张建仁. 挡土墙结构稳定可靠度分析[J]. 中国公路学报, 1997, 10(3): 53-58.
ZHANG Jian-ren. Reliability analysis of stability for retaining wall structure[J]. China Journal of Highway and Transport, 1997, 10(3): 53-58.

[3] 王良, 刘元雪. 重力式挡土墙抗滑移可靠性分析[J]. 重庆工商大学学报: 自然科学版, 2005, 22(6): 609-611.
WANG Liang, LIU Yuan-xue. Reliability analysis of gravity retaining wall stability against slide[J]. Journal of Chongqing Technology and Business University: Natural Science, 2005, 22(6): 609-611.

[4] 蔡阳. 重力式挡土墙可靠度研究[D]. 成都: 西南交通大学土木建筑学院, 2005: 44-46.
CAI Yang. Research on reliability of gravity retaining wall[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University. School of Civil and Architectural Engineering, 2005: 44-46.

[5] 杜永峰, 余钰. 重力式挡土墙稳定性结构体系可靠度分析[J]. 岩土工程学报, 2008, 30(3): 627-631.
DU Yong-feng, YU Jue. Analysis of reliability of structural systems for stability of gravity retaining walls[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2008, 30(3): 627-631.

[6] 王广月. 重力式挡土墙稳定性的模糊可靠度分析[J]. 山东大学学报: 工学版, 2003, 33(3): 627-641.
WANG Guang-yue. Analysis of fuzzy reliability for retaining wall stability[J]. Journal of Shandong University: Engineering Science, 2003, 33(3): 627-641.

[7] Dubois D, Prade H. Fuzzy sets and system: Theory and applications[M]. New York: Academic Press, 1980: 81-83.

[8] JIANG Qi-mi, CHEN Cui-hua. An numerical algorithm of fuzzy reliability[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2003, 80(3): 299-307.

[9] 韩静. 基于模糊理论的工程结构可靠性分析[J]. 江南大学学报: 自然科学版, 2008, 7(3): 372-373.
HAN Jing. Fuzzy stochastic reliability analysis of engineering structure[J]. Journal of Jiangnan University: Natural Science Edition, 2008, 7(3): 372-373.

[10] Hasfer A M, Lind N C. Exact and invariant second—moment code format[J]. Engineering Mechanics ASCE, 1974, 100(1): 111-121.

[11] CHANG Tian-ying, Taniguchi H, Chen W F. Nonlinear finite element analysis of reinforced concrete panels[J]. Journal of Structure Engineering, 1987, 113(1): 122-140.

[12] CHEN Song-ming. Analyzing fuzzy system reliability using vague set theory[J]. International Journal of Applied Science and Engineering, 2003, 1(1): 82-88.

[13] Dodagoudar G R, Venkatachalam G. Reliability analysis of slopes using fuzzy sets theory[J]. Computers and Geotechnics, 2000, 27(3): 101-115.

[14] 吕玺琳, 吕恩琳. 结构系统模糊可靠性分析[J]. 重庆大学学报: 自然科学版, 2006, 29(7): 119-123.
L? Xi-ling, L? En-ling. Structural system fuzzy reliability analysis[J]. Journal of Chongqing University: Natural Science Edition, 2006, 29(7): 119-123.

[15] 郭书祥, 吕震宙. 基于区间分析的结构非概率可靠性模型[J]. 计算力学学报, 2001, 18(1): 56-60.
GUO Shu-xiang, L? Zhen-zhou. A non-probabilistic model of structural reliability based on interval analysis[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2001, 18(1): 56-60.

[16] 杨吉凡, 宋守根. 积分方程反演新解法[J]. 中南工业大学学报: 自然科学版, 1998, 29(5): 416-417.
YANG Ji-fan, SONG Shou-gen. New method for the inversion of integral equation[J]. Journal of Central South University and Technology: Natural Science, 1998, 29(5): 416-417.

收稿日期：2009-07-10；修回日期：2009-10-21

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50708116)；中南大学优秀博士学位论文扶植项目(2009ybfz18)；湖南省研究生科研创新项目(CX2009B045)

通信作者：肖尊群(1982-)，男，湖南怀化人，博士研究生，从事岩土、重载铁路等的研究；电话：13974838092；E-mail: xiaozunqun@126.com

(编辑 刘华森)