朔黄重载铁路轨道不平顺谱分析
徐磊1, 2，陈宪麦1, 2，李晓健3，孟宪洪3
(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；
2. 高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南 长沙，410075；
3. 朔黄铁路发展有限责任公司，甘肃 肃宁，062350)
摘要：以朔黄重载铁路轨检数据为样本，对德国高、低干扰谱和朔黄重载铁路轨道不平顺实测谱进行对比分析，结果表明：朔黄重载铁路在8.4 m以上长波不平顺控制较好，但在1~2.5 m波段的短波窄带凸形峰及尖峰谱线较为突出，同时在2.8，6.2及24 m等波长处的轨道周期性不平顺仍需加以控制。同时，对样本数据统计、计算分析，得到了朔黄重载铁路的拟合谱密度函数结构形式及建议谱的特征参数，通过与国内统计谱函数拟合效果对比，结果表明，朔黄重载铁路拟合谱密度函数拟合性能更好。最后，初步提出了基于PSD-HHT的轨道不平顺时频分析方法，为科学评价、管理铁路轨道的平顺状态, 提高我国轨道管理的科学技术水平提供了一条可行的途径。
关键词：朔黄重载铁路；轨道不平顺谱；拟合谱；希尔伯特-黄变换(HHT)；时-频分析
中图分类号：U216.4 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2013)12-5147-07
Track irregularity spectrum analysis of Shenchi—Huanghua Heavy Haul Railway
XU Lei1, 2, CHEN Xianmai1, 2, LI Xiaojian3, MENG Xianhong3
(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;
2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Changsha 410075, China;
3. Shuohuang Railway Development Corporation Limited, Suning 062350, China)
Abstract: According to the track geometry data collected by track recording vehicles from Shenchi—Huanghua Heavy Haul Railway, the comparative analysis was conducted between German railway spectra of high irregularity and low irregularity and the actual measurement track irregularity spectra of Shenchi-Huanghua Heavy Haul Railway. The result shows that: the Shenchi—Huanghua Heavy Haul Railway has controlled well at the long-wavelength irregularity above 8.4 m, but the narrow-bandwidth profile peaks and spike spectral lines at the wave band of 1-2.5 m are distinctive. At the same time, the rail track periodical irregularity at the wavelength of 2.8, 6.2 and 24 m still need to be controlled. Meanwhile, through the data statistic and computational analysis for the sample, the structural style for the fitting spectrum density function and the characteristic parameters of the propositional spectrum are obtained by contrasting the fitting effect with the national statistical spectral function. The fitting performance of Shenchi-Huanghua Heavy Haul Railway Fitting spectrum density function is better. At last, the track irregularity time-frequency analyze method based on the PSD (Power spectrum Density)-HHT (Hilbert-Huang Transform) was proposed. The method it is a feasible way to scientific evaluate, manage the smooth state of railway track, and improve our country’s scientific and technological level for track management.
Key words: shenchi-huanghua heavy haul railway; track irregularity spectrum; fitting spectrum; hilbert-huang transformation; time-frequency analysis
轨道不平顺功率谱密度(PSD)是整体评价轨道平顺性的有效方法，能揭示看起杂乱无章且随机变化的轨道不平顺的幅值和波长2个方面的信息，对于科学评定轨道的平顺状态、诊断轨道的病害，研究轨道不平顺引起的车辆响应以及对机车车辆走行悬挂系统的设计等都非常重要[1-4]。朔黄重载铁路是我国西煤东运第二大通道，正线总长 585.441 km，线路横跨山西、河北两省5区(市)、20县(市)，是国家 I 级双线电气化铁路[5]。我国对轨道不平顺谱密度进行了长期的试验研究，但对我国重载铁路轨道不平顺谱密度尚缺乏深入系统的研究，本文作者基于实测朔黄铁路轨道不平顺样本数据，主要从轨道不平顺谱分析的角度分析了朔黄重载铁路的轨道不平顺状态；研究并给出了能良好表征朔黄铁路不平顺状态的轨道不平顺谱拟合公式及其特征参数，为朔黄铁路工程设计、施工及管理提供基本参数；同时，为更好的实现轨道不平顺状态评估及维护管理，初步研究了基于PSD-希尔伯特-黄变换(HHT)的轨道不平顺状态分析方法，能更好的发现轨道不平顺幅频变化特征。
1 朔黄重载铁路轨道不平顺谱分析
利用welch改进周期图算法，对朔黄重载铁路线2011年7月—2012年4月的轨道不平顺检测数据进行分析处理。实际存在的轨道不平顺是里程的随机函数，其波幅和波长都是随机变量[6]，对于随机过程需要用统计函数来加以描述，而功率谱密度函数(PSD)则是表述平稳随机过程的轨道不平顺的最为常用的统计函数，谱线下的面积越小，说明轨道不平顺的均方值越小，平顺状态越好，也就是说谱线位置越低，表明该段轨道平顺性越好[6-7]。
1.1 轨道统计谱的计算
目前的轨道检测系统不能剔除趋势项和异常值。为了提高轨道不平顺谱的计算精度，在计算轨道不平顺谱时，一般应进行数据预处理，采用文献[3]方法进行异常数据剔除。本文取25次轨检数据中的100个独立样本，每个样本取10 km的轨检数据分析其轨道不平顺功率谱密度，取谱线之平均值作为统计谱值。
1.2 轨道不平顺谱分析
图1所示为朔黄重载铁路线基于2012年4月轨检数据的轨道不平顺谱、基于2011年7月—2012年4月的各单项不平顺统计谱及德国高低干扰谱的对比。
从图1(a)可知：朔黄重载铁路轨距不平顺统计谱线变化较为平缓，在1~3.13 m波段存在较多的周期性尖峰谱线。在6.24 m波长以上，朔黄重载铁路轨距不平顺好于德国低干扰谱，而在1.2~6.24 m波段，其不平顺状态要处于德国高、低干扰谱之间。
图1 朔黄重载铁路轨道不平顺谱与德国高、低干扰谱对比
Fig. 1 Comparision of Shenchi—Huanghua Heavy Hual Railway track irregularity spectrum and German railway spectra of high irregularity, low irregularity
从图1(b)和(c)可知：朔黄重载铁路线左轨向和右轨向不平顺谱密度曲线沿波长整体分布情况基本一致，即左右轨相关性较好。在1~5 m波长范围出现众多的窄带凸形峰及尖峰谱线，且谱值起伏较大，可能与钢轨焊接接头平顺性有关以及钢轨在轧制、运输与铺设过程中产生了硬弯等有关；在5.69~7.55，3.60~4.36及1~3 m部分波段，其轨道不平顺谱值要高于德国高干扰谱；26.26 m波长以上不平顺谱值低于德国低干扰谱。
图1(d)和(e)所示的高低不平顺状态与轨向不平顺相似，需要重点关注1~3.26 m波长范围内的不平顺谱值变化，同时，在波长2.78，4.18，6.24 m处，出现谱值较大的尖峰谱线，在波长8.5 m以上，不平顺性好于德国低干扰谱。2012年4月所示高低不平顺谱，其在1~2.49 m波段之窄带尖峰谱线已大为减少，且幅值降低，表明在短波部分的轨道不平顺控制初见成效。
从图1(f)可知：朔黄重载铁路水平不平顺谱曲线在1.41和2.82 m波长处出现尖峰谱或窄带凸形峰，在其他波长(段)无明显的周期性波长成分，谱线变化较为平缓。在波长6.36 m以上不平顺状态好于德国低干挠谱。
同时，从图1(a)~(f)可知：朔黄重载铁路2012年4月的轨道不平顺状态要好于2011年7月—2012年4月的轨道不平顺统计状态，其中高低不平顺1~2.49 m波段中存在的尖峰谱线明显减少，但2.8，6.2及24 m等波长处存在的轨道不平顺还无明显的改善。
2 朔黄重载铁路轨道谱拟合
在新车或引进机车车辆振动性能的评估、计算机车车辆随机振动响应、机车车辆研制设计、优化改进车辆/轨道/桥梁耦合系统的动力学性能、轨道状态管理、轨道系统病害诊断等研究领域，都需要能够表征铁路线路不平顺特征的轨道谱表达式[1]。通过细致统计、分析处理朔黄重载铁路轨检数据，本文提出了能良好描述朔黄重载铁路线轨道平顺特征的轨道谱表达形式。
基于国内轨道谱的研究进展，为了确定是否可以用笔者提出的轨道谱密度函数模型公式来表征朔黄重载铁路轨道不平顺的特征，本文亦采用中国铁道科学院提出的针对我国主要干线和不同轨道结构、质量状态以及曲线、桥梁、焊缝等特殊地段的轨道统计谱函数[8]和文献[6]基于大量的轨道不平顺检测数据，利用修正的周期图方法求得京广、京哈、京沪等12条干线铁路的轨道统计谱函数对朔黄重载铁路线进行轨道谱拟合，以与本文提出的轨道谱密度函数结构拟合效果进行对比分析。
2.1 铁道科学研究院建议的轨道谱[8]
1999年7月铁道科学院完成的铁道部重点课题“我国干线轨道不平顺功率谱”，对轨道谱的数据采集、处理、计算、分析进行了较全面深入地研究，提出了轨道高低、水平、方向不平顺功率谱密度采用系数不同的同一解析式表达(暂定为7参数谱)：
(3)
式中：S(f)为轨道不平顺功率谱；f为空间频率，m-1；A~G为轨道不平顺功率谱密度函数之特征参数，对不同线路和不同类型的轨道不平顺有不同的数值。
2.2 我国干线铁路通用轨道谱[6]
文献[6]在对比分析欧美铁路的轨道谱拟合公式及我国专家学者研究成果的基础上，结合对我国主要干线铁路大量轨道不平顺检测数据的分析和计算，研究并给出能较好表征我国干线铁路轨道不平顺特征的通用轨道谱拟合公式以及通用轨道谱的表达方式：
(4)
式中：a，b，c，d，e和k为谱特征参数，其与轨距、轨向、高低、扭曲和水平等5种常见轨道不平顺的轨道谱特征参数关系参阅文献[6]。
2.3 朔黄重载铁路轨道不平顺谱密度函数
为了对朔黄重载铁路轨道不平顺谱表达式进行研究，本文基于朔黄重载铁路线2011年7月—2012年4月轨检不平顺检测数据，应用非线性最小二乘拟合优化算法[10]，通过归纳、统计分析及计算研究，发现以下函数表达式能较好的拟合朔黄重载铁路轨道不平顺谱，并表达其主要不平顺特征：
轨道高低不平顺
(5)
方向不平顺
(6)
轨道水平、扭曲不平顺
(7)
其中：轨距不平顺采用式(3)~(7)均无法很好的拟合，暂采用下式
(8)
2.4 朔黄重载铁路轨道谱拟合分析
按2.1~2.3节中式(3)~(7)轨道谱函数结构形式对基于统计平均所得的朔黄重载线各单项轨道不平顺谱进行拟合分析，如图2~6所示。
综合分析图2~6可知，本文所提出的朔黄重载铁路谱密度函数具有最佳的综合拟合性能，式(5)和式(6)在长波长范围与铁科院7参数谱拟合性能相当，稍逊之，但其在整个波长范围能实现较为均衡的拟合；式(7)在针对波长5~15 m范围内的上凸谱曲线亦能实现较好的拟合，同时其在2 m以下波长部分的拟合性能要优于7参数谱；式(8)的最大优势在于通过合理调整a，b和c 3个参数，能实现谱线在长、中、短波段的最优拟合；文献[6]所提出我国干线铁路轨道谱对朔黄重载铁路方向、轨距、水平、扭曲等单项不平顺功率
图2 高低不平顺谱拟合
Fig. 2 Fitting of track profile irregularity
图3 轨向不平顺谱拟合
Fig. 3 Fitting of track align irregularity
图4 轨距不平顺谱拟合
Fig. 4 Fitting of track gauge irregularity
图5 水平不平顺谱拟合
Fig. 5 Fitting of track level irregularity
图6 扭曲不平顺谱拟合
Fig. 6 Fitting of track twist irregularity
谱的拟合效果较好，但整体性能较本文拟合谱要差。
综上所述，本文所提出的朔黄重载铁路轨道不平顺谱拟合公式具有最好的综合拟合性能，且含特征参数较少，便于通过参数调整拟合曲线形状以达到最好的拟合效果。基于朔黄重载铁路2011年7月—2012年4月轨检不平顺检测数据，同时，针对各单项轨道不平顺谱的最大、最小值谱，通过拟合，可以之作为分析轨道不平顺状态的上、下限界谱，图7所示为水平不平顺上、下限界谱及建议谱之拟合，本文仅列出建议谱特征参数，轨道谱特征参数如表1所示。
图7 轨道水平不平顺谱
Fig. 7 Track level irregularity spectrum
表1 朔黄重载铁路2011年7月—2012年4月轨道统计谱特征参数
Table 1 Track statistical spectrum characteristic parameters of Shenchi—Huanghua Heavy Haul Railway from July 2011 to April 2012
3 基于PSD-HHT方法的轨道不平顺状态分析
通过大量轨检数据分析所得轨道不平顺统计谱能代表线路的整体不平顺状态，而通过在轨道不平顺上、下界限及建议谱框架中，实时检测轨道不平顺实测谱线的幅频变化情况，便能十分清楚、直观的进行线路的轨道不平顺状态对比分析。同时，基于轨道谱分析的自身弱点，即无法得知各波长幅值在空间域中的具体分布情况，从局域波分解[11]的思想出发，应用HHT时频分析方法，得到所分析路段的轨道不平顺时频谱，以细化线路轨道不平顺的波幅信息。
3.1 基于轨道统计谱的不平顺状态整体诊断
目前许多国家已用轨道不平顺的功率谱来评定铁路线路轨道的施工质量，诊断在运营过程中轨道平顺性的变化情况，帮助确定需要进行预防性计划维修的区段。图8和9所示为基于朔黄重载铁路2011年7月和10月2次轨检数据的线路某200 m区段内轨道扭曲不平顺实测谱。
对比分析图8和9可知：7月份的线路不平顺状态明显要优于10月份不平顺状态，在3.5 m波长以上不平顺谱值基本在下限界值附近波动，10月份轨道不平顺谱在1~3.2 m及4.49~12.8 m波段的大部分波长范围谱值基本高于建议谱值，说明其轨道不平顺状态较差，比不上朔黄重载铁路线的统计平均水平；而7月份此波段轨道平顺性较好，除2.84 m波长以外，不平顺谱值均在建议谱值以下。
但同时注意到，由于轨道谱仅针对于频域的分析，即从不平顺数据各波长的统计平均幅值来分析轨道不平顺状态，无法各波长幅值沿线路的具体分布情况。因此选用一种能从空间-频率角度分析轨道不平顺数据的方法，将会帮助人们更好的了解和认识轨道不平顺特征。
图8 第1次扭曲不平顺谱(7月)
Fig. 8 The first twist irregularity spectrum (July)
图9 第2次扭曲不平顺谱(10月)
Fig. 9 The second twist irregularity spectrum (October)
3.2 基于HHT的轨道不平顺特征细化分析
3.2.1 希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang Transform，HHT)方法
经验模式分解(EMD)方法和与之相应的Hilbert谱统称为Hilbert-Huang变换，在信号分析中，时间尺度和随时间尺度分布的能量是信号的最重要的2个参数，EMD方法能利用信号的局部均值和特征时间尺度进行筛选，即把复杂的信号波形按频率由高到低、时间尺度从小到大的分解为有限的本征模态函数(intrinsic mode function，IMF)之和，由于EMD方法是依据信号本身的信息进行分解，得到的IMF分量能很好的表现信号内含的真实物理信息。一个本征模态函数(IMF)必须满足下面2个条件[11-12]：在整个数据段内，极值点的个数和过零点的个数必须相等或相差最多不能超过1个；在任意时刻，由局部极大值点形成的上包络线和由局部极小值点形成的下包络线的平均值为0，即上、下包络线相对于时间轴局部对称。
在上述假设条件下，可以用EMD将信号的本征模态筛选出来，即：
(9)
式中：rn(t)代表信号的平均趋势，即原始序列可以表示为若干本征模态函数分量和一个残余项之和。
信号x(t)的HT变换公式为[13]：
(10)
x(t)的解析信号为：
(11)
式中：
为瞬时幅值；
为瞬时相位值；信号的瞬时频率为
。
基于EMD的时频分析摒弃了从信号全局出发的思想，更着眼于信号局部时频特性的分析，具有理想的时频聚集性[14]。
3.2.2 实例分析
针对3.1节所重点分析的某200 m线路区段，采用HHT时频谱分析方法，在轨道不平顺谱分析的基础上进一步提取轨道局部不平顺特征。
图10所示为第1次HHT时频谱(7月)，图11所示为第2次HHT时频谱(10月)。从图10和11可知：10月轨道不平顺幅值普遍低于7月不平顺幅值，特别在里程85~119 m处不平顺幅值波动很大，历经波峰-波谷-波峰之时程，将对车体振动产生较大影响；7月轨道不平顺幅值主要分布在波长4.5 m以上部分，在4.5 m波长以下没有幅值很大的尖峰波长出现；从图10可知：7月的不平顺幅值明显较小，说明线路的维修、养护状态较好，但其不平顺沿空间频率(即波长)
图10 第1次HHT时频谱(7月)
Fig. 10 The first HHT time-frequency spectrum (July)
图11 第2次HHT时频谱(10月)
Fig. 11 The second HHT time-frequency spectrum (October)
的分布范围增大，在特别在1~1.5 m波段，有许多相对幅值较大的不平顺路段，而这一现象在10月时频谱中有所减少，说明对短波长不平顺的控制已初见成效，消除了部分路段的短波不平顺。以上分析是从轨道不平顺谱中无法得知的，说明采用HHT时频分析方法能进一步从局部细化轨道不平顺变化特征，为铁路工务部门尽快查找病害提供了行之有效的方法。
4 结论
(1) 朔黄重载铁路1~8 m波段整体不平顺状态处于德国高低干扰谱之间，互有优劣；8.4 m以上中、长波不平顺幅值控制较好，基本低于德国低干扰谱；高低及轨向不平顺谱在1~5 m波段出现众多的窄带随机谱峰，短波不平顺较为突出。
(2) 通过深入分析研究2011年7月—2012年4月朔黄重载线轨检数据，提出了适合朔黄铁路轨道不平顺状态评估的轨道谱拟合公式，及相应单项不平顺谱特征参数，为朔黄重载铁路线路的不平顺幅频分析、状态评估及线路管理提供有意义的参考。
(3) 初步探讨了基于PSD-HHT方法的轨道不平顺状态时频分析方法，能从整体和局部两方面对轨道不平顺的频幅变化特征进行较为全面的诊断。
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(编辑 陈爱华)
收稿日期：2013-02-20；修回日期：2013-05-30
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51008315)
通信作者：陈宪麦(1975-)，男，甘肃会宁人，副教授，从事轨道不平顺研究；电话：18692267410；E-mail：xianmaichen@yahoo.com.cn
