火灾下钢筋混凝土柱非线性有限元分析
丁发兴1, 2，余志武1，欧进萍2
(1. 中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙，410075；
2. 哈尔滨工业大学 土木工程学院，黑龙江 哈尔滨，150090)
摘 要：采用合理的钢材和混凝土的热-力耦合本构模型，针对火灾下钢筋混凝土截面可能出现卸载和反向再加载情形，提出高温下混凝土单轴应力-应变滞回关系。根据火灾下U.L.列式虚功增量方程和分层非线性梁单元方法，建立火灾下钢筋混凝土柱非线性有限元分析理论并编制相应的全过程分析程序NARCLF。对典型火灾下钢筋混凝土柱的试验资料进行双重非线性有限元分析。研究结果表明：采用材料应力-应变滞回关系的有限元分析方法的计算结果与实验结果较吻合，证明采用该方法可合理反映火灾下钢筋混凝土柱的变形特性和耐火性能。
关键词：钢筋混凝土柱；火灾；应力-应变滞回关系；耐火；非线性分析；有限元
中图分类号：TU528 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2008)03-0608-07
Nonlinear finite element analysis of reinforced concrete columns in fire
DING Fa-xing1, 2, YU Zhi-wu1, OU Jin-ping2
(1. School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;
2. School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China)
Abstract: Applying appropriate thermal-stress coupling constitutive model of both steel bars and concrete in fire, considering that there would appear unloading and even reverse reloading, the stress-strain hysteretic relationship for concrete at high temperature was proposed. According to U.L. formula of element incremental equilibrium under fire condition and layered nonlinear finite beam element method, the analysis theory of nonlinear finite beam element for reinforced concrete (RC) columns in fire was presented and a FORTRAN program named NARCLF was developed. The reliability of the present method and program was validated by the experimental results of RC columns with rectangular section in fire. The results show that the analytical results are in good agreement with the experimental ones, which indicates that the present method and program based on stress-strain hysteretic relationship for material at high temperature can reflect the deformation and fire resistance behavior of the columns in fire reasonably.
Key words: reinforced concrete column; fire; stress-strain hysteretic relations; fire resistance, nonlinear analysis; finite element
火灾下建筑结构的材料模型极其复杂。高温下钢材和混凝土单轴力学试验研究表明[1]：钢材和混凝土的高温本构关系随温度、应力和时间而有不同的变化规律，构成复杂的热-力耦合本构关系。由于温度场不均匀，高温下钢筋混凝土梁跨中受拉区混凝土和钢筋混凝土柱形心处混凝土易出现卸载和反向再加载情形。已有钢筋混凝土柱抗火非线性分析中，分析方法包括模型柱法(也叫纤维模型法)[2-4]和有限元法[5-8]。
模型柱法以升温加载的方式来计算恒载升温途径下钢筋混凝土柱的抗火性能，不能合理反映其加载途径；采用大型商业有限元程序三维建模[5, 7]则耗时过多；采用自编的非线性梁单元模型[1, 6, 8]的有限元法，一般不考虑结构几何非线性的影响，且近年来其研究和应用较少。为反映火灾下钢筋混凝土截面的加载、卸载和反向加载性能，本文作者采用合理的钢材和混凝土的热-力耦合本构模型，并提出高温下混凝土应力-应变滞回关系，根据火灾下U.L.列式虚功增量方程和平面非线性梁单元理论，建立火灾下钢筋混凝土柱非线性有限元分析理论并编制程序NARCLF(non-linear finite analysis of reinforced concrete columns under loading and fire)，以反映钢筋和混凝土的高温力学性能与构件的高温受力特点，实现钢筋混凝土柱在温度和荷载共同作用下的受力全过程分析。
1 基本假设和材料热-力耦合本构 关系
1.1 基本假设
火灾下钢筋混凝土柱受力分析采用两节点梁单元理论，节点截面采用分块计算模型。图1所示为截面网格划分示意图，其中：宽度b被划分成n份，除第1份和第n份之外，其余各份均为等份，长为b/n，第1份和第n份长为b/(2n)；高度h被划分成m份，除第1份和第m份之外,其余各份均为等份，长为h/m，第1份和第m份长为h/(2m)。为简化分析，进行如下假设：
a. 平截面假定，即任一截面沿高度方向的轴向应变呈线性分布。
b. 无滑移假定，即不考虑钢筋与核心混凝土之间粘结滑移的影响。
c. 无剪切假定，即对于钢筋混凝土柱，其构件变形以弯曲变形为主，而忽略剪切变形的影响。
图1 钢筋混凝土矩形截面的网格划分
Fig. 1 Arrangement of elementary layers in section of
d. 梁单元长度取得足够短，对于每一层，其应变均匀分布，近似等于该层平均应变。
e. 除非应力反号，否则，混凝土的纵向瞬态热应变和短期高温徐变以及钢筋纵向的高温蠕变仍单调 增长。
f. 不考虑钢筋混凝土柱的局部屈曲。
1.2 高温下混凝土的纵向热-力耦合本构模型
核心混凝土的纵向总应变(εc)由4部分组成，即应力作用产生的应变(εc, σ)、自由膨胀应变(εc, th)、瞬态热应变(εc, tr)和短期高温徐变(εc, cr)，于是，可建立：
混凝土纵向热膨胀系数(
)采用文献[2]中建议的表达式：
混凝土纵向受压时，在高温下混凝土单轴受压研究成果[9]基础上，针对文献[2]中四面受火下矩形截面钢筋混凝土柱的变形性能试验结果，纵向瞬态热应变(εc, tr)和纵向短期高温徐变(εc, cr)的表达式修正为：
1.3 高温下钢材的纵向热-力耦合本构模型
钢材在温度和应力共同作用下的总应变(εs)由3部分组成，即应力作用产生的应变(εs, σ)、自由膨胀应变(εs, th)和高温蠕变(εs, cr)，于是，
εs=εs, σ+εs, th+εs, cr 。 (6)
则当火灾时间从tf到tf+Δtf时，
钢筋纵向热膨胀系数
计算式为[10]
钢材单轴受拉、压时，按文献[11]中建议，钢材的高温蠕变εs, cr表达式为：
2 高温下混凝土滞回应力-应变关系
在往复循环荷载作用下，一般假设常温下混凝土的应力-应变滞回关系骨架曲线与单向加载应力-应变曲线一致，高温下也采用这种假设。在参考已有常温下混凝土单轴应力-应变滞回关系[12]的基础上，根据常温下混凝土单轴损伤本构模型[13]的卸载规则和高温下单轴受压应力-应变关系[14]，构造高温下混凝土单轴应力-应变滞回关系，图2所示为其示意图。其中：OAB为受压区加载包络线；ODE为拉区加载包络线；BC为受压区卸载、再加载线；CD为受压区反向加载、卸载曲线(此时混凝土尚未受拉开裂)；CD为受压区反向加载、卸载曲线(此时混凝土已受拉开裂)；EF为受拉区卸载、再加载线；FGA为受拉区反向加载线(此时混凝土尚未受压开裂)；FB为受拉区反向加载、卸载线(此时混凝土已受压开裂)；GH为裂面效应曲线上卸载、再加载线；HE为受拉区反向加载、卸载线(此时混凝土已受拉开裂)；HD为受拉区反向加载、卸载线(此时混凝土尚未受拉开裂)。
图2 高温下混凝土的应力-应变滞回关系
Fig. 2 Stress-strain hysteretic relationship of concrete at high temperature
2.1 包络线
采用高温下混凝土单轴受压应力-应变关系式[14]：
高温下混凝土单轴受拉应力-应变关系式采用与常温下混凝土单轴受拉应力-应变关系式[15]一致的形式：
需要指出的是，恒高温下混凝土轴心抗拉强度(
)随温度升高而逐渐降低的规律与抗压强度的变化规律类似，这里暂用高温下轴心抗压强度与常温下轴心抗压强度之比来代替高温下轴心抗拉强度与常温下轴心抗拉强度之比，用高温下受压峰值应变与常温下受压峰值应变之比来代替高温下受拉峰值应变与常温下受拉峰值应变之比。由于常温下混凝土的抗拉强度很低，高温下的抗拉强度更低，这种近似处理方法是为了方便计算，对计算结果的影响是可以忽略不计的。
2.2 受压卸载、再加载法则
当ε≤0.5
时，按原曲线卸载、再加载；当ε＞0.5时，卸载、再加载图形为同一直线，其刚度为
，如从B点卸载至C点，εC为自卸载点B卸载至σC=0时的残余应变：
在文献[13]的基础上，引入不同温度下混凝土的受压峰值应变，其他参数不变，于是，
为高温下混凝土弹性模量，其计算式如下[14]：
反向加载时，当应变历史上出现的最大拉应变
≤。即受拉混凝土尚未发生开裂时，应力应变将沿直线CD发展，D(
)为骨架线上峰值拉应力的对应点；当应变历史上出现的最大拉应变＞
时，应力应变将沿直线CE发展，E(εE, σE)为骨架线上最大拉应变的对应点。
2.3 受拉卸载、再加载法则
当ε≤0.5
时，按原曲线卸载、再加载；当ε＞0.5时，卸载、再加载图形为同一直线，其刚度为
，如从E点卸载至F点，εF为自卸载点E卸载至σF=0时的残余应变：
在文献[13]的基础上，引入不同温度下混凝土的受拉峰值应变，其他参数不变，于是，
反向加载时，当应变历史上出现的最大压应变ε≤。即受压混凝土尚未发生开裂时，应力应变将沿曲线FGA发展，A(εcT, fcT)为骨架线上峰值压应力的对应点；当应变历史上出现的最大拉应变ε＞时，应力应变将沿直线FB发展，B(εB, σB)为骨架线上最大压应变的对应点。
曲线FGA反映了裂面效应使刚度增大。裂面效应应力-应变关系满足下列曲线到达受压峰值应力(ε≤)：
当ε-εF≤0.3(-εF)时，曲线FGA上卸载时按原曲线卸载、再加载；当ε－εF＞0.3(-εF)时，卸载、再加载为同一直线，其刚度为
，从G点卸载至H点，εH为自卸载点G卸载至σH=0时的残余应变：
当卸载至H点后反向加载时，沿直线HE或HD返回骨架曲线。
钢筋采用理想的弹塑性模型，其加卸载规则如图3所示。高温下钢材的屈服强度和弹性模量折减系数采用欧洲规范[16]推荐值。
图3 高温下钢材的应力-应变滞回关系
Fig. 3 Stress-strain hysteretic relationship of steel at high temperature
3 火灾下钢筋混凝土柱的非线性有限元分析
采用两节点梁柱单元，单元截面分层分块，火灾下梁单元的非线性方程组的解为[17]：
4 数值算例
火灾下钢筋混凝土柱的试验研究由2部分组成：一部分为常温加载，模拟实际钢筋混凝土柱承受的正常使用荷载，另一部分为恒载升温，荷载保持不变而钢筋混凝土柱周围环境温度不断升高，模拟钢筋混凝土柱在楼层发生火灾时的情形。文献[2]报道了3根两端固支的足尺钢筋混凝土轴压柱在恒载升温途径下的试验研究，试验结果合理，被广泛应用。试验采用的火灾环境升温曲线按加拿大规程CAN—S101[2]进行：
‘钢筋混凝土柱在四面均匀受火下的温度场分布按文献[18]中计算方法进行计算，图4所示为钢筋混凝土柱截面温度场的计算结果与试验结果[2]的比较情况。其中：b为柱截面宽度；h为柱截面高度；d为温度场测点沿短边离混凝土外表面的距离。可见，两者较吻合。
(a) b=305 mm, h=457 mm[2]; (b) b=203 mm, h=914 mm[2]
d/mm: 1—13; 2—64; 3—152; 4—38; 5—102
图4 钢筋混凝土柱温度场计算值与实测值的比较
Fig.4 Comparison of predicted values and tested values of temperature field within RC columns
结合本文提出的计算理论对其进行数值仿真分析，计算时取初始挠度v0＝L/1 000，并假设挠曲线为正弦半波，L为柱的总长度。图5所示为典型的柱轴向变形(u)与火灾时间(tf)关系的计算曲线与试验曲线的比较结果，其中：C为柱混凝土保护层厚度；fs为钢筋屈服强度；fcu为混凝土立方体抗压强度；N0为柱子施加的轴向荷载。可见，两者较吻合，且计算的耐火极限是试验结果的上限。图中也给出了柱跨中侧向变形(v)与火灾时间(tf)关系的计算曲线(由于钢筋混凝土柱四面均匀受火，无法测得跨中侧向变形)。
分析结果表明，在火灾前期，构件截面温度场变化快，采用的时间步长较短(Δtf≤0.2 min)；在火灾中期，构件截面温度场变化缓，采用的时间步长较长 (Δtf为0.5~2 min)；在火灾后期，此时的等效结点弯矩荷载增量较大，程序运算时较难收敛，采用的时间步长较短(Δtf≤0.2 min)。
图5所示为2种材料应力-应变关系对计算结果的影响。可以看出，采用应力-应变滞回关系(加载、卸载和再加载的路径不同)的变形计算结果比采用应力-应变骨架关系(加载、卸载和再加载的路径相同)的变形计算结果更合理。
(a) b=305 mm, h=305 mm, L=3 810 mm, C =40 mm,
fs=414 MPa, fcu =44.1 MPa, N0=1 067 kN, 4Φ25[2];
(b) b=914 mm, h=203 mm, L=3 810 mm, C =40 mm,
fs=414 MPa, fcu =50.1 MPa, N0=756 kN, 8Φ18[2] ;
(c) b=457 mm, h=305 mm, L=3 810 mm, C =40 mm,
fs=414 MPa, fcu =50.5 MPa, N0=1 413 kN, 8Φ22[2]
1—试验轴向曲线(u-tf曲线)；
2—计算轴向曲线(u-tf曲线)，按应力-应变滞回关系计算；
3—计算轴向曲线(u-tf曲线)，按应力-应变骨架关系计算；
4—计算侧向曲线(v-tf曲线)，按应力-应变滞回关系计算；
5—计算侧向曲线(v-tf曲线)，应力-应变骨架关系计算
图5 火灾中钢筋混凝土柱时间-变形曲线计算结果与
试验结果的比较
Fig. 5 Comparisons between calculated results and experimental results of time-displacement of RC columns in fire
此外，徐玉野[5]采用ANSYS对图5中截面尺寸为457 mm×305 mm的钢筋混凝土柱的抗火性能进行分析。计算时考虑结构的对称性，取1/4的柱子分析，混凝土采用Solid65单元，钢筋采用Link8单元，模型共分2 716个单元，4 606个节点，采用三维结构非线性分析耗时90 h，可见，计算量非常大。对于相同的算例，采用笔者编制的梁单元结构非线性分析程序进行分析，模型共分24个单元，25个节点，耗时在 0.5 h以内。可见，采用梁单元的结构非线性分析，其计算速度较快。
5 结 论
a. 采用钢材和混凝土的热-力耦合本构模型，提出了高温下混凝土单轴应力-应变滞回关系，以合理反映火灾下钢筋混凝土截面出现的卸载和反向再加载情形。
b. 提出了火灾下钢筋混凝土柱双重非线性有限元分析理论并编制了NACFSTLF非线性有限元程序，程序计算结果与试验结果较吻合。
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收稿日期：2007-06-16；修回日期：2007-09-02
基金项目：国家自然科学基金资助项目(50578162)；教育部博士点基金资助项目(20060533038)；湖南省自然科学青年基金资助项目(07554014)
通信作者：余志武(1955-)，男，湖南临湘人，教授，博士生导师，从事结构抗火研究；电话：0731-2655366；E-mail: zhwyu@mail.csu.edu.cn
