热声热机板叠式回热器结构数值计算

刘益才，张明研，黄谦，辛天龙

 (中南大学 能源科学与工程学院，湖南 长沙，410083)

摘  要：将热声热机板叠式回热器气体通道看成矩形导管，对回热器结构进行数值计算。通过声波导管理论的推导，对微型热声热机回热器板叠尺寸进行研究，利用高次波在气体通道衰减原理，计算回热器板叠纵向长度。研究结果表明：50 kHz的热声热机回热器板叠最小横向长度为3.43 mm；横向长度为3.43 mm的板叠对于频率分别为20，30，40 kHz的3种声源的最佳纵向长度分别为5.9，6.0和6.4 mm，最佳纵向长度随声源频率的降低而减小。

关键词：回热器；波导管；热声热机；微型化

中图分类号：TB65          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2010)03-1186-04

Numerical calculation of structure of flat-plate regenerator in thermoacoustic engine

LIU Yi-cai, ZHANG Ming-yan, HUANG Qian, XIN Tian-long

 (School of Energy Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: The structure of flat-plate regenerator in thermoacoustic engine was calculated with gas channel in regenerator as a rectangular ducting. Based on the derivation of waveguide theory, the structure of regenerator of the microminiature thermoacoustic engine was investigated. The portrait length of the plates was calculated utilizing attenuation principle of higher-order mode wave. The results show that the least transverse size of regenerator in thermoacoustic engine is obtained; for the 50 kHz thermoacoustic engine, the transverse length of the plates is less than 3.43 mm. For the plate with transverse length of 3.43 mm, the portrait lengths in three kinds of acoustic source with frequency of 20, 30, 40 kHz are 5.9, 6.0 and 6.4 mm, respectively, and the portrait length decreases with the decrease of frequency of the acoustic source.

Key words: regenerator; waveguide tube; thermoacoustic engine; microminiature

随着现代工业的发展，许多高科技产品都趋向小型化甚至微型化，对设备的散热要求越来越高，自然对流方式无法满足散热要求，需要强制冷却措施。热声制冷机因结构紧凑、可靠性高的优点受到研究者关注，高频化和微型化热声制冷机可以满足电子和光电子器件的散热要求^[1-3]。回热器作为热声热机核心部件，其形状和结构直接影响热声转换效率。为了提高热声转换效率，国内外学者对回热器形状结构、填充率以及材料进行了研究^[4-9]。So等^[4]指出回热器所固有的非线性导致工质气体处于不稳定的流动状态；刘益才等^[5-6]对回热器填料对振荡频率影响进行了研究；罗二仓等^[7-9]从热力学角度分析交流回热器热声功能和回热功能并进行实验研究。此外，Biwa等^[10-11]利用能量守恒分析回热器内部功流分布情况。研究结果表明：回热器产生单一振动频率的平面波与相应谐振管匹  配，可以发挥谐振管谐振声波放大作用，提高热声热机效率^[12-13]。在此，本文作者利用声波导管理论分析热声热机回热器结构对产生声波频率的影响，对回热器的尺寸进行数值计算。

1  矩形声波导管模型

热声热机轴向尺寸近似与频率成反比，在微型高频热声热机中，气体流动速度较大，由于杂乱堆积的丝网导致回热器阻力较大，回热器填料多采用平行板叠。

平行板叠结构如图1所示，平板之间形成气体通道。气体通道边界由上下平板组成，对于板间距较小的板叠，气体通道横截面可近似看作为矩形。气体通道边界为刚性的，声波传播可以应用波导管理论。矩形声波导管中声波传递中x，y和z方向是不均匀的，声波方程应采用三维坐标，可以表示为^[14]：

管中压力分布为：

其中：p_a为合成声波的振幅；w为频率。

将式(2)代入式(1)可得：

       (3)

其中：k为传播常数。

考虑x和y方向是有界的，存在驻波，z方向没有反射波，对式(3)进行分离变量可以得到声波在x，y和z方向的表达式分别为：

        (4)

       (5)

              (6)

其中：A_x，A_y，A_z，B_x和B_y为待定系数；k_x，k_y和k_z分别为x，y和z方向的传播常数。

经过上述推导，得出矩形声波导管各个方向波动情况。

图1  平行板叠结构简图

Fig.1  Structure diagram of plate

图2  矩形声波导管示意图

Fig.2  Rectangular waveguide tube

2  回热器横向长度数值计算

根据建立的矩形声波导管模型以及刚性管壁边界条件，整理方程(1)~(6)可以得到气体通道内沿方向的所有声波表达式：

这种声波的圆频率为，传播速度为，

振幅由决定。根据式(7)可以写出：

     (8)

          (9)

式中：l_x为板叠间距长度，即通道高度；l_y为板叠横向长度，即通道宽度；为压缩系数。

当k_z为实数时，在z方向才有波的传播，因    此，欲在z方向上传播声波必须满足如下条件：

     (10)

因此，可以将管中产生沿z方向传播声波的条件归结为：

由上述分析可知：对于不同的(n_xn_y)将得到不同的波，对应于(n_xn_y)的波称为(n_xn_y)次的简正波。在热声热机中，为了提高热机效率，要抑制回热器中产生的高次波，保证回热器中只可能传播(0，0)次波。前面推导验证了矩形导管中对于固定频率的声波，l_x和l_y可以决定导管中是否存在高次波。当声源的工作频率低于声管的截止频率时，管中只能传播唯一的(0，0)次波。对于长度l_x的通管，根据Rayleigh原则^[15]，合适的板叠间距应导致工质气团与固体壁面具有不良的热接触，以导致传热温度滞后。平板之间的距离宜采用热渗透度深度δ_K的几倍，即：

在热声热机回热器中，气体通道的宽度远大于通道高度，即l_y＞l_x，可以确定声波导管的截止频率为：

可以得出：

                 (15)

从而可确定板叠的横向长度的最大值。利用Matlab的模拟结果如图3所示。从图3可以发现：对于低频热声热机，回热器板叠横向要求较低，长度范围较大；而对于高频热声热机，回热器板叠尺寸要求比较严格，如对于25 kHz的热声热机，其板叠横向长度不得超过6.86 mm，50 kHz的热声热机板叠横向长度不得超过3.43 mm。这一长度对于设计高频热声热机有一定的理论指导意义。

图3  板叠横向长度与频率的关系

Fig.3  Relationship between transverse length and frequency

3  回热器纵向长度数值计算

对于实际声源，由于声波导管并不是无限长，波导管中不仅存在(0，0)次波，此外，还存在一系列高次波，在f＜时，对于这些高次波，其声压表示为：

    (16)

其中：为高次波衰减系数，

可以看出：比(0，1)次更高次的波的衰减更严重。当截止频率为50 kHz，实际声源频率分别为40，30和20 kHz时，回热器横向长度取3.43 mm，衰减率沿z方向变化情况如图4所示。从图4可见：对于3种频率的声源，(0，1)次波在回热器气体通道中沿z方向快速衰减，随着z增大，衰减速率逐渐降低。回热器板叠对气体流动有一定阻尼作用，因此，在确定回热器长度时要考虑与衰减速率的最优关系。从图4可知：在=0.05附近，衰减现象开始大幅度减缓，而在声学领域，当衰减率为0.05时，声波可以忽略不记，故取=0.05为最佳值；对于40 kHz的声源频率，当z=6.4 mm时，降至0.05，即对于(0，1)次振动基本消失；对于频率为30 kHz的声源，当z=6.0 mm时，降至0.05；对于频率为20 kHz的声源，当z=5.9 mm时，降至0.05。可以发现：对于板叠横向尺寸固定的回热器，随声源振动频率下降，其纵向长度要求降低。

频率/kHz: 1—40; 2—30; 3—20

图4  3种不同频率的声波衰减率与板叠横向长度的关系

Fig.4  Relationship between attenuation rate of three kinds of acoucstic wave and transverse length

4  结论

(1) 据热声热机板叠式回热器的气体通道规则，分析了回热器板叠气体通道结构，并根据声学原理建立矩形声波导管模型。

(2) 为保证热声热机热声转换效率，对于一定频率高频热声热机，回热器板叠横向长度不得超过特征值。对于50 kHz热声热机，板叠横向长度不得超过3.43 mm。

(3) 在回热器中存在的所有高次波中，(0，1)次波衰减最慢。根据高次波衰减原理，得到频率为20，30和40 kHz的声源，对于横向长度为3.43 mm板叠回热器的最佳纵向长度分别为5.9、6.0和6.4 mm。

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收稿日期：2009-02-10；修回日期：2009-05-10

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50676110)

通信作者：刘益才(1968-)，男，湖南邵阳人，博士，副教授，从事热声热机、斯特林制冷机、高效蓄冷蓄热材料、微型低温制冷机以及微型制冷系统振动和噪声抑制等研究；电话：13755052517；E-mail: lyccsu@mail.csu.edu.cn

(编辑 赵俊)