复杂地质层中电磁波测井响应特性的数值研究

刘国胜¹，杨海东²，汤健超³

(1. 广东工业大学 信息管理工程系，广东 广州，510520；

2. 广东工业大学 机电工程学院，广东 广州，510006；

3. 华南师范大学 计算机学院，广东 广州，510631)

摘要：给出一种改进的伪解析方法并将其用于分析随钻电磁波测井(logging-while-drilling, LWD)方法在复杂地质层中的数值响应特征。1个典型的LWD工具由多个工作在多层环状地质层中的环形天线组成。由于机械牵引力或重力作用，测井工具与井孔可能会形成偏心结构，另外当井孔中泥浆渗入地质层时也可能形成分层地质结构。给出的方法可处理各向异性地质导电率介质和多层偏心结构(每层均与其他层形成偏心结构)。数值实验验证所提出方法的正确性和实用性。LWD工具的测井深度与环形天线间的垂直距离呈正比例关系，给出LWD工具的敏感度分析和偏心结构对工具测量的影响。

关键词：随钻测井；伪解析法；单轴各向异性介质；有向探测

中图分类号：TN98          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)02-0656-06

Numerical investigation for responses of electrical logging-while-drilling in complex formations

LIU Guosheng¹, YANG Haidong², TANG Jianchao³

(1. Department of Information Management Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520, China;

2. School of Mechatronics Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China;

3. School of Computer Science, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

Abstract: A pseudoanalytical method for the analysis of directional logging-while-drilling (LWD) tools in complex formations was developed. A typical LWD tool consists of multiple tilted-coil antennas in cylindrically-layered earth formation. It may be eccentric to the borehole due to mechanical vibrations and/or gravitational pull, and eccentric invaded zones may also arise because of gravitational pull on the mud penetration. The proposed method has capabilities of dealing with anisotropic conductivities and multieccentric formations where each layer may be eccentric to the others. The performance of the proposed method was investigated through various numerical experiments. The numerical analysis shows that the detecting depth of LWD tools is dependant on the azimuthal distance between coil antennas. The sensitivities of the LWD tool and the effect of eccentricity are also demonstrated.

Key words: logging-while-drilling; pseudoanalytical method; anisotropic medium; complex formation

随着全球能源供需关系日趋紧张，世界各国对潜在石油、天然气资源的争夺越来越激烈，这同时促使了钻井设备与技术不断发展更新^[1-2]。目前普遍采用的钻进技术——地质导向钻进技术，它可根据地下情况随时调整探测方向，目前这项技术已得到普遍应用，它大大降低开发成本，提高勘探成功率^[3]。在钻井工作环境中，电磁波测井工具主要提供周围地质层介质电导率(电阻)的信息，进而判断地质构成。目前对电磁波测井工具的性能分析主要来源于大量工程试验，如何对电磁波测井工具进行有效建模成为科学研究的一个热点问题^[4-10]。钻井工具中的电磁波探测部分由一系列极子天线和环形天线组成，各天线在钻轴上的位置分布和朝向存在差异。典型随钻电磁波测井工具的数学模型由1个(环形)发射天线和2个(环形)接收天线组成，其通用尺寸见图1(一般LWD工具的尺寸采用in为单位，1 in=25.4 mm)。图1中的发射天线附加正弦电压，被激励的电磁波与周围地质层作用后在接收天线上形成响应电压，通过比较2个接收天线中电压振幅和相位差异来判断周围地质的电导率^[11]。目前对LWD工具的分析方法包括解析法、伪解析法和纯数值方法。解析法将图1中的环形天线近似为磁极子天线，进而用势函数积分对问题进行求解^{[9, 12-13]}，这种方法简单易用，便于定量分析，但其忽略了天线尺寸和钻轴的影响，可能导致结果不准确；伪解析法作为一种半解析半数值的方法，是分析LWD工具非常有效的方法之一^{[5, 7-8]}，但其无法处理复杂地质介质和地质结构，适用范围受到限制；典型的数值方法包括时域有限差分法^{[4, 10]}、有限元法和有限体积法^[6]等，这些方法可用于复杂钻井环境的仿真，如偏心几何结构和各向异性地质层，但其计算量较大，不利于工程中处理大尺寸问题和反复多次模拟。Lovell

图1  LWD结构模型(单位：mm)

Fig.1  Configuration of LWD

等^{[7-8, 14-15]}对随钻电磁波测井模型中的伪解析法进行大量研究，对钻井电磁波测井中的仿真模型做出了较大贡献。在实际环境中，由于地质层受到长期重力作用，地质层介质通常在垂直和水平方向表现出不同的电磁特性，其垂直和水平方向的电导率存在差异，形成单轴各向异性介质^[10]。伪解析法具有精度高、速度快的优点，将伪解析法推广到单轴各向异性介质的情况无疑具有重要意义。在此，本文作者讨论单轴各向异性介质中的伪解析法，给出在此环境中处理偏心多层结构的计算公式，并分析在钻轴倾斜挖掘时，如何对钻探方向进行最优选择，模拟在复杂地质环境中LWD工具的数值特性，并分析天线垂直距离、钻轴偏心等因素对LWD工具测量结果的影响。

1  单轴各向异性介质中的伪解析法

在单轴各向异性介质中，Maxwell方程可写为如下向量形式^[11]：

            (1)

式中：E为电场强度；H为磁场强度；μ为磁导率；为复介电张量。在地质层中，岩层受到重力挤压，通常在垂直和水平方向上表现出不同的电磁特性，因此，讨论，(其中σ_s和σ_z分别表示地质层介质在轴向和水平截面的电导率分量)。为简单起见，记。从E和H中分离出，也就是在式(1)中令，并且将方程中算子和场量进行分解，方程(1)可分解为：

         (2)

        (3)

                (4)

             (5)

将式(4)和(5)代入式(2)和(3)可求得E_s和H_s的表达式，将结果代回式(2)和(5)得到z分量满足的方程如下：

           (6)

方程(6)的解可写成如下一般形式：

   (7)

其中：

；

G_ν=J_ν或分别是第一类Bessel函数和第一类Hankel函数。将式(7)代入到式(2)和(3)可求得f分量 的解。

由于在LWD工具中(如图1所示)，环形天线在水平截面上的投影为圆形，因此，天线周围电磁场的径向分量E_ρ和H_ρ对天线中的电压无贡献。在地质层边界处，电磁场的切向分量(f和z分量)是连续的。图2所示为边界处的反射和透射。图2中边界R_i上的透射和反射矩阵分别定义为和，其可通过边界处的连续性条件推导得到^{[5, 11, 14]}。

图2  边界处的反射和透射

Fig.2  Reflection and transmission on boundary

2  复杂地质结构的处理

当受机械牵引或重力作用时，钻轴可能会偏离井孔中心。图3所示为两层偏心结构示意图。考虑到图3中2个偏心圆(层)所构成的几何结构，其中每层由轴各项异性介质填充。内、外圆的圆心分别对应圆柱坐标系(ρ′，f′)和坐标系(ρ，f)的原点。坐标系(ρ，f)可以看成是由坐标系(ρ′，f′)平移(d，f_E)得到。考察两圆弧之间任意一点处的场强，其谱分量E_z和H_z可根据式(7)在坐标系(ρ′，f′)和(ρ，f)中分别展开^{[11, 14]}。

现在引入1个虚拟边界(见图3中的虚线圆)，此圆与内圆具有相同的圆心。值得注意的是，此处选择的虚拟圆边界与文献[5，14]中不同，此处虚拟圆边界的引入将会极大简化处理多层偏心结构，会为多层偏心结构推导出1个一致性的迭代解。当由内层入射的外行波被虚拟边界“反射”后，不同模ν′的波会相互影响，其结果等效于被外层边界反射的结果，因此，虚拟边界处的等效反射关系可表示为：

图3  两层偏心结构示意图

Fig.3  Schematic diagram of two-layer eccentric structure

              (8)

在坐标系(ρ，f)中，外层边界的反射关系可用各个整数模ν独立表示，如

                 (9)

将式(8)和(9)代入到式(7)中，可解出：

            (10)

因此，在引入虚拟边界后，1个两层偏心结构被简化成同心圆的结构，这将为计算带来方便。多层偏心单轴各向异性几何结构的反射矩阵可通过两层结构由1个迭代过程得到。

在得到最内层边界的反射矩阵之后，钻井测井模型可等价简化成包含钻轴、天线、井孔和虚拟边界在内的简单几何结构。经过变换^{[5, 11]}，可得到井孔中电磁场系数的方程：

  (11)

式中：为钻轴的反射矩阵。可以看到：直接对方程(11)求解需要处理矩阵的逆问题，而此矩阵在波数k_z、偏移距离d或各向异性比率η较大时条件数会指数增加，变成病态矩阵，求解其逆矩阵将引入较大误差。因此有必要给出一种迭代格式求解方程。通过将式(11)中左边第2项移到右边，可以得到一种迭代格式：

    (12)

式中：l=0，1，2，…，表示迭代次数。这种迭代格式具有直接的物理含义：迭代次数l代表波在井孔内被反射的次数。由于波在井孔中传播有损耗，因此，迭代可以在有限次数内停止。同时，亦可根据精度要求设置一种自适应停止算法。

3  数值实验

3.1  有向测井实例

当钻轴旋转时，倾斜测井工具可提供周围地质层的在圆柱坐标中的位角方向信息。在倾斜环状天线旋转1周覆盖360°，测井工具可提供角向数据以帮助实时决定下一步钻探方向。当周围地质层中电阻率存在明显差异时，可被测井工具探测到。这里采用一个与文献[3]中相似的例子。假设有1个导电岩层位于测井工具135°角方向，如图4所示。岩层的边界近似为直线，下面用1个半径足够大的圆来模拟此岩层边界。当钻井工具工作时，钻轴将做360°旋转，测量结果将随f呈周期性变化。考虑由1个发射天线和2个接收天线组成的LWD工具，其中2个接收天线位于距发射天线上方609.6 mm和762.0 mm处。在图4中，导电岩层与井孔边缘的距离为685.8 mm，也就是d₀=685.8 mm。用一系列偏心圆来近似岩层边界(其中d表示圆的偏心距离)。井孔和地质层的电导率分别为5×10^-4 S/m和0.5 S/m，岩石层为单轴各向异性介质，其电导率水平分量σ_h=10 S/m，垂直分量σ_v=2.5 S/m。钻轴、环形天线和井孔半径分别为101.6，114.3和127.0 mm。在此例中，假设钻轴与井孔同心。发射天线、下部接收天线和上部接收天线的倾角分别为θ_t=-45°，θ_r1=0°和θ_r2=45°，测井工具的操作频率为2 MHz。图5所示为测井工具中电压相位角(PD)的响应结果，其中旋转角度f和近似圆的偏移距离d为变量，用于模拟岩石层边界的圆半径与其偏移距离呈线性关系。由图5可以看到：当d(或圆半径)增大时，结果收敛；f在135°和315°时达到局部极值点，此时天线正对或背对导电岩层，实际操作中可根据此信息调整钻探方向。在前面给出了伪解析法的归一化形式，这为用半径较大的圆边界来模拟岩石层奠定了基础。

图4  LWD测井工具靠近岩石层的情况及其几何模型

Fig.4  Situation and geometry when LWD detection tool close to rock layer

图5  LWD工具对不同半径圆模拟岩石层边界的仿真响应情况

Fig.5  LWD response through rock boundary for different radius rounds

3.2  可探测的深度

钻轴旋转的过程中，LWD工具可探测井孔周围地质层的电磁信息，但随着电磁波在地质层中衰减，当目标储层距离过远时，工具将无法有效探测到目标物，此例用数值方法分析LWD工具的可探测深度。仍然采用图4中的模型，假设岩层电导率水平分量为σ_h=10 S/m，垂直分量为σ_v=4 S/m，地质层电导率为σ=0.5 S/m。对下面2种情况，用接收天线在岩石层方向及其相反方向的相位差△_PD来衡量工具灵敏度。模拟中取半径足够大的圆来近似岩层边界。

(1) 首先考察常规LWD工具可探测的岩石层深度。在常规LWD工具中，两接收天线离发射天线的垂直距离分别为z_r1=609.6 mm和z_r2=762.0 mm，考察钻轴与岩层的距离发生改变时的情况，假设图4中井孔与岩石层边界d₀∈[127，1 143] mm变化，则d₀变化过程中△_PD的响应情况如图6所示。由图6可以看出：当测井工具远离目标储物层时，工具响应呈指数衰减。

图6  LWD工具对不同深度岩石层的响应情况

Fig.6  Response of LWD tools at lithosphere of different depths

(2) 假设图4中井孔与岩层的距离保持不变(d₀=685.8 mm)，考察天线间距发生变化时的测井工具的响应情况。固定两接收天线间距z_r2-z_r1=152.4 mm，用接收天线的中心位置与发射天线z_t的距离来刻画所使用测井工具的尺寸。图7所示为|z_r-z_t|在228.6~939.8 mm时△_PD的变化情况。由图7可以看出：测井工具响应随发射天线和接收天线距离增大而呈线性增加。一般来说，LWD工具的探测深度约为2|z_r-z_t|。

3.3  对导电岩层的灵敏性

当目标储物层与周围地质层电磁属性存在较大差异时，储物层才可能被测井工具发现。为了简便，假设图4中的岩石层为各向同性介质，地质层电导率为0.5 S/m，岩层电导率在0.5~10 S/m 之间变化。在此例中钻轴中心与井孔中心重叠，无偏心情况，在测井工具随钻轴转动1周内，用伪解析法计算接收天线在各个方位角的相位差，结果如图8所示。由图8可以看到：当岩层电导率逐渐增大时，相位角响应差异明显，特别是在岩石层所在方位角f=135°和相反方向f=315°。

图7  LWD工具灵敏度随天线距离的变化情况

Fig.7  Changes of sensitivity of LWD tools with antenna distance

图8  LWD工具对岩石层不同电导率的响应情况

Fig.8  Response of LWD tools toward different conductivities of rock

3.4  钻轴偏移产生的影响

在工程实际中，由于机械牵引或重力等因素的作用，钻轴往往会发生偏移，其中心位置偏离所在井孔的中心。前面给出了一种有效处理这种偏心(以及多层偏心)结构的方法，这里考察钻轴偏移对探测结果的影响。假设岩层电导率水平分量σ_h=10 S/m，垂直分量σ_v=4 S/m，地质层为同性介质电导率σ=0.5 S/m。仍然假设井孔与岩层边界的距离d₀=685.8 mm，用半径足够大的圆模拟岩层边界。实验中选取的圆半径为1 701.8 mm。钻轴偏移的位移分别选取d_e=25.4，50.8，…，127.0 mm，偏移方位角f_e=15°，30°，45°，…，360°。图9所示为接收电压在岩层所在方向及其相反方向处△_PD的变化情况。图9中观测点与坐标原点所成的角代表钻轴偏移的方位角f_e，5条闭合曲线分别代表偏移位移d_e=25.4，50.8，…，127.0 mm 5种情况，与原点的距离表示相应的△_PD的计算值。由图9可以看出：当钻轴发生偏移时，接收信号在方位角方向的分布会随之移动，并在钻轴偏移的方向(及其相反方向)形成峰值。此实验结论可用于对钻轴进行精确定位和校正。

图9  钻轴偏移对LWD工具测量结果的影响

Fig.9  Impact of drilling shaft migration in measurement results of LWD tools

4  结论

(1) 推导了伪解析法在单轴各向异性介质中的计算公式，并提出处理复杂介质和大尺寸仿真问题的有效办法。归一化Bessel函数不仅能大大增加可计算目标的尺寸，还能提高算法的数值精度，同时为加强算法的稳定性提出了迭代求解策略。

(2) 本文所给出的算法计算速度快、精度高，并能有效仿真LWD工具在测井工程中的各项性能，是一种高效、实用的方法。LWD工具的测井结果与目标储物层的距离呈指数关系，与天线间垂直距离呈线性关系。

致谢

感谢美国俄亥俄州立大学F. L. Teixeira教授对本文的前期指导工作，感谢Halliburtion能源服务公司B. Donderici博士提供部分对比数据，同时感谢俄亥俄超级计算中心为本文提供实验平台。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2012-04-29；修回日期：2012-06-05

基金项目：国家留学基金委公派出国研究生项目(2008615058)

通信作者：刘国胜(1983-)，男，湖北武汉人，博士研究生，讲师，从事计算电磁学、数值仿真等研究；电话：15017554121；E-mail：gliu@gdut.edu.cn