非极限状态挡土墙土压力计算

胡俊强^{1, 2}，陈建功^{1, 2}，张永兴^{1, 2}

(1. 重庆大学 土木工程学院，重庆，400045；

2. 重庆大学 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室，重庆，400045)

摘要：在考虑摩擦角发挥值与墙体位移关系的基础上，利用薄层单元法对未达到极限状态的挡土墙非极限状态主动土压力进行研究。取挡土墙后滑动楔体沿平行于填料坡面的水平薄层作为微分单元体，通过作用在水平薄层的力和滑动楔体力矩平衡条件，建立关于一般挡土墙非极限状态主动土压力的微分方程，得到非极限状态土侧压力系数、土压力强度、土压力合力和作用点的理论公式。对墙土摩擦角发挥值和填土内摩擦角发挥值进行讨论，并分析填土内摩擦角和挡土墙位移比对土侧压力系数、土压力分布和作用点的影响。对计算值与实测模型试验值进行对比分析。研究结果表明，采用库仑理论计算平动刚性挡土墙倾覆力矩偏于不安全。本文方法计算主动土压力结果与实测值的变化规律基本一致，主动土压力分布曲线吻合良好，具有一定的理论意义和工程实用价值。

关键词：非极限状态；挡土墙；主动土压力；摩擦角发挥值

中图分类号：TU 432            文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)05-1627-08

Calculation of earth pressure against retaining wall in non-limit state

HU Junqiang^{1, 2}, CHEN Jiangong^{1, 2}, ZHANG Yongxing^{1, 2}

(1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China;

2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area, Chongqing University,

Ministry of Education, Chongqing 400045, China)

Abstract: Considering the relationship between mobilization and the displacement of retaining wall, the active earth pressure in non-limit state was researched by the thin layer element method. It was considered that the earth pressure against the back of a retaining wall was due to the thrust exerted by a sliding wedge of soil between the back of the wall and a plane which passes through the bottom edge of the wall, and the basic analysis equations were set up through considering the equilibrium of the forces on a thin-layer element of the wedge. By using the equilibrium equations of the moments on the whole wedge, the coefficient of earth pressure, the unit earth pressure, the resultant force of earth pressure and the application point of the resultant force were obtained. The value of the mobilization of the internal frictional angle of backfill and the frictional angle between the wall and the backfill were discussed, and the effects of the internal frictional angle of backfill and the displacement ratio of the wall on the lateral coefficient of earth pressure, the earth pressure, the resultant force of earth pressure, the application point of the resultant force were investigated. The results show that the moment calculated according to the coulomb theory is unsafe for the overturning stability of retaining walls with the active translational movement mode, and that the active earth pressure distributions computed by the deduced formula agree well with the measured experimental results by calculations of the engineering case. The theory deduced in this paper has some theoretical significance and practical value.

Key words: non-limit state; retaining wall; active earth pressure; mobilized friction angle

目前，挡土墙土压力计算大多采用朗肯土压力理论和库仑土压力理论，因其计算简单和力学概念明确得到工程界认可及广泛应用^[1-2]。在继库仑和朗肯土压力理论之后，对于平移模式下挡土墙土压力计算理论，已有大量的专家学者对处于极限平衡状态的土体的土压力理论进行了研究。虽然这些研究成果可以用于求极限主动土压力或被动土压力，但这些理论大都建立在挡墙后填土达到极限平衡状态的基础上，而正常工作状态下不可能达到极限状态，而是处于静止土压力和主动土压力之间，这一点从已有的土压力监测资料得到证实。目前，土压力常用计算方法主要有极限平衡法和极限分析法。这些方法的研究对象为处于极限平衡状态的土体，没有考虑位移对土压力的影响，即只有当土体的水平位移达到一定值，土体产生剪切破坏，处于极限平衡状态时，此时对应的土压力用上述土压力理论计算是正确的。大量的现场观测和研究表明：墙体位移对挡土墙上土压力分布有很大的影响。Bang^[3]认为土体从静止状态到极限主动状态是一个渐变的过程，提出中间主动状态的概念，指出土压力计算应同时考虑墙体变位模式和变位。Nakai^[4]利用有限法研究了土压力与墙体变位的关系。Ichihara等^[5]首先提出土体要达到主动状态，土体对挡土墙墙背的摩擦角必须达到最大值。Sherif等^[6-9]通过模型试验发现非极限主动状态土体达到极限状态时，摩擦角必须达到最大值。周应英等^[10-11]分别对砂土填料和压实黏性填土在挡土墙平移情况下进行了土压力试验研究，发现墙体位移对挡土墙上土压力分布有很大的影响。龚慈^[12]认为结构物受到的土压力应处于静止土压力和主动土压力之间，经典土压力理论不能计算该状态下的主动土压力。徐日庆等^[13]针对刚性挡土墙平动模式下考虑位移效应，建立了墙背与填土间外摩擦角和填土内摩擦角与墙体平动位移的关系，并对水平土楔进行了分析研究。黄斌等^[14]利用三轴不排水剪切试验类比挡墙后土体侧向变形过程，得到了非极限主动土压力的计算公式。卢坤林等^[15-16]采用卸荷应力路径的三轴试验类比墙后土体的侧向变形过程，建立了摩擦角与位移的关系，进而得到了非极限主动土压力的计算公式，改进了水平层分析法，计算任意位移模式的土压力分布。张永兴等^[17]结合非极限状态的填土内摩擦角、墙土摩擦角和墙体位移比的关系对垂直挡墙的非极限状态主动土压力的分布进行了研究。在此基础上，本文作者考虑摩擦角发挥值与墙体平动位移关系，利用薄层单元法对倾斜挡土墙进行非极限状态主动土压力的研究，取挡墙后滑动楔体沿平行于填料坡面的水平薄层作为微分单元体，通过作用在水平薄层的力和力矩平衡条件，建立关于一般挡土墙非极限状态主动土压力的基本方程，进一步得到非极限状态时的土侧压力系数、土压力合力和作用点的理论公式，并与试验数据进行对比分析。

1  挡土墙非极限主动土压力求解

由于从挡土墙位移为零的初始静止状态和位移达到一定程度填土达到极限主动状态之间，存在一个过渡状态，本文称为非极限状态，其对应的土压力称为非极限土压力。进行以下假定：(1) 挡土墙后为均匀无黏性土；(2)土体处于非极限状态时，填土中存在“准滑动面”，形成楔形土体，且准滑动面总是通过挡土墙的墙踵。挡土墙模型如图1所示。

1.1  计算模型

在滑动楔体OAB中任取一个微单元体，此单元体距离地面为z，其厚度为dz，单元体主动状态受力如图2所示。作用于单元体上的力有单元体顶面的竖向应力q，底面竖向反力q+dq，挡土墙背反力p，墙土摩擦力，垂直于滑动面的不动土体反力r，不动土体对滑动楔体的摩擦力，以及微分单元体的重力dG。q₀为斜坡连续均布超载，为墙背的倾斜角，为墙后填土面倾角，为滑动面与水平面夹角，为墙后填土的重度。

图1  挡土墙模型

Fig. 1  Model of retaining wall

图2  单元体受力分析

Fig. 2  Force analysis of element

1.2  平衡方程的建立

对无黏性土，在非极限状态下，可令

，，   (1)

其中：为填土与墙背之间的摩擦角发挥值；为填土内摩擦角发挥值；K_m为非极限状态时土侧压力 系数。

由图1挡土墙模型及图2微单元体的受力分析模型可得几何参数：

；；

；；

由作用于单元体上的水平方向力的平衡条件：可得：

       (2)

将式(1)代入式(3)，并化简得

        (3)

由作用于单元体上的垂直方向力的平衡条件：，可得

    (4)

将几何参数及式(1)和(3)代入式(4)，并化简得

       (5)

由单元体上的力矩平衡条件：可得

将几何参数代入并化简得

   (6)

1.3  土压力求解

由式(1)，(5)，(6)得非极限状态土侧压力系数K_m：

   (7)

将式(7)代入式(5)得挡土墙非极限状态竖向应力q关于z的微分方程：

           (8)

其中：

    (9)

令，则式(8)可转化为

              (10)

并解微分方程得

   (11)

由边界条件z=0，q=q₀，得

         (12)

则挡土墙背反力为

 (13)

非极限主动土压力合力为

       (14)

很明显，当，，和已知时，p_a是关于的一元函数，为求p_a，利用微分求极值的条件：，可得P_a取最大值对应：

   (15)

其中：。

由于土压力合力作用点位置，经计算为

    (16)

2  φ_m和δ_m的探讨

要计算非极限状态时挡土墙上土压力，必须确定上述公式，，q₀，和，而，和q₀一般可以直接得到，本文主要探讨和的取值。目前常用的土压力分析方法通常假定填土与墙背间外摩擦角保持不变。龚慈^[12]认为：一般先于达到最大值，但为了简化计算，假定二者同时达到最大值，且二者变化趋势相同，并根据前人试验结果拟合并建立了填土内摩擦角与的关系：

        (17)

根据假设，墙土摩擦角与的关系为

        (18)

卢坤林等^[15]利用卸荷应力路径的三轴试验类比墙后土体的侧向变形过程，建立了填土内摩擦角与的关系：

 (19)

式中：；为挡土墙位移比；S为挡土墙(平动)位移；S_a为达到极限状态时的挡土墙(平动)位移；R_f为破坏比。当S=0时，=0，土体处于静止状态，此时，，，和分别为初始状态时填土的内摩擦角和墙土摩擦角。当0＜＜1，填土内摩擦角、墙土摩擦角随挡土墙位移比的增大而增大；当=1时，挡土墙处于极限状态，此时，，，和分别为极限主动状态时填土的内摩擦角和墙土摩擦角。

对于墙土摩擦角发挥值的取值，国内外学者已经进行了相关研究：Matsuzawa等^[9]建议采用墙土摩擦角。龚慈^[12]为墙土初始摩擦角的确定需要结合工程实际，与结构特点、施工工艺、墙背平整度有关。考虑土体初始应力条件，对于埋置式挡土墙，=0；对于墙后分层填土的挡土墙，＞0；若没有给出确切的值，则一般取。

土体初始内摩擦角为静止状态时土体的内摩擦角，对于正常固结土体，若不考虑初始状态时墙土摩擦角的影响，则

           (20)

式中：K₀为静止侧土压力系数，，为土体有效内摩擦角。

当墙后砂性填土的初始密度大于其自重压实密度时，且墙后填土分层压实，此时＞0，需考虑的影响，此时的可由改进的库仑方程式^[18]求解：

    (21)

式中：K_i为初始状态时的静止土压力系数。

卢坤林^[15]建议某一位移下的墙土摩擦角为。张永兴等^[17]认为非极限状态下挡土墙的和主要与挡土墙的极限状态时的和挡土墙位移比有关。

综上所述，挡土墙土体内摩擦角发挥值和墙土摩擦角发挥值主要与挡土墙的极限状态时填土的内摩擦角和挡土墙位移比有关，其余参数如极限状态时墙土摩擦角、填土初始内摩擦角、墙土初始摩擦角均是关于两者的函数。

3  φ和η对挡土墙土压力的影响

非极限状态土侧压力系数、土压力合力、土压力合力作用点主要取决于墙土的几何参数，和q₀以及强度参数和。而强度参数和主要与挡土墙的极限状态时填土的内摩擦角和挡土墙位移比有关，因此，挡土墙主动土压力主要由，，q₀，和来确定。由于本文研究重点在于考虑墙体位移的非极限状态主动土压力，在墙体移动过程中，只有填土强度参数随着挡墙位移变化，而墙土几何参数，和q₀在挡墙整个移动过程中却始终保持不变。因此，本节仅讨论和对非极限状态土压力的影响，几何参数对主动土压力的影响分析与强度参数影响分析相同。在下面的讨论中，令=0，=0和q₀=0，即仅考虑墙面垂直，填料坡面水平的挡土墙，取，并结合式(17)和(18)进行分析。

3.1  对滑裂面倾角的影响

挡土墙非极限状态滑裂面倾角随填土内摩擦角和挡土墙位移比的变化曲面如图3所示。可见，对于挡土墙非极限状态滑裂面倾角随和的增大而增大。当=0时，此处给出的破裂角为挡土墙静止状态滑裂面倾角，当=1时，此处给出的破裂角与按库仑理论计算的滑裂面倾角相等。分析可知，非极限状态滑裂面倾角介于库仑理论滑裂面倾角和静止状态滑裂面倾角之间，且≤≤，这与文献[7]中的模型试验观测结果相符。

图3  非极限状态滑裂面倾角θ_acr随φ，η的变化曲面

Fig. 3  Relation surface between θ_acr and φ，η

3.2  对土压力侧压力系数的影响

非极限状态主动土压力侧压力系数K_m随填土内摩擦角和挡土墙位移比的变化曲面如图4所示。由图4可知，K_m随和增大而减小。当=0时，由式(7)得挡土墙静止状态土侧压力系数K₀，当=1时，由式(7)得极限状态土侧压力系数。经分析可知，非极限状态土侧压力系数K_m介于极限状态侧压力系数和静止状态侧压力系数K₀之间，且≤K_m≤K₀。

3.3  对土压力分布的影响

分析可知，填土摩擦角和挡土墙位移比对土压力分布有很大影响。由式(13)和式(14)可知：计算土压力分布形式并不是线性的，式(17)和式(18)表明：本文计算结果对应于挡土墙从静止到极限平衡的整个过程。为了对非极限状态主动土压力随和的变化规律进行研究，令H=4.0 m，，18 kN/m³，得出一组非极限状态主动土压力P_a随和的变化曲面，如图5和图6所示。可见：非极限状态主动土压力分布为凸曲线，在=0.5时，土压力分布主要集中在挡土墙墙底，随着的增大，土压力强度p最大值逐渐减小，最大值位置向墙顶方向移动，且土压力强度p随之逐渐减小。

图4  K_m随φ和η的变化

Fig. 4  Relationship surface between K_m and φ, η

图5   η不变时不同φ的主动土压力分布

Fig.5  Distribution of earth pressure with different φ and same η

图6  φ不变时不同η的主动土压力分布

Fig.6 Distribution of earth pressure with different η and same φ

由图6可知，在时，土压力分布主要集中在挡土墙墙底，随着挡土墙位移比的增大，土压力强度p最大值逐渐减小，最大值位置向墙顶方向移动，且土压力强度p随之逐渐减小。从图5和图6可以看出：和的变化对土压力的大小和分布影响显著，这与已有文献[7]中的试验观测结果相符。

3.4  对土压力合力作用点的影响

合力作用点距挡墙底的高度z_m随填土内摩擦角和挡土墙位移比的变化曲面如图7所示。由图7可知：z_m随和的增大而增大；非极限状态主动土压力合力作用点高度都在墙高的1/3以上，作用点高度大致介于挡土墙高度的1/3~1/2之间，这与文献[7]中模型试验结果相符，但与按极限状态库仑主动土压力理论认为无黏性填土主动土压力合力作用点距墙底的距离等于墙高的1/3处不同。

图7  z_m随φ，η的变化

Fig.7  Relationship between height of action line of resultant earth pressure and φ, η

3.5  对挡土墙倾覆力矩的影响

对挡土墙墙底取矩，则挡土墙倾覆力矩T为

                 (22)

则由式(14)和(16)代入式(21)即可得挡墙非极限状态倾覆力矩T。

挡土墙主动状态倾覆力矩T随填土内摩擦角和挡土墙位移比的曲面如图8所示。可见：倾覆力矩T随墙后土体内摩擦角和挡土墙位移比的增大而减小，因此，增大土体内摩擦角或者都可以增加墙体的稳定性。当=1时，此时的倾覆力矩为极限状态的倾覆力矩T_A；当=0时，此时的倾覆力矩为挡土墙静止状态倾覆力矩T₀。经分析可知，非极限状态倾覆力矩T_a介于极限状态倾覆力矩和静止状态倾覆力矩之间，且T_A≤T_a≤T₀，即静止状态倾覆力矩为主动状态最大倾覆力矩，极限状态倾覆力矩为主动状态最小倾覆力矩。则采用极限状态的倾覆力矩计算平动模式下刚性挡土墙主动非极限状态时的倾覆力矩偏于危险，这与对合力作用点影响分析结果一致。

图8  主动状态倾覆力矩T随φ和η的变化曲面

Fig. 8  Relation surface between T and φ, η

4  实例分析

Fang等^[7]对填土为海砂的刚性挡土墙，对背离填土平动情况进行了一系列模型试验。试验参数为：填土重度15.4 kN/m³，填土内摩擦角34°，挡墙高H=1 m。本文分析进行计算分析时，取墙土摩擦角22.67°，墙土初始摩擦角17°，并通过计算可得填土内摩擦角初始值8.6°。位移比分别取0.05，0.20，0.75和1.00。由本文推导公式计算挡土墙非极限状态主动土压力分布如图9所示，将土压力计算值与文献[7]模型试验的实测值进行比较分析。

从图9可以看出，本文计算的土压力分析结果与实测值的变化规律基本一致，计算结果均与实测结果整体上吻合较好；挡土墙主动土压力随着的增大而逐渐变小，且其最大值逐渐向墙底移动，挡土墙主动土压力作用中心和土压力最大值计算值与试验值吻合较好，土压力最大值作用点高度位于距墙底1/3墙高范围内。另外，由于挡土墙底部受到摩阻力和初始静止土压力的影响，在挡土墙位移较小时，实测值与计算值存在一定的差值。

图9  主动土压力计算值与实测值

Fig. 9  Computed and measured results of case

5  结论

(1) 利用单元体的水平力、竖向力平衡和力矩平衡条件，得到了挡土墙非极限状态土侧压力系数、土压力合力、土压力合力作用点的一般表达式。这些值主要取决于墙土参数，，q₀，和。

(2) 非极限状态主动土压力侧压力系数K_m随和增大而减小，且≤K_m≤K₀；非极限状态主动土压力分布为凸曲线，随着的增大，p最大值逐渐减小，随着挡土墙位移比的增大，水平土压力强度p最大值逐渐减小，和的变化对土压力的影响显著。

(3) 挡土墙非极限状态滑裂面倾角和土压力合力作用点高度z_m均随和的增大而增大，倾覆力矩T随墙后土体内摩擦角和挡土墙位移比的增大而减小；采用极限平衡理论计算平动模式下刚性挡土墙非极限状态时的抗倾覆稳定性偏于危险。

(4) 采用本文计算方法得到的挡土墙土压力分布与实测结果较吻合，表明本文方法具有理论意义和工程实用价值。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2013-05-22；修回日期：2013-08-15

基金项目：长江学者和创新团队发展计划资助项目(IRT1045)；国家自然科学基金科学仪器基础研究专款资助项目(51027004)

通信作者：胡俊强(1984-)，男，河南安阳人，博士研究生，从事岩土工程防灾、减灾方面的研究；电话：023-65127587；E-mail: woaimather@126.com