以W-M分形函数为理论基础,通过Python编程模拟出基于W-M分形函数的粗糙表面。在本文中,模拟一块轨道板(长为4.8 m,宽为2.4 m)的粗糙表面,参考文献[17]关于采样频率的取值,在轨道板长度和宽度方向采样间隔均为0.04 m。如图2所示,直接生成的粗糙表面特征过少,并不能直接用于有限元建模。对W-M函数进行三次样条插值处理,样条插值后的粗糙表面不仅较好地保留了原有粗糙表面的几何性质,而且能满足有限元建模的相关要求,故在后续建模中均采用三次样条插值后的数据。
图2 样条插值前后分形粗糙表面对比
Fig. 2 Comparison of fractal surfaces before and after cubic spline interpolation
为直观地反映分形维数对三维表面粗糙度的影响,尺寸常数G取固定值0.001 m,分形维数D分别取2.1,2.4,2.7和2.9,基于W-M分形函数以及三次样条插值方法,生成不同分形维度的三维粗糙表面,如图3所示。
图3 基于不同分形维数D的分形粗糙表面
Fig. 3 Fractal rough surface based on different fractal dimensions
由图3可见:基于W-M分形函数构造的三维粗糙表面具有明显的不规则性和较好的随机性。当分形维数D取2.1时,三维粗糙表面各部分起伏较为平缓,表面褶皱较少,表面结构复杂度较低。在分形维数D不断增大的过程中,三维分形表面各部分的起伏变得剧烈,表面褶皱增加,表面结构趋于复杂。由此判定,分形维数D是影响三维粗糙表面的表面粗糙程度的主要参数,通过增大分形维数D,可以有效地增大三维粗糙表面的表面粗糙程度。
3 无砟轨道系统有限元模型的建立
3.1 三维粗糙表面模型的建立
针对W-M函数模拟生成具有随机性和自相似性的数据,采用三次样条插值处理后满足有限元建模的相关要求,但是编程软件并没有直接输出ABAQUS标准输入文件的方法,故需要编写相关程序将数据输出成STL文件。将STL文件导入Geomagic DX软件,通过面片修补,精确曲面生成等命令生成三维实体模型。取尺寸常数G为0.01 m,分形维度D为2.7,生成的三维粗糙表面模型如图4所示。
图4 三维粗糙表面模型
Fig. 4 3D rough surface model
由图4可见:生成的三维粗糙表面具有较高的随机性和自相似性,既满足分形表面的相关性质,又满足模拟混凝土粗糙表面的现实需求,采用该方法生成的三维粗糙表面模型能够满足下一步有限元建模的要求。通过采用不同的尺寸常数G和分形维度D的组合,生成任意三维粗糙表面模型。
3.2 无砟轨道系统有限元模型的建立
无砟轨道系统由钢轨、扣件系统、轨道板、弹性垫层以及混凝土摊铺层组成,具体模型如图5所示。为了减少计算量,钢轨采用Euler梁单元模拟,使用Euler梁单元既能简化计算过程,又能保证足够的数值精度[7]。扣件系统采用弹簧阻尼单元进行模拟。轨道板、弹性垫层以及混凝土摊铺层均采用实体单元进行建模。
图5 无砟轨道系统有限元模型
Fig. 5 Finite element model of ballastless track system
有限元模型约束为轨道板两端设置纵向以及横向约束,钢轨两端完全固定,混凝土摊铺层底面完全固定。轨道板与弹性垫层,弹性垫层与混凝土摊铺层之间的垂向接触类型均为“硬接触”,切向接触类型均为“罚接触”,摩擦因数取0.7。各部件具体的材料参数如表1所示。考虑到混凝土摊铺层表面存在大量几何不平顺,故采用显式动力学分析,荷载取轴质量16 t,工况为准静态分析,荷载因子取1.5,荷载作用位置为轨道板中部。在实验板两端另外放置基底光滑的普通板,以减小边界效应的影响。
表1 各部件材料参数
Table 1 Material parameters of each component
4 有限元仿真结果分析
4.1 有限元模型验证
为验证模型的可靠性,将混凝土摊铺层设置成理想的光滑平面。将计算结果与文献[21-22]进行对比。由于文献[21-22]均没有计算弹性垫层面刚度为0.14 N/mm3的工况,故采用插值等方法合理估计该刚度的轨道结构位移。具体计算结果如表2所示。
表2 本文计算结果与相关文献对比
Table 2 Comparison of calculation results between this paper and related literature mm
由表2可知,本文计算结果与文献计算结果较为接近,分析误差产生的原因是垫层厚度取值以及支撑方式等方面的差异。综上,本文计算结果与文献计算结果较为接近,具有一定程度的可信度,可以用作下一步计算分析。
4.2 不设置弹性垫层的仿真结果
在原模型的基础上取消减振垫层,并且通过不断调整特征常数G和分形维数D,改变轨道结构摊铺层的粗糙度,直到轨道系统响应超过限值,图6所示为不同粗糙度情况下轨道板的位移响应以及应力响应。由图6可见:随着粗糙度增加,轨道板应力分布表现出更强的随机性,局部地区出现应力集中现象。
图6 不同粗糙度情况下轨道板响应云图
Fig. 6 Response cloud map of track slab under different roughnesses
轨道结构各部件力学响应如表3所示。由表3可知,摊铺层完全光滑时,轨道结构各部分响应均未超过相关轨道结构安全性以及耐久性的限值,能够满足轨道结构的服役要求;改变基底粗糙度,取G=1 mm,D=2.1,轨道板最大拉应力为4.15 MPa,轨道板最大拉应力已经超过C40抗拉极限强度,无垫层的轨道结构会因拉应力过大而开裂,不能满足服役要求。
表3 不设置弹性垫层的轨道力学响应
Table 3 Mechanical response of track structure without elastic cushion
实施现场浇筑或摊铺工序的实际工程中,很难将混凝土粗糙度控制在1 mm以内。在相同条件下,采用弹性垫层的轨道结构,轨道板最大拉应力仅为0.447 MPa。其余各部分力学响应均满足要求。
综上所述,为满足安全性和耐久性方面的需求,轨道结构需要铺设弹性垫层。
4.3 不同粗糙度下各部件响应结果
通过不断调整特征常数G和分形维数D,改变摊铺层的粗糙度,并将改变粗糙度之后的粗糙垫层作为部件导入原有模型参加计算,直到新型轨道结构系统的某部分力学响应超过相关限值的要求。相关限值主要参考文献[4-5]。
本文采用网格搜索法确定基底粗糙度的限值。设置分形维数D的取值空间为2.1,2.3,2.5,2.7和2.9。特征常数G的取值空间为从0.001 m开始,依次递增,直到有限元计算结果中轨道结构某部分响应的相关指标超限。
为防止多变量对仿真结果的干扰,采用控制变量法,固定特征常数G的取值为0.001 m,分别计算不同分形维度D下的轨道结构响应。
不同分形维度下轨道结构各部分响应如图7所示,由图7可见:当特征常数G固定时,轨道结构各部分的响应均呈现严格的单调递增趋势,且随着分形维数D增加,轨道结构各部分响应增加趋势加剧。
图7 不同分形维度下轨道结构各部件的响应
Fig. 7 Response of different parts of track structure under different fractal dimensions
不同粗糙度的轨道结构的层间接触会发生变化,层间接触变化主要体现为接触面积的变化。当摊铺层粗糙度增加时,层间接触面积减小,具体接触面积见表4。
表4 不同粗糙度下轨道结构各部件响应
Table 4 Response of different parts of track structure under different roughness
由图7可知,当分形维数D在2.1到2.9之间取值时,轨道结构各部分响应均呈现递增趋势。为了简化计算流程,节约计算时间,在之后分析过程中分形维数D只计算2.1以及2.9这2种工况。
轨道结构各部件的响应如表4所示,分形维数D取值为2.1和2.9,特征常数G从初始值0.001 m开始递增,递增幅度为0.001 m。当特征常数G从0.001 m增加到0.004 m时,轨道结构的应力响应以及位移响应均不断增大。当特征常数G取0.004 m,分形维度D取2.1时,轨道板位移超过文献[5]中轨道板位移不能大于3 mm的规定。
综上所述,摊铺层粗糙度应当控制在G=0.004 m,D=2.1之下。根据计算结果:特征常数G的取值控制在0.003 m以下时,分形维数D取任意值,轨道结构响应均满足要求。同时考虑现场实测的困难性,依旧采用传统的粗糙度测量概念,即粗糙度测量曲线幅值不应大于3 mm。
5 结论
1) 分形维数D是影响三维粗糙表面的表面粗糙程度的主要参数,分形维数越大,三维表面越粗糙。
2) 无弹性垫层的轨道结构不能满足服役要求。
3) 当特征常数G不变时,随着分形维数D增加,轨道结构各部分的响应均增大,两者呈明显正相关关系。
4) 有限元仿真计算结果表明,当特征常数G=0.004 m,D=2.1时,轨道板位移超过相关规范限值;当G≤0.003 m时,分形维数D取任意值,轨道结构响应均满足要求。
5) 综合考虑系统服役的安全性和现场测量操作的可行性,建议城市轨道交通板式无砟轨道结构摊铺层表面的粗糙度测量曲线幅值不应大于3 mm。
参考文献:
[1] 孙宇, 翟婉明. 基于格林函数法的车辆-轨道垂向耦合动力学分析[J]. 工程力学, 2017, 34(3): 219-226.
SUN Yu, ZHAI Wanming. Analysis of the vehicle-track vertical coupled dynamics based on the Green's function method[J]. Engineering Mechanics, 2017, 34(3): 219-226.
[2] 吴斌, 陈文荣, 刘参, 等. 列车竖向荷载下CRTSⅡ型板式无砟轨道结构受力特性试验研究[J]. 铁道科学与工程学报, 2014, 11(3): 37-42.
WU Bin, CHEN Wenrong, LIU Can, et al. Experimental study on mechanical characteristics of CRTSⅡ slab track under the vertical load of train[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2014, 11(3): 37-42.
[3] 李国芳, 姚永明, 丁旺才. 基于UM的车辆-轨道耦合动力学建模及仿真分析[J]. 兰州交通大学学报, 2016, 35(1): 142-146.
LI Guofang, YAO Yongming, DING Wangcai. Modeling and simulation analysis of vehicle-track coupling dynamics[J]. Journal of Lanzhou Jiaotong University, 2016, 35(1): 142-146.
[4] TB 10621—2009.高速铁路设计规范[S].
TB 10621—2009. Code for design of high speed railway[S].
[5] CJJ/T 191—2012. 浮置板轨道技术规范[S].
CJJ/T 191—2012.Technical specification for floating slab track[S]
[6] 曾庆元, 郭向荣. 列车桥梁时变系统振动分析理论与应用[M]. 北京: 中国铁道出版社, 1999, 15-40.
ZENG Qingyuan, GUO Xiangrou. Theory and application of vibration analysis for time-varying system of train bridge[M]. Beijing: China Railway Press, 1999, 15-40.
[7] 曾庆元. 弹性系统动力学总势能不变值原理[J]. 华中理工大学学报, 2000, 28(1): 1-3, 14.
ZENG Qingyuan. The principle of total potential energy with stationary value in elastic system dynamics[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology, 2000, 28(1): 1-3, 14.
[8] 翟婉明. 车辆-轨道耦合动力学[M]. 第3版, 北京: 科学出版社, 2007, 5-32.
ZHAI Wanming. Vehicle-orbit coupling dynamics[M]. 3rd Beijing: Science Press, 2007, 5-32.
[9] 雷晓燕. 铁路轨道结构数值分析方法[M]. 北京: 中国铁道出版社, 1998, 23-25.
LEI Xiaoyan. Numerical analysis method of railway track structure[M]. Beijing: China Railway Press, 1998, 23-25.
[10] 高亮, 杨文茂, 曲村, 等. 高铁长大桥梁CRTSⅠ型板式无砟轨道无缝线路的动力学特性[J]. 北京交通大学学报, 2013, 37(1): 73-79.
GAO Liang, YANG Wenmao, QU Cun, et al. Dynamic characteristics of CRTSⅠslab CWR track on long-span bridge in high-speed railway[J]. Journal of Beijing Jiaotong University, 2013, 37(1): 73-79.
[11] MANDELBROT B. How long is the coast of Britain? statistical self-similarity and fractional dimension[J]. Science, 1967, 156(3775): 636-638.
[12] SAYLES R S, THOMAS T R. Surface topography as a nonstationary random process[J]. Nature, 1978, 271(5644): 431-434.
[13] BOWDEN F P, TABOR D, PALMER F. The friction and lubrication of solids[J]. American Journal of Physics, 1951, 19(7): 428-429.
[14] GREENWOOD J A, WILLIAMSON J B P. Contact of nominally flat surfaces[J]. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 1966, 295(1442).
[15] MAJUMDAR A, BHUSHAN B. Role of fractal geometry in roughness characterization and contact mechanics of surfaces[J]. Journal of Tribology, 1990, 112(2): 205-216.
[16] 陈虹旭, 董冠华, 谢罗峰, 等. 分形粗糙表面接触变形分段计算模型[J]. 上海交通大学学报, 2018, 52(6): 722-728.
CHEN Hongxu, DONG Guanhua, XIE Luofeng, et al. A piecewise calculation model for fractal rough surface contact deformation[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University, 2018, 52(6): 722-728.
[17] 陈建江, 原园, 成雨, 等. 尺度相关的分形结合面法向接触刚度模型[J]. 机械工程学报, 2018, 54(21): 127-137.
CHEN Jianjiang, YUAN Yuan, CHENG Yu, et al. Scale dependent normal contact stiffness fractal model of joint interfaces[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2018, 54(21): 127-137.
[18] 刘宇, 邓宏盛, 张生芳, 等. 基于W-M分形函数的三维粗糙表面摩擦生热研究[J]. 中国工程机械学报, 2018, 16(3): 194-201.
LIU Yu, DENG Hongsheng, ZHANG Shengfang, et al. Research on friction heat generation of three dimensional rough surface based on W-M fractal function[J]. Chinese Journal of Construction Machinery, 2018, 16(3): 194-201.
[19] 冯兰兰. 线接触粗糙表面的分形模拟与接触特性研究[D]. 杭州: 浙江大学建筑工程学院, 2015: 15-40.
FENG Lanlan.Fractal simulation and contact features of rough surfaces in line contact[D]. Hangzhou: Zhejiang University. College of Civil Engineering and Architecture, 2015: 15-40.
[20] 黄华, 徐凯, 何培松. 基于新的无标度区确定方法求取分形路面不平度的分形维数[J]. 广西民族大学学报(自然科学版), 2019, 25(03): 75-79.
HUANG Hua, XU Kai, HE Peisong. Finding the fractal dimension of fractal road roughness based on the new scale-free area determination method[J]. Journal of Guangxi University of Nationalities (Natural Science Edition), 2019, 25 (03): 75-79
[21] 杨文茂. 120 km/h地铁减振垫浮置板动力学特性分析及减振垫刚度取值研究[J]. 铁道标准设计, 2014, 58(11): 28-32.
YANG Wenmao. Dynamic characteristics analysis of 120 km/h metro damping pad floating plate and study on the value of damping pad stiffness[J]. Railway Standard Design, 2014, 58(11): 28-32.
[22] 刘伟斌. 基于聚氨酯弹性充填层的板式轨道研究[D]. 中国铁道科学研究院, 2017: 22.
LIU Weibin. Research on slab track based on polyurethane elastic filling layer[D]. China Academy of Railway Sciences,2017: 22.
(编辑 秦明阳)
收稿日期: 2019 -11 -27; 修回日期: 2020 -02 -20
基金项目(Foundation item):国家自然科学基金资助项目(51478482);深圳市市政设计研究院有限公司研究项目(20190308) (Project(51478482) supported by the National Science Foundation of China; Project(20190308) supported by Shenzhen Municipal Design & Research Institute Co., Ltd.)
通信作者:陈宪麦,博士,副教授,从事轨道结构优化设计和养护维修研究;E-mail: chenxianmai@csu.edu.com