DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.12.024
基于ATENA的梁侧锚固钢板加固梁中纵横向滑移数值模拟
蔡自伟，陆洲导，李凌志
(同济大学 土木工程学院结构工程与防灾研究所，上海，200092)
摘要：为了研究梁侧锚固钢板加固混凝土梁(BSP梁)中由于锚栓连接剪切变形而导致连接界面上存在纵横向相对滑移而造成的加固效果降低问题，采用非线性有限元分析软件ATENA模拟在不同外荷载作用下不同几何参数BSP梁的纵横向滑移及锚栓连接剪力传递行为，并与前期试验结果进行对比以验证模型的适用性。在此基础上，通过参数分析研究荷载布置、混凝土梁、钢板和锚栓连接刚度等因素对纵横向滑移及剪力传递的影响规律。研究结果表明：锚栓剪力与滑移基本呈线性关系，正向和负向的纵横向锚栓剪力传递均满足平衡条件，剪力传递的幅值由外荷载决定，但其分布曲线的形状与外荷载无关，由荷载形式决定。
关键词：钢筋混凝土梁；梁侧锚固钢板；滑移；剪力传递；非线性有限元分析
中图分类号：TU375.1 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2017)12-3316-12
Numerical simulation of longitudinal and transverse slips in bolted-side plated RC beams based on ATENA
CAI Ziwei, LU Zhoudao, LI Lingzhi
(Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction,College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)
Abstract: Reinforced concrete (RC) beams strengthened with bolted steel plates on their vertical faces are known as bolted side-plated (BSP) beams. The performance of BSP beams are controlled by the partial interaction due to the longitudinal and transverse slips on the steel-concrete interface caused by the shear deformation of the bolt connection under the shear force transferred from the RC beam to the bolted steel plates. A nonlinear finite element analysis (NLFEA) using the computer software ATENA, which was validated by the outcomes of a previous experimental study, was conducted to investigate the behaviour of BSP beams with different beam geometries and under various loading conditions. The effects of loading arrangements, the stiffnesss of RC beams, steel plates and bolt connections were further investigated by a parametric study. The results show that linear bolt shear force-slip relation and force equilibrium are found in both the longitudinal and transverse shear transfers and slips. The magnitudes of the shear transfers are proportional to those of the external loads, but their distribution profiles are controlled by the loading type in stead of the magnitudes of loads.
Key words: reinforced concrete beam; bolted side-plating; slip; shear transfer; nonlinear finite element analysis
对既有结构进行检测、鉴定、加固和改造正成为建筑业的热点之一[1]。钢筋混凝土梁的加固主要采用粘钢法和粘贴纤维增强聚合物(FRP)法，其加固机理是通过结构胶将钢板或FRP粘贴到混凝土构件表面，使二者协同工作。这2种加固技术易受结构胶质量、使用环境和施工工艺的影响，钢板与混凝土黏结面可能发生过早脱胶和脆性剥离破坏[2-3]。采用梁底锚固钢板法虽然可以避免剥离破坏并增加梁的抗弯强度和刚度，但会导致超筋和延性降低[3]。因此，SU等[4]提出采用梁侧锚固钢板加固混凝土梁(BSP梁)。BSP梁在延性降低不多的情况下具有更高的抗弯、抗剪承载力，裂缝开展均匀且宽度小，不会发生剥离破坏，施工方便，质量可靠[5-6]。BSP梁通常发生钢板屈曲[7-8]和因锚栓剪切变形而导致的钢板与混凝土梁之间相对滑移[9-10]的问题，其加固效果也往往由于纵向和横向相对滑移而导致的钢板与混凝土梁不完全共同工作而降低。关于纵向滑移和锚栓纵向剪力传递的研究十分有限，NEWMARK[11]研究了钢筋混凝土板和钢梁间的不完全共同工作，建立了预测钢梁-混凝土板交界面纵向滑移的弹性模型。SU等[12]提出的纵向滑移的数值程序能够比较精确地预测梁跨内一些离散点的纵向滑移。LI等[5, 13]进行了梁跨内纵向滑移分布的试验研究和数值模拟，提出了纵向滑移和部分共同作用的解析模型，得到了纵向滑移的计算公式。横向滑移和锚栓横向剪力传递对BSP梁的影响往往更为关键。横向滑移通常为 0.01~ 0.50 mm之间，很难被精确测量。以往研究采用了很多假定来描述 BSP 梁的横向滑移特性。OEHLERS等[10]通过理论分析建立了横向共同工作程度和锚栓剪切刚度之间的关系，但是其关于剪力在钢板和混凝土交界面上均匀分配的假定与实际情况并不一致。NGUYEN等[14]基于这一模型导出了纵向和横向共同工作程度的关系，但是其在计算中性轴位置时采用的钢板和混凝土梁曲率相同的假定与连接界面上存在横向滑移的假定是互相矛盾的。SIU等[9, 15]开发了用以衡量锚栓群非线性剪切本构模型和BSP梁纵横向滑移分布的数值程序，提供了确定横向滑移的方法，但其关于横向滑移沿梁跨线性分布的假定尚未得到证实。BSP梁纵横向滑移理论分析和试验研究仍存在很多限制。因此，本文作者采用非线性有限元分析软件ATENA建立了一种新的有限元模型，以分析不同几何参数、不同荷载工况下BSP梁的纵横向滑移和锚栓剪力传递的变化规律。
1 数值模拟
1.1 混凝土模拟
将混凝土理想化为厚度等于梁宽的二维实体，并采用混凝土本构模型SBETA来模拟混凝土的反应。其中，SBETA模型考虑了如下因素：1) 混凝土在受压状态下的非线性反应，包括硬化和软化阶段；2) 混凝土基于非线性断裂力学的受拉开裂；3) 双轴强度破坏准则；4) 开裂后抗压强度的降低；5) 开裂后剪切刚度的降低。SBETA 模型是在KUPFER等[16]提出的双轴破坏准则(见图1(a))与DARWIN等[17]提出的等效单轴应力-应变曲线(见图1(b))基础上建立的。
根据KUPFER破坏准则[16]，混凝土抗拉强度ft和抗压强度fc是由混凝土当前应力状态(σ1和σ2)所决定的：
(1)
(2)
(3)
(4)
式中：
和
分别为混凝土有效抗压强度和有效抗拉强度。
利用修正的等效单轴应力-应变曲线，可根据等效单轴应变计算得出有效主应力。修正的等效单轴应力-应变曲线考虑了以下混凝土的4种状态。
1) 受拉开裂前为理想线弹性材料：
(5)
式中：
为混凝土有效应力；E0为混凝土初始弹性模量；
为混凝土等效单轴应变；
为混凝土应力。
2) 受拉开裂后，采用基于指数下降和断裂能[18]的虚拟裂缝模型来分析：
(6)
其中：
为裂缝法向应力；wc为裂缝宽度；wcr为应力完全释放时裂缝宽度；Gf为应力完全释放时单位面积的断裂能。
3) 受压达到峰值应力之前，采用规范CEB-FIP Model Code 90[19]的描述：
(7)
式中：Ecc和εc0分别为混凝土峰值受压应力对应的割线模量和应变。
4) 受压达到峰值应力后，采用虚拟受压平面模型[20]来描述：
(8)
式中：wcd和Lcd分别为虚拟受压平面模型的塑性位移和带宽。
为保证数值模型所采用的混凝土材料属性的准确，其抗压强度和弹性模量按试验数据校准。虚拟受压平面模型峰值应力对应的应变和塑性位移为
(9)
式中：fcu为混凝土立方体抗压强度。
1.2 钢筋和钢板模拟
钢筋采用带强化阶段的双折线本构模型来模拟。箍筋通过在混凝土层上叠加弥散箍筋层来模拟。纵向钢筋采用ATENA的离散杆单元CCBarWithBond来模拟，并考虑了黏结滑移效应。钢板简化为平面应力层，其材料利用双折线Von Mises模型模拟，考虑了双轴破坏准则和双折线本构曲线，同时考虑了钢材的弹性阶段和硬化阶段。
图1 混凝土模型
Fig. 1 Concrete models
1.3 锚栓连接模拟
在非线性有限元分析中，由于存在界面滑移，钢板和钢筋混凝土梁并不是直接连接。如图2(a)所示，锚栓连接采用符合Von Mises双折线模型的锚栓单元进行模拟。利用2种类型的单元来模拟单个锚栓连接：1) 内部4个刚度较高的三角形单元模拟螺杆受压变形；2) 外部4个刚度较低的四边形单元模拟螺杆剪切变形。锚栓单元的内部节点与钢板层连接，外部节点与混凝土层连接。采用这一模型来模拟锚栓单剪试验(如图2(b)所示)。锚栓单元的材料属性利用试验结果[5]来校准。由校准结果可知，该锚栓连接的模拟剪力-滑移曲线和实测曲线具有很好的一致性，可用于后续BSP梁的有限元模型中。
图2 锚栓连接模拟
Fig. 2 Simulation of bolt connection
1.4 网格划分和加载步骤
混凝土和弥散箍筋层均由边长为12.5 mm的4节点正方形平面应力单元组成。2种单元的网格划分相同并在每个节点都相互连接，即假定相互间无相对滑移。纵向钢筋采用2节点杆单元来模拟，把黏结滑移关系引入钢筋节点和相应混凝土层节点之间的位移差，以分析黏结滑移效应。钢板采用边长为12.5 mm的四节点正方形平面应力单元模拟。预先设计好混凝土和钢板层的节点坐标，以使其位于锚栓处的节点坐标与对应锚栓单元的外围及中心节点坐标重合。为避免应力集中，铰支座、辊轴支座和加载点采用四节点平面应力刚性板单元模拟。图3所示为试件P100B450[5]的有限单元划分，由于几何尺寸和荷载对称，图中所示仅表示了一半试件的网格划分。模型建立后，在2个加载点施加单调递增的位移控制加载，利用修正Newton-Raphson方法进行求解以得到包含下降段的荷载-位移曲线。
图3 试件P100B450的网格划分
Fig. 3 Meshing of specimen P100B450
2 数值模型验证
2.1 试验简介
前期试验研究[5]对7根混凝土梁进行了四点受弯试验以研究BSP梁的抗弯加固性能。采用4根几何尺寸相同但锚栓-钢板布置不同的BSP梁，分别作出它们的横向滑移分布和荷载-位移曲线来验证数值模型。
4根梁和参照梁的长度均为4 000 mm，截面长×宽为350mm×225mm。钢板、箍筋、受压钢筋和受拉钢筋的屈服强度分别为329，298，501和522 MPa，其弹性模量分别为202，198，211和201 GPa。
图4所示为试件的配筋和加固布置。采用Hilti HIT-RE500 黏结剂和直径为10 mm的HAS-E锚栓将钢板和梁侧面相连。通过间距为300mm或450mm的锚栓将厚6 mm、高100 mm(窄型Dp/Dc= 100/350＜1/3，Dp为钢板宽度，Dc为梁高)或250 mm(宽型Dp/Dc=250/350＞1/2)的钢板固定在梁的侧面来产生不同的强化效果。引入屈曲限制措施来减轻可能发生在较宽钢板受压区域的钢板屈曲。表1所示为试件名称和混凝土强度、钢板、锚栓、屈曲限制措施的设计参数以及这些试件加载时记录的峰值荷载。试件采用四点弯曲试验，净跨为3 600 mm，纯弯段为1 200 mm。
2.2 试验结果和数值模拟结果对比
图5所示为BSP梁试验和数值模拟荷载-位移曲线。由图5可知，无论是窄型钢板(P100B300和P100B450)还是宽型钢板(P250B300R和P250B450R)，模拟结果基本上能重现整个试验过程中各加固梁的荷载–位移变化规律，但对梁的抗弯刚度和承载力都有小幅高估，主要原因可能是梁与立方体试块混凝土强度的差别或是限制屈曲措施未能完全限制钢板屈曲的产生。值得注意的是，数值模拟对峰值荷载存在小幅高估，试件P100B300，P100B450，P250B300R和P250B450R数值模拟的结果分别高估了2.0%，0.5%，1.7%和3.7%。
图4 试件横截面
Fig. 4 Cross sections of specimens
表1 混凝土材料属性和加固构造
Table 1 Concrete material properties and strengthening details
图6所示为2种荷载水平(F/Fp=0.25和0.75，其中F为荷载，Fp为峰值荷载)下试件P100B300和P100B450的试验和数值纵向滑移分布。在4种荷载水平(F/Fp=0.25，0.50，0.75和1.00)下，各试件的板端纵向滑移见表2。由图6和表2可知：数值预测结果与试验纵向滑移结果非常一致，各试件纵向滑移数值结果与试验结果的比值的平均值分别为1.00，0.94，1.07和1.10。
图5 试验和数值模拟荷载-位移曲线对比
Fig. 5 Comparison of load–deflection curves obtained from experimental and numerical results
图6 纵向滑移的试验和数值分析结果对比
Fig. 6 Comparison of longitudinal slip profiles obtained from experimental and numerical results
图7所示为2种荷载水平(F/Fp=0.25和0.75)下试件P100B300 和 P250B300R的横向滑移分布。由图7可知：2个试件的数值模拟与试验研究的横向滑移分布具有很好的一致性。对于4种荷载水平(F/Fp=0.25，0.50，0.75和1.00)，试件加载点数值模拟与试验研究的横向滑移见表3。试件P100B300，P100B450，P250B300R和P250B450R横向滑移数值结果与试验结果的比值的平均值分别为1.13，0.93，1.10和1.28，可见试件P100B300 和 P100B450的数值模拟和试验研究的横向滑移比较一致。试件P250B300R和P250B450R预测的滑移有所高估，但仍可以接受。这可能是因为较宽钢板发生屈曲引起了抗弯刚度减小，进而使测量的横向滑移减少。
表2 纵向滑移的试验和数值分析结果对比
Table 2 Comparison of experimental and numerical longitudinal slips
表3 横向滑移的试验和数值分析结果对比
Table 3 Comparison of experimental and numerical transverse slips
图7 横向滑移的试验和数值分析结果对比
Fig. 7 Comparison of transverse slip profiles obtained from experimental and numerical results
3 模拟结果分析
3.1 纵向锚栓剪力传递及纵向滑移
纵向锚栓剪力Tm引起锚栓纵向的剪切变形，进而引起纵向滑移Slc，Tm和Slc的关系可表达如下：
(10)
其中，Kb=Rby/Sby为锚栓剪切刚度，可通过锚栓抗剪试验来确定；Rby为锚栓屈服剪力；Sby为相应的屈服剪切变形。假定锚栓满足线弹性应力应变关系，则与剪力-剪切变形对应的锚栓刚度可用Kb来表示。纵向剪力传递tm定义为纵向锚栓剪力Tm与锚栓间距Sb之比：
(11)
其中，km=Kb/Sb，为锚栓间距范围内单位长度上的锚栓剪切刚度。若采用统一的锚栓间距，则在整根梁内，km为常数。理论上，若已测量出纵向滑移Slc，则能根据式(10)和(11)计算出纵向锚栓剪力Tm和纵向锚栓剪力传递tm。
图8所示为单个集中荷载(F)或2个对称集中荷载(2F)下BSP梁数值模拟的纵向滑移和锚栓剪力传递分布。由图8可知，整个梁跨内纵向锚栓剪力传递tm和纵向滑移Slc基本呈正比关系(km为常数)。这种现象是合理的，因为根据线弹性连接假定，纵向锚栓滑移和剪力传递之间的关系是线性的(见方程(11))，所以它们沿梁跨的分布也应该相互一致。因此，可根据测得的纵向滑移来估算纵向锚栓剪力。
图8 单个集中荷载或2个对称集中荷载下BSP梁数值模拟的纵向滑移和纵向锚栓剪力传递分布对比
Fig. 8 Comparison of numerical longitudinal slip and shear transfer profiles of a BSP beam under an asymmetrical load or two symmetrical loads
图9所示为集中荷载下加载点位置对纵向锚栓剪力传递tm的影响。当集中力位于跨中时，纵向滑移分布关于跨中是反对称的。随着加载点向左端支座移动，外荷载引起的弯矩减小，因此，纵向锚栓剪力传递tm分布的幅值也随之减小。纵向锚栓剪力传递tm的零点开始以比加载点更低的速度向左移动，因此，该零点既不在跨中也不在加载点，而介于两者之间。同时，右侧的纵向锚栓剪力传递tm显著减小，以使纵向锚栓剪力沿整个梁跨达到平衡。
3.2 横向锚栓剪力传递及横向滑移
横向锚栓剪力Vm引起锚栓横向的剪切变形，进而引起横向滑移Str，Vm和Str的关系可表达如下：
(12)
横向锚栓剪力传递vm定义为横向锚栓剪力Vm与锚栓间距Sb之比：
图9 集中载荷下加载点位置对纵向剪力传递的影响
Fig. 9 Effect of position of imposed load on longitudinal shear transfer profile under an asymmetrical load
(13)
理论上，若已测量出横向滑移Str，则能根据式(12)和(13)计算出横向锚栓剪力Vm和剪力传递vm。
3.2.1 数值模型
用于参数分析的参考BSP梁与试件P100B300具有相同的几何参数。参考梁中钢筋混凝土梁的抗弯刚度
、钢板的抗弯刚度
和锚栓连接的刚度
分别为8 000，220和370 kN/m2。
图10所示为6种基本荷载工况。运用参数分析研究了这些荷载工况下不同荷载水平(F/Fp)、钢筋混凝土的抗弯刚度(EI)c、钢板-钢筋混凝土刚度比值(βp= (EI)p/(EI)c)、锚栓-钢筋混凝土刚度比值(βm=km/(EI)c)等因素对横向锚栓剪力传递分布的影响。在如下分析中，本文主要研究了半带宽w、跨中横向锚栓剪力传递、支座-跨中横向锚栓剪力传递比值等因素对一些基本荷载工况下横向锚栓剪力传递的影响。
对于集中荷载情况，通过变换加载点的位置，可以获得指定位置横向锚栓剪力传递状况，例如左支座模向锚栓剪力传递(vm,LS)，右支座模向锚栓剪力传递(vm,RS)和加载点模向锚栓剪力传递(vm,F)。对于分布荷载情况，vm,F表示跨中横向锚栓剪力传递。
3.2.2 不同荷载工况下的横向锚栓剪力传递分布
通过变换集中荷载的位置可研究加载点位置对横向锚栓剪力传递的影响。图11所示为单个非对称集中荷载和2个对称集中荷载的横向锚栓剪力传递分布的变化。对单个非对称集中荷载工况，当加载点接近左支座(xF/L=1/6)时，在梁右侧负向的横向锚栓剪力传递是可以忽略的，但加载点和左支座之间会形成1个非常陡的坡度(vm,LS＞vm, F＞vm,RS)。当荷载向跨中移动时，正向的横向锚栓剪力传递和负向的横向锚栓剪力传递在右侧缓慢增加，而左侧的横向锚栓剪力传递会逐渐减少并形成1个较缓的坡度。如图11(b)所示，当2个加载点距离相对较远并且离支座较近(xF/L=1/12)时，从钢筋混凝土梁到钢板正向的横向锚栓剪力传递主要受到支座负向剪力的抵抗，相比集中荷载加载点，支座处的横向锚栓剪力传递更加关键(vm,LS=vm, RS＞vm,F)。当2个荷载逐渐靠近最后成为1个荷载(xF/L=1/2)时，跨中附近正向的横向锚栓剪力传递逐渐增加，即横向锚栓剪力传递vm,F缓慢增加。同时，支座处的负向剪力传递、支座与荷载之间负向的横向锚栓剪力传递的坡度均变得越来越小(vm,LS/vm,F=vm,RS/vm,F减小)。换句话说，横向锚栓剪力传递的幅值及其比值(vm,LS/vm,F和vm,RS/vm,F)在很大程度上依赖于外力位置。而且当外力位置改变时，半带宽同样发生显著变化。表4所示为不同加载工况下窄型钢板和宽型钢板的量纲一半带宽(w/L)、以及窄型钢板的横向锚栓剪力传递比值(vm,LS/vm,F和vm,RS/vm,F)。
图10 参考梁加载工况
Fig. 10 Loading conditions of reference beam
图12所示为叠加原理在横向锚栓剪力传递计算中的应用。如图12(a)所示，将左三分点加载与右三分点加载(F/Fp=0.5)的横向锚栓剪力传递分布相叠加，把叠加结果与两三分点对称加载的横向锚栓剪力传递分布相互对比，可见2种分布非常相似。如图12(b)所示，等间距五点加载按照叠加原理获得的横向锚栓剪力传递分布与均布荷载(F/Fp=0.5)下非线性有限元分析获得的剪力传递分布非常接近。因此，可以利用叠加原理，通过将简单荷载工况下的横向锚栓剪力传递分布曲线进行叠加，来估计复杂荷载工况下的横向锚栓剪力传递分布情况。
图11 加载点位置改变引起的横向锚栓剪力传递分布曲线变化
Fig. 11 Variation in transverse shear transfer profile as location
表4 量纲一半带宽和支座-跨中横向锚栓剪力传递比值
Table 4 Dimensionless half bandwidth and support-midspan shear transfer ratios
图12 不同荷载工况下横向锚栓剪力传递分布的叠加
Fig. 12 Superposition of transverse shear transfer profiles under different loads
3.2.3 不同荷载水平、不同几何参数下梁的横向锚栓剪力传递
荷载水平F/Fp对vm,F的影响系数可定义为
(14)
(EI)c，(EI)p和km对横向锚栓剪力传递的影响分别用ζEIc, ζEIp和ζkm来表示。
将ξFp和横向锚栓剪力传递系数组合，可按下式评估横向锚栓剪力传递vm,F：
(15)
图13(a)所示为不同荷载水平F/Fp下横向锚栓剪力传递比值ξFp。当F/Fp低于0.75时，随着荷载水平F/Fp增加而线性增加。然而，当F/Fp大于0.75时，有限元分析表明混凝土发生了严重的损坏，而钢板承担了更多的荷载，使得
迅速增加。当F/Fp达到1时，横向锚栓剪力传递vm,F显著增大，因此，设计BSP梁时应控制荷载水平F/Fp小于0.75，此时，单个集中荷载和各种分布荷载下的
可用下式估计：
(16)
图13(b)所示为横向锚栓剪力传递中分别与(EI)c，(EI)p和km (F/Fp＜0.75)对应的变量ζEIc, ζEIp和ζkm的变化。采用不同形式的曲线拟合，最终确定影响横向锚栓剪力传递的各种因素的变化可用下式表示：
(17)
。
(18)
。
(19)
。
由图13(b)可知：当各种刚度(EI)c, (EI)p 或km减少1%或增加100倍时，ζEIc1/16, ζEIp1/8和ζkm3仅在0~2范围内变化。然而，由于不同横向锚栓剪力传递系数(ζEIc, ζEIp和ζkm)指数不同，它们的变化速率也不相同。当(EI)c增加或(EI)p减小时，横向锚栓剪力传递vm,F显著减少，所以，在设计BSP梁时应避免过大的钢板-混凝土刚度比值(βp=(EI)p/(EI)c)。
3.2.4 不同荷载水平和几何参数下梁的半带宽
通过分析不同F/Fp，(EI)c，βp和βm情况下的跨中承受单个集中荷载的BSP梁的横向锚栓剪力传递分布曲线，将计算所得的横向锚栓剪力传递分布曲线的数值除以vm,F来标准化，以使跨中位置标准化横向锚栓剪力传递等于1，如图14所示。如图14(a)和14(b)所示，不同F/Fp和不同(EI)c情况下的标准化横向锚栓剪力传递分布曲线的形状非常相似，半带宽w几乎保持不变。然而，从图14(c)和14(d)可以看出：随着βp的增加和βm的减少，半带宽w相应增加。这一结果进一步表明，当钢板-锚栓刚度比值((EI)p/km=βp/βm=C1，其中C1为常数)保持不变时，半带宽w为一常数。换句话说，半带宽w与F/Fp和(EI)c无关，但受βp/βm控制。图15所示为相对半带宽(w/L)和(βp/βm)1/4的相互关系，可近似用线性关系表示：
图13 基于荷载水平和混凝土梁、钢板、螺栓连接刚度的横向锚栓剪力传递变化
Fig. 13 Variation in transverse shear transfer based on load level and stiffness of RC, plates and bolt connection
图14 基于荷载水平、混凝土梁刚度、钢板刚度和螺栓刚度的三点弯曲下标准化横向锚栓剪力传递分布变化
Fig. 14 Variation in normalized transverse shear transfer profiles of a BSP beam under three-point bending based on load level and stiffness of RC beam, steel plate, and bolt connection
(20)
因此，对三点弯曲加载的梁，半带宽w可利用方程(20)得到。对一个合理的加固设计，锚栓使用的数量应与钢板面积成比例，以使钢板屈服发生在锚栓破坏之前，如方程(21)所示。
(21)
其中：γb为局部安全系数；nb为1个剪跨内锚栓的数量；fyp和Ap分别为钢板的屈服强度和横截面积。如方程(22)所示。轴向钢板刚度和锚栓连接刚度的比值βa/βm为常数。
图15 三点弯曲加载下BSP梁横向锚栓剪力传递分布曲线的半带宽变化
Fig. 15 Variation in half bandwidth of transverse shear transfer profile of a BSP beam under three-point bending
(22)
其中：nbSb=L/2为1个剪跨的长度。然而，控制半带宽w的抗弯刚度比值βp/βm随着钢板高度Dp的增加而增加。
(23)
其中：ip为钢板的回转半径，将式(23)代入式(20)可得到半带宽满足的关系式：
(24)
方程(24)表明：一旦加固方案确定，则半带宽w可以确定。半带宽w与Dp1/2呈线性变化，所以，半带宽w对于钢板高度变化不敏感。因此，在实际加固设计中，根据钢板高度Dp，BSP梁大致分为窄型钢板(Dp＜Dc/3)和宽型钢板(Dp＞Dc/2) 2种类型，可选择2个独立的值(w/L=0.155和0.250)与之对应。所有基本荷载工况下窄型钢板和宽型钢板BSP梁的量纲一半带宽w/L见表3。
3.2.5 不同荷载水平和几何参数下梁的支座-跨中横向锚栓剪力传递比值
如图14(a)和14(b)所示，对于不同荷载水平和不同钢筋混凝土梁抗弯刚度的BSP梁，支座-跨中横向锚栓剪力传递比值的变化相对较小。然而，由图14(c)和14(d)可以明显发现该比值随着βp的增加和βm的减少发生显著变化。
可以通过相同的方法获得与方程(20)类似的支 座-跨中横向锚栓剪力传递的曲线拟合结果。这是因为βp/βm和Dp的变化与半带宽(w/L)的变化相似。不同荷载工况下的窄型钢板BSP梁的支座-跨中横向锚栓剪力传递比值见表4。对于宽型钢板，其相应比值可将表4中窄型钢板的数值乘以宽型和窄型钢板半带宽的比值来修正。
3.2.6 BSP梁中横向锚栓剪力传递和锚栓剪力的评估
根据BSP梁的几何尺寸、材料属性和外力可确定F，(EI)c，(EI)p，km和各种刚度比值((EI)c/(EI)c′，(EI)p/(EI)p′，km/km′)，进而可评估截面分析、荷载布置、峰值荷载和荷载水平。利用方程(16)可确定横向锚栓剪力传递比值ξFp，它是荷载水平F/Fp的函数。利用方程(17)~(19)可计算出横向锚栓剪力传递因子ζEIc，ζEIp和ζkm。利用方程(15)可确定梁加载点和跨中的横向锚栓剪力传递。
根据表4，可查得支座-跨中横向锚栓剪力传递比值(vm,LS/vm,F和vm,RS/vm, F)，从而可计算出支座横向锚栓剪力传递。表4查得的半带宽(w/L)可用于定位横向锚栓剪力传递为0的点。利用分段折线将横向锚栓剪力传递已知的各点相连，就可得到加固梁沿整个梁跨的横向锚栓剪力传递分布曲线。通过叠加单一荷载工况的横向锚栓剪力传递分布曲线，即可以确定复杂荷载工况下的横向锚栓剪力传递分布。进而可利用方程(12)和(13)由横向锚栓剪力传递分布计算出横向锚栓剪力沿梁跨的分布。
4 结论
1) 建立了BSP梁的非线性有限元分析模型，模拟所得的荷载-位移曲线和不同荷载水平下的纵横向相对滑移与试验结果吻合较好，验证了模型的适用性。
2) 基于线弹性假定，建立了纵横向锚栓剪力传递与纵横向滑移的理论关系，获得单个集中荷载和2个集中荷载下的纵横向锚栓剪力传递分布曲线，考察了单个集中荷载下加载点位置改变对纵向锚栓剪力传递分布曲线的影响，验证了叠加原理在复杂荷载工况下横向锚栓剪力传递计算的适用性。
3) 基于不同荷载水平、混凝土梁、钢板及锚栓连接刚度时三点弯曲BSP梁的横向锚栓剪力传递分布曲线分析，得到了半带宽与钢板高度的关系，将BSP梁大致分为窄型钢板和宽型钢板，获得了支座-跨中横向锚栓剪力传递比值。
4) 建立了横向锚栓剪力传递的评估公式，指出BSP梁设计时应控制荷载水平小于0.75和避免过大的钢板-混凝土刚度比，给出了复杂工况下BSP梁横向锚栓剪力和剪力传递的评估步骤。
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(编辑 赵俊)
收稿日期：2016-09-01；修回日期：2016-12-01
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51408436)(Project(51408436) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：李凌志，讲师，从事结构抗火与加固研究；E-mail：lilingzhi@tongji.edu.cn
