基于模糊预测性线性规划的矿山产能分配方案优化分析

陈忠强^{1, 2}，王李管^{1, 2}，熊书敏^{1, 2}，宋明军^{1, 2}

(1. 中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083；

2. 中南大学 数字矿山研究中心，湖南 长沙，410083)

摘要：针对传统矿山产能分配方案分析过程具有较为简单、不系统科学的弊端，将矿山能源，资源及人力条件作为模糊约束条件，以不同采区的单位矿石产量的消耗作为约束系数，构建综合模糊线性规划及灰色线性规划的模糊预测型线性规划模型，对矿山产能分配方案进行系统科学的分析。利用多种灰色预测理论经过精度比较与优选后对灰色系数进行白化，并利用模糊最优判决条件将模糊预测性线性规划模型转化为一般线性规划模型进行求解，进而得到矿山最优产能分配方案。经实例验证，该方法科学可行，能够实现矿山企业生产资料的科学配置和利润的最大化。

关键词：矿山：产能分配；线性规划；模糊；灰色

中图分类号：TD05                文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)09-3166-08

Optimization analysis of mining capacity allocation scheme based on fuzzy predictive linear programming

CHEN Zhongqiang^{1, 2}, WANG Liguan^{1, 2}, XIONG Shumin^{1, 2}, SONG Mingjun^{1, 2}

(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

2. Center of Digital Mine Research, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: The traditional analysis process of mining capacity allocation scheme was simple, without system scientic analysis. Mining energy, resources and the human condition were taken as fuzzy constraints, consumption of units ore production for different mining areas was used as constraint coefficients, fuzzy predictive linear programming was built based on fuzzy linear programming and gray linear programming, and mining capacity allocation scheme system was scenically analyzed by fuzzy predictive linear programmings. A variety of gray prediction programming were used to whiten gray coefficients after accuracy compared and preferred, and fuzzy optimal decision was used to turn fuzzy linear programming model into linear programming model to achieve the optimal capacity allocation. It is proved that this model is scientific and feasible and the scientific configuration of means of production and the maximization of profits for mining enterprises can be achieved.

Key words: mine: capacity allocation; linear programming; fuzzy; gray

对新建矿山而言，其生产规模(即矿石年产量)由矿石储量与设计生产服务年限综合决定，在确定生产规模后，还需要确定矿山产能分配的方案。传统的矿山产能分配方案大多只是以各采区的矿石品位、矿石储量为基础，依靠矿山设计人员或采矿工作者的经验进行确定，缺乏科学系统分析的过程。实际上由于各采区的矿石品位的差异，其单位矿石价格与利润必然不同，而且由于各采区水文地质条件以及与坑口距离等矿石开采条件的差异，生产单位矿石对支护材料、能源以及人力的消费必然也不同。因此需要对矿山产能分配方案进行系统分析，才能达到资源能源与人力的最优配置与矿山企业利润的最大化。传统的对于此类资源优化配置问题大多采用线性规划模型进行求解计算加以确定，然而对于矿山产能分配方案的优化配置而言，一般的线性规划问题显然无法解决。首先，对于新建矿山而言，各采区生产单位矿石的资源、能源以及人力等的消耗并不是一个确定值，只能根据条件相似矿山而确定一个大概范围；其次在矿山的生产实践中，对于各类投资往往并不是完全确定的，在矿山建设过程中都存在追加或者减少资源、能源以及人力投入的可能性，这些投入都只是一个模糊的概念。而一般线性规划模型只能求解目标与约束都是确定值的问题，对于此类问题显然无法解决。针对此种情况，在一般线性规划问题中引入模糊数学^[1]与灰色理论^[2]的思想。对于各采区生产单位矿石产品所需要消耗的资源、能源以及人力等属于某一范围的值，采用灰数^[3-5]表示。而对于资源、能源以及人力总投入等常常有追加或减少的情况，采用模糊约束，这样就建立了矿山产能优化分配的模糊预测性线性规划模型，对模型中属于某一范围的值利用多种灰色预测理论进行精度比较后^[6-7]进行预测，使之白化变为定值，简化为模糊线性规划^[8-10]，对模糊线性规划通过构建隶属函数，并利用模糊最优判决条件转变为一般线性规划问题，进而进行求解得到矿山的最优产能分配方案。模糊预测性线性规划模型综合了模糊线性规划与灰色预测性线性规划^[11-12]的特征，并且可以在一定条件下转化为模糊线性规划与灰色预测性线性规划，很适合解决目标与参数皆不明确时的产能优化分配问题。因此相对于传统的几类线性规划模型，在生产实践中有着更大适用空间与应用价值。

1  模型建立

1.1  模糊预测性线性规划理论

对于矿山产能分配问题，如果其目标与约束都明确，则其为确定性的一般线性规划问题，其标准形式为：

           (1)

式中：C为价格向量，A为消耗矩阵，b为约束向量，X为决策向量。

当矿山的资源、能源与人力等约束条件及目标函数模糊，而且生产单位矿石的各种资源、能源及人力消耗以及所获得的利润都不确定，只能确定大概范围，即为有界灰元，此时线性规划模型变为：

          (2)

上述模型由于兼有模糊数学与灰色理论的思想，被称为模糊预测性线性规划模型^[13-17]，该模型实际上是模糊线性规划与灰色预测性线性规划的综合，在有界灰元被白化的情况下可转化为模糊线性规划问题，在模糊关系明确的情况下可转化为灰色预测性线性规划问题。

对模糊预测性线性规划的一般求解思路为，将各灰元进行白化，变为模糊线性规划问题，然后按照模糊线性规划问题的解法进行求解。

1.2  系统建模

1.2.1  模糊预测性线性规划模型构建

设一矿山有n个不同的采区，每个采区的产能分别为x₁，x₂，…，x_n，则其矿山产能分配决策向量为：

    由于各采区矿石地质品位及开采条件的差异，各采区生产的单位矿石其利润c₁，c₂，…，c_n并不一样，而且单位矿石的利润每一年都随着价格，原材料、人力的变化而变化，即单位矿石的利润是灰色的，则利润向量C可变为灰色利润向量：

i矿区生产单位矿石所消耗的j种物质(材料、能源或人力等)a_ij也不是一个定值，随着技术革新与科技进步，生产单位矿石所消耗的材料必然会逐年发生变化，因此a_ij也是一个灰色的数，即，据此得到消耗矩阵为：

而外部环境为矿山生产所提供的资源、能源以及人力等投入，也并不是完全一成不变的，往往会随着投资方对形势的判断，决策者的意图以及外部环境的变化而有追加或减少投入的情况，即投入约束向量B为模糊向量，据此建立起矿山产能配置的模糊预测型线性规划模型如下：

               (3)

式中：，≥ ，≥0，i=1, 2, …, m；j=1, 2, …, n。，和分别为各有界灰元的下限值，，和分别为各有界灰元的上限值。

1.2.2  灰元系数白化

对生产单位矿石的利润与消耗这些有界灰元，模糊预测性线性规划模型借鉴灰色预测型线性规划模型采用利润定位系数ρ_j以及消耗定位系数δ_ij对灰元系数进行白化，白化处理方式如下：

利用利润定位系数ρ_i对i采区生产单位矿石获得的利润进行白化：

，i=1, 2, …, m     (4)

利用消耗定位系数δ_ij对i采区生产单位矿石所消耗的第j种资源或能源进行白化：

，i=1, 2, …, m；j=1, 2, …, n     (5)

利润定位系数及消耗定位系数的准确确定关系到未来矿山产能分配的合理性与可靠性。对此，采用多种预测模型进行精度比较后，选择最优预测模型来确定利润定位系数与消耗定位系数，常用的灰色预测模型有GM(1,1)模型、微分verhulst模型以及差分verhulst模型。

对3种模型进行精度比较^[18]，选取精度最高的模型进行各定位系数的预测。

1.2.3  模糊线性规划模型求解

将各系数准确白化后，矿山陈能配置的模糊预测性线性规划模型就变为了模糊线性规划模型：

                (6)

将模糊目标与模糊约束结合，得到如下形式：

即

                  (7)

确定模糊目标及模糊约束的隶属函数，由于隶属函数一般都要满足严格递减的要求，因此其确定原则一般如下：

当时，；

当时，

当时，

i=1, 2, …, m，[b_i，b_i+d_i]称为违反区间。

根据上述原则，且为计算方便考虑，因此隶属函数取为一条斜率为负的直线，为

    (8)

根据模糊数学基本理论，最优判决条件为

             (9)

根据最优判决条件即可将模糊线性规划转变为一般的线性规划模型进行求解，为求解方便，令

           (10)

得到以求最大隶属度λ为目标函数的一般线性规划模型，模型形式如下：

   (11)

j=1, 2, …, n

对上述线性规划模型求解，即可得到模型的最优解，从而得到矿山产能分配的模糊预测性线性规划模型的最优解，利用最优解的结果即可对矿山产能进行优化配置。

矿山产能配置方案的模糊预测性线性规划模型的建模及求解过程见图1。

图1  矿山产能分配求解流程

Fig. 1  Solving process of mining production allocation

2  实例分析

2.1  矿山简况

湖北某2013年拟建磷矿山矿区面积6.97 km²，设计生产规模为年产原矿90万t，由于矿区存在一条南北走向的大型逆断层，上下垂直高差足有近百米，天然地将矿区分为东西两大采区，其中东采区设计利用的资源储量为730万t，西采区设计利用的资源储量为1 480万t，在对矿山产能方案进行分配时，初始设计为按照各采区的资源储量比例进行分配，即东采区设计开采规模为30万t/a，西采区设计开采规模为60万t/a。但是由于开采条件及东西采区矿石品位的差异，东采区单位矿石的利润要大于西采区，因此仅仅按照各采区资源储量的比例进行产能分配，显然不是最优方案，不能使得利润最大。但是如果利润最大化，就要使单位矿石利润较大的东采区的生产规模尽量大，但是由于水文工程及开采条件的限制，东采区生产单位矿石所需要的木材，人力以及电力需求都较大，但是这些恰恰是该新建矿山目前生产的紧缺资源或能源，因此需要综合考虑产品利润及外部环境的约束，来确定矿山最优的各采区产能分配方案。

该矿山由于是新建矿山，外部环境并不十分完善，而且由于周围磷矿山较多，因此技术工人相对不足，电力供给以及支护材料都很紧张，人力、电力以及部分支护用材料(主要是木材)成为矿山生产规模的主要制约因素，统计相似矿山的生产实际资并分析估计，得到东采区每生产1 t矿石的消耗为：工时1.87~3.62个，电力12~30 kW·h，木材0.000 36~0.000 63 m³；西采区每生产1 t矿石的消耗为：工时1.45~2.87个，电力10~24 kW·h，木材0.000 26~0.000 47 m³。以当前的市场价格进行测算，东采区生产单位矿石的利润约为180元/t，西采区生产单位矿石的利润约为130元/t。而矿山目前已经确定招募的一线技术工人为850人(折算为2 040 000个工时)，每年得到的外部电力供给约为1 800万kW·h，每年当地采伐得到的木材约为 510 m³。根据矿山计划，将继续招募工人，并在外部建设1个小型的变电站，因此预计一线技术工人将有可能达到900人左右，每年得到的外部电力供给有可能达到2 000万kW·h，而木材也有可能达到550 m³。据此，得到该矿山产能分配优化的灰色预测型线性规划模型如下：

其中：东采区的矿石产量为x₁，西采区的矿石产量为x₂。灰参数，，，， ，。

若想对矿山产能分配的模糊预测性线性规划模型进行求解，首先要利用各定位系数对灰参数进行白化，去掉其灰色属性，将其转变为一般的模糊线性规划问题。

2.2  多预测模型的定位系数白化

根据相关统计资料，采用式(7)进行反算得到类似东采区的矿山与类似西采区的矿山2004~2012年的消耗定位系数见表1。

为得到与实际情况相符的产能分配结果，各消耗系数的准确预测白化是关键，以往的灰色预测型线性规划模型在对各类定位进行白化时，大多是以 GM(1,1) 模型进行白化的，实际上对于各类定位系数而言，GM(1,1)模型并不一定是预测精度最高的模型，因此需要采用多种预测模型进行预测精度比较后，再选择精度最高的模型进行定位系数的预测白化。

表1  历年消耗定位系数

Table 1　Positioning coefficient of every year

以东采区单位矿石生产的工时消耗定位系数的预测白化为例，东采区矿石生产的工时消耗定位系数的原始序列为

据此计算得到相应的GM(1,1)模型的参数向量，微分verhulst模型的参数向量以及差分verhulst模型的参数向量为：

得到GM(1,1)模型的时间响应序列为：

微分verhulst模型的时间响应序列为：

差分verhulst模型的时间响应序列为：

其中：k=0, 1, 2, …, n。

表2  各模型误差分析结果

Table 2  Error analysis results of each model

根据误差分析结果，微分verhulst模型与差分verhulst模型相对于GM(1,1)模型的预测精度要高，而微分verhulst模型与差分verhulst模型的精度是一样的，因此可任意采用两模型中的任意一种模型对2013年的东采区工时消耗系数进行预测，得到两模型的预测结果是一致的，均为0.59。

按照以上思路对各定位系数进行预测，得到最优的预测模型及相应的预测结果见表3。

表3  定位系数预测结果

Table 3　Predicted positioning coefficient of every year

2.3  模糊线性规划模型求解

根据表3的定位系数预测结果，确定该矿山的吨矿产能分配东采区生产1 t矿石的消耗为：工时消耗a₁₁=2.90个，电力消耗a₂₁=22.62 kW·h，木材消耗a₃₁=0.000 50 m³；西采区生产1 t矿石的消耗为工时消耗a₁₁=1.92个，电力消耗a₂₁=18.82 kW·h，木材消耗a₃₁=0.000 36 m³。根据单位矿石的消耗将该矿山的产能分配模糊预测型线性优化模型转化为模糊线性规划模型：

根据模糊线性规划相关定义，得到工时供给的违反区间为[2 040 000，2 160 000]，电力供给的违反区间为[18 000 000，20 000 000]，坑木供给的违反区间为[510，550]。

在不考虑追加投入的情况下，对模糊预测线性规划模型进行求解，即对线性规划模型

求解得到当x₁=343 820 t，x₂=543 180 t，得到最大利润S=132 500 000元。

将最大可能的追加投入全部加入到约束条件后再进行求解，即线性模型变为

求解得到当=440 820 t，=459 180 t，得到最大利润S^*=139 040 000元。

据此构建出目标函数以及模糊约束条件的隶属函数如下。

目标函数隶属函数为

工时约束隶属函数为

电力约束隶属函数为

木材约束隶属函数为

根据最优判决条件，令

得到以求最大隶属度λ为目标函数的一般线性规划模型，模型形式如下：

得到最优解λ=0.359 1，x₁=423 580，x₂=453 130，年最大利润为135 151 300元。

2.4  产能结果分析

根据取得最大利润时λ=0.359 1，得到此时一线人工人数为882人，电力年供应量为19 281 800 kW·h，木材年供应量为536 m³。即在上述条件下，可以得到矿山产能分配的最优结果，此时东采区年产矿石量为42.36万t，西采区年产矿石量为45.31万t，最大年利润为1.35亿元，此时矿山年总产量为87.67万t。

按照产能优化分配结果，东采区可以生产17 a，西采区可以生产32 a。

3  结论

1) 在一般线性规划模型的基础上，综合模糊数学与灰色系统理论思想，建立模糊预测型线性规划模型，利用模糊数学的思想对约束条件进行了模糊处理，灰色理论的思想对各类消耗进行了有界灰元处理。经实例检验，该模型对于矿山产能分配时有追加投入以及各种消耗系数多随时间在一定范围内变动的情况非常适用。模型求解思路清晰，求解结果准确，可在相似领域进行推广使用。

2) 在对模糊预测型线性规划模型的各类有界灰元进行白化时，对灰色系数的白化一定要准确，这关系到模型最终求解结果的可靠性。采用多种预测模型进行精度比较后再进行白化的方法得到的结果比单一预测模型直接白化预测的结果要更科学、准确。

3) 隶属函数的构建采用的是直线型隶属函数，在很多情况下，其隶属函数并不一定是直线型，因此在构造隶属函数时，除了考虑求解的简便性外，还应根据实际情况灵活选取隶属函数类型，这样才能保证求解过程更加科学，求解结果更加可靠。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2013-11-03；修回日期：2014-03-22

基金项目：国家高技术研究发展计划(“863”计划)项目(2011AA060407)；湖南省研究生科研创新项目(CX2011B116)

通信作者：陈忠强(1984-)，男，山西吕梁人，博士研究生，从事矿山数字化研究；电话：13739077620；E-mail: czq413513@163.com