模糊预测型线性规划在矿山产能分配中的应用

刘浪^{1, 2}，陈建宏^{1, 2}，郑海力^{1, 2}

(1. 中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083；

2. 湖南省深部金属矿产开发与灾害控制重点实验室，湖南 长沙，410083)

摘要：针对矿山产能分配时约束条件多为模糊约束，而约束系数多为灰数的情况，综合模糊线性规划以及灰色预测型线性规划特点，构建模糊预测性线型规划模型对矿山产能进行分配。利用灰色预测理论对模型中的各灰色系数进行白化，将模糊预测型线性规划模型转变为模糊线性规划模型。利用模糊最优判决条件将模糊线性规划转变为求最大隶属度的一般线性规划模型，进而得到矿山产能取得最大经济效益时的产能分配，实现生产资料的科学配置和利润的最大化。

关键词：产能分配；模糊预测性线性规划；模糊线性规划；灰色预测型线性规划

中图分类号：TD98          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)02-0611-09

Application of fuzzy grey predictability linear programming in capacity allocation of mine

LIU Lang^{1, 2}, CHEN Jian-hong^{1, 2}, ZHENG Hai-li^{1, 2}

(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

2. Deep Metal Mineral Exploitation and Hazard Control Key Laboratory, Changsha 410083, China)

Abstract: For mine capacity allocation, the constraints are mostly fuzzy, while the constraint coefficients are mostly grey numbers. Considering the characteristics of fuzzy linear programming and grey predictability linear programming, fuzzy grey predictability linear programming model was constructed for mine production allocation. Grey prediction theory was used to whiten grey coefficients, fuzzy grey predictability linear programming model was turned into fuzzy linear programming model and fuzzy optimal decision was used to turn the fuzzy linear programming model into linear programming model. The goal of the linear programming model is to maximize membership degree and achieve the capacity allocation, which leads to the maximum economic benefit and achieves a rational distribution of production and profit maximization.

Key words: capacity allocation; fuzzy predictability linear programming; fuzzy linear programming; grey predictability linear programming

矿山的矿产品一般有多种，既有主要矿产品，又有附生矿产品，而主要矿产品和附生矿产品又可包括多种，各种矿产品的单项经济效益综合起来形成了矿山企业总的经济效益。矿山矿产品每年的矿石产量除了受矿山生产规划的影响外，还受到当年矿山劳动力条件、能源供给条件和原材料供给条件等因素的制约，因此，矿山每年的矿石产量都不尽相同，每年的经济效益也有差异。以往多采用线性规划模型来对矿山产能分配问题进行处理，但在实际生产中，劳动力供给、能源供给和原材料供给常常会随着市场或形势的变化而追加或减少投入，而且生产各单位矿产品的原料消耗、电力消耗以及人力资源消耗都是随时间在一定范围内变动的，因此，采用一般的线性规划问题来处理矿山产能分配问题时有很大的局限性，并不与实际情况完全相符。针对此种情况，在原有的一般线性规划问题中引入模糊数学与灰色理论的思想。对于劳动力供给、能源供给以及原材料供给等常常有追加投入的情况，采用模糊约束；对于各矿产品的劳动力供给、能源供给以及原材料供给等随时间变化的量，采用灰数^[1-5]表示。构建矿山产能分配时的模糊预测型线性规划模型，对于模型中随时间变动的因子利用灰色预测理论^[5-10]进行预测，使之白化变为定值，成为模糊线性规划，对模糊线性规划通过构建隶属函数，并利用模糊最优判决条件转变为一般线性规划问题，进而进行求解。相对于传统的模糊线性规划与灰色预测型线性规划，模糊预测性线性规划更加贴近于矿山进行产能分配时的生产实际，并且融合了两者的特点，在一定条件下既可以转变为模糊线性规划，也可以转变为灰色预测型线性规划，因此，有更大的适用空间，在生产实践中也有更大的应用价值。

1  模型建立

1.1  模糊预测型线性规划理论

一般线性规划问题用来解决实际生活中目标和约束皆明确的问题，其标准形式为：

              (1)

在实际生活中，很多情况下会遇到目标函数和约束条件模糊的情况，这时一般线性规划问题就变成模糊线性规划^[11-14]问题。模糊线性规划问题的标准形  式为：

               (2)

当一般线性规划问题中出现某些量随时间而随机在一定范围内变化时，一般线性规划问题就变成了灰色线性规划^[15-16]问题。灰色预测型线性规划是灰色线性规划理论中最常见的一种，此种线性规划问题的特点是约束条件中存在着有界灰元，其一般形式为：

             (3)

以上3种规划问题都是实际生活中常见的问题。但在现实生活中还有一类规划问题：目标函数模糊和约束总量模糊。但约束系数是有界灰元，此类规划问题特别适用于企业的产能分配。在企业进行产能分配时，各项约束条件如劳动力供给、能源供给以及原材料供给很多情况下都会随着形势变化而追加或减少投入，即产能分配时的各项投入是模糊的，而目标以及约束条件中的各项因子都是随时间而变动的有界灰元，因此，就造成了企业产能分配问题兼有模糊线性规划与灰色预测型线性规划的部分特征，成为模糊预测型线性规划问题。

此类问题的一般形式如下：

           (4)

对模糊预测型线性规划的一般求解思想是：将各灰元进行白化，变为模糊线性规划问题，然后，按照模糊线性规划问题的解法进行求解。

1.2  系统建模

1.2.1  模糊预测型线性规划模型构建

设有一矿山，其生产的矿产品有x₁，x₂，…，x_n，则其矿产品决策向量X可写为

矿山所生产的每种矿产品的单价(或利润)c₁，c₂，…，c_n每年都不一样，是随时间而动态变化的，则其价格(或利润)是灰色的，可用灰色价格向量表示，即：

每生产单位第i种矿产品所消耗的第j种资源或能源的数量a_ij也是随时间变化的，可表示为，则灰色消耗矩阵为

矿山历年所能提供的劳动力数量以及各种资源或能源的总量b₁，b₂，…，b_m也并不是完全固定的，往往会追加(或减少)投入，则资源约束向量B为模糊的，得到矿山产能分配的模糊预测线性规划模型：

              (5)

在式(5)中，各灰元系数都是有界灰元，；≥0；；≥0；i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。和分别表示各有界灰元的下限值；和分别表示各有界灰元的上限值。

1.2.2  灰元系数白化

模糊预测型线性规划模型借鉴灰色预测型线性规划模型对有界灰元的处理方式，采用价格定位系数ρ_j以及消耗定位系数δ_ij对灰元系数进行白化，白化处理方式如下。

利用价格定位系数ρ_j对各矿产品的单价(或单位矿产品的利润)进行白化：

，j=1，2，…，n   (6)

利用消耗定位系数δ_ij对每生产单位第i种矿产品所消耗的第j种资源或能源的数量进行白化：

，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n       (7)

价格定位系数及消耗定位系数的准确确定关系到未来矿山产能分配的合理性与可靠性。而对各系数是根据以往的统计数据提炼出的信息然后利用GM(1,1)模型预测确定的，GM(1,1)模型预测步骤如下。

利用原始数据序列y⁽⁰⁾，生成1-AGO序列y⁽¹⁾，以及紧邻均值生成序列w⁽¹⁾，则有GM(1,1)模型：

y⁽⁰⁾(k)+aw⁽¹⁾(k)=b               (8)

令为GM(1,1)的参数列，且有矩阵

，

则GM(1,1)模型的最小二乘估计参数列为：

             (9)

GM(1,1)模型的白化方程为：

             (10)

得到时间响应序列为：

     (11)

理论值为：

      (12)

得到理论值后，对其进行残差、相对误差、平均相对误差、残差平方和以及后验差和后验比值检    验^[17]，误差检验合格后，方能对矿山产能分配的模糊预测型线性规划模型的各定位系数进行预测。

1.2.3  模糊线性规划模型求解

将各系数准确白化后，矿山产能分配的模糊预测型线性规划模型就变为了一般的模糊线性规划模型：

             (13)

对已经转变为模糊线性规划模型的矿山产能分配问题进行求解。将模糊目标与模糊约束结合，得到如下形式：

即

               (14)

确定模糊目标及模糊约束的隶属函数。由于隶属函数一般都要满足严格递减的要求，因此，其确定原则一般如下：

当(A′X)_i≤b_i时，μ_i(x)=1；

当b_i＜(A′X)_i≤b_i+d_i时，0＜μ_i(x)＜1

当(A′X)_i＞b_i+d_i时，μ_i(x)=0

i=1，2，…，m；[b_i，b_i+d_i]称为违反区间。

根据上述原则，且为计算方便考虑，因此隶属函数取为1条斜率为负的直线，为

  (15)

根据模糊数学基本理论，最优判决条件为

           (16)

根据最优判决条件即可将模糊线性规划转变为一般的线性规划模型进行求解，为求解方便，令

            (17)

得到以求最大隶属度λ为目标函数的一般线性规划模型，模型形式如下：

  (18)

其中：λ≥0；x_j≥0；j=1，2，…，n。

对上述线性规划模型求解，即可得到模型的最优解，从而得到矿山产能分配的模糊预测性线性规划模型的最优解，利用最优解的结果即可对矿山产能进行优化配置。矿山产能分配求解流程见图1。

图1  矿山产能分配求解流程

Fig.1  Solving process of mining production allocation

2  实例分析

我国某铜矿山1982年开始投产，矿山计划生产45年左右。该矿床中除含有铜矿石外，而且含有一定含量的锌矿石。过去很长一段时间内，由于市场环境和生产技术等条件的制约，矿山一直只生产铜精矿石。随着市场价格变化和生产技术水平的提高，从2001年起，矿山也开始生产锌精矿。由于矿石品质较高，除少数年份受经济危机等外部不利因素影响而滞销外，其他年份矿山生产的矿产品一直都处于供不应求的状态。但由于受地理位置的影响，矿山生产所需的劳动力，电力以及坑木都比较紧张。根据矿山多年生产经验，矿山每生产1 t铜精矿需耗用2.02~3.94工时，耗电15~33 kW·h，耗用坑木0.000 46~0.000 83 m³；每生产1 t锌精矿需耗用1.66~3.26工时，耗电16~31 kW·h，耗用坑木0.000 34~0.000 63 m³。矿山销售铜精矿的价格为8 400~13 200元/t，利润为1 820~3 240   元/t；锌精矿的价格为6 500~10 300元/t，利润为1 580~2 410 元/t。

矿山现有生产一线员工378人，按三班倒进行计算每个员工每天平均工作8 h，则矿山1 d的工时总量为3 024工时。平均每天可获得电量30 000 kW·h，坑木供给0.65 m³。随着矿业经济的升温以及国内外市场的好转，矿山准备逐年加大对生产的投入，其中员工人数以及电力供给最多可以每年10%的速度增加，坑木供给最多可以每年8%的速度增加。根据原有设计，矿山1年工作300 d，包括富余生产能力在内，矿山最大生产能力为年产矿石量6×10⁵ t。矿山想据此来安排2011年、2012年以及2013年的产能分配情况，以使得矿山获益最大。

根据以上条件，得到该矿山的产能分配的模糊预测型线性规划模型如下：

其中：铜精矿的产量为x₁；锌精矿的产量为x₂；灰参数；， ；；；；； 。

若想对矿山产能分配的模糊预测型线性规划模型进行求解，首先要利用各定位系数对灰参数进行白化，去掉其灰色属性，将其转变为一般的模糊线性规划  问题。

对2011年、2012年以及2013年的矿山产能分配模型中的消耗定位系数δ₁₁，δ₁₂，δ₂₁，δ₂₂，δ₃₁和δ₃₂进行白化是根据灰色预测理论进行的，而铜精矿与锌精矿的盈利能力除与产品价格因素有关外，还与工时消耗、资源消耗以及能源消耗有关，因此，对单位矿产品的盈利灰数不能仅仅依靠价格定位系数来确定，还要综合考虑铅精矿生产以及锌精矿生产的工时消耗、电力消耗以及坑木消耗等因素来确定。

根据矿山相关统计资料，结合式(7)得到2001年—2010年的消耗定位系数表如表1所示。由表1可以看出：随着技术进步及管理水平的提高，矿山生产所需的工时消耗，电力消耗以及坑木消耗是逐年降低的。

根据历年铜精矿与锌精矿的各消耗定位系数，可利用灰色预测理论对2011年、2012年以及2013年的消耗定位系数进行预测，由于各消耗定位系数是只随时间而变化，因此，采用灰色预测理论中的GM(1,1)模型对其进行预测。

以铜精矿的工时消耗定位δ₁₁的预测为例，说明GM(1,1)模型对各消耗定位系数的预测过程。

根据铜精矿工时消耗定位系数的原始数据序列，得到其1-AGO序列以及紧邻均值生成序列，其数据序列如表2所示。

根据表2，结合式(8)~(10)求得铜精矿工时消耗定位系数的GM(1,1)模型的白化方程为：

进而得到时间响应序列为：

表1  历年消耗定位系数表

Table 1  Positioning coefficient table of each year

表2  铜精矿工时消耗定位系数相关数据序列

Table 2  Data sequence table of working hour consumption positioning coefficient of copper concentrates

根据时间响应序列得到铜精矿工时消耗定位系数的理论值，利用原始值和理论值并根据《灰色预测模型精度检验等级表》^[18]对工时消耗定位系数的GM(1,1)模型进行误差检验，其结果如表3所示。

根据表3，得到铜精矿工时消耗定位系数GM(1,1)模型精度为97.97%，后验差检验等级为一级，可用来进行长期预测。

建立其他消耗定位系数的GM(1,1)模型，并对其进行误差检验。经检验所有模型的误差检验均合格，可用来进行数据预测。利用GM(1,1)模型对2011年、2012年和2013年的所有消耗定位系数的预测结果如表4所示。

根据各消耗定位系数即可确定2011年、2012年以及2013年矿山产能分配模型中生产单位矿产品的各类消耗，根据生产消耗结合价格等其它因素即可确定单位铜精矿以及单位锌精矿的盈利能力。由于矿山对员工人数以及电力的供给最多以每年10%的速度增加投入，对坑木的供给最多以每年8%的速度增加投入，矿山最大生产能力为年产矿石6×10⁵ t，即日产矿石量为2 000 t。据此得到2011年、2012年以及2013年矿山产能分配的模糊线性规划模型如下。

表3  铜精矿工时消耗定位系数误差检验表

Table 3  Error inspection table of working hour consumption positioning coefficient to copper concentrates

表4  2011—2013年消耗定位系数表

Table 4  Positioning coefficient table of 2011—2013

2011年产能分配的模糊线性规划模型为

根据模糊线性规划相关定义，得到工时供给的违反区间为[3 024，3 326]，电力供给的违反区间为     [30 000，33 000]，坑木供给的违反区间为[0.65，0.70]。

2012年产能分配的模糊线性规划模型为

其中工时供给的违反区间为[3 024，3 659]，电力供给的违反区间为[30 000，36 300]，坑木供给的违反区间为[0.65，0.76]。

2013年产能分配的模糊线性规划模型为：

其中工时供给的违反区间为[3 024，4 025]，电力工时供给的违反区间为[30 000，39 930]，坑木工时供给的违反区间为[0.65，0.82]。

对2011年的矿山产能分配的模糊线性规划模型进行求解，首先不考虑各项约束的追加投入，求解一般线性规划问题：

得到最优解x₁=878.2 t，x₂=173.3 t，日最大利润为S₁=2 289 620元。

将最大可能的追加投入全部加入到约束条件后再进行求解，即

得到最优解=793.9 t，=389.9 t，日最大利润为S₂=2 503 553元。

据此构建出目标函数以及模糊约束条件的隶属函数如下。

目标函数隶属函数为：

工时约束隶属函数为：

电力约束隶属函数为：

坑木约束隶属函数为

各隶属函数图如图2所示。

根据最优判决条件，令

得到以求最大隶属度λ为目标函数的一般线性规划模型，模型形式如下：

 得到最优解λ=0.5，x₁=836.1，x₂=281.6，日最大利润为2 396 640元，年最大利润为718 992 000元。

以求最大隶属度λ为目标函数的2012年矿山产能分配的一般线性规划模型如下：

得到最优解λ=0.648 9，x₁=908.6，x₂=245.7，日最大利润为2 928 674元，年最大利润为878 602 200元。

以求最大隶属度λ为目标函数的2013年矿山产能分配的一般线性规划模型如下：

得到λ=0.620 5，x₁=767.4，x₂=505.4，日最大利润为3 237 020元，年最大利润为971 106 000元。

图2  目标及约束隶属函数图

Fig.2  Target and constraint function diagrams

表5  2011—2013年的产能分配及经济效益表

Table 5  Capacity allocation and economic benefit table of 2011—2013

2011年、2012年以及2013年取得最大经济效益时矿山的产能分配如表5所示。

由表5可以看出：在矿山每年对劳动力及电力供给的增加投入最多可达10%，对坑木供给的增加最多可达8%的情况下，矿山2011年生产铜精矿2.508×10⁴ t，生产锌精矿8.45×10⁴ t，矿石总产量为3.353×10⁵ t，可获得最大经济效益7.19亿元；矿山2012年生产铜精矿2.726×10⁵ t，生产锌精矿7.37×10⁴ t，矿石总产量为3.463×10⁴ t，可获得最大经济效益8.79亿元；矿山2013年生产铜精矿2.302×10⁵ t，生产锌精矿1.516×10⁵ t，矿石总产量为3.818×10⁵ t，可获得最大经济效益9.71亿元。

3  结论

(1) 针对矿山产能分配时有追加投入的情况，利用模糊数学的思想对约束条件进行模糊处理；针对矿山产能分配时的各种系数多随时间变动，属于有界灰元的情况，利用灰色理论的思想对其进行处理，构建矿山产能分配时的模糊预测性线性规划模型。该模型综合考虑了传统的模糊线性规划与灰色线性规划的特点，考虑更加全面，求解范围更加宽泛。既可以解决模糊约束与有界灰元均存在时的规划问题，又可以通过相关处理转变为模糊线性规划或灰色线性规划模型解决相应的问题。

(2) 在利用模糊预测型线性规划模型解决实际问题时，应注意对灰色系数的白化一定要准确，这关系到模型最终求解结果的可靠性。因此，在应用GM(1,1)模型对各定位系数进行预测时，应进行误差检验，若误差检验不合格，应采用残差GM(1,1)模型进行修正；在构造隶属函数时，除了考虑求解的简便性外，还应根据实际情况灵活选取隶属函数类型，这样才能保证求解过程更加科学，求解结果更加可靠。

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(编辑 何运斌)

收稿日期：2010-09-27；修回日期：2011-03-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50774092)；全国优秀博士学位论文专项资金资助项目(200449)

通信作者：刘浪(1985-)，男，陕西靖边人，博士，从事采矿与安全系统工程的研究；电话：0731-88877859；E-mail：csuliulang@163.com