基于Petri网和模糊模拟的协同维修进度预测

杨元¹，黎放¹，侯重远²

(1. 海军工程大学 管理科学与工程系，湖北 武汉，430033；

2. 海军工程大学 电气工程学院，湖北 武汉，430033)

摘要：为了解决协同维修过程中维修作业时间不确定、工序衔接时机不容易把握的难点，避免传统的模糊Petri网理论和方法在进度分析时依托模糊合成规则带来的问题，提出将模糊模拟技术引入到Petri网理论中的建模思想，形成协同维修进度预测的模型。首先，在确定维修任务分解结构、工序接口关系和维修工序作业模糊时间的基础上，利用着色Petri网描述协同维修过程；然后，设置相关颜色集、函数和代码实现模糊模拟技术嵌入Petri网模型的条件；最后，通过多次仿真，记录相应的维修时间和隶属度，完成可信性分析步骤。研究结果表明：所建立的协同维修进度预测模型能将模糊工期型有效转化为与隶属度相关的肯定工期型，克服了传统模糊工期分析中存在模糊合成规则复杂多变等问题；预测结果不仅可以提示维修工序的衔接时间规律，而且能确定在约束条件下按时完工的可信性。

关键词：协同维修；Petri网；模糊模拟；进度预测；可信性

中图分类号：TH17          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)10-3095-06

Forecast collaborative maintenance schedule based on fusion of Petri net and fuzzy simulation

YANG Yuan¹, LI Fang¹, HOU Chong-yuan²

(1. Department of Management Science, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;

2. College of Electric and Information Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Abstract: In order to overcome the complexity and difference of fuzzy mathematical rules using traditional fuzzy Petri net, a new model which inserts fuzzy simulation into Petri net theory was put forward to forecast collaborative maintenance schedule aiming to deal with the uncertain time of maintaining activities and the joint relationship of maintenance tasks during collaborative maintenance process. Firstly，on the basis of some information from maintaining work breakdown structures and the links of maintaining tasks and fuzzy maintaining time, the model based on coloured Petri net was formed to depict collaborative maintenance process. Secondly, in view of the colour sets and the functions and the codes posed, the requirements whose fuzzy simulation was embedded into the model of Petri net are well fulfilled. Finally, the analyzing steps of the credibility were accomplished by a mass of simulations to record the corresponding maintaining time and fuzzy membership. The results show that the forecasting model of collaborative maintenance schedules can effectively transform the fuzzy duration into the positive duration associated with the fuzzy membership, and avoid the problems caused by fuzzy synthetic rules. The results mainly contribute to forecasting some time to hand over the maintenance task and estimating the completing credibility during the required period.

Key words: collaborative maintenance; Petri net; fuzzy simulation; forecast; credibility

在协同维修过程中，每一个参与维修的单位都承担一个或多个维修任务，各维修点不仅要注意内部各维修工序的衔接，而且要注重与外部维修点的工艺衔接。如何有效把握协同维修过程中工序衔接时机成为协同维修进度管理的重点。此外，维修任务自身的复杂性以及维修人员、维修工具存在差异或维修人员心情变化的影响，使得实际维修工时存在波动现象。在协同维修过程中，若对于模糊工期特性不加以合理考虑，必然会影响协同维修的进度分析。针对上述协同维修过程中的重点和难点，近年来许多学者将模糊算法和Petri网理论相结合分析带有模糊时间的协同过程。Yan等^[1]利用模糊Petri网描述国际采购状态的相互关系，建立在国际大采购环境下供应商的评估模型；田峰等^[2]讨论Petri网中顺序、并行、选择和循环结构下模糊时间推理规则，实现对协同设计的时间验证；张新龙等^[3-4]通过Petri网中变迁序列找到可能的路径，利用模糊最值算法求关键路径和完工可能性；Ye等^[5]采用模糊Petri网分析多列火车汇合的时间。上述研究均利用模糊Petri网对协同过程中不确定时间进行描述，很好地表达过程中时间不确定性，但由于在进度分析时它们都依托模糊算法，而目前模糊算法复杂且合成规则不统一，可能导致不同规则下的计算结果有差异。Petri nets (PN 's)是Petri在1962年提出来的，作为一种描述离散事件动态系统(DEDS)强有力的图形化数学工具，它可以很好地描述DEDS中的各种事件关系，如顺序、并发、选择、互斥等，为人们提供了一个集系统建模、分析、制造和维修计划与调度、设计和控制于一体的数学工具^[6]。鉴于Petri网具有用很强图形和数学表达方式，能有效说明工序之间相互关系，模糊集具有很好地表达不确定工时的优势^[7-9]，同时，为了避免涉及复杂多变的模糊算法，本文作者提出Petri网建模理论和模糊模拟技术相结合(Petri net and fuzzy simulation，PNFS)的方法构建一个协同维修进度预测模型，通过在CPN Tools平台下进行PNFS模型仿真运算，不仅能够实现工序衔接时机和完工可信性分析，而且不需要利用模糊合成算法，避免运算规则的差异带来的问题。

1  相关概念和定义

1.1  Petri网

Petri网是一种网状信息流模型，包括库所和变迁2类节点，在库所和变迁为节点的有向二分图基础上添加表示状态信息的托肯(Token)分布，并按引发规则使得事件驱动状态演变，从而反映系统动态运行过程。一个Petri网的形式化定义表述为以下六元组^[6]：

其中：为有限库所集；为有限变迁集；，；为节点流关系集，即为有向弧集(“×”为笛卡儿积)；K:P→Z⁺，其中Z⁺={1，2，3，…}，K是上的容量函数；M:P→Z⁰，其中Z⁰={0，1，2，3，…}，M为一个状态标识的充分必要条件是：对于，都有M(p)≤K(p)，M₀称为的初始标识。

1.2  模糊工期

常用的模糊工序工期语言表述有“大约几个星期”、“多少天左右”等等，以这些工期为论域，记作U。论域U上的一个模糊子集，记为，u_A为模糊子集的隶属函数(这里的“/”及“∫”不是通常意义下的分数线和积分，它们分别表示论域U的元素x与隶属度u_A(x)的总括^[7])。对于任何的，都存在1个数作为第i个工序的模糊工期ξ_i的隶属函数^[8]：

           (1)

式中：a_i表示第i个工序的乐观工期；b_i表示第i个工序的最有可能工期；c_i表示第i个工序的悲观工期；ξ_i表示第i个工序的模糊持续时间即模糊工期；表示第i个工序的模糊工期ξ_i的隶属函数。由式(1)可得模糊工期为：

  (2)

1.3  可信性测度

为了度量模糊事件，Zadeh分别在1978年和1979年提出了可能性与必要性测度。之后，Liu^[10]在2004年提出了可信性测度。可信性测度具有自对偶性，例如：当一个模糊事件的可能性是1时，该事件未必成立；同样，当该事件的必要性是能发生；但是，若模糊事件的可信性为1时，则必然发生；反之，若可信性为0时，该事件则必不成立。因此，在模糊理论中起概率测度作用的是可信性测度，而不是可能性测度。用可信性度量模糊事件更接近于实际情况。

设ξ是可能空间(Θ，p(Θ)，pos)上模糊变量，其隶属度函数为u(x)。对于非空集合Θ中的任意集合A，模糊事件的可能性测度为 ，必要性测度为，A^c是A的补集^[9]。模糊事件的可信性测度定义为可能性测度与必要性测度的平均值和可信性^[9]，即：

     (3)

1.4  模糊模拟

在模糊系统中，Liu^[9]提出了可以用于计算机运算的模糊模拟技术。现给出模糊模拟技术分析模糊事件可信性计算通式。是定义在可能性空间(Θ，p(Θ)，pos)上的一个模糊向量，分别从Θ中均匀产生θ_k，使得Pos{θ_k}≥ε(其中，ε是充分小的正数)。分别从的ε水平集中均匀地产生u₁，u₂，…，u_n，则v_k=u₁(u_1k)Λu₂(u_2k)Λ…Λu_n(u_nk)(k=1，2，…，N)。其中，u_i分别是ξ_i(i=1，2，…，n)的隶属度函数，记。于是，可信度C_r{f(ξ)≤r}可以通过公式^[11]：

            (4)

来估计计算。

2  基于PNFS的协同维修进度预测 模型

针对传统的模糊Petri网分析方法依托模糊合成规则而造成计算过程复杂、结果不统一的弊端，本文作者提出用于协同过程建模和分析的PNFS方法。PNFS法是由Petri nets和模糊模拟技术的有效集成而产生，弥补现行方法中先采用Petri网建模再进行模糊算法分析产生建模与计算脱节的现象，可以充分发挥Petri网的作用和优势。

2.1  PNFS模型的框架结构

对协同维修过程进行PNFS建模时，基本维修事件通过变迁体现，工序的衔接状态通过库所表现，模糊工期通过变迁模糊时延反映。模糊时延表示在PNFS模型中变迁触发后，Token由弧到达其相应输出库所耗费时间服从三角模糊函数分布。

在建模之前应该明确的内容有：(1) 确定维修任务分解(WBS)结构；(2) 明确子任务的接口关系和各个子任务所包含的基本维修事件；(3) 了解各基本维修事件完成所花的模糊时间。为了明确建模过程，采用案例的形式来说明协同维修任务之间逻辑关系，以离心式水泵检修任务说明。在此实例中，涉及5个子维修过程的工作分解结构中的8项维修基本事件如表1所示。

表1  离心式水泵维修任务分解结构

Table 1  Maintenance work breakdown structure of centrifugal pump

对离心式水泵协同维修过程采用3类基本元素进行描述，如图1所示，离心式水泵检修任务的PNFS模型框架结构由描述工序接口的库所和引发事件驱动的变迁以及相关有向弧组成。当某个库所中有Token时，表明下一个基本事件处于准备状态，即将开始执行；若某个库所没有Token，则不考虑下一个基本事件是否可执行。根据使用功能不同，变迁可分2类：(1) 任务变迁，它描述维修基本事件，是一种延时变迁，在本文中用小方块加对应的基本事件序号表示；(2) 控制变迁，它与逻辑条件验证相关联，是一种瞬时变迁，在文中用小方块加控制字样表示。图1中，控制变迁的作用是选择20%比例执行修复设备的任务(T5)和80%比例执行更换设备的任务(T6)。

2.2  PNFS模型参数设置

为了有效地将Petri Nets和模糊模拟技术进行集成，在PNFS模型中设置相关颜色集、功能函数和ML语言代码。表2给出了离心式水泵检修任务的PNFS模型的相关类型定义。例如， 将描述工序接口的库所装载SITES类型变量，此颜色集由2个元素组成：第1个元素能描述运行到目前状态时对应的最小隶属度；第2个元素能描述运行到目前状态所花时间。为了获得最小隶属度和维修进度对应执行时间，在PNFS模型中，将每个任务变迁都关联一个代码部分(Code segment)。每个代码部分由输入(input)和输出(output)以及作用段(action)组成^[12]。输入(input)变量为一个SITES型，其值反映了执行此任务前对应的最小隶属度和维修时间；输出(input)变量也为一个SITES型，其值反映了执行此任务后对应的最小隶属度和维修时间；作用段(action)采用ML编译语言写均匀取整函数和求隶属度函数，最终实现维修时间合理叠加和隶属度取小的功能。

2.3  PNFS模型执行过程

根据协同维修逻辑关系，对于离心式水泵协同维修的PNFS模型，其仿真流程流程图如图2所示。

在PNFS模型1次仿真过程中，当执行完第1个任务后，对应的库所A中有1个Token，它是以1个SITES类型变量呈现；此变量的第2个元素反映了执行第1个任务所花时间t₁，此变量的第1个元素反映了t₁时间对应的隶属度u₁；当执行完第2个任务后，库所A中Token转移到库所B中，此时，Token中的第2个元素反映了前2次执行任务后所花时间t₁+t₂，此变量的第1个元素值等于取2次执行任务对应的2个隶属度中较小1个，即取min{u₁，u₂}；随着维修任务的继续进行，当完成第i个任务后，对应的库所中变量的第1个元素是min{u₁，u₂，…，u_i}；同时，在完成第i个任务后，对应的库所中变量的第2个元素是从维修开始到第i个任务完成后维修时间的叠加，即为t₁+t₂+…+t_i；当最后一个任务执行完后，在结束库所变量中，第1个元素是min{u₁，u₂，…，u_i}，第2个元素是完成全部的维修任务所花时间t₁+t₂+…+t_n。在此基础上，通过N个仿真分析记录相应的维修时间和隶属度。例如：当第k次仿真结束后，在结束库所变量中，第1个元素为v_k=min{u_1k，u_2k，…，u_nk}，第2个元素是完成全部的维修任务所花时间f(ξ(θ_k))=t_1k，t_2k，…，t_nk。于是，根据式(4)可以获得相关可信性估计值。

图1  离心式水泵检修任务的PNFS模型

Fig.1  PNFS model for maintenance tasks about centrifugal pump

表2  离心式水泵检修任务的PNFS模型的相关类型定义

Table 2  Types and definitions related PNFS model for centrifugal pump maintenance tasks about centrifugal pump

图2  离心式水泵检修任务的PNFS仿真流程图

Fig.2  Flow chart for PNFS simulation about maintenance tasks about centrifugal pump

3  维修进度预测

有了上述模型基础，通过文献[13]提供的CPN Tools软件仿真分析方法，可设置一定监控模块对维修进度进行静态和动态分析。静态分析包括：估计整个维修活动在规定的时间完成的可能性、必要性和可信性；动态分析包括：随着维修活动的进行，将已结束的维修工期放入其中，对协同维修过程的工序衔接时机跟踪与预测分析。

3.1  工序衔接时机分析

通过5 000次模拟仿真，记录每次仿真过程中各项维修任务开工时间，分析每项维修任务与紧前工序和紧后工序衔接的时间规律，可以有效把握协同维修工序衔接时机。此外，对于存在多个紧前工序的维修任务衔接时机进行分析时，除了了解该维修任务开工时间，还需要了解最终决定该维修任务开工时间的紧前工序，即明确最后一个完成的紧前工序。

为了突出重点、简化分析，这里仅以水泵重装(T7)时机为例说明工序衔接的时间规律。引入统计学中累积频度法，可描述出水泵重装(T7)衔接时机的统计结果见图3和图4。从如图3所示的水泵重装开工时间统计可信性直方图可以看出：在整个维修工作进行到1 270~1 570 min水泵重装(T7)开工时机的可信性为60%，并且在1 390~1 450 min内开始水泵重装可信性最高。紧前工序对水泵重装(T7)开工时机的影响比例如图4所示。从图4可见：在紧前工序影响水泵重装开工时机的比例饼图中，水泵重装开工时间82%由叶轮、轴和轴承组件检修(T4)的完成时间决定，17%由泵体组件检修(T3)的完成时间决定，1%由密封圈更换(T5)的完成时间决定。

3.2  完工可信性分析

通过5 000次模拟仿真，记录每次仿真过程中最后维修任务结束时间，了解整个维修任务完成的时间规律，分析离心式水泵检修任务在规定的期限内完工的可信度，如图5所示。由图5可见：随着时间的增大，完工可信度越来越高；当规定期限为2 910 min时，在此时间内完工的可信度达到92%。

图3  水泵重装(T7)开工时机的可信性直方图

Fig.3  The credibility histogram of the start time about pump reload (T7)

图4  紧前工序对水泵重装(T7)开工时机的影响比例

Fig.4  Influence scale of the last working procedures about pump reload (T7)

图5  总维修工期的完工可信性曲线

Fig.5  Completing credibility curve of total maintenance duration

4  结论

(1) 在协同维修过程中各工序间相互配合，存在一定的衔接和逻辑关系，同时，维修工期具有模糊性的特点，结合Petri网理论、CPN建模语言、模糊模拟技术及可信性理论形成基于PNFS法的协同维修进度预测模型。

(2) 该模型很好地描述了维修过程中工期的模糊表达和各工序的衔接关系，通过仿真模拟计算各工序可能执行的时间及相应的隶属度，避免传统模糊Petri网模型进行模糊时间合成时采用复杂运算规则的不足。

(3) 所建立的进度预测模型能够用于分析协同维修点内外工序衔接的时间规律以及确定维修活动在一定约束条件下完工的可信性，这有助于调整和组织安排各工序的实施以及对维修资源进行优化配置，更好地对维修进度进行规划、控制和管理。

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(编辑 陈灿华)

收稿日期：2010-10-28；修回日期：2011-01-12

基金项目：总装备部技术基础项目(4314231428)；海军工程大学基金资助项目(HGDSK2008E27)

通信作者：杨元(1982-)，女，湖北洪湖人，博士研究生，从事维修保障规划的研究；电话：13437179776；E-mail：yyuan200581@126.com