炼铜转炉粗铜成分时间序列的混沌分形

 鄂加强¹,梅 炽¹,刘春洋¹,张卫华²

(1.中南大学 能源与动力工程学院,湖南 长沙,410083;
2.贵溪冶炼厂,江西 贵溪,334524)

摘要: 应用混沌分形理论,选择合适的滞时对炼铜转炉粗铜成分中粗铜品位、粗铜含氧率以及含硫率时间序列进行了相空间重构,并得出了不同嵌入相空间下粗铜品位、粗铜含氧率以及含硫率时间序列关联维的变化规律。计算结果表明:炼铜转炉产粗铜成分时间序列具有分形特征,且该时间序列是混沌序列;在炼铜转炉产粗铜动力学系统中,影响粗铜品位的系统内部因素最多可达7个,最少不会小于3个;而影响粗铜含氧率的系统内部因素可多达5个,最少不会小于2个;影响粗铜含硫率的系统内部因素可多达6个,最少不小于3个。
关键词: 炼铜转炉; 混沌; 时间序列; 分形
中图分类号:TF806; TF811 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)02-0238-05

Chaos and Fractal of Crude Copper Composition Time Series from Copper Convertor

E Jia-qiang¹, MEI Chi¹, LIU Chun-yang¹, ZHANG Wei-hua²

(1.School of Energy and Power Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;
2. Guixi Smelter, Guixi 334524, China)

Abstract: After a suitable value of time lag was decided, the time series embedding space about crude copper composition such as the percent of copper content, the percent of oxygen content and the percent of sulfur content, was rebuilt based on the theory of chaos and fractal, and their changing regularities of the value of the correction dimension were obtained in different embedding spaces. The results show that there are fractal and chaos features in the crude copper composition time series from the copper convertor. In the dynamics system of crude copper composition from copper convertor, there are seven internal factors at best and three internal factors at least for the percent of copper content, but there are five internal factors at best and two internal factors at least for the percent of oxygen content and there are six internal factors at best and three internal factors at least for the percent of sulfur content.
Key words: copper convertor; chaos; time series; fractal 

   炼铜转炉是一个内部存在着不确定性因素和非线性作用机制的宏观复杂系统。在这个系统中,炼铜转炉铜锍品位的高低波动使得系统具有内在的不确定性;此外,炼铜转炉吹炼过程的不平衡性和炉况不稳定性等因素的影响^[1],又使炼铜转炉粗铜成分数据处于不均匀的时空中,具有极复杂的非线性特征,在数学上很难用各影响因素描述出来,致使预报粗铜成分难度很大。对于火法冶金过程中的产品成分预测问题,大都采用相关分析或时间序列分析的方法进行处理和预测^[2]。建立这类模型时,其参数估计较复杂,且它们并不能直观地、有效地从单变量时间序列中把系统的动力特性描绘出来。近20年来,混沌与分形理论在气象、地震、资源环境以及经济上预测的成功应用为该问题的解决提供了新的思路^[3-11]。混沌与分形理论能从一个输出变量的时间序列有效地提取出系统的动力特性,找出时间序列中包含的丰富信息以及参与动态的全部变量的痕迹,达到真正认识该系统的目的。因此,为了分析炼铜转炉粗铜成分时间序列必须较准确地判断炼铜转炉粗铜成分时间序列的产生机制中是否含有非线性混沌分形特性。

1 时间序列混沌分维诊断

1.1 相空间重构

由N.H.PACKARD等提出的重构相空间理论^[3],将混沌理论引入到非线性时间序列分析中。要诊断非线性时间序列中是否存在混沌现象,需要根据实测非线性时间序列数据重构动力系统相空间。

非线性动力系统极其复杂,其系统演化的动力方程用动力系统控制方程描述:

系统的时间演变由多个变量(x₁,x₂,…,x_m)所组成的m维相空间的轨迹来刻画。

对于单变量非线性时间序列,通过消元可将式(1)变换成m阶非线性微分方程:

变换后非线性动力系统的新轨迹为:

将式(4)用差分方程代替各阶导数,并经过适当简化,单变量滞时的非线性时间序列{x_i}(i=1,2,…,n)的重构相空间为:

式中:t=1,2,…,N;τ为滞时;N为相点数,N=n-(m-1)τ;X(t)为m维相空间矢量;m为嵌入维。

根据F.TAKENS的嵌入理论^[4],D₂维吸引子嵌入到m≥2D₂+1维相空间时,可重现出原吸引子的几何特征,由此来研究系统的演化规律。在非线性动力系统相空间重构过程中,滞时τ的选取必须保证各分量间的相对独立性,即应使各相空间坐标的相关性尽可能小,通常采用自相关函数或交互信息法。
1.2 时间序列滞时的确定

从理论上说,当数据点无限时,嵌入的效果与滞时τ无关。但当数据点有限时,滞时τ对实际重建的影响极大^[12]。滞时τ太小时,吸引子不能充分展开,冗余误差大;滞时τ太大时,不相关误差大^[13],使得重构吸引子变得十分复杂。自相关系数一般可以采用自相关函数法确定^[14]:

式中:f(τ)表示第k阶自相关系数;[AKx-D]为{x_t}的均值。自相关系数接近0时所对应的k即为所求的滞时τ。
1.3 关联维数

1983年P.GRASSBERGER和J.PROCACCIA提出了一种计算动力系统吸引子维数的方法,简称为 G-P算法^[15]。此方法常用于资料点不是很多的时间序列以及须计算高维行为的离散系统。定义相关积分函数C_m(ε)如下:

给定ε后,C_m(ε)表示2点间距离小于ε的概率,在适当的范围内,当ε增加时,C_m(ε)将以ε的D_m指数倍增加,即:

将上式两端同时取对数得:

m的选择一般从小到大,不断增大其取值,针对某个m值,选取若干个不同的ε,分别计算相应的C_m(ε),将这些不同的ε和C_m(ε)代入式(10)可得到ln[C_m(ε)]与lnε的关系图。对于随机过程,D_m将随m的增加而增加,并不会达到饱和。但对确定性系统,D_m将在某一特定的m后趋于饱和(即ln[C_m (ε)]与lnε的关系图存在无标度区——直线段),这表明时序分布存在分形特征,且直线段的斜率就是吸引子的维数D₂,与之相对应的嵌入维数为饱和嵌入维数m_∞。m_∞的大小表征系统自由度的多少,它和D₂分别体现了系统包含的基本变量数目的上限与下限。

2 实例应用

考虑到转炉产粗铜成分中影响铜精炼的主要组成为粗铜品位、含氧率及含硫率,因此,以2003年8~9月江西铜业集团有限公司贵溪冶炼厂3号转炉产粗铜成分时间序列为例,研究是否存在混沌特性。图1所示为2003年8~9月江西铜业集团有限公司贵溪冶炼厂3号转炉产粗铜品位(98.5%~99.2%), 含氧率(0.45%~1.05%)及含硫率(0.02%~0.07%)时间序列。

图 1   炼铜转炉产粗铜成分时间序列
Fig. 1   Crude copper composition time series from convertor

由式(6)可得,当滞时τ=2时,江西铜业公司贵溪冶炼厂3号转炉产粗铜品位、含氧率及含硫率时间序列基本满足相空间各维相对独立的要求。由重构相空间,根据式(7)~(10)分别对转炉产粗铜品位、含氧率及含硫率时间序列进行饱和关联维数D₂计算,其计算结果分别如图2和图3所示。

从图2可以看出,随着转炉产粗铜品位、含氧率及含硫率时间序列嵌入维数m增大,lnε-ln[C_m(ε)]曲线上存在线性相关的区域,因此,转炉产粗铜品位、含氧率及含硫率时间序列存在分形特征。线性相关的区域内每一条曲线的直线部分斜率为饱和关联维(吸引子的饱和分形维数)D₂值,相对应的嵌入维数m为最小嵌入维数m_∞。图3所示为得到的分维数D(m)与嵌入相空间m之间的关系曲线。

由图3可以得出:

a. 当转炉产粗铜品位时间序列嵌入相空间维数m≥7时,关联维数(吸引子维)趋于稳定,即达到饱和关联维D₂=3.882;

b. 当转炉产粗铜含氧率时间序列嵌入相空间维数m≥5时,关联维数(吸引子维)趋于稳定,即达到饱和关联维D₂=2.976;

c. 当转炉产粗铜含硫率时间序列嵌入相空间维数m≥6时,关联维数(吸引子维)趋于稳定,即达到饱和关联维D₂=3.795。

从混沌理论的角度来看,转炉产粗铜系统内部影响粗铜品位、粗铜含氧率以及粗铜含硫率这3个变量的因素较多。影响粗铜品位的系统内部因素最多可达7个,最少不少于3个,可能包括铜锍品位、转炉吹炼过程鼓入压缩空气含氧量、转炉吹炼过程加入的铜锍质量、转炉吹炼时间、转炉吹炼终点铜液温度、造渣过程加入的熔剂以及焦粉量、铜锍中其他杂质含量等因素;而影响粗铜含氧率的系统内部因素可多达5个,最少不少于2个,可能包括转炉吹炼过程鼓入压缩空气含氧量、转炉吹炼过程加入的铜锍质量、转炉吹炼时间、铜锍中含氧率、转炉吹炼终点铜液温度等因素;影响粗铜含硫率的系统内部因素可多达6个,最少不少于3个,可能包括转炉吹炼过程鼓入压缩空气含氧量、转炉吹炼过程加入的铜锍质量、转炉吹炼时间、铜锍中含硫率、转炉吹炼终点铜液温度、转炉吹炼过程氧分压等因素。因此,从该意义上来说,转炉产粗铜成分时间序列具有混沌特性。

3 结 论

a. 转炉产粗铜成分时间序列具有分形特征,且该时间序列是混沌序列。

b. 当转炉产粗铜品位、含氧率及含硫率时间序列滞时均满足τ=2时,转炉产粗铜品位、含氧率及含硫率时间序列基本满足相空间各维相对独立的要求。

c. 转炉产粗铜成分时间序列是非线性混沌动力系统演化的结果,影响粗铜品位的系统内部因素最多可达7个,最少不少于3个;而影响粗铜含氧率的系统内部因素可多达5个,最少不少于2个;影响粗铜含硫率的系统内部因素可多达6个,最少不少于3个。

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收稿日期:2004-05-24

作者简介:鄂加强(1972-),男,湖南湘潭人,博士研究生,从事热工设备及过程的检测、控制与优化研究

论文联系人: 鄂加强,男,博士研究生;电话:13187041842(手机);E-mail:ejiaqiang@126.com