基于非线性漂移Wiener过程的产品实时可靠性评估

王小林，郭波，程志君

(国防科技大学 信息系统与管理学院，湖南 长沙，410073)

摘要：提出基于非线性维纳退化过程评估单个产品实时可靠性的方法。该方法能够有效融合先验信息和产品自身的退化信息。首先，采用非线性维纳过程描述产品性能退化的非线性特征，产品之间的差异通过随机化参数表示。然后，利用两阶段方法估计模型中的未知参数。当获得新的退化数据信息时，根据贝叶斯方法对参数进行更新，进一步实现对产品实时可靠性的评估。最后，通过一个仿真示例以及电容器实例验证文中方法的有效性。研究结果表明：与线性维纳过程相比，非线性维纳过程能够较好地描述产品性能退化的非线性，并能够给出可信的评估结果。

关键词：非线性漂移维纳过程；实时可靠性评估；贝叶斯方法；似然比检验；

中图分类号：TB 114.3          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)08-3203-07

Real-time reliability evaluation for product with nonlinear drift-based Wiener process

WANG Xiaolin, GUO Bo, CHENG Zhijun

(College of Information System and Management, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract: With respect to the Wiener degradation process with a nonlinear drift, a real-time reliability evaluation method for a single product was proposed. This method could effectively fuse the prior information and the product’s own degradation information. Firstly, the nonlinearity of the performance degradation was characterized by a nonlinear drift-based Wiener process and the product-to-product variability was described by random parameters. Then, unknown parameters were estimated by using the two-stage method. When new degradation information was available, parameters were updated by using the Bayesian method. After that, the real-time reliability was further evaluated. Finally, the validity of the proposed method is demonstrated by a simulation case and a capacitor case. Results show that the nonlinearity of the performance degradation can be effectively captured by the nonlinear drift-based Wiener process and reliable evaluation results can be obtained, compared with the linear drift-based Wiener process.

Key words: wiener process with non-linear drift; real-time reliability evaluation; Bayesian method; likelihood ratio test

在利用性能退化数据评估产品可靠性的过程中，一个关键步骤就是退化建模。退化建模质量的好坏将直接影响着评估结果的精度。目前常用的参数化的退化模型主要包括3类：退化轨迹模型^[1-3]、退化量分布模型^[4-6]以及随机过程模型。考虑到产品自身特性以及工作环境的随机性，通常利用随机过程模型来描述产品性能的退化过程。目前在退化建模方面，一类被广泛应用的随机过程模型为线性漂移Wiener过程。如Whitmore^[7]对性能参数进行时间尺度变换后，利用Wiener 过程描述晶体管的退化。Park与Padgett^[8]对碳膜电阻的阻值取对数后，将其退化过程建模为Wiener 过程，并通过加速退化试验分析产品在常应力下的可靠性水平。Tang等^[9]对发光二极管的亮度进行对数变换后，采用Wiener 过程进行建模。Nicolai等^[10]采用Wiener 过程等模型对钢铁结构表面锈迹的扩散过程进行建模。文献[11-12]研究了该模型与退化轨迹模型以及Gamma过程模型之间的误用问题。上述研究工作丰富了Wiener过程在退化建模中的理论和应用，但普遍都存在着2个问题。(1) 上述研究工作都存在这样一个潜在假设：性能参数本身或者通过一定转换后，其平均退化趋势为线性。(2) 评估的结果只体现整体水平，未表现出个体差异。然而，在实际应用中，有些非线性退化过程难以转换成线性。此外，由于制造误差、材料差异以及工作环境等随机因素的影响，使得同批次产品的退化存在着差异。为了使评估的结果能够有效地指导实际应用(如开展维修决策等活动)，需要研究单个产品可靠性的评估方法。本文作者将围绕着这2个问题展开研究，首先给出模型的相关假设，并在假设的基础上建立退化模型；其次基于贝叶斯方法融合先验信息和产品自身的信息来评估单个产品的实时可靠度；进一步给出了模型参数的估计方法和模型检验方法；最后通过一个仿真示例和实例验证了文中方法的有效性。

1  模型假设与分析

下面先给出如下的假设：

假定1 产品性能参数在t时刻的退化量为X(t)，且X(t)可表示为：

         (1)

式中：X(0)为初始的退化量；为退化速率；θ为参数向量；σ为扩散系数；B(t)为布朗运动。

为便于分析，假定X(0)=0。若X(0)≠0，可以令。当时，定义该模型为M₁(线性漂移Wiener过程)，

             (2)

实际中还存在这样的情况，即难以通过有效的变换使其能够被M₁很好地描述^[13]。为此，假定，引入一个新的退化模型M₂，即

            (3)

假定2  若X(t)＜D，则产品正常，反之产品失效，其中D为失效阈值；

如果定义X(t)为性能参数的累积退化量，则不管是递增的退化过程，还是递减的退化过程，该假设都是合理的。

假定3  对产品退化参数X(t)可进行多次测量。

假定4  存在同批次或者同类型产品的退化数据，即x_i(t_i,j)，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n_i。x_i(t_i,j)表示产品i在t_i,j时刻性能参数的累积退化量。

假定5  令w=1/σ²，w，μ的联合先验分布为Normal-Gamma分布^[13-15]，即

 (4)

由于使用环境、内部材料的随机性，使得产品的退化过程呈现一定的随机性。文献[13]研究桥横梁的退化时，假定w，μ都为随机变量，将f_p(w，μ)作为它们的联合分布密度函数。

2  实时可靠性评估

对于使用中的产品，为了开展相关的维修决策等活动，需要评估其实时可靠度。若已知产品在当前时刻未失效，可以用一个条件概率来度量其可靠度水平。当获得新的退化数据信息后，进一步对评估结果进行更新。

2.1  条件可靠度函数的确定

假定当前时刻为t_k，性能参数退化量为x(t_k)，则t(t=t_k+l)时刻对应的退化量X(t)可表示为：

     (5)

为了提高评估的精度，Wang等^[16]在利用M₁进行退化分析时，采用式(6)进行预测，

       (6)

式中：为根据退化数据得到的更新值。这里考虑更普遍的情况，将X(t)表示为：

     (7)

假定表示产品在当前时刻的历史退化数据信息，可以用式(8)度量产品的可靠度：

           (8)

式中：。

为得到的表达式，首先给出剩余寿命的定义，即

           (9)

则可表示为：

         (10)

由于X(t)的非线性，难以得到L_k的准确分布。根据文献[13]，本文利用下式逼近L_k的概率密度函数，

          (11)

式中：；。根据式(10)和(11)可得：

      (12)

考虑到存在着随机性，定义实时可靠度为：

  (13)

式中：为的联合后验概率密度函数。为便于计算，定义，，得到：

  (14)

2.2  参数后验分布的确定

由假定5可知：参数(w，μ)的先验分布为。当获得退化数据后，根据贝叶斯方法可得：

 (15)

式中：为参数(w，μ)后验分布；为似然函数。

定义，的表达式由定理1得到。

定理1 若产品的性能退化满足M₂，则当获得退化数据后，可更新为，即

        (16)

式中：

证明：除去常数系数，满足：

   (17)

通过化简可得：

           (18)

相关的参数见定理1。此外，G(a，b，c，d)可写成如下的形式，

(19)

通过对比可以发现，定理得证。

利用代替，由式(14)可评估产品在t_k时刻的可靠度。当获得新的退化数据x(t_k+1)后，令，按照定理1得到，进一步可评估产品在t_k+1时刻的可靠度。

2.3  实时可靠度的计算

的计算涉及到三重积分，且积分函数较为复杂，难以直接计算它的点估计值以及区间估计。下面采用Monte-Carlo方法进行逼近，其步骤为：

(1) 初始化抽样次数N，同时令k=1。

(2) 根据产生第k组随机变量。

由可知：

         (20)

式中：表示伽马分布；为正态分布。可按以下步骤获得：首先根据产生随机变量w^(k)；其次根据产生。

(3) 定义，根据式(12)计算。

(4) 令k=k+1，重复步骤(2)~(3)，直到k=N。

(5) 按照式(21)估计，即

       (21)

的置信下限可按照文献[17]的方法确定。

3  超参数估计

由于直接估计(a，b，c，d)很困难，下面采用两阶段参数估计方法来确定参数的估计值。

3.1  参数估计阶段1

令，根据Wiener过程的性质，可得：

             (22)

式中：，，。

令，根据式(22)可得X_i的对数似然函数：

         (23)

进一步可得X的对数似然函数为：

       (24)

式中：。

先固定r，极大化可得的极大似然估计值，结果为：

              (25)

        (26)

将代入式(24)可得关于r的轮廓似然函数(去除常数项)为：

      (27)

利用一维搜索方法可得r的估计值，然后将代入式(25)和(26)可确定。

3.2  参数估计阶段2

定义，，其中。下面利用，来估计参数(a，b，c，d)。

定义，将看成的一组实现值。由式(4)可知，关于的似然函数为

         (28)

进一步极大化可得的估计值。

4  实例分析

下面通过一个仿真示例以及电容器实例来验证文中方法的有效性。为便于对比分析，首先给出一个模型评价指标以及一个模型检验方法。

针对模型M₁和M₂，可以选择AIC(Akaike information criterion)^[18]来评价2个模型对退化数据的拟合情况。AIC定义为

          (29)

式中：l为对数似然函数；p为模型参数的个数。评价的准则为：AIC越小，拟合的效果越好。

为检验模型的有效性，本文利用似然比检验方法来对M₁和M₂进行分析。为此，首先构造原假设H₀和备择假设H₁，即

         (30)

定义，，则可构造统计量

          (31)

式中：表示的极大似然估计值。由文献[19]可知：近似服从自由度为1的开方分布。这样在给定显著性水平后，可进行模型的检验。

4.1  仿真示例

相关参数设置为：a=6.2×10³，b=15.6，c=0.4，d=0.9，r=1.5，D=1 cm，m=30，n_i=n=40，间隔为0.01 a。基于这些参数，按式(32)产生关于M₂的仿真数据，如图1所示。

图1  仿真退化轨迹

Fig. 1  Simulation degradation paths

  (32)

式中：。

按照文中的方法，首先利用除5号产品外的退化数据进行参数估计，部分结果如表1所示。从表1可以看出：从AIC的值看，M₂比M₁拟合的好；设定显著性水平(犯第1类错误的概率)为0.05时，由，即拒绝H₀。

表1  M₁和M₂的对比

Table 1  Comparison between M₁ and M₂

为进一步验证文中评估方法的有效性，下面以产品5的可靠性评估为例，通过仿真来对比分析，如图2所示。

图2  实时可靠度仿真评估与解析评估的对比

Fig. 2  Comparison between simulation evaluation results and analytical evaluation results of real-time reliability

在更新时刻分别为0.25 a和0.40 a的情况下，图2所示为2种评估方法的结果。其中的仿真结果产生过程为：在t_k=0.25或0.40 a时，首先确定，然后进行M次抽样，并按照式(32)模拟该产品M条可能的退化轨迹，当X(t)超过C时判定为失效，最后进行统计评估。从图2可以看出：(1) 文中的方法给出的结果与仿真结果很接近；(2) 在不同的更新时刻，给出的评估结果是有差异的。

4.2  电容器评估实例

鉴于电容器的重要作用，Zhao等^[20]研究了电容器的可靠性评估方法。然而，其评估结果没有体现个体差异，同时也没有考虑评估的实时性。

某电容器的电容值退化情况如表2所示，下面以文献[20]中的8个电容器的退化数据为先验信息，来评估其可靠性。

按照文中的评估方法，首先利用8个电容器的退化数据来估计相关参数。利用M₂拟合退化数据，可得，通过计算可得AIC为-91.314 2。同样利用M₁来拟合8个电容器的退化数据，相应的AIC为-82.817 1，由此可知，M₂比M₁拟合的好。在显著性水平为0.05的情况下，-2ln(R(1))=10.497 1＞，即拒绝H₀。

表2  待估电容器电容值退化数据

Table 2  Capacitance degradation of capacitor under evaluation

根据工程实际，当电容器的电容值累计退化量为原始值的5%时，则判定电容器失效。这里取D=2.75μF。利用文中的评估方法，可得该电容器在充放电5 000次的可靠性评估结果，如图3所示。

图3  电容器充放电5 000次时的评估结果

Fig. 3  Evaluation results of the capacitor survived to 5 000 shots

图3所示为可靠度的置信下限(置信度为0.95)以及基于模型M₁的评估结果。从图3可以看出：两者评估的结果相差较大。文献[20]的评估结果显示，电容器的平均寿命为15 992 shots，从这个数据上看，基于模型M₁给出的评估结果偏离该值较远。

为了体现实时评估的重要性，下面给出该电容器在不同时刻的评估结果，如图4所示。从图4可以看出：在不同的更新时刻，电容器的实时可靠度评估结果是有差异的。在实际应用中，需要利用监测数据不断地更新评估结果。

图4  电容器实时可靠度评估结果

Fig. 4  Real-time reliability evaluation results of capacitor

5  结论

(1) 采用非线性漂移维纳过程描述产品性能退化的非线性特征，并给出了评估单个产品实时可靠性的方法。当获得新的退化数据信息时，可对评估结果进行更新。此外，文中的评估方法能够体现个体差异，有利于更好地支撑产品的维修保障工作。

(2) 仿真示例以及电容器评估实例表明：与线性漂移维纳过程相比，非线性漂移维纳过程能够更好地描述退化过程的非线性，并能够给出可信的评估结果。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2012-09-07；修回日期：2012-12-08

基金项目：国家自然科学基金资助项目(60904002)；国防科技大学预研基金资助项目(JC12-02-05)

通信作者：王小林(1985-)，男，云南曲靖人，博士研究生，从事装备保障与可靠性分析等研究；电话：0731-84573550；E-mail：yibanwang350424@163.com