基于输出反馈的电力系统时滞相关分散鲁棒H∞控制
陈 宁，刘玮瑛，桂卫华
(中南大学 信息科学与工程学院，湖南 长沙，410083)
摘 要：研究一类不确定关联时滞电力系统的输出反馈分散鲁棒H∞控制问题。考虑电力系统因运行参数变化产生的不确定性，假定其中的不确定项是时变和范数有界的，设计输出反馈分散H∞控制器。首先，结合Lyapunov-Krasovskii泛函方法、时滞积分矩阵不等式，导出此系统控制器存在的非线性矩阵不等式(NMI)充分条件；然后，通过变量替代法及矩阵的等效变换将其转换成线性矩阵不等式(LMI)充分条件。最后，以1个具体的三机关联时滞电力系统为例，求取输出反馈分散H∞控制器，并且讨论电力系统运行的稳定性。仿真结果表明，所设计的控制器能够快速有效地稳定电力系统，并且具有良好的动态性能。
关键词：电力系统；关联时滞；输出反馈；线性矩阵不等式；鲁棒控制
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2009)03-0711-08
Delay-dependent decentralized robust H∞ control for power systems based on output feedback
CHEN Ning, LIU Wei-ying, GUI Wei-hua
(School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: Delay-dependent decentralized robust output feedback H∞ control for a class of uncertain interconnected power systems was studied. The uncertainties caused by the variety of operation were assumed to be time-varying and norm-bounded. The decentralized output feedback H∞ controllers were designed. Firstly, combining Lyapunov- Krasovskii functional approach, the delay integral inequality of matrices and so on, the conditions for the existence of the controller were presented in terms of non-linear matrix inequalities. Secondly, combining the variable substitution and equivalent transformation of matrices, the conditions for the existence of the controller were presented in terms of linear matrix inequalities. Finally, taking a specific three-machine system for example, the decentralized output feedback H∞controller was obtained and the stability of power systems was discussed. The simulation results show that the designed controller can improve the power system stability effectively and has good dynamic responses.
Key words: power system; interconnected time-delay; output feedback; linear matrix inequality; robust control
随着电力工业的迅速发展，电力系统的规模日益庞大和复杂，对系统运行的可靠性和稳定性要求越来越高。在电力系统中，由于受各种信号的采集、处理和传递的不及时性等因素的影响，时滞现象普遍存 在[1-2]，往往导致电力系统不稳定和系统性能变差，因此，必须对时滞电力系统进行鲁棒控制[3]。时滞分为时滞无关和时滞相关2类。一般来说，时滞无关的结果较保守，而时滞相关的条件依赖时滞，具有较大的灵活性，因而，对控制系统时滞相关条件的研究成为国内外的研究热点[4-7]。但目前，人们对控制系统时滞相关条件的研究大多数是对一般意义下系统理论进行研究，很少运用到实际系统中，而对时滞相关电力系统分散鲁棒控制的研究较少。此外，在电力系统稳定性研究中，对于具体的分散鲁棒H∞控制器的设计，常采用带有反馈的控制器。目前，常用的反馈控制器有2种：一是状态反馈控制器；二是输出反馈控制器。虽然状态反馈器在许多领域得到应用[8-11]，但是，在实际电力系统中，系统的状态往往是不可测量的，这时，控制器的设计往往采用输出反馈控制。输出反馈控制器的设计是一个难点，人们对电力系统输出反馈鲁棒控制的研究很少。在此，本文作者研究一类不确定关联时滞电力系统的输出反馈分散鲁棒H∞控制问题，设计输出反馈分散H∞控制器。结合Lyapunov- Krasovskii泛函方法、时滞积分矩阵不等式、变量替代法及矩阵的等效变换，导出此系统控制器存在的线性矩阵不等式充分条件。
1 电力系统模型
将电力系统非线性微分方程采用直接反馈线性化，同时考虑参数不确定性和外加输入的扰动，得到由N个子系统组成的不确定关联时滞电力系统[12]。其子系统方程为：
未知常数矩阵，并且满足：
≤I，
≤I；i=1, …, N。 (3)
2 分散鲁棒控制
2.1 输出反馈控制器的设计
对于系统(1)，设计1个输出反馈控制器：
其中：i=1, …, N。将式(4)代入式(1)，得到闭环系统：
控制问题是对给定的正常数γ，设计一个输出反馈控制器(4)，使得下面的条件满足：
a. wi(t)=0时，闭环系统(6)内部渐近稳定；
b. 在零初始条件下，xi(t)=0, t∈[-τ, 0]，有
≤
，
成立。其中：
；
。则称
输出反馈控制器(4)为系统(1)的一个时滞相关γ-次优输出反馈H∞控制器。
2.2 主要结论及证明
引理1[13] 若y(t)为Rn上具有连续一阶导数的向量函数，则对任意对称正定矩阵W＞0，任意常数 h＞0满足不等式：
≤
。
引理2[14] 设
，E和F是具有合适维数的矩阵，且是对称矩阵，对所有的
满足条件(3)，那么，
＜0，
当且仅当存在标量ε＞0使得下式成立，即
＜0。
下面给出闭环系统渐近稳定且具有H∞性能γ及H∞控制器存在的充分条件。
下面证明在零初始条件下，有
≤
成立。令
对定理1中不等式(7)的求解非常困难，为了得到满足条件的输出反馈控制器，进一步给出定理2及其证明。
再根据引理2代入不确定性，利用Schur补，可以得到定理2。
3 算例分析
对如图1所示的三机电力系统进行关联时滞输出反馈分散鲁棒控制器的设计。G1和G2关联，机组G3作为无穷大母线。在考虑发电机G1与G2关联时，假设它们之间关联信号的传递存在着常数时滞τ＞0，得到的电力系统非线性模型经直接反馈线性化，并且代入具体的参数后，可以得到：
定义状态变量
，控制变量
，并且考虑在每个子系统中存在扰动输入wi(t)、输出zi(t)和不确定性，则式(11)和式(12)可以写成：
(13)
其中：i=1, 2；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
。
图1 三机电力系统
Fig.1 Three-machine power system
设计形如式(4)的输出反馈控制器，利用Matlab中的LMI工具箱，求解LMI(8)，在取γ=1时得到最大时滞界τ≤0.99，且式(9)中的控制器系数为：
；
；
；
；
；
。
在得到关联时滞输出反馈控制器之后，利用Matlab中的Simulink工具可以得到状态变量的仿真曲线，即分别为第i个发电机的功角
，相对转速
和q轴暂态电压
的响应曲线，如图3所示。图2所示为关联电力系统在未加控制器时的功角、角速度和q轴暂态电压响应曲线。从图3可以看出，2个机组在3 s左右都达到稳定。比较图3(a)和图3(b)可以看出，所设计的控制器能够快速有效地稳定电力系统，并且具有良好的动态性能，所以，本文所提出的控制方法是有效的。
(a) 第1个机组; (b) 第2个机组
1—功角; 2—角速度; 3—暂态电压
图2 未加控制器时的电力系统动态响应仿真图
Fig.2 Simulation of dynamic response of power system without controller
(a) 第1个机组; (b) 第2个机组
1—功角; 2—角速度; 3—暂态电压
图3 加入输出反馈控制器后电力系统动态响应仿真图
Fig.3 Simulation of dynamic response of power system with output feedback controller
另外，将本文的仿真试验结果与文献[8]中的仿真实验结果相比较，易知采用本文方法仿真并不像文献[8]一样有繁琐的迭代过程。将本文的仿真试验结果与文献[3]中的仿真实验结果相比较，如表1所示。可见，在γ=1时，系统可稳定的最大时滞界比较大，具有较小的保守性。
表1 系统(13)最大时滞界
Table 1 Upper bound τ for system (13)
4 结 论
a. 研究了状态、关联和控制输入存在不确定性的时滞电力系统的输出反馈分散鲁棒H∞控制。
b. 采用Lyapunov-Krasovskii泛函和时滞积分不等式，扩大了关联系统稳定的时滞范围，具有较小的保守性。
c. 采用变量替代法，给出了分散输出H∞控制器的LMI方法，采用该方法不需要迭代就能求解出分散控制器。所设计的控制器能快速稳定电力系统。
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收稿日期：2008-08-31；修回日期：2008-12-05
基金项目：国家自然科学基金资助项目(60634020)；湖南省自然科学基金资助项目(07JJ6138)；中国博士后科学基金资助项目(20060390883)
通信作者：陈 宁(1970-)，女，湖南长沙人，博士，教授，从事大系统分散鲁棒控制研究；电话：0731-8879274；E-mail: ningchen@mail.csu.edu.cn
