DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.10.035

基于全尺度线热源解的地热换热器集群的温度响应

李平¹，李旻¹，马卫武¹，肖莲荣²

(1. 中南大学 能源科学与工程学院，湖南 长沙，410083；

2. 湖南亚华乳业有限公司，湖南 长沙，410013)

摘要：针对地热换热器集群的跨尺度传热难题，运用匹配渐进展开法和叠加原理，构建全尺度线热源解。计算2种钻孔布置形式(单行和矩阵)的温度响应，分析钻孔间距对地下温度演化过程的影响。从工程应用的角度探讨简化计算地热换热器集群平均温度的问题。研究结果表明：所提出的全尺度线热源解扩展了国内外现有解析解的适用范围。

关键词：地源热泵；地埋管换热器；温度响应函数；全尺度模型

中图分类号：TU833⁺.3             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2017)10-2817-06

Temperature responses of ground heat exchanger clusters based on full-scale line-source solution

LI Ping¹, LI Min¹, MA Weiwu¹, XIAO Lianrong²

(1. School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

2. Hunan AVA Dairy Industry Co.Ltd., Changsha 410013, China)

Abstract: In order to tackle the problem of heat transfer of GHE spanning diverse time-space scales, a full-scale line-source solution was reported for heat transfer of ground heat exchanger (GHE) clusters, which was an analytical solution that was developed from the method of matched asymptotic expansions and the principle of superposition. Temperature-response curves of line- and matrix-arranged GHE clusters were presented and the impact of borehole spacing on temperature evolution in the ground was analyzed. The results show that full-scale line-source solution simplify the calculation temperature range of GHE clusters.

Key words: ground-coupled heat pumps; borehole ground heat exchanger; temperature responses function; full-scale line-source model

地埋管换热器传热是一个复杂的非稳态过程，涉及的时间长、空间大：从厘米级的埋管管径到上百米的换热器群的横纵向尺寸，共跨4个数量级，对应的时间尺度则跨8个数量级(数分钟到数十年)^[1-2]。大规模地热换热器集群的传热分析(无论是实验还是理论研究)的主要问题是如何高效地求解这个时空尺度跨度大的难题。地热换热器的传热分析常将传热热阻以钻孔壁为界分为稳态与非稳态2部分。计算钻孔内稳态热阻的模型包括经验与理论模型2类。最典型的经验模型采用“当量直径”的概念^[3]。经验公式简单易用^[4-5]，但缺乏传热理论基础，不具有普适性。理论热阻模型包括二维模型和准三维模型^[6-8]。常见的二维模型有基于稳态线热源解和multipole解2类。准三维模型能计算流体温度沿钻孔轴向的变化，是对二维模型的进一步修正^[6-8]。钻孔外的非稳态热阻归结为对温度响应函数(G函数)的计算。INGERSOLL等^[9]提出的无限长圆柱模型与无限长线热源模型已被广泛采用和拓展^[10-11]。例如，基于镜像法的有限长线热源模型能考虑钻孔端部效应^[12-13]，适用于长时间的传热过程；运用移动热源法能够估算地下水渗流的影响^[14-15]；基于NEUMANN方法，无限长线热源解被扩展并用于计算地下水凝固与融化的影响^[9]；结合叠加原理还可以计算变负荷工况等^[16-17]。这些传热模型存在明显局限性，即钻孔内的稳态传热假设不适合计算短时高频温度响应。高频温度响应受钻孔内介质的热容影响，与地源热泵的峰值温度、最优控制和逐时能耗分析等问题密切相关，是该领域的研究热点和难点^[18-21]。其难点在于涉及复合介质和不规则几何形状。目前，国内外广泛采用的方法是数值解法和简化问题的几何形状。常用的简化仍是“当量直径”假设^[18-21]。为了抛弃这个经验性假设，LI等^[22-23]提出复合介质线热源模型，较好地解决了计算高频温度响应的难题。基于复合介质线热源解，进一步构建适用于所有重要时空范围的全尺度线热源模型^[2]和对应的准三维模型^[24]。但是，该模型只适用于单个地埋管换热器，不能考虑多个钻孔之间的影响。为此，本文作者进一步拓展全尺度线热源模型，使其能考虑钻孔间的影响，从而为地热换热器集群的设计和分析提供更可靠的参考依据。

1  全尺度线热源模型的拓展

全尺度线热源模型将地埋管换热器换热过程以U型管壁壁面为界分为2部分(见图1)：U型管壁面外(包括钻孔内回填材料部分)的非稳态传热过程和U型管内的准稳态传热过程。全尺度模型实际上综合了地埋管换热器的3个解，即适用于短时间的复合介质线热源解G_i，适用于长时间的有限长线热源解G_o和适用于中间时间的无限长线热源解G_m^[2]：

             (1)

其中：G为单位阶跃负荷下的温度响应函数，其量纲与热阻的相同。复合介质线热源解G_i的出发点是将U型管管脚(不是钻孔)近似为复合介质中的线热源^[23]。简而言之，复合介质就是不同区域传热介质不同。因为地埋管换热器钻孔内外的介质不一样，所以，这是1个复合介质中的导热问题。G_i的推导过程见文献[23-24]。

图1  地热换热器的复合介质线热源假设示意图

Fig. 1  Assumption diagrams of composite-medium line-source for one and two U-shaped ground heat exchangers

对于单U型埋管：

    (2)

对于双U型埋管：

      (3)

式中：t为时间；k_b为回填土热传导系数，W/(m²·℃)；a_b为回填土的热扩散系数；r’为线热源的径向位置；r_A和r_B分别为图1中A和B点的径向坐标；u为积分变量；

    (4)

    (5)

    (6)

     (7)

式中：r_b为钻孔半径；J_n和Y_n分别为第一类和第二类n阶贝塞尔函数；在方程(2)和(3)中，n分别为2i和4i，i为式中求和的指标；a为量纲一热扩散系数，a= (a_b/a_s)^1/2；a_s为土壤热扩散系数；k为量纲一热传导率，k = k_s/k_b；k_s 为土壤热传导系数(W/(m²·℃))。

G_o为适用于长时间的传统有限长线热源解，其表达式如下：

        (8)

式中：z′为沿z轴的积分变量；H为钻孔高度；erfc(x)为补余误差函数；G_m为适用于中间时间的无限长线热源解，

  (9)

式中：u为积分变量。

求得G(t)后，U型管壁面温度可表示为

           (10)

单位阶跃冷热负荷下循环水温度响应可用下式 表示：

         (11)

其中：T_s,0为地下土壤的初始温度；R_p为U型管的热阻，

          (12)

k_p为U型管热传导率；α为热对流系数；r_o 和 r_i分别为U型管管脚的外径和内径。对于单U型管地埋管排布形式，N=2；对于双U型地埋管排布形式，N=4。

与传统的模型相比，全尺度模型适用于整个地埋管使用年限的时-空尺度，且该模型不含任何经验假设，具备完整的理论基础。但是，该模型只适用于单个地埋管换热器，不能考虑多个钻孔之间的影响。

根据叠加原理，地下任意点的温度响应都可表示为各钻孔在该点激发的温度响应的叠加。全尺度线热源模型以单个钻孔为研究对象，为了考虑周围钻孔的影响，需加上周围钻孔在该钻孔温度响应的叠加。此时，周围钻孔可以近似为有限长线热源模型。这样，由周围M-1(i = 1，…，M-1)个钻孔累加引起的温度响应为

      (13)

式中：M为钻孔个数；r_i为钻孔间距离；z′为沿z轴的积分变量；H为钻孔高度；erfc(x)为补余误差函数。全尺度G函数拓展为以下形式：

         (14)

值得注意的是：本文采用的有限长线热源模型涉及二重积分，计算量较大。CLAESSON和JAMED^[25]提出1个简化表达式，将二重积分简化成一重积分。这两者是等价的，都可用在本文提出的全尺度线热源模型中。

2  结果与讨论

用上述拓展的全尺度线热源模型计算几种常见的钻孔布置形式的地下温度响应，其中r_b/H=0.0012, k = k_s/k_b =2, a = (a_b/a_s)^1/2 =0.5，结果如图2~5所示(其中，横坐标是量纲一时间Fo，；图2所示为2种“一”字型钻孔布置形式的地下温度响应；图3~5所示为矩形钻孔布置形式的地下温度响应)。

在给定半径和钻孔长度的比率r_b/H、地下土壤和钻孔填充材料的热扩散率比的开方a、热传导率比k以及钻孔数量情况下，观察钻孔间距不同时中间位置某一钻孔的地下温度响应G函数的变化。由图2和图3可知：地下温度响应G函数主要受钻孔间距B的影响； 前期地下温度响应G函数不随B的变化而变化，并保持与单钻孔结果一致；中期开始B较小的温度响应曲线先与单钻孔曲线分离并升高，随后各情况下的温度响应曲线都与单钻孔曲线分离并出现上升趋势； B越小，温度响应曲线分离越早，上升梯度越大；B越大，温度响应曲线分离越迟，上升梯度较小。当时间足够长时，地下换热过程达到近似稳态，温度响应趋于某定值。B决定了达到稳态时的温度。B越小，达到稳定后的地下温度响应越大；B越大，达到稳定后的地下温度响应越小。另外，当B接近无穷大时，温度响应曲线将不会分离而与单钻孔温度响应曲线重合。由此可见，B不仅决定了分离先后和地下温度响应上升梯度，而且决定了达到稳态时温度，间距越大，热阻越小。

图2  直线排布的地埋管换热器集群的温度响应

Fig. 2  Temperature responses of line-arranged ground heat exchanger clusters

图3  钻孔数量与间距对地埋管集群温度响应的影响

Fig. 3  Influence of borehole number and spacing on temperature responses of ground heat exchangers

在给定r_b/H，a，k和B时，观察不同排布方式下中间位置某一钻孔的地下温度响应G函数的变化。从图4可知：地下温度响应G函数主要受钻孔数量的影响；当B相同时，钻孔数量越多，地下温度响应G函数越大；反之，则地下温度响应G函数越小。

图4  矩阵排布的地埋管集群的温度响应

Fig. 4  Temperature responses of matrix-arranged ground heat exchanger clusters

对比图5中不同位置的钻孔温度响应可以发现不同位置钻孔的温度响应均不相同。中心孔的温度响应最高，这是因为中心孔散热条件最不理想；钻孔集群外围钻孔的温度响应最小，因为它的位置决定其受其他钻孔影响最小；中间位置的钻孔温度响应则介于两者之间。

实际运用时，建议选用中间位置的钻孔来近似计算平均温度，这样既能简化计算，又能满足实际工程要求。若选用中心孔作为计算参考点，则会过高估计其地下温度响应，在设计计算中，依此所得的钻孔长度比实际需求的长很多；选用钻孔集群外围的钻孔作为计算参考点时，计算的地下温度响应偏低，导致设计计算时钻孔长度达不到实际需求。这2种情况都应该避免。

短时高频温度响应不受钻孔之间换热的影响，因而，在计算短时高频温度响应时，可用原全尺度模型。但中长期的地下温度响应受钻孔换热影响较大，因此，考虑中长期的地下温度响应时必须考虑钻孔间热干扰的影响。

值得注意的是，本文提出的拓展的全尺度G函数只考虑了钻孔之间距离的影响，而没考虑钻孔排布角度的影响，这样简化会不可避免地导致计算值与实际值之间存在误差。但从工程应用角度，人们关注的是地热换热器的平均温度响应，因此，这些误差应该在可接受的范围之内。另外，拓展的全尺度G函数模型不能考虑其他影响因素对地下换热过程的影响，如地下渗流、水分迁移等。

图5  矩阵排布钻孔群中不同钻孔的温度响应(B=4)

Fig. 5  Temperature responses of boreholes in a matrix-arranged borehole cluster (B=4)

3  结论

1) 拓展的全尺度线热源模型综合了复合介质线热源解、有限长线热源解、无限长线热源解，既能处理地下短期、中期、长期地下换热过程，又能考虑钻孔之间换热过程的理论解。

2) 在实际工程计算中，可选用中间位置钻孔的温度来近似作为整个地下的平均温度，既能满足实际工程需要，又能简化计算。

3) 拓展的全尺度G函数在考虑钻孔之间换热影响时只考虑了钻孔之间的距离，而没考虑钻孔排布角度的影响，这会不可避免地造成一定误差，但这些误差在可接受的范围之内。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2016-11-12；修回日期：2017-01-10

基金项目(Foundation item)：国家科技支撑计划项目(2012BAD12B04)(Project (2012BAD12B04) supported by the National Key Technology R&D Program of China)

通信作者：李旻，博士，副教授，从事新能源和环境领域的工程热物理问题研究；E-mail: cnlimin@csu.edu.cn