一种混凝土桥梁时变体系可靠度分析方法

田浩^{1, 2} ，陈艾荣²，楼慧元¹

(1. 浙江省交通科学研究所，浙江 杭州，310006；

2. 同济大学 土木工程学院，上海，200092)

摘要：提出一种基于有限单元法和Monte-Carlo模拟相结合的劣化环境作用时混凝土桥梁时变体系可靠度分析方法，明确并解决结构性能演变模拟和体系可靠度分析中的一些关键问题。根据已有研究成果中给出的基于有限元的分析方法利用FORTRAN 95编写分析程序——混凝土桥梁耐久性分析系统CBDAS来进行结构性能演变过程；提出一种基于结构超静定次数的体系失效模式确定方法，并利用MATLAB编写了分析程序SRMCS来计算结构的体系可靠度。结合结构性能演变模拟和体系可靠度分析给出混凝土桥梁时变体系可靠度的计算方法。最后，利用3个算例分别演示了程序CBDAS，SRMCS以及两者相结合时的分析功能。

关键词：混凝土桥梁；劣化环境；性能演变；体系可靠度；有限单元法；Monte-Carlo模拟

中图分类号：TU375.4         文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)01-0346-10

An approach for evaluating time-variant system reliability of concrete bridges

TIAN Hao^{1, 2}, CHEN Ai-rong², LOU Hui-yuan¹

(1. Zhejiang Scientific Research Institute of Communication, Hangzhou 310006, China;

2. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract: A finite element- and Monte-Carlo simulation-based computational methodology was proposed to evaluate the time-variant system reliability of concrete bridges exposed to aggressive environments. Some essential ingredients involved in the simulation of the lifetime performance and the system reliability were figured out and solved. As for lifetime performance, based on the finite element-based method proposed in previous studies, a program named CBDAS (Concrete Bridge Durability Analysis System) was written in FORTRAN 95 to perform the time-variant performance assessment. In the case of system reliability, a technique for searching the structural failure modes based on the degree of static indeterminacy of the structure was presented, and a program named SRMCS (System Reliability by Monte-Carlo Simulations) was written in MATLAB to evaluate the structural system reliability. As a result, the computational methodology for computing the time-variant system reliability of concrete bridges was set up associated with the solutions of the lifetime performance and the system reliability. Finally, three numerical examples were illustrated to display the functions of CBDAS, SRMCS, and the combination of the two analysis tools.

Key words: concrete bridges; aggressive environments; lifetime performance; system reliability; finite element method; Monte-Carlo simulation

混凝土桥梁由于其较低的造价广泛应用于世界各地^[1]。但近20年来，许多处于劣化环境中的混凝土桥梁由于钢筋锈蚀而导致结构性能出现不同程度地退化。因此，有必要采取适当的加固措施以改善结构性能^[2]。合理的加固方案应建立在准确评估寿命期内结构性能演变过程的基础上；此外，由于结构构造、荷载、材料特性和环境条件中固有的随机性，结构性能演变应是基于概率分析的^[3]。由于能够综合考虑结构性能演变和随机性，时变体系可靠度已成为衡量寿命期内结构整体力学性能变化的一个重要指标^[4]，并广泛应用于不同类型结构的性能演变分析中^[5-12]。但是，现有分析方法仍未很好地解决以下问题：(1) 由于影响结构性能演变的一些关键因素如混凝土截面削弱等力学问题没有考虑，劣化环境对结构整体性能的影响还无法准确模拟；(2) 体系失效模式(即整体结构失效与单个构件失效的关系)还无法明确给出；(3) 单个构件失效模式之间的相关系数很难确定，故在现有研究中通常采用假定值。本文作者提出一种基于有限元和Monte-Carlo模拟相结合的混凝土桥梁时变体系可靠度计算方法。结构性能演变方面，根据已给出的混凝土桥梁性能演变分析方法编写了程序CBDAS (Concrete bridge durability analysis system)；体系可靠度方面，给出了一种体系失效模式的确定方法，编写了程序SRMCS(System reliability by Monte-Carlo simulation)。最后，通过3个实例分别演示了CBDAS和SRMCS以及这2个程序相结合时的分析功能：算例1利用CBDAS研究1座钢筋混凝土连续梁桥在氯离子侵蚀作用下给定寿命期内的结构性能演变过程；算例2利用SRMCS演示1个两层桁架的体系可靠度求解过程；算例3结合CBDAS和SRMCS求解算例1中模型梁的时变体系可靠度。

1  结构性能演变

在劣化环境下混凝土桥梁寿命期内的结构性能演变会十分显著。换言之，随着时间的推移，单个构件的抗力会逐渐减小，而同时构件上的荷载效应会不断变化。在过去的几十年中，许多学者开展了不同类型结构的性能演变分析^{[5-8, 13-16]}。引起结构性能演变的主要因素是材料特性退化和截面面积减小，因此，性能演变分析中的关键问题是：(1) 材料性能退化；(2) 截面面积削弱；(3) 结构整体力学性能演变。而后2个问题又可被进一步分为钢筋截面削弱和混凝土截面削弱以及构件抗力退化和构件荷载效应演变。本文作者对以上问题进行了分析并给出了具体解决方法^[14]，这里仅给出分析程序CBDAS的具体流程，如图1所示。

2  体系可靠度

结构体系可靠度从概率的角度给出了结构不发生破坏的条件。为了较准确地计算体系可靠度，应建立一种“结构—构件—结构”的分析方法。该方法可分为2步：(1) 结构向构件的演绎分析；(2) 构件向结构的归纳分析。第1步是指根据结构造型、外荷载、施工方法以及环境条件通过整体结构分析得到所有构件的荷载响应，进而求出单个构件可靠度；第2步是指根据整体结构与单个构件之间的受力关系确定体系失效模式。最后，利用构件可靠度和体系失效模式求出整体结构的体系可靠度。

2.1  现有主要分析方法

目前常用的结构体系可靠度分析方法是：荷载增量法和串-并联模型法。

2.1.1  荷载增量法

荷载增量法^[17-18]的目的是根据构件的抗力确定结构体系抗力的表达式^[3]。在该方法中，通过确定从第1个构件失效到整体结构失效的加载路径来定义体系失效模型，并得到体系失效表达式^[18]如下：

              (1)

式中：C_jk为第k个构件在第j个体系失效模式中的参与程度系数；R_k为第k个构件的抗力；S_j为第j个体系失效模式下的荷载项；失效方程g_j＜0意味着第j个体系失效模式发生。体系可靠度R_s可表示为：

          (2)

式(1)是一个极限状态方程，根据该方程可通过直接积分法或Monte-Carlo模拟求出体系可靠度。在该方法中，结构到构件的演绎和构件到结构的归纳都隐含在确定第1个构件失效到整体结构失效的加载路径的过程中。荷载增量法可用来求解一些简单结构的体系可靠度，但在面对复杂结构时很难找出所有的体系失效模式，而且确定加载路径的过程也很繁琐，因此，该方法不利于求解复杂结构的体系可靠度。

2.1.2  串-并联模型法

另一种常见的体系可靠度计算方法是串-并联模型法^[19]。该方法的目的是将整个结构简化成一个串-并联模型。体系可靠度就是串-并联模型、所有构件失效模式的可靠度以及构件失效模式之间相关系数的函数^[12]。串联模型的体系失效概率可表示为：

          (3)

其中：P_s为体系失效概率；g_i为第i个构件失效模式的极限状态方程。并联模型是指包含其中的所有构件均失效时体系才失效，其失效概率可表示为：

          (4)

图1  CBDAS的分析过程

Fig.1  Analysis procedure of CBDAS

实际上，大部分结构都是串、并联并存的组合模型。串-并联模型法较全面地考虑了整体结构失效和单个构件失效之间的关系，故较好地解决了构件到结构的归纳分析问题。此外，结构到构件的演绎分析可利用有限元方法或直接根据规范中的数值公式加以解决。但是，该方法的缺点是难以确定构件失效模式之间的相关系数。因此，在现有研究中相关系数通常采用假定值，而主观假定则可能引起较大的计算误差。

2.2  基于Monte-Carlo模拟的分析方法

为了更准确地求解结构体系可靠度，本文给出一种基于Monte-Carlo模拟的分析方法。该方法可分为2个部分：构件可靠度计算方法和体系失效模式确定方法。前者的主要目的是根据结构构造、外荷载、施工方法和环境条件利用有限元方法进行结构到构件的演绎分析，得到所有构件的荷载效应和抗力；后者则是通过整体结构与单个构件之间的受力关系来确定体系失效模式。

2.2.1  构件可靠度

求解构件可靠度的2个关键因素是极限状态方程和分析方法。构件失效模式i可表示为：

               (5)

其中：q_i为与失效模式i相关的一系列物理量；R_i为构件失效模式i的抗力；S_i为构件失效模式i的荷载效应。这里利用前面给出的基于有限元的分析方法计算R_i和S_i。构件可靠度的分析方法众多，例如：一次二阶矩法(FORM)^[20]或二次二阶矩法(SORM)^[21]。FORM和SORM可以较快地求出构件可靠度，计算效率较高，但计算精度有时无法保证。此外，Monte-Carlo模拟可以直接准确地求出单个构件的失效概率从而得到相应的构件可靠度，故本文将采用Monte-Carlo模拟法求解构件可靠度。

2.2.2  体系失效模式

为了找出体系失效模式，必须要确定整体结构和单个构件之间的受力关系。也就是说，当单个构件的失效模式发生时整体结构要确定是否仍然处于安全状态。本文给出了一种基于结构超静定次数的体系失效模式确定方法，具体可分为如下3步：

(1) 根据结构的初始超静定次数和专家意见确定结构的最小超静定次数，其值应在0与初始超静定次数之间。

(2) 根据结构构造确定体系失效模式。体系失效模式包含若干子集，每个子集又包含若干构件失效模式。结构的整体和局部受力特性均包含在这些子集中。明确构件子集的原因是局部破坏同样可能引起整体结构失效，同时引起局部破坏的构件失效模式个数可能小于引起整体结构破坏的构件失效模式个数。需要注意的是：任意一种体系失效模式至少含有1个构件子集，其中包含了结构中的所有构件失效模式。此外，同一个构件失效模式可以出现在不同子集中。

(3) 确定每个子集中会引起体系失效的最小构件失效模式个数。对于包含了所有构件失效模式的子集，引起体系失效的最小构件失效模式个数为：

              (6)

式中：N_s为引起体系失效的最小构件失效模式个数；D_o为结构的初始超静定次数；D_a为给定的结构最小超静定次数。对于其他子集，其最小构件失效模式可根据局部构造和专家意见确定，同时其值均应小于N_s。

在第i次的确定性分析中，任意子集中发生的构件失效模式个数等于或大于其最小构件失效模式个数时，结构体系将失效。

下面通过1个单层桁架来演示如何确定体系失效模式，桁架的具体布置如图2所示(图中P为外荷载；L为桁架跨径)。桁架由5根杆件(构件)组成，结构初始超静定次数为1。根据每根杆件的受力状态考虑其轴向受拉或受压破坏，因此，共有5种构件失效模式。根据给出的体系失效模式确定方法，该模型可考虑2种体系失效模式，但其构件子集都只有1个，即包含了所有的构件失效模式。2种体系失效模式的区别是指定的最小超静定次数不同：如果最小超静定次数取为0，那么，最小构件失效模式个数即为2；但是，如果根据专家意见该结构需要更保守的设计，那么，最小超静定次数定为1，最小构件失效模式个数为1。这时，该结构类似于1个串联体系，因为任意一个构件失效模式的发生将引起结构体系失效。

图2  单层桁架布置

Fig.2  Layout of one-story truss

2.3  分析工具——SRMCS

结合构件可靠度分析方法和给出的结构体系失效模式确定方法，利用MATLAB编写了分析程序SRMCS。图3所示为体系可靠度分析方法的具体流程。图3中：n为样本点个数；m为构件失效模式个数；n_s为构件子集个数，每个子集中包含若干个构件失效模式；N_a,k为子集k中引起体系失效的最小构件失效模式个数；N_f,k为子集k中发生的构件失效模式个数；P_f,j为构件失效模式j的失效概率；P_sys为体系失效概率。

3  实例分析

这里给出了3个算例分别演示CBDAS和SRMCS以及两者相结合时的分析功能：算例1利用CBDAS研究1座钢筋混凝土连续梁桥在氯离子侵蚀作用时的结构性能演变过程；算例2利用SRMCS演示了1个2层桁架的体系可靠度分析过程；算例3结合程序CBDAS和SRMCS分析算例1中模型梁的时变体系可靠度。

图3  体系可靠度的分析流程

Fig.3  Schematic for calculating system reliability

图4  钢筋混凝土连续梁桥构造

Fig.4  Profile of reinforced concrete continuous bridge

3.1  算例1：钢筋混凝土梁桥

算例1利用程序CBDAS分析1座钢筋混凝土连续梁桥的性能演变过程。该桥于2007年建成，是1座3×22 m三跨钢筋混凝土连续箱梁桥，如图4所示。由于该模型梁靠近海边，空气中的氯离子浓度较高，因此，环境作用将考虑氯离子侵蚀引起的钢筋锈蚀。主要设计参数取值见表1。

表1  主要设计参数取值

Table 1  Values of major parameters

需要注意的是同一截面各个方向的氯离子浓度是不同的，因此，在分析中采用如下假设：(1) 面向大海的边缘5，6和7上的氯离子浓度取表1中浓度的100%；(2) 背向大海的边缘1，2和3上的氯离子质量浓度取表1中质量浓度的70%；(3) 边缘4，8，9和10上的氯离子质量浓度取表1中质量浓度的85%；(4) 内表面的边缘上氯离子质量浓度等于相应外表面上氯离子质量浓度的50%。给定使用寿命和单位计算时间分别为100 a和10 a。

图5所示为模型梁中跨跨中处混凝土截面所有边缘在退化过程中的3个关键时间。从图5可以看出：由于各个边缘上的设计参数不同，其退化关键时间差异明显。最短的关键时间出现在边缘7，分别为19，22和24 a。这是因为边缘7拥有最薄的保护层厚度、最高的氯离子质量浓度和最大的钢筋直径。相反，边缘18的关键时间是所有边缘中最长的。此外，在所有的18条边缘中有10条边缘的钢筋开始锈蚀时间小于   100 a，所以，钢筋锈蚀和混凝土截面削弱只发生在这10条边缘上。与相应的外表面边缘相比，内表面边缘由于较低的氯离子质量浓度其关键时间相对较长。最后，所有边缘的3个关键时间之间的时间间隔都很短，这意味着在氯离子侵蚀作用下钢筋锈蚀速率相当快。

图5  退化过程中的关键时间

Fig.5  Critical times in degradation times

图6所示为模型梁两关键位置处竖向位移随时间的演变过程。这里沿着整体坐标系y轴正向的位移定义为正值。在最初10 a，由于混凝土徐变收缩作用竖向位移变化明显。当考虑环境作用时，竖向位移的演变过程可概括为：(1) 在10~20 a间，竖向位移的变化很小，这是由于混凝土徐变收缩作用逐渐减小而大部分钢筋还未开始锈蚀；(2) 从20~100 a间，竖向位移又开始明显改变，这是因为钢筋锈蚀和混凝土开裂引起的钢筋和混凝土截面的削弱。当不考虑环境作用 时，2个关键位置处的竖向位移在成桥10 a后基本保持不变。

图6  关键位置处竖向位移演变过程

Fig.6  Variations of vertical displacements at critical locations

图7所示为2个关键位置处截面弯矩随时间的变化过程，这里引起混凝土截面下缘受拉的弯矩假定为正。从图7可以看出：弯矩的变化规律与竖向位移类似。但是，弯矩随时间不是单调变化的。这是因为：(1) 混凝土截面削弱会引起截面中性轴的变化；(2) 钢筋和混凝土截面削弱会引起截面内力重分布；(3) 混凝土截面削弱会引起结构自重变化。在以上3个因素的交互作用下，截面弯矩就可能随时间增加或减小。

3.2  算例2：2层刚桁架

算例2利用程序SRMCS分析了1个2层钢桁架(图8)的体系可靠度。其中构件的抗力R₁, R₂, …, R₁₀和外荷载P定义为随机变量。假设该算例中的所有随机变量均服从正态分布，相关系数均为10%。所有构件的弹性模量和截面面积的均值分别为200 GPa和  3 000 mm²，材料极限抗拉和抗压强度均值为335 MPa，外荷载的均值为200 kN。在本算例中应考虑10个构件失效模式，即10个构件的轴拉(压)破坏。利用给出的分析方法确定了该模型的体系失效模式，其中关键参数见表2。Monte-Carlo模拟的样本点数量为200 000。

图7  关键位置处截面弯矩演变过程

Fig.7  Variations of flexure moments at critical locations

图8  2层钢桁架：构造和荷载

Fig.8  Two-story truss: geometry and loading

表2  两层钢桁架体系失效模式的关键参数

Table 2  Critical parameters related to system failure modes of two-story truss

可靠度计算结果见表3。当最小超静定次数由0增加到2时，体系可靠度由4.06减小到3.01。因此，结构体系失效模式对体系可靠度的影响明显。对于一个实际结构，体系失效模式应由结构构造、结构重要性程度和专家意见等因素综合决定。此外，最小构件可靠度为3.13，出现在构件5。第3种体系失效模式下的体系可靠度略小于最小构件可靠度，类似于一个串联体系。

表3  构件和体系可靠度

Table 3  Component and system reliabilities

为了研究单个构件抗力对整体结构的影响，这里进行了参数敏感性分析。杆件截面面积A₁，A₂和A₃将作为变化参数，故共考虑3种工况。在第i个工况中，假定A_i的均值分别为3 000 mm²，(3 000±500) mm²和(3 000±1 000) mm²，其他参数保持不变。这里仅讨论第3种体系失效模式(即给定的最小超静定次数为2)。图9和图10分别所示为体系和构件可靠度随截面面积的变化过程。

图9  不同截面面积下的体系可靠度

Fig.9  System reliabilities of different sectional areas

图10  不同截面面积下的构件可靠度

Fig.10  Component reliabilities of different sectional areas

由图9可以看出：截面面积的减小会显著降低体系可靠度。但是，只有增加A₃(横杆的截面面积)可以提高体系可靠度，这是由于初始模型中的关键构件失效模式出现在横杆(杆件5)。A₁(竖杆的截面面积)和A₂(斜杆的截面面积)增加会降低体系可靠度，这是因为：(1) A₁或A₂的增加会使原先的关键杆件(竖杆)变得相对更弱；(2) 选取的体系失效模式的体系可靠度由模型中最弱的那根杆件决定。此外，如图10所示，关键构件失效模式随着杆件面积的变化而发生改变。例如，当A₁和A₂减小时，关键构件失效模式分别是1和9；同样地，当A₃增加时，关键构件失效模式由5变成1。

3.3  算例3：钢筋混凝土梁桥

算例3结合程序CBDAS和SRMCS分析了算例1中模型梁的体系可靠度随时间的演变过程。结构构造、材料特性、外荷载和环境条件中包含的随机变量的分布类型和特征值见表4。给定使用寿命和单位计算时间分别为100 a和10 a，Monte-Carlo模拟的样本点数量为200 000。

表4  随机变量的统计参数

Table 4  Statistical parameters of random variables

模型梁被划分为21个构件，每跨7个。考虑结构承载能力极限状态下的2种构件失效模式，即弯曲失效和剪切失效。因此，模型梁共有42个构件失效模式，如图11所示。根据给出确定方法，得到体系失效模式的关键参数见表5。这里考虑3种体系失效模式，其给定的最小超静定次数分别为0，1和2。

图12所示为寿命期内不同体系失效模式下的结构体系可靠度随时间的演变过程。体系失效模式2和3下的时变体系可靠度相同，这是因为：(1) 结构中最小构件可靠度出现在边跨；(2) 结构对称。所以，当1个边跨中的某个构件失效模式发生时，其在另一边跨中对称的构件失效模式也会发生。图12中0~50 a间的体系可靠度使用虚线表示，因为用本算例给定的样本点数量(增加样本点带来的时间成本太高)无法求出这段时间内可靠度的具体值。但是，低于容许可靠度指标部分的体系可靠度演变过程才是所关心的部分，如图12中的阴影部分。成桥后50~100 a间，结构真实的可靠度指标应在阴影部分之中。不同体系失效模式下体系可靠度的差异随时间逐渐变小，因为随着时间的推移，越来越多的构件失效模式将发生；另外，在使用寿命末期，所有体系失效模式下的体系可靠度均减小到负值。因此，寿命期内必须采取有效的加固措施改善结构的受力性能。由图12可知：合理的加固时间应在成桥后50 a，这时，结构的体系可靠度即将要减小到失效区域。

图11  构件失效模式

Fig.11  Component failure modes

表5  三跨连续梁体系失效模式的关键参数

Table 5  Critical parameters related to system failure modes of three-span continuous bridge

图12  体系可靠度的演变过程

Fig.12  Variations of system reliabilities

4  结论

 (1) 同一混凝土截面的不同边缘可能拥有不同的退化关键时间，而关键时间又对钢筋和混凝土截面的削弱过程有显著影响。因此，为了较准确地模拟钢筋和混凝土截面的削弱过程，有必要以边缘为基本单位模拟混凝土截面。

(2) 由于包含了施工过程、混凝土徐变收缩和截面面积削弱过程等关键力学问题，本文根据已有的基于有限元的分析方法编写的分析程序CBDAS可以较精确地估计劣化环境作用时混凝土桥梁在寿命期内的结构性能演变过程。

(3) 提出的“结构—构件—结构”的分析方法，能够较精确地求解结构的体系可靠度。这是因为构件失效模式之间的相关系数隐含在结构到构件的演绎分析中，故不需要在分析中再假设其值；构件失效模式的极限状态方程可通过给出的有限元方法得到，而对于复杂结构其很难用显式函数加以表达；构件和体系可靠度采用Monte-Carlo法计算，计算精度较高。

(4) 结合基于有限元的结构性能演变分析方法和Monte-Carlo模拟的体系可靠度计算方法能够得到劣化环境作用时混凝土桥梁的时变体系可靠度。在使用寿命末期体系可靠度降低为负值，所以，应采取必要的加固措施使结构在寿命期内始终保持在良好的工作状态。

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(编辑 杨幼平)

收稿日期：2011-01-28；修回日期：2011-06-30

基金项目：西部交通建设科技项目(200631822302-01)；国家高技术研究发展计划(“863”计划)项目(2007AA11Z104)；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20090072110045)

通信作者：田浩(1982-)，男，陕西西安人，博士，从事混凝土桥梁全寿命设计研究；电话：0571-81594829；E-mail: tongjith@gmail.com