考虑动载荷与动态磨损系数的直齿轮传动系统动态磨损特性

王晓笋，巫世晶，陈杰，彭则明

(武汉大学 动力与机械学院，湖北 武汉，430072)

摘要：为揭示齿轮传动系统齿面动态磨损特性，通过Weber–Banaschek公式计算获取啮合齿轮对的时变啮合刚度，基于此建立包含非线性齿侧间隙和内部误差激励的齿轮传动系统运动学方程，计算获得系统轮齿啮合时载荷沿啮合线的动态变化规律。根据齿面粗糙度和当前啮合点最小油膜厚度，建立齿面动态磨损系数的表达式。以轮齿的起始啮合点和最终啮合为区间，将渐开线齿廓进行离散化处理，建立离散化的齿面动态磨损模型并对其进行特定参数下的仿真计算。研究结果表明：由于动载荷、动态磨损系数和滑移速度等参数的影响，主从动齿轮齿面累积磨损量沿渐开线齿廓呈现非均匀分布，节点处最小，齿顶处最大；小齿轮的齿面磨损程度比大齿轮更严重；当传动比和模数变化时，齿面累积磨损量均存在变化趋势明显的敏感区域。

关键词：时变啮合刚度；动载荷；动态磨损系数；动态磨损模型；直齿轮传动系统

中图分类号：TH122          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)02-0408-06

Dynamic surface wear characteristics in spur gear transmission system with dynamic loads and wear coefficients

WANG Xiaosun, WU Shijing, CHEN Jie, PENG Zeming

(School of Power and Mechanical Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Abstract: In order to reveal the characteristics of gear surface dynamic wear and the effect of parameters in gear transmission system, the equations of motion with nonlinear backlash, internal error excitation and time-varying mesh stiffness, which was calculated by employing Weber–Banaschek formula, were built to obtain the distribution of dynamic loads along the line of action for involute gear. The minimum oil thickness at current gear teeth contact point and the gear teeth surface roughness were utilized to acquire the expression of dynamic surface wear coefficients. The discretization of involute gear profile was conducted by dividing the current pressure angle increment between the first mesh point and final mesh point equally. The tooth wear equation proposed by Flodin was introduced and the discrete dynamic surface wear model was established to simulate the wear process for an engaging gear pair under certain system parameter settings. The results show that the accumulated surface wears are distributed along the involute gear profile unequally with maximum wear at tip point and minimum wear at pitch point respectively under the influences of dynamic loads, dynamic wear coefficients and relative sliding velocities. The accumulated surface wear of pinion is more serious than that of the gear and this phenomenon is validated by engineering practice. There exist relatively sensitive regions of gear surface accumulated wear while the transmission ratio and gear module are varied.

Key words: time varying mesh stiffness; dynamic loads; dynamic wear coefficient; dynamic wear model; spur gear transmission system

齿轮传动系统是机械装置内使用最为广泛传动方式，而齿面的磨损是齿轮传动装置中常见的早期失效形式^[1]，Wu等^[2]较早进行齿面磨损的深入研究，建立了齿面滑移磨损(sliding wear)分析模型，该计算模型中将直齿轮轮齿的接触等效为2个半径不断变化的圆柱体接触问题。随后，Flodin等^[3]用Winkle表面弹性模型计算齿间接触压力，利用渐开线运动学方程计算了轮齿啮合接触过程中滑移距离，然后采用Archard磨损模型计算了沿渐开线齿廓分布的磨损量。江亲瑜等^[4]对渐开线齿轮轮齿表面在干摩擦或润滑不良情况下的磨损规律进行了理论和实验研究，得到了齿轮轮齿表面磨损量的载荷因子。刘峰壁^[5]使用Archard磨损计算公式，将齿轮的啮合过程看成2个曲率半径随啮合位置变化的圆柱体接触过程，用赫兹接触理论求得接触应力，对直齿圆柱齿轮齿廓磨损过程进行了分析计算。计算中假定在双齿啮合区齿轮副传递的载荷由两对接触轮齿平均分担，忽略了载荷的动态变化。何荣国等^[6]引入温度对磨损的影响，建立了渐开线斜齿圆柱齿轮磨损的数值仿真模型，开发了模拟相应磨损过程的软件，实现对磨损过程的仿真。王淑仁等^[7]考虑了磨损率、滑动距离、工作转速、工作时间、润滑系数、载荷系数等参数，建立了齿面啮合摩擦疲劳磨损计算的数学模型，给出了计算模型中各参数的确定方法，并研究了影响齿面啮合疲劳磨损的主要影响参数。齿面磨损是一个非常复杂的动态过程^[8]，由于影响齿面磨损的因素多种多样，包括载荷^[9-10]、速度、温度^[11]、润滑剂、表面粗糙度^[11]、材料性能^[12-13]等，而且因素之间又互相作用^{[9, 14]}，对磨损的研究很难建立准确的数学模型。为此，本文作者考虑了动载荷和动态磨损系数对于齿面磨损量分布规律的影响，在对渐开线齿廓进行离散化处理的基础上，建立了齿面动态磨损分析模型，依次分析了传动比、齿轮模数等系统参数对于动态磨损的影响。

1  轮齿啮合的动载荷

为计算轮齿在啮合时的动载荷，首先需要求解轮齿在啮合时的动态响应特性，为此，首先采用集中质量法建立主从动齿轮动力学方程：

    (1)

式中，T_in和T_out分别为输入和输出扭矩；θ₁和θ₂分别为主从动齿轮的扭转角位移；J₁和J₂分别为主从动齿轮转动惯量；r_b1和r_b2分别为主从动齿轮基圆半径；c_m为啮合阻尼，；表示时变啮合刚度的平均值；ξ为轮齿啮合阻尼比；f为非线性齿侧间隙函数；e(t)为啮合齿轮对内部误差激励^[15]；k_m(t)为轮齿啮合的时变啮合刚度。

本文采用Weber-Banaschek公式^[1]，通过计算轮齿的弯曲和剪切变形、齿根弹性的附加变形和啮合点的接触变形获得轮齿的综合啮合变形，由此可以获得单个轮齿的刚度。对于啮合齿轮对，由于在一个啮合周期内存在一个单齿啮合区间和2个双齿啮合区间，而单齿啮合区间位于2个双齿啮合区间之间，因此，需要确定单齿区间的起点和终点位置。一对轮齿啮合时，单齿啮合区间的起始位置压力角和终止位置压力角可以表示为：

   (2)

式中，L_m为啮合线长度，；r_aj和r_pj(j=1，2)分别为主从动齿轮的齿顶圆和分度圆半径；N₁为主动齿轮的齿数。

方程(1)的广义坐标是主从动齿轮的转动角，轮齿啮合时的动载荷则表现为主从动齿轮之间的相对位移产生的弹性力和相对速度产生的阻尼力。为此，引入主从动齿轮动态传递误差δ(t)=θ₁r_b1–θ₂r_b2–e(t)^[14]，用于计算动载荷。由于主从动轮齿之间存在齿侧间隙，当动态传递误差幅值不同时，主动齿轮和从动齿轮可能处于接触相，也可能处于空隙相，不同状态下轮齿的动态啮合力会截然不同。考虑上述因素，本文采用如下公式计算轮齿啮合时的动载荷：

   (3)

式中，k_g(t)为单个轮齿的综合啮合刚度；b_g为齿侧间隙。

2  动态磨损系数

动态磨损系数是影响齿面磨损进程动态变化规律的重要参数，影响动态磨损系数的主要因素包括接触点最小油膜厚度H_min和主从动齿轮齿面粗糙度均方根σ。定义二者之比λ=H_min/σ，则动态磨损系数k_w可以采用式(4)^[14]描述为边界润滑状态下的磨损系数k₀的函数。当λ＜1/2时，主从动齿轮齿面处于边界润滑状态，此时磨损系数最大；而当λ≥4时，主从动齿轮齿面的润滑状态良好，属于弹流动润滑状态，此时磨损系数近似为0；而当1/2≤λ＜4时，主从动齿面之间属于混合润滑状态，磨损系数与λ为线性关系。

          (4)

主从动齿轮接触点的最小油膜厚度采用式(5)^[12]计算

 (5)

式中：ρ_eq为当量接触半径，ρ_eq=ρ₁ρ₂/(ρ₁+ρ₂)；ρ_j(j=1，2)为主从动齿轮的当量圆柱体半径；B为齿宽；η_s为黏度系数；E′为等效弹性模量。

3  齿面动态磨损模型

齿面磨损量沿着渐开线齿廓的是非线性变化的，为计算整个渐开线齿廓的磨损量，首先需要将轮齿的齿廓进行离散化处理。

如图1所示，将齿顶作为轮齿啮合的起始点，对应的压力角为；齿根附近的啮出点作为终点，对应的压力角为；定义压力角增量，则可以将渐开线齿廓上的点离散为M+1个，其中第m个离散点对应的当前压力角为。

齿面动态磨损量是齿面磨损的累积效应，是齿面长期负载运行之后而出现的表面材料去除深度的客观描述，Flodin和Anderson^[3]提出了考虑动态影响因素的累积磨损量计算公式。本文考虑了轮齿接触过程中动载荷、动态磨损系数等因素的动态变化，结合文献[3]所提出的方法建立了离散化齿面动态磨损计算模型，其中主从动齿轮齿面某一点的累积磨损量可以描述为：

 (j=1，2；m=1，…，M+1)        (6)

式中，(j=1，2)为当前啮合点主从动齿轮的滚动速度；和P^m分别为当前啮合点的动态磨损系数和最大接触力；a^m为当前啮合点处Hertz接触宽度，；ρ^m为接触点的最大接触力，。

图1  渐开线齿廓的离散化处理

Fig. 1  Discretization of involute gear profile

4  仿真计算与结果分析

取主动齿轮齿数z₁=30，从动齿轮齿数z₂=40，模数m=4，齿宽B=0.03 m，压力角φ=20°，齿轮传动系统的齿侧间隙b_g=10 μm^[14]，输入力矩T_in=60 N·m，输出负载为T_out=80 N·m，主从动齿轮的表面粗糙度为σ₁=σ₂=0.2 μm^[14]，弹性模量E₁=E₂=207 GPa，泊松比ν₁=ν₂=0.3，黏度系数η_s=6.5×10^-3 Pa^-1，α=1.33×10^{-8 m2}/N，边界润滑状态下磨损系数k₀=5×10^{-16 m2}/N^[9]。

由Weber-Banaschek公式计算获得轮齿的时变啮合刚度如图2所示。从图2可以看出：由于轮齿啮合时参与传递负载的齿轮对数的变化，时变啮合刚度分为双齿啮合区间1、单齿啮合区间和双齿啮合区间2，啮合齿轮对的平均啮合刚度=4.5×10⁸ N·m。由方程(1)可求解出系统稳态响应，获得一个啮合周期内动载荷的变化规律如图3所示，从图3可以看出：动载荷在单齿啮合区间和双齿啮合区间幅值存在着明显的差异，轮齿啮合的动载荷在静态啮合力上下波动。随着阻尼比ξ的不同，动载荷的波动幅值会也出现显著变化。

利用计算获得的动载荷，结合式(4)~(6)可以计算离散化之后渐开线齿廓上各点的累积磨损量。为此，编写计算程序对齿轮传动系统的齿面累积磨损量进行了仿真分析。仿真时，渐开线齿廓按照转动角均分为640段，齿轮累积运行次数为10⁶次，主从动齿轮的累积磨损量结果如图4和5所示。从图4和5可以看出：受到轮齿啮合动态载荷和动态磨损系数的影响，齿面磨损量沿渐开线齿廓是非均匀分布的。磨损量的总体分布趋势是节点处磨损量最小，而齿顶和齿根处则较大。造成该现象的主要原因是由于节点处相对滑移速度小，而齿顶和齿根处的相对滑移速度则较大。

图2  齿轮对的啮合刚度

Fig. 2  Mesh stiffness of gear pair

图3  齿轮对啮合动载荷

Fig. 3  Dynamic loads of gear pair

图4所示为传动比对于齿面累积磨损量的影响，其中m=4。从图4可以发现：在相同的运行次数下，主从动齿轮的齿面累积磨损量随传动比的增加有减小的趋势。当z₁=30，z₂=25时，从动齿轮齿顶处累积磨损量(43.3 μm)明显大于主动齿轮齿顶处的累积磨损量(32.6 μm)；而当z₁=30，z₂=40时，主动齿轮齿顶处的累积磨损量(25.7 μm)则大于从动齿轮齿顶处的累积磨损量(17.2 μm)。可以看出：小齿轮在啮合过程中的磨 损进程更快，因为小齿轮的齿轮在啮合过程中单齿参与啮合的频率显然要高于大齿轮，因而对应的累积磨损量也较大。图6所示为传动比连续变化时主从动齿轮齿顶和齿根位置(即图1上的点1和点M+1)累积磨损量的变化趋势。当z₂/z₁＜1时，系统为增速传动，此时从动齿轮是小齿轮；而当z₂/z₁＞1时，系统为减速传动，主动齿轮为小齿轮。从图6可以看出：当z₂/z₁＜1时，主从动齿轮的齿顶和齿根的累积磨损量随着传动比的减小急剧增加；当1< z₂/z₁＜2.5时，随着传动比的增加，齿面磨损进程逐步减缓；当z₂/z₁＞2.5时，磨损量对传动比变化已经不敏感，变化趋势已非常缓慢。影响滑移速度的主要因素是主从动齿轮的角速度之和ω₁₂，ω₁₂=(ω₁+ω₂)。对于增速齿轮传动系统，随着z₂/z₁的减小，ω₁₂的增加使得主从动轮齿在啮合时的相对滑动速度会急剧增加，同时小齿轮单齿啮合频率也不断增加，最终导致齿面累积磨损量增加。对于减速齿轮传动系统，随着传动比的增加，ω₁₂是不断减小并趋近于ω₁，与此同时，大齿轮单齿啮合频率也不断减小，从而使得主动齿轮的齿面累积磨损量随着减速比的增加不断减小。

图4  传动比对于齿面累积磨损量的影响

Fig. 4  Effect of transmission ratio on surface accumulated wear

图5  模数对于齿面累积磨损量的影响

Fig. 5  Effect of gear module on surface accumulated wear

图6  传动比对于齿顶和齿根累积磨损量影响

Fig. 6  Effect of gear transmission ratio on accumulated wear at tip and root points

图5所示为不同模数对于齿面累积磨损量的影响，其中z₁=30，z₂=40。从图5可以看出：在相同的工况下，模数越小，则齿面的累积磨损量则越大。当m=2时，主从动齿轮齿顶位置的磨损量分别为36.1 μm和24.5 μm；当m=4时，主从动齿轮齿顶位置的磨损量分别为25.5 μm和9.4 μm；可见模数对于齿面磨损也存在一定程度的影响。为此取模数的标准序列，分别对主从动齿轮齿顶和齿根位置的累积磨损量进行计算，结果如图7所示。从图7可知：当m＜2时，齿顶与齿根处的累积磨损量对模数的变化最为敏感；而当m＞4时，齿顶和齿根处的累积磨损量随模数的变化已较为缓慢。在设计小模数齿轮传动系统时，虽然系统的负载不大，但是齿面磨损依然相对较快。在一些精密传动系统，考虑到磨损对精度的影响，在满足空间尺寸要求的情况下，齿轮传动系统的模数不宜过小。

图7  模数对于齿顶和齿根累积磨损量影响

Fig. 7  Effect of gear module on accumulated wear at tip and root points

5  结论

(1) 由于动载荷、齿面动态磨损系数和滑移速度等参数的影响，齿面累积磨损量沿渐开线齿廓呈现非均匀分布状态，其中齿顶磨损最大，节点处磨损量最小，齿轮对中的小齿轮磨损程度相对大齿轮更严重。

(2) 齿面累积磨损量对传动比的变化非常敏感，其主要原因是传动比的变化会引起主从动齿轮轮齿在啮合过程中相对滑移速度的变化。在设计传动比小于1的增速齿轮传动系统时，单级齿轮的增速比不能过大，而设计减速传动系统时，单级减速比则不能过小，否则齿面磨损量会急剧增加，影响到系统的寿命和可靠性。

(3) 模数对于齿面磨损也有一定的影响，特别在设计一些有精度要求的小模数齿轮传动系统时，从降低齿面磨损量，提高系统传动精度的角度出发，在满足空间尺寸要求的前提下，齿轮传动系统的模数不宜过小，模数过小会使得齿面磨损量急剧增加。

(4) 本文在建立齿面动态磨损分析模型时考虑了啮合动载荷、动态磨损系数对于齿面动态磨损特性的影响，而当齿面出现磨损之后，齿面磨损会引起轮齿啮合时动载荷的变化，在接下来的研究中，应进一步深入考虑二者之间存在的耦合作用，从而建立能够更加精确描述齿面动态磨损特性的分析模型。

参考文献：

[1] 日本机械学会. 齿轮强度设计资料[M]. 李茹贞, 赵清慧, 译. 北京: 机械工业出版社, 1984: 30-32.

JSME, Design data for gear strength[M]. LI Ruzhen, ZHAO Qinghui, trans. Beijing: China Machine Press, 1984: 30-32.

[2] Wu S, Cheng H S. Sliding wear calculation in spur gears[J]. Journal of Tribology, 1993, 115(3): 493-503.

[3] Flodin A, Andersson S. Simulation of mild wear in spur gears[J]. Wear, 1997, 207(1/2): 16-23.

[4] 江亲瑜, 李曼林, 董美云, 等. 渐开线齿轮磨损的数值仿真[J]. 大连铁道学院学报, 1999, 20(1): 13-18.

JIANG Qinyu, LI Manlin, DONG Meiyun, et al. Numerical simulation on mild wears for involute gears[J]. Journal of Dalian Railway Institute, 1999, 20(1): 13-18.

[5] 刘峰壁. 直齿圆柱齿轮磨损过程模拟[J]. 机械科学与技术, 2004, 23(1): 55-59.

LIU Fengbi. Simulation of wear process in spur gear[J]. Mechanical Science and Technology, 2004, 23(1): 55-59.

[6] 何荣国, 江亲瑜, 姚一富. 渐开线斜齿圆柱齿轮磨损的数值仿真[J]. 润滑与密封, 2007, 32(3): 88-91.

HE Rongguo, JIANG Qinyu, Yao Yifu. Numerical simulation of tooth wearing for involute helical cylindrical gears[J]. Lubrication Engineering, 2007, 32(3): 88-91.

[7] 王淑仁, 闫玉涛, 殷伟俐, 等. 齿轮啮合摩擦疲劳磨损的计算模型[J]. 东北大学学报(自然科学版), 2008, 29(8): 1164-1167.

WANG Shuren, YAN Yutao, YIN Weili, et al. Calculation model of fatigue wear-off in gear engagement[J]. Journal of Northeastern University (Natural Science), 2008, 29(8): 1164-1167.

[8] Osman T, Velex P H. Static and dynamic simulations of mild abrasive wear in wide-faced solid spur and helical gears[J]. Mechanism and Machine Theory, 2010, 45(6): 911-924.

[9] Lin A D, Kuang J H. Dynamic interaction between contact loads and tooth wear of engaged plastic gear pairs[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2008, 50(2): 205-213.

[10] Mao K. Gear tooth contact analysis and its application in the reduction of fatigue wear[J]. Wear, 2007, 262(11/12): 1281-1288.

[11] 卞荣, 王优强. 单粗糙峰对直齿圆柱齿轮热弹流润滑的影响[J]. 润滑与密封, 2009, 34(5): 38-41.

BIAN Rong, WANG Youqiang. The influences of bump on the thermal elastohydrodynamic lubrication of involute spur gear[J]. Lubricat Ion Engineering, 2009, 34(5): 38-41.

[12] Mao K, Lib W, Hooke C J, et al. Friction and wear behaviour of acetal and nylon gears[J]. Wear, 2009, 267(1/2/3/4): 639-645.

[13] Dhanasekaran S, Gnanamoorthy R. Gear tooth wear in sintered spur gears under dry running conditions[J]. Wear, 2008, 265(1/2): 81-87.

[14] Ding H, Kahraman A. Interactions between nonlinear spur gear dynamics and surface wear[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 307(3/4/5): 662-679.

[15] 王晓笋, 巫世晶, 周旭辉, 等. 含侧隙非线性齿轮传动系统的分岔与混沌分析[J]. 振动与冲击, 2008, 27(1): 53-56.

WANG Xiaosun, WU Shijing, ZHOU Xuhui, et al. Bifurcation and chaos in a nonlinear dynamic model of spur gear with backlash[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(1): 53-56.

(编辑  赵俊)

收稿日期：2013-05-07；修回日期：2013-09-04

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51005170)；武汉市学科带头人计划(201051730545)

通信作者：王晓笋(1979-)，男，安徽怀宁人，副教授，从事齿轮传动系统动力学、非线性振动等研究；电话：13971498123；E-mail: wxs@whu.edu.cn