DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2019.02.022
冲击荷载作用下岩石压动态和拉动态损伤模型
谢福君，张家生，陈俊桦
(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075)
摘要：根据经典岩石冲击动态损伤模型和统计损伤力学理论，提出冲击荷载加载条件下的岩石压、拉统计损伤本构模型和冲击损伤判据模型。在该损伤模型中，将损伤演化关系分为体积压缩损伤和体积拉伸损伤2种。应用提出的损伤模型和经典动态拉伸损伤模型分别进行爆破损伤数值模拟，并将数值计算结果和现场实测结果进行对比。研究结果表明：与炮孔轴向相比，炮孔径向是爆破破裂延伸的主方向；沿炮孔径向主要发生拉伸破裂，孔底下方主要发生压缩破裂；与基于经典冲击动态拉伸损伤模型的数值计算结果相比，根据损伤模型得到的爆破破裂范围特别是孔底正下方破裂深度与实测值相差不大且最接近实测值，表明所提出的损伤模型是合理的，具有实用性。
关键词：岩石；动力损伤作用；压缩; 拉伸；爆破数值模拟
中图分类号：TU45；TD235 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2019)02-0420-08
Dynamic damage model of rock under impact loads of compression and tension
XIE Fujun 1,2, ZHANG Jiasheng, 2CHEN Junhua
(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)
Abstract: An impact-induced damage constitutive model based on classical impact-induced constitutive models and statistic damage mechanics was presented. In the model, damage evolutions were considered to be caused by volume compression and volume tension, respectively, and the presented model considered that compression strength of rock was much bigger than its tension strength. Numerical simulation of blasting was conducted according to the presented model. Results of blasting-induced fracture zone among the numerical simulation based on presented model and those of the blasting numerical simulation based on current tension damage model and actual measurement in field were comparied. The results show that the cardinal extension direction of fracture zone is the radial direction of blast hole rather than the axial direction of blast hole. The tension-induced fracture mainly appears along the radial direction while the compression-induced fracture mainly appears along the axial direction. The blasting-induced fracture zone obtained from the numerical simulation based on the presented model, especially the fracture depth under blast hole, is much closer to the actual measurement result than that obtained from the numerical simulation based on the current dynamic tension damage models. There is little difference between the numerical simulation results based on the presented model and actual measurement, indicating that the presented model is reasonable and useful.
Key words: rock; dynamic damage; compression; tension; numerical simulation of blasting
在冲击荷载作用下，岩石动态本构关系是爆破工程、地下防护工程等领域的研究热点。大量试验结果表明，岩石具有压、拉强度不等的特性[1-2]。但现有的岩石冲击动态损伤模型很少考虑该特性[3]，如GRADY等[4-8]提出的冲击损伤模型在目前爆破工程界中应用较广，属于经典冲击损伤模型，是针对拉伸损伤提出的，没有考虑岩石压缩损伤，他们认为在压缩条件下岩石只发生弹性变形破坏，与实际情况存在差别[9]。钻孔爆破是最常用的岩石爆破法，炮孔周边破坏区域主要由拉伸作用所致，而孔底正下方破坏区域主要由冲击压缩作用所致，因此，应用这些经典拉伸损伤模型进行爆破数值模拟时，孔底下方损伤深度计算值偏小[10]。陈俊桦等[3, 11-12]认为岩石在抗拉和抗压条件下均发生损伤劣化。YANG等[11]建立了等效拉伸损伤模型，根据该模型，体积应力为压应力或拉应力时岩石均会产生损伤，该模型考虑了岩石发生压拉损伤的现象，但计算得到的岩石单轴抗拉强度与单轴抗压强度之比为泊松比的2倍，而通常岩石单轴抗拉强度与单轴抗压强度之比为1/30~1/10，因此，该等效拉伸损伤模型不太合理。胡英国等[12]在KUSZMAUL[7]的研究成果基础上，通过引入压缩损伤变量及其演化规律考虑岩石体积压缩损伤，建立了体积压、拉动态损伤模型，并应用爆破数值模拟验证所提出模型的合理性。在经典冲击动态损伤模型的基础上进行改进，有利于提高工作效率，这是一种有效的研究方法。细观损伤统计理论是目前构建岩石损伤模型的常用理 论[3, 13-16]。如GRADY等[4-8]将细观损伤统计理论引入经典弹塑性力学、弹塑性断裂力学中，建立了物理意义简单和明了的细观统计损伤模型。本文作者根据细观损伤统计理论和弹性力学等，对YANG等[11]提出的等效拉伸损伤模型进行改进，提出岩石压、拉冲击动态损伤模型，并应用提出的损伤模型进行爆破损伤数值模拟，将计算得到爆破破裂范围和基于经典冲击损伤模型的爆破损伤数值计算结果、现场实测结果进行对比，以验证所提出模型的合理性。
1 岩石冲击动态压、拉损伤模型的建立
1.1 岩石细观损伤演化关系
1.1.1 岩石细观损伤概率密度模型
根据现有研究成果[4-8]，细观单元损伤演化由岩石单元中激活的裂纹数或者裂纹密度确定。激活的裂纹密度越大，单元发生破坏的概率越大。细观单元强度一般服从正态分布、Weibull分布和指数分布等[17-20]。本文假设体积为V0的细观单元发生破坏的概率服从Weibull分布，破坏概率pf为：
(1)
(2)
式中：k和l为Weibull分布参数；N为激活的裂纹数；V0为细观单元的体积；C为裂纹密度，表示单位体积单元中激活的裂纹数。
假定岩石为各向同性损伤材料，利用破坏概率表示岩石损伤程度，细观单元的损伤值计算为
(3)
式中：D为岩石单元损伤变量，为标量。对于V0=1的单元，根据LIU等[8]提出的损伤模型，k和l均为1；根据YANG等[11]提出的损伤累积准则，式(3)中的k和l分别为1和2。
1.1.2 经典岩石冲击动态损伤演化关系及改进
GRADY等[4-6, 8]认为体积拉伸状态下岩石中的裂纹被激活，导致岩石产生损伤累积。其中，LIU等[8]给出的激活裂纹密度与变形之间的关系为：
(4)
(5)
式中：A和B为材料参数；εv为体积应变，εv大于0表示体积拉伸，εv小于0表示体积压缩；t为时间；εvc为发生损伤的体积应变门槛值。
YANG等[11]认为只有单元产生张拉变形才会发生损伤。张拉变形不一定导致体积拉伸，但体积拉伸一定伴随张拉变形。因此，相对LIU等[8]提出的体积拉伸损伤模型，YANG等[11]提出的等效拉伸损伤模型放宽了岩石产生损伤的条件，认为体积拉伸、压缩均可以产生损伤，同时考虑到岩石力学性质具有应变率效应，因此，他们假设激活的裂纹密度
和等效拉伸应变θ之间的关系为[11]：
(6)
(7)
式中：θ为等效拉伸应变；θlim为等效拉伸应变门槛值；εi为i方向的主应变，i为1，2和3，本文规定压为负，拉为正；m和n为材料参数。
根据式(3)和式(6)，对于单位体积的单元，其损伤演化方程为
(8)
式(6)和式(8)表明：单元内被激活的裂纹密度与应变率相关，从而使得岩石单元的损伤劣化具有应变率效应，这与由大量岩石动态试验研究得到的结果相符。此外，只要等效拉伸应变超过门槛值，裂纹密度就增大，从而引起单元损伤产生累积。
考虑到岩石具有脆性破坏特点，GRADY等[4-6, 11]均假设损伤只发生在弹性阶段。在弹性状态下，体积拉伸和体积压缩分别对应体积拉应力和体积压应力作用，即弹性状态下的单轴压缩属于体积压缩，单轴拉伸属于体积拉伸。大量岩石单轴加载试验结果表明，与单轴拉伸作用相比，单轴压缩作用下岩石单元内部裂纹面之间仍然承担摩擦力和部分压应力，单轴拉伸作用下裂纹面之间不再承担应力。因此，相对体积拉应力作用，体积压应力作用下岩石内部有显著的摩擦效应，裂纹周边岩石仍然具备一定的抵抗力，故在变形速率一定时，随着等效拉伸变形增加，体积压缩损伤增长速率显著小于体积拉伸损伤增长率，而在式(8)成立的条件下，两者是相等的，为此，需要对损伤演化方程式(8)进行修正，使损伤演化关系能够考虑压、拉损伤的特点。与陈俊桦等[10, 12]提出的改进方法一样，本文同样假设损伤演化关系分为体积压缩损伤和体积拉伸损伤共2种，损伤演化方程式(8)修改为
(9)
式中：mt和nt为体积拉伸损伤的材料参数；mc和nc为体积压缩损伤的材料参数。
为满足体积压缩作用下损伤增长速率比体积拉伸作用下的损伤增长速率小，有下式成立：
(10)
1.2 岩石冲击动态损伤本构关系
1.2.1 弹性损伤本构关系
损伤模量和无损模量之间的关系式为[3, 11-12]：
(11)
(12)
(13)
式中：K′，G′和E′分别为无损岩石的体积模量、剪切模量和弹性模量；K，G和E分别为损伤岩石的体积模量、剪切模量和弹性模量。
由于泊松比较小且泊松比变化对模型计算结果的影响较小，通常假设损伤不影响泊松比[4, 11]，因此，有下列关系式成立：
(14)
(15)
(16)
式中：μ′和μ分别为无损岩石泊松比和损伤岩石泊松比。
应力分解为球应力和偏应力，岩石弹性损伤本构关系为：
(17)
(18)
式中：σm为球应力分量；σ1，σ2和σ3分别为最大主应力、中间主应力和最小主应力，满足σ1≥σ2≥σ3；sij为偏应力张量的分量；
和
分别为弹性体积变形与弹性偏应变；i=1，2，3；j=1，2，3。
损伤演化方程式(9)与本构关系式(17)和(18)构成体积压、拉作用下的弹性损伤本构关系。
1.2.2 塑性本构关系
GRADY等[4-6, 11]错误！未定义书签。,认为，除了损伤累积破坏外，塑性流动是岩石的另外一种破坏方式。因裂纹扩展导致的损伤累积劣化使岩石发生弹脆性破坏，塑性流动使得岩石产生不可逆变形。在极高冲击压力作用下，岩石单元处于高压缩塑性流动状态时，屈服准则为[11-12]
(19)
式中：F为Mises屈服函数；Y为Mises屈服强度，通常比单轴静态抗压强度高1个数量级。
塑性应变增量计算式为[11-12]：
(20)
(21)
式中：
和
分别为塑性偏应变和塑性体积应变；λ为塑性因子。
假设单元的总变形由不可逆的塑性变形和可恢复的弹性变形构成，则总应变增量计算为：
(22)
(23)
根据式(11)~(23)，弹性损伤-塑性本构关系为：
(24)
(25)
式(9)，(24)和(25)为本文提出的冲击荷载作用下的岩石动态压、拉损伤本构关系式。根据本文提出的这种本构关系，岩石的破坏方式分损伤累积和塑性流动共2种。在体积拉伸条件下，岩石有可能发生损伤累积破坏；当体积压缩达到屈服极限时，岩石将发生塑性流动破坏；当体积压缩未达到屈服极限时，岩石则可能发生损伤累积破坏，因此，单轴压、拉加载条件下岩石通常发生损伤累积破坏，表现出弹脆性，这与岩石单轴加载试验的结果相符。
1.3 岩石动态损伤参数的确定
1.3.1 θlim，E′，μ′和Y的确定
从式(9)~(18)可看出：对于细观单元体，损伤本构关系计算所需参数只有8个，包括mt，nt，mc，nc，θlim，μ′，Y和E′。根据式(15)和式(16)，μ′和E′也可以用K′和G′替代。
单轴静态加载时，θlim计算式为
(26)
式中：
和
分别为单轴抗拉和单轴抗压条件下的线弹性极限应力；
和
分别为单轴静抗压条件下和单轴静抗拉条件下的线弹性极限应变。
由于抗压试验比抗拉试验容易实施，因此，一般可以通过室内单轴静抗压试验近似确定线弹性极限应力、线弹性极限应变、无损弹性模量E′以及无损泊松比μ′，再由式(26)确定θlim。
当冲击压力超过岩石静态抗压强度1个数量级时，可近似认为岩石处于高压缩塑性流动状态，Y近似取单轴静抗压试验强度的10倍[10]，即近似有下式成立：
(27)
式中：σcs为岩石单轴静态抗压强度。
1.3.2 mt，nt，mc和nc的确定
D=0对应无损状态；D=1表示损伤累积到完全破坏状态；当损伤变量D达到0~1之间的某一值时，岩石单元开始发生较严重破坏，产生宏观裂纹，此时，单元的应力达到峰值强度。在室内常应变率加载条件下，式(9)可以写成
(28)
式中：Df为单元产生宏观裂纹对应的临界损伤变量；Dt-f和Dc-f分别为体积拉伸和体积压缩作用下的临界损伤变量，对应刚好出现宏观裂纹的状态；θt-f和θc-f分别为体积拉伸和体积压缩作用下单元产生宏观裂纹时的临界等效拉伸应变；
为等效常应变率。
在单轴常应变率加载条件下，和θlim由下列关系式确定：
(29)
(30)
式中：
和
分别为单轴压缩和拉伸试验的常应变率；
和
分别为单轴压缩和拉伸的临界应变值，对应临界破坏状态。
由式(11)~(18)，单轴抗压、抗拉动态强度满足：
(31)
(32)
式中：
和
分别为单轴动态抗压强度和单轴动态抗拉强度；
和
分别为单轴动态抗压、抗拉试验中与峰值应力对应的应变。
由于单轴加载条件下岩石抗压强度大于抗拉强度，因此，有下式成立：
(33)
在单轴动态抗压条件下，
，
，应力峰值点切线弹性模量等于0，有下式成立：
(34)
在单轴动态抗拉条件下，
，
，应力峰值点切线弹性模量等于0，有下式成立：
(35)
联立式(31)和(34)可以由室内高应变率试验结果拟合得到mt和nt，联立式(32)和(35)可以拟合得到mc和nc。
1.3.3 岩石冲击破裂判据的临界损伤值Df
现有研究表明，Dt-f=0.1~0.2，Dc-f=0.2~0.5，由于体积拉伸比体积压缩脆性显著，故通常Dt-f≤Dc-f。对于一些复杂的岩石冲击问题，如钻孔爆破时，炮孔周边损伤区是拉应力和压应力共同作用所致，除了孔底下方主要由压缩损伤所致外，其他部位的损伤很难区分是由压缩损伤还是由拉伸损伤所致。GRADY等[4-7],错误！未定义书签。,错误！未定义书签。,认为Df=0.2，李新平等[21]假设Df=0.18，胡英国等[12]取Df=0.19。
根据DL/T 5389—2007“水工建筑物岩石基础开挖工程施工技术规范”，现场实测爆破破裂范围一般采用钻孔声波波速测试法获得。
岩石单元纵波波速和损伤变量之间的关系为[3, 10]
D=1-(c/c′)2(36)
式中：c和c′分别为损伤岩石的纵波波速和无损岩石的纵波波速。爆破后，岩石性质会发生劣化，纵波波速也随之下降。根据DL/T 5389—2007，当爆破前后岩石纵波波速下降达率到15%即当c=0.85c′时，可以判断岩石处于破裂状态，此时，根据式(36)，对于破裂岩石，其损伤变量满足
(37)
2 模型验证
2.1 模型验证方案
单孔爆破简单，同时也具有代表性，因此，通常利用单孔爆破损伤数值模拟确定爆破破裂范围，并将数值计算结果与现场实测结果进行对比，以验证损伤模型的合理性[4-8]。为了进一步表征本文所提模型的合理性，将基于本文提出的损伤模型的数值计算结果与基于LIU等[8]提出的拉伸损伤模型的数值计算结果、基于YANG等[11]提出的等效拉伸损伤模型的数值计算结果进行对比。
2.2 现场实测爆破破裂范围
按照陈俊桦等[3, 12]提出的方法布置声波孔并测量纵波波速。利用钻孔声波波速试验测量爆破前后岩石中纵波波速的变化，并根据式(36)和式(37)判定爆破破裂区。试验场地的岩石为灰色—深灰色、致密状石灰岩。岩石密度为2 650 kg/m3；炸药为2号岩石乳化炸药，密度为1 240 kg/m3，药卷直径为 0.035 m，炮孔直径为0.042 m，孔深为2.5 m；声波孔直径为0.056 m，孔深为4 .0 m，孔距为0.3~0.6 m。声波波速测量仪器为非金属超声波仪和传感器(1个发射器和2个接收器)。现场单孔爆破试验和声波布置如图1所示。
图1 单孔爆破和钻孔声波波速试验示意图
Fig. 1 Diagram of single-hole blasting and acoustic wave velocity testing
2.3 爆破损伤数值模拟
2.3.1 数值建模
采用ABAQUS有限元程序软件建立三维模型，模型具体几何尺寸见图2。图2中，模型整体形状为阶梯状；AB线段所在部位为模型底部，底部为正方形，边长为10.0 m；模型高度为5.0 m；阶梯高度为2.0 m，长为4.0 m；炮孔由堵塞段和装药段组成，上段为堵塞段，下段为装药段。炮孔直径为0.042 m，炮孔长为2.5 m，炮孔中心线距离台阶自由面1.0 m，炮孔中心线经过模型底面中心。炮孔堵塞长度为1.3 m，装药段长度为1.2 m，炸药为岩石乳化炸药，密度为1 240 kg/m3，药卷直径为 0.035 m。网格划分原则为：以炮孔中心线为轴向，靠近炮孔区域的单元划分较密集，远离炮孔区域的网格划分较稀疏。网格数为61 266个。
图2 模型侧视剖面图
Fig. 2 Side profile of model
2.3.2 边界条件
图2中，CD，DE和EF为自由面；AB，BC和FA为人工截断边界。可以先进行静力平衡计算，再进行动力加载计算。进行静力平衡计算时，设置AB边界所有方向位移为0 m，BC和FA边界法向位移为0 m。爆破动力加载时，将这些人工设置为黏滞无反射边界。
2.3.3 爆炸荷载
在图2中装药段施加爆炸荷载，爆轰产物方程为ABAQUS中的JWL状态方程，状态方程参数见文献[3]，其中，孔底为起爆点。
2.3.4 本构关系
将本文提出的本构关系式(9)，(24)和(25)，文献[8]提出的损伤关系式(3)，(4)，(24)和(25)，将损伤关系式(3)，(6)，(24)和(25)[11]分别导入数值模型进行爆破损伤加载。卸载时，损伤变量D保持不变，各个卸载模量由式(11)~(13)确定。
对于本文提出的压、拉损伤本构模型：E′=46.6 GPa，μ′=0.30，θlim=1.8×10-4，mc=8.37×108，nc=1.86，nt=1.85，Y=-1.7 GPa，Df=0.28。
文献[8]提出的体积拉伸损伤本构模型中，E′=46.6 GPa，μ′=0.30，εvc=1.8×10-4，k=1，l=1，A=7×1010，B=2，Df=0.28。
文献[11]提出的等效拉伸损伤本构模型中，E′=46.6 GPa，μ′=0.30，θlim =1.8×10-4，k=1，l=2，m=3.15×106，n=1，Df=0.28。
2.4 结果及分析
2.4.1 基于压、拉动态损伤模型的数值计算结果
基于本文所提损伤模型的数值计算结果见图3。从图3可看出：单孔爆破破裂范围主要沿炮孔径向扩展，径向破裂延伸范围大于轴向延伸范围，这与文献[3]中的结论相同；炮孔轴向上、孔底正下方的破裂延伸深度(即破裂边缘与孔底的垂直距离)最大。其原因是：炸药起爆后在孔底和孔壁激发压缩冲击波，炮孔壁环向主要受到拉应力作用，导致拉伸损伤沿径向扩展；孔底正下方主要受压应力作用，导致该部位的破裂沿轴向向下延伸。由于岩石抗压强度远大于抗拉强度，因此，与轴向相比，炮孔径向为破裂延伸的主方向。台阶自由面特别是在炮孔孔口自由面附近出现最大破裂半径(即破裂边缘与炮孔中轴线的距离)，这是因为自由面附近破裂范围的扩展主要是爆炸应力波反射拉伸波作用所致。炮孔孔口自由面附近的径向破裂扩展距离最大，即孔口自由面附近破裂范围最大。以上分析表明，本文提出的损伤模型考虑了岩石压、拉损伤不同的特性。
图3 基于本文所提出的损伤模型的爆破破裂范围
Fig. 3 Blasting-induced fracture zone based on model presented in this paper
2.4.2 数值计算结果与实测结果对比
数值计算结果与实测结果的对比见图4。从图4可看出：基于压拉损伤本构模型、基于文献[8]和基于文献[11]的爆破破裂范围均与实测破裂范围相似，爆破破裂扩展特点相同，但与实测结果相比都有一定差距。如无论是数值计算结果还是实测结果，爆破破裂范围主要沿炮孔径向扩展，且自由面附近破裂半径最大，这与文献[3]中单孔爆破破裂范围相同。
图4 爆破破裂范围数值计算结果和实测结果的对比
Fig. 4 Comparison between blasting-induced fracture zone calculation results and actual measurement results
本文以最大破裂半径Rmax和孔底破裂深度Hmax这2个参数对数值计算结果和实测值之间的差距进行评价。由数值计算和实测得到的Rmax和Hmax分别见表1和表2。
从表1和表2可以看出：对于沿径向的最大破裂半径，基于压拉损伤模型、基于文献[8]和基于文献[11]的计算结果分别为1.60，2.25和1.50 m，而实测结果为1.87 m，数值计算结果相对实测值的误差绝对值分别为14.4%，20.3%和19.8%；对于孔底正下方的破裂深度，基于压拉损伤模型、基于文献[8]和基于文献数值[11]的计算结果分别为0.57，0.23和0.37 m，而实测结果为0.70 m，数值计算结果相对实测值的误差分别为18.6%，67.1%和47.1%。
表1 最大破裂半径
Table 1 The maximum radius of fracture zone
表2 孔底破裂深度
Table 2 Depth of fracture zone under blast hole
总体上，对于沿径向的最大破裂半径和孔底正下方的破裂深度，基于本文所提损伤模型的数值计算结果与实测结果之间的差距最小，基于体积拉伸损伤模型的计算结果与实测结果之间的差距最大，基于等效拉伸损伤模型的计算结果与实测结果之间的差距次之。尤其是对于孔底破裂深度，文献[8]只考虑了拉伸损伤，忽视了压缩损伤，而孔底主要受到冲击压缩作用。此外，文献[11]提出的等效拉伸模型虽然考虑了压缩损伤作用，但对压、拉损伤的反映不够准确。因此，对于孔底破裂深度，基于文献[8]的数值计算结果合理性最差，基于文献[11]的结果合理性次之，而本文提出的损伤模型最合理。
3 结论
1) 在所提出的损伤模型中，损伤演化关系分为体积压缩损伤和体积拉伸损伤共2种，所提出的损伤模型能反映岩石压、拉损伤不同的特性。
2) 所提出的损伤模型为弹性损伤-塑性本构模型计算参数少，计算参数可以通过单轴抗拉和抗压试验获取，应用简单，容易实现。提出的损伤模型以细观统计损伤理论为基础，具有一定的物理机制背景。总体上，所提出的损伤模型物理意义明确，方便使用。
3) 据本文所提出的压、拉损伤模型计算得到的爆破破裂深度特别是孔底正下方的破裂深度接近实测结果，证明此损伤模型是合理的。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2018-06-10；修回日期：2018-08-22
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51378514)(Project(51378514) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：谢福君，博士研究生，从事岩土工程、桥梁工程研究；E-mail：707825117@qq.com
