一种新的自适应加权矢量方向距离滤波器

周鲜成^{1, 2}，申群太²，王俊年²，石  彪¹

(1. 湖南商学院 计算机与电子工程学院，湖南 长沙，410205；

2. 中南大学 信息科学与工程学院，湖南 长沙，410083)

摘  要：针对已有的的矢量滤波器不能自适应地确定滤波器窗口内像素之间的空间距离对滤波效果的影响等问题，提出一种新的自适应加权矢量方向距离滤波器。该滤波器将彩色像素当作1个三维矢量，结合有序统计方法，利用彩色矢量间的距离信息和方向信息，并通过捕食者-食饵微粒群算法优化获得滤波器窗口的最优权值，体现滤波器窗口内像素之间的空间距离对滤波效果的影响，实现彩色图像的自适应滤波。与其他滤波算法的性能相比以及仿真结果表明，采用所提出的算法得到的平均绝对误差、均方误差和归一化的色度误差等明显比现有的彩色图像滤波方法的低，能在去噪与图像的细节及边缘保护方面达到平衡。

关键词：矢量中值滤波；矢量方向滤波；方向距离滤波；捕食者-食饵微粒群

中图分类号：TP391         文献标识码：A         文章编号：1672-7207(2008)02-0338-07

A new adaptive weighted vector directional-istance filter

ZHOU Xian-cheng^{1, 2}, SHEN Qun-tai², WANG Jun-nian², SHI Biao¹

(1. School of Computer and Electronic Engineering, Hunan University of Commerce, Changsha 410205, China)

(2. School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: Based on the fact that a number of known vector filters can’t adaptively determine the influence of spatial distances between pixels in a filtering window on filtering effect, a new adaptive weighted vector directional-distance filter was proposed. This filter has the ability to get globally optimal weight values using predator-prey particle swarm optimization, and can achieve the adaptive color image filtering using distance information and directional information. The results indicate that the mean absolute error, mean square error and normalized color difference using the proposed method are lower than those using the commonly used filtering schemes, and can achieve excellent tradeoff between smoothing and detail and edges preservation.

Key words: vector median filtering; vector directional filtering; directional-distance filtering; predator-prey particle swarm optimization

彩色图像滤波作为图像处理中的一项基本技  术，已广泛应用于生物医学、计算机视觉、多媒     体、机器人技术、工业检测和遥感等领域，其目的是削弱噪声，提高图像质量，保护图像的边缘和细节信息，并尽可能保持色调不变。彩色图像滤波分为标量滤波和矢量滤波两大类。其中，矢量滤波作为一种矢量排序统计的非线性滤波方法，由于在消除噪声、保护色调和保护边缘与细节方面有较好的稳健性，应用越来越广泛。其基本思想是将彩色像素当作1个三维矢量，结合有序统计方法，利用彩色矢量间的距离信息和方向信息对彩色图像进行有效地滤波和分析。

J. Astola等^[1]利用彩色矢量的距离信息，提出了矢量中值滤波器；P. E. Trahanias等^[2]利用彩色矢量的方向信息，提出了基本矢量方向滤波器；D. G. Karakos等^[3]结合矢量中值滤波器(VMF)和基本矢量方向滤波器(BVDF)算法，提出了方向距离滤波器。上述3种矢量滤波器均未考虑滤波器窗口内像素之间的空间距离对滤波效果的影响。为此，P. E. Trahanias等^[4-12]提出了多种改进的矢量滤波算法，如固定权值的加权矢量方向滤波和固定权值的加权方向距离滤波等算法。但各种改进算法仍然不能自适应地确定滤波器窗口内的权值系数或未同时考虑矢量之间的方向信息和距离信息，影响了滤波性能的进一步提高。在此，本文作者将捕食者-食饵微粒群算法^[13-15]应用于矢量方向距离滤波，提出基于捕食者-食饵微粒群的自适应加权矢量方向距离滤波器。同时考虑矢量之间的方向信息和距离信息，并通过自适应地确定滤波器窗口的权值系数体现像素之间的空间距离对滤波效果的影响，以改善滤波效果。

1  矢量滤波器

1.1  基本的矢量滤波器

若把RGB彩色二维图像的1个像素看成1个三维列矢量X^{(i, j)}，矢量的元素为对应的彩色图像像素的R，G和B灰度，则其模代表像素的亮度，方向代表色调。假设RGB彩色图像大小为M×N(其中，M和N分别为图像的行数与列数)，滤波器窗口中包含L个像素。用表示中心位于图像位置(i, j)处的滤波器窗口所包含的图像像素，将窗口内的像素()从左到右、从上到下排列，即：

。   (1)

对于滤波器窗口内的输入矢量，定义1种关于矢量距离的测度函数和1种关于矢量方向的距离测度函数：

其中：；为窗口内任一矢量与其余矢量的距离之和；表示矢量的1范数或2范数；表示的转置；为矢量像素和之间的夹角，0≤≤π/2，所以，是滤波器窗口内的任一矢量与窗口内的其他所有矢量的夹角之和(0≤≤(L-1)×π/2)。

将中的每个像素按式(2)定义的矢量距离从小到大进行排序，设排序结果为：。若滤波器的输出为，则称此滤波器为矢量中值滤波器(VMF)^[1]。

如将中的每个像素按式(3)定义的矢量方向距离从小到大进行排序，设排序结果为：。若滤波器的输出为，则称此滤波器为基本矢量方向滤波器(BVDF) ^[2]。

定义矢量间的距离测度为矢量距离和矢量角度距离的乘积，用表示，即

其中：。将中的每个像素按式(4)定义的矢量距离从小到大进行排序，设排序结果为：。若滤波器的输出为，则称此滤波器为矢量方向距离滤波器(DDF)^[3]。

1.2  加权矢量方向距离滤波器

为体现滤波器窗口内各像素之间的空间距离对滤波效果的影响，加权矢量滤波器为窗口内的每一像素设置1个相应的权值^[7]。对于矢量方向距离滤波器，既要考虑矢量距离的影响，又要考虑矢量方向的影响，因此，在同一滤波窗口内，对应2组不同的权值。设滤波器窗口中的L个像素 对应的矢量距离权值系数为w₁, w₂, …, w_L，矢量角度权值系数为u₁, u₂, …, u_L。w_m, u_m (m{1, 2, …, L})为[0，1]之间的实数，则加权的矢量方向距离可表示为加权矢量距离和加权角度距离的乘积，即

其中：；δ用于表征矢量距离和矢量   角度对滤波器输出的影响程度。将中的每个像  素()按式(5)定义的矢量距     离从小到大进行排序，设排序结果为：。若滤波器的输出为，则此滤波器为加权矢量方向距离滤波器(WDDF)^[4-9]。

基本的矢量滤波器虽在抑制噪声和保护图像色调方面效果较好，但这些方法均没有考虑滤波器窗口内中心矢量的重要性、图像的结构内容(如边缘、细节等)以及滤波器窗口内矢量之间的空间距离对滤波效果的影响等因素。加权矢量滤波器考虑了滤波器窗口内各像素之间的空间距离对滤波效果的影响，但现有的加权矢量滤波器所采用的权值均为固定值或按经验公式选取，不能随噪声图像进行自适应调整，影响了滤波性能的进一步改善。因此，如何自适应地确定滤波窗口中的权值系数有待进一步研究。

2  微粒群算法

微粒群算法(PSO)^[13]是一种自组织的群体优化算法，具有搜索能力强、收敛速度快、操作简单和易于实现等特点，但容易陷入局部最优点，难以找到全局最优解。

2.1  基本微粒群算法

微粒群算法将种群中的个体看作是在d维搜索空间中的1个没有体积和质量的微粒，给每个个体赋予位置和速度2种特性；将个体的位置作为待解决问题的1个候选解；目标函数作为适应度来衡量群体中每个个体优劣的标准；个体通过跟踪2个极值(个体最好位置与全局最好位置)来不断更新自己在解空间的位置和速度，从而找到问题的最优解。设种群共有N个微粒，其搜索区域为d维空间，则第i个微粒的位置可表示为x_i(x_i1, x_i2, …, x_id)，其飞行速度表示为v_i(v_i1, v_i2, …, v_id)。每1个微粒所经历过的具有最好适应值的位置称为个体最好位置，记为p_i(p_i1, p_i2, …, p_id)，种群中所有微粒所经历的最好适应值位置称为全局最好位置,记为p_g(p_g1, p_g2, …, p_gd)。对PSO算法的每一次迭代，微粒通过动态跟踪p_i和p_g来更新自身的速度和位置。速度和位置的更新方程为：

其中：“i”表示第i个微粒；“j”表示微粒的第j维；t表示第t代；ω为惯性系数；c₁和c₂为学习因子，通常在0~2之间取值；r₁和r₂是介于[0，1]之间的2个相互独立的随机数。

为了使算法在初期具有较强的全局搜索能力，在晚期具有较强的局部搜索能力，可对ω进行改进：随着迭代进行，速度更新公式的惯性系数ω由最大加权因子ω_max减少到最小加权因子ω_min ^[14]。

2.2  捕食者-食饵微粒群算法

针对微粒群算法容易陷入局部最优的不足，A.Silva等^[15]受捕食者和食饵种群协同进化的启发，对基本的微粒群算法进行改进，提出了捕食者-食饵模型的微粒群优化(PPPSO)算法。在这种算法中，微粒群相当于食饵种群，引入了1个叫捕食者的新微粒。捕食者追逐食饵种群的中心，即追逐种群中的最优个体，食饵微粒逃离捕食者，避免算法早熟收敛陷入局部最优点，从而有效地找到全局最优解。捕食者具有速度和位置2个向量，其更新方程分别为：

捕食者以概率p_f影响种群中的某些个体。受捕食者影响的个体，其速度的每一维都将发生变化。对于微粒i，若没有受到捕食者的影响，则其速度和位置的更新方程仍为基本微粒群算法的更新方程。但若微粒i的第j维速度受到捕食者的影响，则其速度和位置的更新方程为：

d表示捕食者和微粒之间的欧几里德距离，D(x)是1个指数递减的距离函数，定义为：

其目的是当微粒接近捕食者，即种群即将进入局部最优时，在其种群中引入1个较大的扰动。微粒和捕食者的距离越大，捕食者的影响越小。参数a和b定义了函数D的形式：a代表捕食者影响食饵微粒的最大幅值，b用于控制距离d的影响程度。

引入捕食者是为了更好地发挥惯性权重作为一个迭代参数在种群更新中的作用，以较小的惯性权重促进种群较快收敛，并通过捕食者保持种群的多样性。

3  自适应加权矢量方向距离滤波算法设计

对于加权矢量滤波器，如何选择权值，目前尚没有明确的计算方法。一些研究者提出各种按经验公式确定L个权值的方法，但均没从理论上证明这些方法能够达到滤波效果的最优。微粒群算法是一种高度并行的自适应搜索方法，通用性强，对寻优参数基本无限制，引入捕食者-食饵模型后，能有效地收敛到全局最优解。矢量方向距离滤波器结合了矢量中值滤波器和矢量方向滤波器的优点，具有较好的滤波效果。为此，本文作者将捕食者-食饵微粒群算法与加权矢量方向距离滤波器结合，提出基于捕食者-食饵微粒群的自适应加权矢量方向距离滤波器。针对不同的噪声污染图像，通过捕食者-食饵微粒群算法进化，自适应地寻找滤波器窗口内的最优权值系数，由权值系数体现滤波器窗口内像素之间的空间距离对滤波效果的影响，从而获得最佳滤波输出图像。根据式(5)，若滤波器窗口大小为L，则需确定L个矢量距离权值系数w₁, w₂, …, w_L以及L个矢量角度权值系数u₁, u₂, …, u_L，算法共需确定2L个权值系数。由于w_m(m{1, 2, …, L})主要体现滤波器窗口内各矢量对滤波器输出矢量的亮度影响，而u_m(m{1, 2, …, L})主要体现滤波器窗口内各矢量对滤波器输出矢量的色度影响，为使滤波器输出矢量的亮度差和色度差均比较小，两者达到平衡，算法设计为w_m=u_m，且δ=0.5。因此，算法只需确定L个权值系数即可。

3.1 种群的设计

待优化的参数是自适应滤波器的权值系数。设滤波器的窗口大小为L，对应L个权值，将有L个待优化的参数。不同的权值组合对应不同的滤波器。1组权值为1个待进化的微粒，每个权值由微粒的其中一维表示。采用实数编码，权值的取值范围为：0≤w_i≤1，即每个待优化的参数用[0, 1]范围内的1个实数表示。为此，将种群的微粒设计为具有L维的搜索空间，种群中的每一个微粒代表滤波器权值系数w的1组候选解，微粒的各维代表L个待优化的权值系数。

在算法的初始化阶段，用随机的方法在规定的范围内初始化微粒群的食饵微粒和捕食者微粒，产生n个微粒(其中捕食者微粒为1个)组成规模为n的初始种群，其中每1个微粒称为种群的1个个体。

3.2  适应度函数的确定

图像滤波的效果可通过计算滤波输出图像和原始无噪声图像的平均绝对误差(E_MAE)和均方误差(E_MSE)值判断Cost函数来进行。两幅图像的差别越小，说明滤波效果越好。其平均绝对误差E_MAE和均方误差E_MSE的计算式为：

其中：k为图像的通道数；M和N分别代表图像的行数和列数。为评价滤波的效果，对应平均绝对误差和均方误差的两类评价函数(cost function)分别为：

其中：o(i, j)为没有被噪声污染的原始图像；g(i, j)为滤波器输入端受噪声污染的图像；y(i, j)=y(w, g(i, j))，为滤波器的输出图像；w={w₁, w₂, …, w_L}，为对应滤波器窗口的权值。为得到最优的滤波效果，在w_i≥0 (i=1, 2, …, L)时，通过该算法应得到或者。

微粒群算法以适应度函数作为进化目标，适应度函数一般由待求问题的目标函数确定。本文待求问题的目标函数为滤波输出图像与原始无噪声图像的E_MAE或者E_MSE，算法的进化目标是使该值为最小值。为此，对算法的适应度函数进行归一化处理，将适应度函数f_Fitness设定为：

适应度越大，说明滤波效果越好^[10-12]。

3.3  算法描述

算法的基本步骤如下。

a. 初始化：设定种群规模；根据滤波器窗口大小L，将微粒的维数设为L，并对食饵微粒和捕食者进行初始化，将微粒的每一维随机初始化为[0，1]范围内的一个实数；对速度进行初始设定，并设置算法的有关参数。

b. 初始化微粒群的全局最优位置和每个微粒的个体最优位置。

c. 根据给定的噪声污染图像以及式(2)和(3)，计算对应每一像素滤波器窗口内的每一矢量与其他矢量之间的矢量距离和角度距离。

d. 计算每个微粒的适应度。选择式(17)将f_Fitness作为微粒群算法的适应度函数，根据步骤c.得到的结果与微粒所代表的权值系数，根据式(5)得到候选的滤波输出图像，并据此计算微粒的适应度。

e. 对每个微粒，将其适应度与所经历过的最好位置p_i的适应度进行比较，若较好，则将其作为当前的最好位置；对每个微粒，将其适应度与全局所经历的最好位置p_g的适应度进行比较，若较好，则将其作为当前的全局最好位置。

f. 根据式(8)和(9)，对捕食者的速度V_p和位置X_p更新。

g. 根据式(10)和(11)，对每个食饵微粒的速度V_i和位置X_i进行更新。

h. 若达到停止条件，则算法结束。全局最优解p_g对应的解即为最终要寻找的最优权值系数w={w₁, w₂, …, w_L}；否则，转步骤d.。

i. 根据寻优得到的最优权值系数，利用式(5)确定最佳滤波输出图像。

4  仿真结果和性能比较

4.1  归一化色彩误差

为了客观评价各种滤波器的图像滤波效果，人们提出了多种评估方法。除了E_MAE和E_MSE 2种评估方法外，还有一种比较常用的归一化色彩误差(E_NCD)方法。采用该方法能使2个彩色图像之间的差异更加符合人类视觉感观，可用于评估人类对两幅图像主观感受的一致性。国际照明委员会于1976年提出了一种与人类感观一致的均匀颜色空间L^*u^*v^*。2个图像之间的误差估计E_NCD可表示为：

其中：和分别为没有加入噪声的原始图像o(i, j)和滤波器输出图像y(i, j)在(i, j)处像素关于L^*分量的亮度；和分别为o(i, j) 在(i, j)处像素关于u^*和v^*分量的色度；和分别为y(i, j)在(i, j)处像素关于u^*和v^*分量的色度；表示欧几里德距离。

4.2  仿真结果

为检验新的自适应加权矢量方向距离滤波器PPPSOADWDDF的性能，选取的真彩色图像Parrots作为测试图像，并给图像加上10%椒盐脉冲噪声。原始图像和噪声图像分别如图1(a)和1(b)所示。设滤波器窗口大小为的正方形，对应9个权值。因此，种群的每1个微粒设为9维。PPPSO算法的种群规模取为20，最大迭代次数为100。PPPSO的参数设置为：惯性权重系数ω_max=0.9，ω_min=0.2，学习因子c₁=c₂=1.49，φ₁=0.1，φ₂=1，a=1, b=1, p_f=0.02。采用Matlab编程对算法的滤波效果进行仿真比较。在仿真过程中，算法迭代到大约65代时达到收敛，得到最终权值，适应度为0.999 8，适应度函数的迭代过程如图2所示，横坐标代表迭代次数，纵坐标代表适应度。将最终权值代入式(5)，即可得到滤波图像，如图1(c)所示。图1(d)~(f)所示为在同样条件下，用Peppers作为测试图像的仿真滤波结果。从仿真结果可以看出，采用本文算法的滤波效果良好，从视觉感官来看，滤波图像没有出现色彩失真，图像的边缘和细节保护得很好。

(a) Parrots原始图像；(b) Parrots噪声图像；(c) Parrots滤波图像；(d) Peppers原始图像；(e) Peppers噪声图像；(f) Peppers滤波图像

图1  PPPSOADWDDF滤波结果

Fig.1  Filtering results of PPPSOADWDDF

图2  PPPSOADWDDF适应度函数f_Fitness的优化过程

Fig.2  Optimizing process of PPPSOADWDDF fitness function

4.3  彩色图像滤波器的性能比较

为了更直观地观察PPPSOADWDDF对于“保护边缘或细节”的性能，在Parrots图像中加入10%的脉冲噪声后，分别利用VMF，BVDF，DDF，WVDF，WDDF和本文算法对噪声图像进行滤波，对各种滤波器输出图像的误差图像进行比较。其中，WVDF为加权矢量方向滤波器，其权值固定，w=[1, 2, 1, 4, 5, 4, 1, 2, 1]；WDDF为加权矢量方向距离滤波器，其权值为w=u=[1, 1, 2, 2, 5, 2, 2, 1, 1]。误差图像是指未被噪声污染的原始图像和滤波输出图像的差异。通过对6种滤波器对应的误差图像进行比较，可明显看出，本文提出的PPPSOADWDDF的滤波输出图像与原始图像几乎没有差异，在“保护边缘或细节”方面，比其他矢量滤波器具有明显的优势。

为了进一步说明PPPSOADWDDF滤除脉冲噪声的能力，给256×256的真彩色图像Parrots分别加上5%，10%和15%的椒盐脉冲噪声，分别用VMF，BVDF，DDF，WVDF，WDDF和本文算法对噪声图像进行滤波，得到滤波图像，计算出对应的E_MAE，E_MSE和E_NCD，并以E_MAE，E_MSE和E_NCD作为滤波性能的客观评价标准对各种滤波器的滤波性能进行评价。表1所示为各种滤波器和本文算法对Parrots的噪声图像进行滤波的性能比较。其中，Noisy表示噪声图像。

从表1可知，矢量滤波器采用权值固定的加权滤波后，其性能均得到一定程度的提高。但由于其权值不随噪声图像而改变，使其滤波效果的提高受到一定的限制。本文提出的算法由于能随噪声图像自适应地调整权值，充分体现了中心像素的重要性和滤波窗口内像素之间的空间距离影响，因此，在各种噪声的影响下，都能取得非常好的效果,其平均绝对误差、均方误差和归一化色度误差等性能指标明显比各种传统的矢量滤波器的低。

表1  几种矢量滤波器的E_MAE，E_MSE和E_NCD比较

Table 1  Comparison of E_MAE, E_MSE and E_NCD of several vector filters

5  结  论

a. 将一种新的微粒群改进算法捕食者-食饵微粒群算法应用于图像滤波，提出了基于捕食者-食饵微粒群的自适应加权矢量方向距离滤波器。

b. 提出的算法能自适应地获得滤波器窗口的最优权值，体现滤波器窗口内像素之间的空间距离对滤波效果的影响，实现彩色图像脉冲噪声的自适应滤波。

c. 提出的算法在平均绝对误差、均方误差和归一化的色度误差等性能指标方面明显比现有的彩色图像滤波方法的低，能在去噪和图像的细节和边缘保护方面达到很好的平衡。

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收稿日期：2007-10-15；修回日期：2007-12-02

基金项目：湖南省自然科学基金资助项目(06JJ50110)；湖南省教育厅科学研究项目(05C545)

通信作者：周鲜成(1965-)，男，湖南双峰人，博士研究生，副教授，从事智能控制和信息处理研究；电话：0731-8688272(O)；E-mail: zxc6501@126.com