DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.09.035

高频热声发动机的声耦合特性

刘益才，莫双林，雷斌义，夏淯博，马颖

(中南大学 能源科学与工程学院，湖南 长沙，410083)

摘要：将协同理论引入高频热声发动机的耦合研究中，基于协同理论得出对高频热声发动机耦合的重要影响参数；建立2列热声振荡器在同一个谐振腔中声耦合的数值研究模型，分析高频热声发动机初始相位差及间距、谐振腔长度以及谐振管长度对声耦合作用的影响。研究结果表明：对高频热声发动机耦合有重要影响的参数有热声发动机间的初始相位差、谐振频率以及耦合强度，高频热声发动机间距对协同影响较小；在保持模型直径、管壁粗糙度等尺寸结构不变的条件下，当谐振腔长度为6 cm时出现协同现象；当谐振腔长度为6 cm时，改变谐振管的长度，谐振频率差对耦合的影响很大，协同状态消失并出现拍频现象，拍频与2列热声振荡器的谐振频率差近似呈线性关系。

关键词：高频热声发动机；声耦合；数值仿真

中图分类号：TB65       文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2017)09-2529-07

Acoustic coupling characteristics of high frequency thermoacoustic engines

LIU Yicai, MO Shuanglin, LEI Binyi, XIA Yubo, MA Ying

(School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: The synergy theory was introduced into the acoustic coupling research of high-frequency thermoacoustic engines. Based on the synergy theory, the important parameters that had impact on the coupling of high-frequency thermoacoustic engines were obtained. Then the numerical model for two thermoacoustic engines in the same cavity was established. The influence of initial phase difference between the thermoacoustic engines, the distance between the thermoacoustic engines, the length of the cavity and the length of the resonance tube on the acoustic coupling characteristic were analyzed. The results show that the initial phase difference between the thermoacoustic engines, the resonant frequency and the coupling strength have important impact on the coupling of high-frequency thermoacoustic engines. The change of the distance between the thermoacoustic engines has small effect on synergistic. When the length of the cavity changes without changing the other structure parameters, and the length of cavity is 6 cm, the synergistic phenomenon appears and the coupling phase difference and coupling sound pressure amplitude reach a steady state. Changing the length of the resonance tube when the cavity length is 6 cm, the resonant frequency difference between the thermoacoustic oscillators has great influence on the coupling, and the synergistic phenomenon disappears and the phenomenon of beat frequency appears. The beat frequency and frequency difference between the thermoacoustic oscillators is approximately linear.

Key words: high-frequency thermoacoustic engine; acoustic coupling; numerical simulation

近30年里，热声热机的理论研究与实际应用都取得了很大的发展^[1-2]。常规的热声发动机因其工作频率在300 Hz以内^[3-5]，使其具有较大的尺寸结构，且声功密度较低，起振温差较大，限制了热声发动机在低品位热源领域的应用。近年来，国内外众多学者采用多级串联环形热声发动机的方式来降低热声发动机的起振条件及提高声功密度和输出功率^[6-8]。但随着热声发动机级数的增加，整机尺寸增大，在一定程度上限制了环形热声发动机的发展。随着人们对低品位能源的重视，高频微型化热声发动机成为了重要的研究方向^[9-11]。高频热声发动机的谐振频率范围为2~25 kHz。高频热声发动机的结构大小与谐振频率有关，谐振频率越大，热机尺寸越小。尽管总声功随着热声发动机尺寸的减小而降低，但是单位声能密度随着热声发动机尺寸的减小而增大，且微型热声发动机需要的起振温差更小，故如何将众多高频微型热声发动机整合为一个整体，实现低起振温度以及高单位声功输出是高频微型化热声发动机的重点研究目标。微型热声发动机阵列式排布是解决该问题的一个有效途径。当多个热声发动机处于同一腔体内阵列式排布时，它们产生的声振荡会发生相互作用，各个热声发动机的声振荡频率和相位角会发生改变，当这种相互作用效果足够强时，会使各个热声发动机的声振荡特性趋于稳定，达到一种同相或反相协同的状态^[12]。而对协同特性进行研究有利于理解高频热声发动机声耦合特性。

1  振荡耦合理论

热声发动机是一种声振荡器。振荡器的耦合就是振荡器之间通过第3种介质进行相互作用，并且对彼此产生影响。对于线性振荡器来说，耦合是线性的。对于热声发动机这种非线性的振荡器来说，其耦合机理很复杂，很难用准确的数学模型进行描述。耦合是热声振荡器之间相互影响的方式，然而，不是所有的耦合作用都会使振荡器达到一种稳定的协同状态。只有振荡器之间的作用强度即耦合强度足够大时，才会使振荡器产生一种稳定的协同状态。

在全局耦合条件下，2列热声振荡器在相空间上的数学描述可以表示为：

       (1)

其中：和为相空间变量；为耦合强度；t为时间；和为相压强变量。该方程为描述任意2个振荡器在任意耦合条件下的一般性方程。若将方程(1)以相位角和频率的形式表达，则振荡器的耦合可以表示为相位振荡随扰动量即耦合强度的变化关系：

     (2)

当耦合强度为常数0时，热声振荡器将维持在自激固有频率上，而相位角将沿着二维空间的极限环运动，如图1所示。

图1  二维相空间的极限环

Fig. 1  Limit cycle in 2D phase-space

极限环上的相位角可以表示为：

                 (3)

假设耦合强度很小，自变量只有相位角，则式(2)可以改写为：

            (4)

其中：和为热声振荡器的频率；和为相位角的周期函数；和为相位角。对和进行傅里叶级数展开，得：

         (5)

假设2个振荡器满足谐振条件：

                  (6)

其中：m和n为没有公约数的整数。将傅里叶级数项和代入式(4)可得：

          (7)

其中：

     (8)

定义2个热声振荡器之间的相位差为，则等式(7)可以写为

            (9)

其中：；；为2个振荡器的频率差。

从式(9)可知：当2个振荡器通过第3种介质相互作用时，会产生耦合效应，从相角变化率的角度看，会改变每个振荡器的相位角。然而，这种改变与谐振器各自的固有频率、初始相位角以及耦合强度有关。若耦合强度较弱，则耦合作用不稳定，相位差随着初始相位角和固有频率的改变而改变；若耦合强度较强，则会使振荡器之间的相位差到达一种稳定状态，称为协同；当协同相位差接近0°时，称为正向协同；当协同相位差接近180°时，称为反向协同。

2  热声振荡器耦合的数值模拟

由振荡耦合理论可知，2列热声振荡器的耦合作用主要受到热声的振荡特性和谐振腔结构特性的影响。热声自激振荡其实质是一种声波振荡，而声波的主要特性是压力的波动。振荡频率、相位角和振荡幅值为压力波动的重要参数，这3个参数也是热声振荡特性的具体体现。对于圆柱型谐振腔来说，谐振腔的结构特性主要体现为谐振腔的长度、半径以及2列热声振荡器的摆放位置。为了研究热声振荡特性和谐振腔结构特性对2列热声振荡器耦合作用的影响，利用Fluent软件对2列高频热声振荡器的耦合特性进行数值研究。其模型简图如图2所示。图2中，点1，2和3为所取的3个监测点，用于监测耦合作用对2列声波及其合作用的影响。监测点1和2分别距离谐振管开口端距离0.5 cm左右，监测点3位于谐振腔端面附近。分别用A和B代表2列热声振荡器。

图2  热声振荡器耦合模型

Fig. 2  Coupling model of thermoacoustic oscillator

2.1  初始相位角对热声振荡器耦合的影响

近年来，人们对高频热声发动机的耦合研究较多^[13-16]。BRENNA等^[17]以2个高频微型热声热机为例，对两者的声耦合进行了实验研究。然而，对于热声发动机来说，其初始相位角是随机的，实验中无法准确测量2列高频热声发动机的初始相位差，进而无法对2列高频热声发动机在谐振腔中的耦合特性进行准确描述。为了研究热声振荡初始相位差对热声耦合作用的影响，在热声板叠处施加压力波的自定义函数(UDF)，以替代热声自激振荡过程。对于这2列压力波动，设定频率和幅值相等，初始相位差为别为45°，90°，145°和180°。对于固定结构的谐振腔来说，其耦合强度是一定的。首先研究一定耦合强度下初始相位差对2列热声振荡器耦合作用的影响。该模型中谐振管的长度为3 cm，半径为0.4 cm；谐振腔的长度为4 cm，半径为4 cm，2列热声振荡器A和B的间距为2 cm。初始相位差对耦合后2列热声振荡器相位差及合成声压幅值的影响如图3所示。

从图3可以看出：初始相位差不同，耦合后的相位差也不同，耦合后的相位差随着初始相位差的增大而增大，并且逐渐趋于180°，而2列振荡器合作用的声压幅值由于这种反向作用的增大而逐渐减小。在谐振腔结构尺寸不变也就是耦合强度不变条件下，改变热声振荡的初始相位差，对热声振荡器的耦合产生不同的影响。耦合后的相位差随着初始相位角的改变而改变，这说明在谐振腔的长度为4 cm，半径为4 cm，2列谐振腔的间距为2 cm的条件下，耦合强度较弱，2列热声振荡器虽然发生了耦合作用，但没有达到一种稳定的耦合相位差，也就是没有发现“锁相”现象，没有产生“协同”作用。

图3  初始相位差对耦合后相位差及合成声压幅值的影响

Fig. 3  Impact of initial phase difference on coupling phase difference and synthetic acoustic pressure

2.2  热声振荡器距离对声耦合的影响

仍不改变谐振腔的尺寸结构，在谐振腔长度为4 cm、半径为4 cm 的条件下，改变2列热声振荡器在谐振腔中的相对位置，在耦合强度不变时观察热声振荡器的布置位置对耦合作用的影响。所采用的模型如图2所示。2列热声振荡器之间的间距分别为2，3和4 cm。设定这2列热声振荡器的压力波动频率和幅值相等，初始相位差为别为45°，90°，145°和180°。耦合后声压幅值和耦合后相位差随热声振荡器间距的关系分别如图4和图5所示。

从图4可知：当2列热声振荡器的间距分别为2，3和4 cm，初始相位差为45°时，耦合后的声压幅值分别为8.071 5，9.974 0和10.654 5 kPa；在初始相位差为180°时，耦合后的声压幅值分别为1 280，856和207 Pa。可见，随着2列热声振荡器间距的增大，初始相位差的变化对合成声压幅值的影响越来越大。从图5可以看出：在热声振荡器间距不同时，耦合后的相位差随着初始相位差的增大而增大；当2列热声振荡器间距为4 cm时，初始相位差对耦合后相位差的影响最大。可见，在谐振腔尺寸结构不变时，改变热声振荡器间距对协同作用的影响很小。

图4  合成声压幅值随热声振荡器间距的变化关系

Fig. 4  Relationship between synthetic acoustic pressure level and distance of thermoacoustic oscillator

图5  耦合相位差随热声振荡器间距的变化关系

Fig. 5  Relationship between coupling phase difference and distance of thermoacoustic oscillator

2.3  谐振腔长度对声耦合的影响

当谐振腔结构尺寸固定时，耦合强度也固定。当耦合强度较弱时，2个热声振荡器的耦合作用程度较弱，对热声振荡器的初始状态干扰较弱；当2个热声振荡器的初始相位差不同时，所产生的耦合效果不同。下面研究谐振腔的尺寸结构对2个热声振荡器耦合程度的影响。采用图2所示模型，谐振腔半径为4 cm，2列谐振腔的间距为2 cm，谐振腔的长度变化范围为2~6 cm。2列热声振荡器的初始相位差分别为45°，90°，145°和180°。

随着谐振腔长度变化，耦合后振荡幅值的变化趋势不同，如图6所示。从图6可见：当初始相位差为45°时，合成声压幅值随谐振腔长度的增加而减小；当谐振腔长度为2 cm时，合成声压幅值为16.974 5 kPa；而当谐振腔长度为6 cm时，合成声压幅值仅为3.587 kPa；当初始相位差为180°时，合成声压幅值变化不大，谐振腔长度为2 cm时，合成声压幅值为2.217 kPa；当谐振腔长度为6 cm时，合成声压幅值为2.333 5 kPa；当谐振腔尺寸为6 cm时，合成声压幅值随初始相位差的变化变化平缓，达到了一种稳定的状态。这种稳定状态也可以从耦合后的相位差随谐振腔长度的变化关系中得到进一步验证，如图7所示。

图6  合成声压幅值随谐振腔长度的变化关系

Fig. 6  Relationship between synthetic acoustic pressure level and length of resonant tube

图7  耦合后相位差随谐振腔长度的变化关系

Fig. 7  Relationship between coupling phase difference and length of resonant tube

从图7可以看出：当初始相位差为45°时，耦合后的相位差随着谐振腔长度的不同差别较大；当谐振腔的长度为2 cm时，耦合后的相位差为36°；当谐振腔的长度为6 cm时，耦合后的相位差为171°；当初始相位差为180°时，在不同谐振腔长度下，耦合相位差都接近180°。值得注意的是：当谐振腔的长度为6 cm时，耦合后的相位差随初始相位差的变化变化不大，稳定在180°左右，可以认为发生了“锁相”现象。由此可知：当谐振腔的长度为6 cm时，耦合强度较大，耦合效果好，2列热声振荡器达到反向协同状态。

通过上述分析可知：谐振腔的长度对2列热声振荡器的耦合效果有较大影响；在谐振腔长度为6 cm，半径为4 cm，2列谐振腔间距为2 cm的条件下，耦合强度最大，合成声压幅值和耦合相位差几乎不随初始相位差的变化而变化，发现“锁相”现象，热声振荡器达到反向协同状态。这说明当2个或2个以上的热声振荡器耦合时，谐振腔的尺寸结构对热声振荡器的耦合效果有至关重要的影响；当耦合强度较弱时，初始相位差对热声振荡器的耦合有很大影响，由于热声振荡器的初始相位差是随机的，所以，宏观上体现为热声振荡器耦合现象不稳定；当耦合强度较强时，初始相位差对热声振荡器的耦合影响较小，耦合后的热声振荡器维持在一种稳定状态，体现为耦合后的2列热声振荡器的相位差维持不变，即出现“锁相”现象，达到协同状态。热声振荡器的协同分为正向协同和反向协同。正向协同耦合的热声振荡器的相位差一般在0°左右，反向协同耦合的热声振荡器的相位差一般在180°左右。正向协同使耦合后的声压幅值大于单独的热声振荡器的声压幅值，在理想条件下，耦合后的声压幅值为各个单独热声振荡器声压幅值之和；反向协同则会削弱热声振荡器的声压幅值。

2.4  谐振频率对声耦合的影响

在谐振腔长度为6 cm时，耦合强度最大，耦合后2个热声振荡器的相位差不变，幅值稳定，2个热声振荡器达到了反向协同状态。然而，之前的结果都是在2个热声振荡器具有相同的谐振频率下得出的，根据耦合理论可知，振荡频率对振荡耦合也具有重要影响。由热声热机的振荡特性可知，谐振频率主要由谐振管的长度决定，对于1波长和4波长的驻波型热声热机，谐振频率随着谐振管的增大而减小，反之，则增大。在谐振腔长度为6 cm、谐振管间距为2 cm时，通过改变谐振管的长度研究谐振频率对耦合作用的影响。热声振荡器A的长度不变，热声振荡器B的长度分别增加0.4，0.6和1.0 mm。经过耦合作用后谐振腔端面中心处的振荡特性如图8~10所示。

耦合后的2列热声振荡器的相位差呈现周期性变化，相位差从0°变化到180°。从图8～10可以看出：在谐振腔端面中心，耦合后的压力幅值呈现周期性变化，时强时弱，出现波包，在声学上称为拍频现象。这表明当谐振管长度差从0.4 mm变化到1.0 mm时，协同状态消失，2个热声振荡器的相互作用呈现周期性变化。当谐振管长度差为0.4，0.6和1.0 mm时，谐振腔端面中心的拍频与改变谐振管长度产生的频率差如图11所示。从图11可以看出：拍频与频率差近似呈线性关系，拍频随着谐振频率差的增大而增大。由此可见：在谐振腔尺寸结构一定即耦合强度一定时，2个热声振荡器的谐振频率对耦合作用有重要影响。所以，在高频微型热声热机耦合设计中，应尽量保持谐振管尺寸的一致性。

图8  谐振管长度差为0.4 mm时谐振腔端面中心压力耦合特性

Fig. 8  Central pressure coupling property in the end face of resonant cavity when length difference of resonant tube is 0.4 mm

图9  谐振管长度差为0.6 mm时谐振腔端面中心压力耦合特性

Fig. 9  Central pressure coupling property in the end face of resonant cavity when length difference of resonant tube is 0.6 mm

图10  谐振管长度差为1.0 mm时谐振腔端面中心压力耦合特性

Fig. 10  Central pressure coupling property in the end face of resonant cavity when length difference of resonant tube is 1.0 mm

图11  拍频与谐振频率差的关系

Fig. 11  Relationship between beat frequency and resonant frequency

3  结论

1) 耦合强度较弱时初始相位差对热声振荡器耦合的影响较大，耦合结果随着初始相位差的改变而改变。

2) 在谐振腔尺寸结构不变时，热声振荡器间距对协同作用的影响很小。

3) 谐振腔长度对热声振荡器耦合作用有重要影响，在改变谐振腔长度时出现锁相现象。

4) 谐振频率差对耦合作用影响很大，随着谐振频率的改变协同状态消失，2个热声振荡器耦合之后出现拍频现象。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2016-10-15；修回日期：2016-12-21

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51276201) (Project(51276201) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：刘益才，博士，教授，从事热声热机、斯特林制冷机、高效蓄冷蓄热材料、微型低温制冷机以及微型制冷系统振动和噪声抑制等研究；E-mail: lyccsu@csu.edu.cn