基于紧支径向基响应面的承载力不确定性分析

胡常福^{1, 2}，任伟新^{1, 3}，刘旭政²

(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；

2. 华东交通大学 土木建筑学院，江西 南昌，330013；

3. 合肥工业大学 土木与水利工程学院，安徽 合肥，230009)

摘要：针对极限承载力不确定性分析中蒙特卡洛有限元计算规模过大的问题，引入增广紧支径向基响应面作为参数与响应的近似替代函数，以解决蒙特卡洛有限元的计算成本问题。以4个典型荷载工况下钢管混凝土肋拱极限承载力不确定性分析为研究对象，分别在响应面拟合精度与蒙特卡洛模拟结果精度方面对增广紧支径向基响应面与传统二次多项式响应面进行比较，并对不同径向基函数、增广基函数和试验设计方法对增广紧支径向基响应面蒙特卡洛模拟结果的影响进行分析。研究结果表明：增广紧支径向基响应面可以用于钢管混凝土拱极限承载力不确定分析中，试验次数少且精度高；增广紧支径向基响应面的拟合精度和蒙特卡洛模拟精度均比传统二次多项式响应面的拟合精度高，不同紧支径向基函数形式对结果影响不大；使用线性增广基紧支径向基响应面计算极限承载力不确定性的均值与标准差最大相对误差均小于1%，在均匀设计与中心复合试验设计中能兼顾响应面精度与试验成本。

关键词：极限承载力；不确定性分析；紧支径向基函数；增广基函数

中图分类号：U441          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)10-3621-08

Analysis of ultimate load-carrying capacity uncertainty based on response surface method with compactly supported radial basis functions

HU Changfu^{1, 2}, REN Weixin^{1, 3}, LIU Xuzheng²

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2. School of Civil Engineering and Architecture, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China;

3. School of Civil Engineering and Water Conservancy, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract: For too large computation scale of Monte Carlo finite element method used in ultimate load-carrying capacity uncertainty analysis problem, response surface method with compactly supported radial basis functions was used as surrogate models of response and parameters to solve this problem. In four typical load cases, uncertainty problems of concrete filled steel tubular arch load carrying capacity were taken as examples, response surface method with augmented compactly supported radial basis functions was compared with traditional quadratic polynomial response surface method in response surface fitting accuracy and Monte Carlo simulation accuracy, and the influence of different radial basis functions, augmented reponse surface and design of experiment in load carrying capacity uncertainty problems were analyzed. The results show that the functions method with the augmented compactly supported radial basis has high precision and small sample points in load carrying capacity uncertainty problems, and it has higher response surface fitting accuracy and Monte Carlo simulation accuracy than those of the quadratic polynomial response surface method, and different compactly radial basis functions have no influence in this problems, the relative error of mean and standard deviation of linear polynomial augmented compactly supported radial basis functions is less than 1% compared with that of Monte Carlo finite element results, and uniform design and central composite design can take the experiment cost and result accuracy into account.

Key words: ultimate load-carrying capacity; uncertainty analysis; compactly supported radial basis functions; augmented functions

结构极限承载力是指从开始加载到破坏过程中结构所能承担的最大荷载，具有影响因素多与复杂非线性的特点。传统观点认为给定结构的极限承载力是确定的，然而，由于客观上其物理参数具有不确定性，结构极限承载力也具有不确定性，这已经引起工程界的高度重视。在诸多极限承载力不确定性分析方法中，最经典的是蒙特卡洛有限元法(Monte Carlo finite element method, MCFEM)^[1]，它将人工模拟的随机数作为参数输入，进行大样本确定性双重非线性有限元计算，通过对输出结果的统计分析最终得到承载力的统计特征。该方法具有较高的精度，能作为精确解校核其他方法，但因其需要进行大量有限元计算而成本较高。为解决此问题，Box等^[2]提出在蒙特卡洛有限元中使用响应面模型替代有限元模型。常用响应面方法的拟合函数多为二阶多项式函数，它形式简单便于使用，但存在全局精度不高的问题，进而影响蒙特卡洛不确定性模拟的结果。为提高精度，人们主要在试验设计、拟合函数和方程求解等方面进行了大量研究。在试验设计方面，程晔等^[3]采用缩减窗口样本点重构的方法以逐步缩小响应面的误差。在拟合函数方面，Gavin等^[4]提出高阶多项式响应面用以提高可靠度的计算精度；程晔等^[5]提出使用多元指数函数来拟合非线性程度高的隐式可靠度功能函数；洪飞等^[6]使用改进加权多项式响应面法提高可靠度指标灵敏度精度，进而提高响应面精度；代汉超等^[7]利用单因素的设计空间构造仅含有一次项的响应面形式，在桥梁抗弯刚度修正中取得了较好的效果；Fang等^[8]使用二次多项式响应面与蒙特卡洛方法，成功应用于随机模型修正中。在方程求解方面，Kang等^[9]提出使用移动最小二乘法来提高响应面的精度；赵威等^[10]为解决常规响应面的问题引入样条变换和偏最小二乘方法；Wu^[11]提出了紧支径向基函数(compactly supported radial basis functions, CSRBF)。Fang等^[12-13]的研究表明，增广紧支径向基函数在杂散数据拟合方面具有较好优势。结构限承载力与其物理参数之间具有复杂的隐函数关系，其不确定性分析要求响应面具有较高的精度。为此，本文作者引入增广紧支径向基函数作为响应面拟合函数，以解决钢管混凝土肋拱极限承载力不确定性问题；研究不同增广基函数、径向基函数和试验设计方法对增广紧支径向基响应面蒙特卡洛模拟结果的影响，以便得出增广紧支径向基响应面的变化规律。

1  紧支径向基函数响应面

径向基函数是一类以向量的欧式范数为自变量的对称函数，满足当时，的函数φ都可以称为径向基函数^[14]。径向基函数空间是这样的空间^[15]：给定1个一元函数φ：R^*→R，在定义域上所有形如及其线性组合张成的函数空间称为由函数φ导出的径向基函数空间。当{x_j}两两不同且几乎充满R^d时，线性无关且其如

         (1)

的线性组合可以逼近几乎任何函数。式中：为响应与参数的隐函数；f(x)为响应与参数隐函数的表示形式；为响应面的参数；λ为未知系数；φ为径向基函数；为欧式范数；n为样本点个数。Wu^[11]提出了紧支径向基函数，其产生的径向基函数在给定的维数空间内正定且满足给定的连续性条件^[14]。研究表明^[12-15]，式(2)所示的增广型紧支径向基函数(augmented compactly supported radial basis functions, ACSRBF)当满足正定条件时，对各种函数均能拟合很好。

     (2)

式中：c为未知系数；g(x)为多项式函数；p为多项式函数个数。对n个样本进行试验得到一组观测值{X,Y}，代入式(2)可得如下方程组：

 (3)

式中：；为样本点处参数值；为样本点处响应值。由正定条件可得

        (4)

将方程组(3)与(4)合并成如下n+p阶矩阵方程：

             (5)

式中：；；；； 。使用最小二乘法求解方程(5)得到系数λ和c，代入式(2)即可得到由增广紧支径向基函数表示的响应面。

2  极限承载力不确定性分析

为检验增广紧支径向基函数响应面在复杂隐函数问题中蒙特卡洛模拟的适用性，以钢管混凝土肋拱极限承载力不确定性为例，研究增广紧支径向基函数响应面与二次多项式响应面在样本点的拟合精度，并比较两者承载力不确定性分析结果的精度。

2.1  分析模型及参数统计特征

陈宝春等^[16]对钢管混凝土单圆管肋拱进行了面内极限承载力试验，以此模型作为研究对象和结果验证。该试验拱跨径L=460 cm，矢高f=153.3 cm，拱轴线为抛物线，截面材料是直径×壁厚为76 mm×3.792 mm的无缝钢管内填C30混凝土，如图1所示。

图1  钢管混凝土单圆管肋拱示意图

Fig. 1  Diagram of CFST single circular rib arch

谢肖礼等^[17]在加载过程中进行了考虑几何非线性和材料非线性的有限元数值模拟，材料非线性采用如下钢管混凝土统一理论：

       (6)

式中：E_sc为钢管混凝土弹性阶段名义弹性模量；f_y为钢材屈服强度(MPa)；f_scy为钢管混凝土轴压强度承载力(MPa)；E_sct为钢管混凝土弹塑性阶段名义切线模量；E_sch为钢管混凝土强化阶段名义强化模量；ξ为钢管混凝土约束效应系数。以此模型为确定性有限元模型，考察当参数具有随机性时，研究极限承载力的不确定性现象。

影响钢管混凝土肋拱极限承载力的因素众多，主要有材料参数、截面参数和初始轴线偏差参数3类，本文选取钢材屈服强度f_y、混凝土抗压强度标准值f_ck、截面直径D、钢管壁厚t、拱轴线面内初始轴线偏差最大值(面内一阶反对称失稳模态)y_0,L/4共5个物理量作为参数样本分析的输入，如表1所示，其中均值系数与变异系数取自文献[18]。

表1  输入随机变量统计特征

Table 1  Statistical value of input random parameters

2.2  响应面精度分析

响应面精度对蒙特卡洛模拟结果的精确性起着决定性作用。为比较增广紧支径向基(CSRBF)响应面与二次多项式(quadratic polynomial, QP)响应面的精度，选取钢管混凝土拱在跨中集中力工况、四分点集中力工况、半跨均布力工况、全跨均布力工况下，使用5参数20水平均匀设计产生20个样本点，设计空间为各参数；分别计算4种工况下钢管混凝土拱的极限承载力，使用紧支径向基函数与二次多项式函数进行拟合，其中增广紧支径向基函数选取为增广基为一次多项式LP及紧支径向基为CSRBF00，二次多项式函数选取不带交叉项的二次型多项式型式。使用2种响应面模型拟合后，对复相关系数(R²)、修正的复相关系数()、最大相对误差(e_max)及最小相对误差(e_min)进行比较，如表2所示。

从表2可以看出：在4个荷载工况的极限承载力样本点拟合中，二次多项式响应面的R²与为 0.983 3~0.997 5，而增广紧支径向基响应面结果全为1.000 0，显示了较高的拟合精度；在样本点拟合相对误差方面，二次多项式响应面在样本点处的相对误差为绝对值最大为6.916 3%，相应的增广紧支径向基响应面为4.001 0×10^-9，远远小于二次多项式结果。综合表2可以看出：在钢管混凝土拱极限承载力样本点拟合方面，增广紧支径向基响应面比二次多项式响应面精度高。

2.3  承载力不确定性分析

为进一步比较增广紧支径向基响应面与二次多项式响应面在极限承载力不确定性分析中的精度，选取以上4个荷载工况的响应面结果，进行1万次蒙特卡洛模拟，并将结果与1万次蒙特卡洛有限元(MCFEM)结果进行比较。在3种方法中使用同一个种子产生相同的随机数，以消除不同随机数造成的微小误差。3种方法结果比较如表3与图2所示。

从表3可以看出：在4个荷载工况的承载力不确定性分析中，与蒙特卡洛有限元MCFEM结果相比，二次多项式QP响应面结果均值最大相对误差为 0.530 0%，最小相对误差为0.200 0%，标准差最大相对误差为2.270 0%，最小相对误差为1.440 0%；增广紧支径向基CSRBF响应面结果均值最大相对误差为0.710 0%，最小相对误差为0.040 0%，标准差最大相对误差为0.730 0%，最小相对误差为0.240 0%。由此可见：与二次多项式QP响应面结果相比，增广紧支径向基CSRBF响应面大大提高了标准差的精度；与蒙特卡洛有限元MCFEM需要1万次双重非线性计算相比，增广紧支径向基CSRBF响应面只需20次，极大地提高了计算效率。从图2可以看出：在4个荷载工况承载力的概率密度曲线中，与二次多项式QP响应面结果相比，增广紧支径向基CSRBF响应面结果与蒙特卡洛有限元MCFEM结果较吻合，基本没有明显差别。综合表3与图2可知：在钢管混凝土拱承载力不确定性分析中，增广紧支径向基CSRBF响应面具有较好的适用性，具有精度高、样本点少的特点。

表2  响应面评价指标比较

Table 2  Comparison of response surface evaluation indexes

表3  承载力不确定性分析比较

Table 3  Results comparison of load carrying capacity uncertainty problem

图2  概率密度曲线比较

Fig. 2  Results comparison of probability density curves

3  参数分析

为研究增广紧支径向基响应面的各参数对承载力不确定性分析结果的影响，以上述4个荷载工况为例，分析不同径向基、增广基与试验设计方法对蒙特卡洛模拟结果的影响，以得出增广紧支径向基响应面的变化规律。

3.1  径向基函数

紧支径向基有多个函数形式^[9]。为探索不同径向基对紧支径向基响应面蒙特卡洛模拟结果的影响，在以上4个荷载工况样本点基础上，分别建立CSRBF00至CSRBF33全部10个紧支径向基响应面，并进行1万次蒙特卡洛模拟，并以1万次蒙特卡洛有限元MCFEM结果为精确解比较不同径向基对结果的影响。为消除不同随机数带来的微小误差，在以下所有蒙特卡洛模拟中，均使用相同的随机数。不同径向基结果比较如表4所示。

从表4可以看出：在这4种荷载工况承载力的不确定性分析中，与蒙特卡洛有限元MCFEM结果相比，各紧支径向基均值结果的最大相对误差为0.710 0%，最小相对误差为0.040 0%；标准差最大相对误差为0.840 0%，最小相对误差为0.240 0%。这表明各紧支径向基结果均具有较高的精度，紧支径向基函数形式对不确定性分析结果没有影响。

3.2  增广基函数

增广基函数是径向基响应面中的重要组成部分。为分析不同增广基函数对承载力不确定性分析结果的影响，在上述4种荷载工况产生样本点的基础上，分别建立无增广基、增广基为常数C、一次多项式LP(linear polynomial)及二次多项式QP(quadratic polynomial)的紧支径向基函数响应面，并进行1万次蒙特卡洛模拟。为消除不同紧支径向基函数带来的微小误差，在各响应面中统一选取CSRBF00径向基。不同增广基对结果的影响如表5所示。

由表5可以看出：在4个荷载工况承载力不确定性分析中，随着增广基由无增广基、常数增广基C、一次多项式LP变化至二次多项式QP，即增广基多项式次数逐渐增加，均值最大相对误差分别从16.210 0%，0.750 0%和0.710 0%变化至0.630 0%，标准差最大相对误差分别从3.530 0%，6.190 0%和 0.730 0%变化至0.370 0%，均值与标准差的相对误差均呈现降低的趋势，表明增广基函数对承载力不确定性分析结果影响交大。当采用一次多项式LP增广基时，均值最大相对误差为0.710 0%，标准差最大相对误差为0.730 0%，具有较高的精度，可以兼顾结果精确性与响应面模型简单性的要求。

3.3  试验设计

试验设计是响应面方法的重要组成部分，良好的试验设计能同时兼顾响应面的精度和试验成本。为考察试验设计方法对紧支径向基响应面蒙特卡洛模拟结果的影响，分别使用5参数3水平全因子设计法FFD(full factorial design)、中心复合设计法CCD (central composite design)、5水平5因素正交设计法OD(orthogonal design)和5因素20水平均匀设计法UD(uniform design) ，产生4个荷载工况的样本点，各试验样本点数量分别为243，43，25和20个；在样本点基础上，构造径向基为CSRBF00增广基为LP的紧支径向基响应面，并将1万次蒙特卡洛模拟结果与1万次蒙特卡洛有限元结果进行对比。不同试验设计方法对结果的影响如表6所示。

从表6可以看出：在这4种荷载工况承载力不确定性分析中，全因子设计法FFD均值与标准差的误差最小，均值最大相对误差为0.010 0%，标准差最大相对误差为0.080 0%；正交设计法OD均值与标准差的误差最大，均值最大相对误差为2.020 0%，标准差最大相对误差为1.290 0%；中心复合设计法CCD及均匀设计法UD均值与标准差的误差介于两者之间，均值最大相对误差为0.710 0%，标准差最大相对误差为 0.540 0%，均小于1.000 0%，显示了较好的适用性。考虑到均匀设计UD样本点数量更少，其最能兼顾试验成本与蒙特卡洛模拟结果的精度。

表4  不同径向基结果比较

Table 4  Results comparison of radial basis functions

表5  不同增广基结果比较

Table 5  Results comparison of augmented functions

表6  各种试验设计结果比较

Table 6  Results comparison of experimental designs

4  结论

1) 增广紧支径向基响应面法可用于钢管混凝土肋拱极限承载力不确定性分析中，能解决蒙特卡洛有限元法的计算成本问题。

2) 与常规二次多项式响应面相比，增广紧支径向基响应面法具有更高的响应面拟合精度，其蒙特卡洛模拟结果与蒙特卡洛有限元结果误差更小。

3) 紧支径向基函数的形式对增广紧支径向基响应面结果影响不大。

4) 在钢管混凝土4种荷载工况的承载力不确定性分析中，当采用LP增广基时，增广紧支径向基响应面结果的均值与标准差相对误差均小于1.000 0%，能兼顾结果精确性与响应面模型简单性要求。

5) 对于钢管混凝土肋拱极限承载力不确定性分析，综合考虑试验成本与精度要求，宜采用UD和CCD试验设计方案。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2013-10-22；修回日期：2013-12-22

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51278163，51468019)；铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心资助项目(11TM01)；江西省科技支撑计划项目(2014BBG70089)(Projects (51278163, 51468019) supported by National Natural Science Foundation of China; Project (11TM01) supported by Railway Engineering Research Center for Environmental Vibration and Noise of the Ministry of Education; Project (2014BBG70089) supported by Science and Technology Plan in Jiangxi Province)

通信作者：胡常福(1980-)，男，安徽六安人，博士研究生，讲师，从事拱桥极限承载力研究；电话：0791-87046027；E-mail：changfu.hu@foxmail.com