DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.11.041

基于电场中心线的ECT灵敏度矩阵计算

薛倩¹，马敏¹，王化祥²

(1. 中国民航大学 电子信息与自动化学院，天津，300300；

2．天津大学 电气与自动化工程学院，天津，300072)

摘要：电容层析成像(ECT)因其时间分辨率高的优势在两相流在线测量中获得广泛应用。然而，ECT固有的软场特性严重制约ECT系统的成像质量。为改进在线成像质量，类比CT中投影矩阵的计算，基于电场中心线的概念提出一种估算灵敏度矩阵的方法。利用两相流检测实验验证该方法的可行性。研究结果表明：该方法估算的灵敏度矩阵可用于两相流在线监测，且明显提高敏感场中间区域的空间分辨率。

关键词：电容层析成像；两相流；灵敏度矩阵

中图分类号：TK39         文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)11-3929-06

Sensitivity matrix generation for electrical capacitance tomography based on electrical field center lines

XUE Qian¹, MA Min¹, WANG Huaxiang²

(1. College of Electronic Information and Automation, Civil Aviation University of China, Tianjin 300300, China;

2. School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Abstract: Electrical capacitance tomography (ECT) was widely applied to online measurement of two-phase flows due to its high temporal resolution. However, the so-called “soft field effect” has seriously limited the imaging quality of ECT systems. To improve the quality of online imaging, the sensitivity matrix was calculated based on the concepts of electrical field center lines by referring to the generation of projection matrix used in computed tomography (CT). The proposed method was examined by experiment of two phase flow visualization, which demonstrates that the generated sensitivity matrix is suitable for online monitoring of two-phase flow and improves the spatial resolution at the central region of the sensitivity field.

Key words: electrical capacitance tomography; two-phase flow; sensitivity matrix

电容层析成像(ECT)技术通过重建物场的介电常数分布实现非侵入式、可视化监测。在现有的过程成像技术中，ECT具有较高的时间分辨率(＞1 000帧/s)和较低的系统成本，因而，在过去几十年中，这项技术被广泛研究并在工业多相流测量中获得了广泛应用^[1-5]。ECT利用阵列电极间的电容测量值重建物场介电常数分布图像，从而监测管道截面上物质分布情况。常用的图像重建算法可分为2类：一类是非迭代算法，如线性反投影(LBP)和离线迭代算法，因其成像速度快，适于在线成像，但成像质量较低；另一类为迭代算法，如Landweber迭代算法，迭代类算法成像质量较高，但实时性较差^[6]。虽然研究人员提出了多种先进算法，LBP算法因其实时性高(本试验中运算时间约0.25 ms)、运算简便，仍在很多多相流监测系统中被广泛使用。LBP算法利用灵敏度矩阵的转置估算介电常数分布，灵敏度矩阵直接影响着其成像质量。虽然近年来报道了很多关于灵敏度矩阵构造方法的文献，但研究多集中在计算速度的提高^[7-8]，在通过改进灵敏度矩阵来改进成像质量这一方向上，YE等^[9]利用一系列包含不同数目像素的像素块扩展灵敏度矩阵；SMOLIK等^[10]在图像重建算法迭代过程中利用实际测量值更新灵敏度矩阵；WAJMAN等^[11]通过分析电场分布情况修改灵敏度矩阵计算过程，上述方法均在一定程度上提高了图像精度。但对典型灵敏度矩阵来说，不论是采用有限元仿真计算还是实验测量得到，灵敏度系数都是在靠近电极的区域较高，而在敏感场中央区域较低，因此，传感器中央区域的成像质量偏低^[12]。KIM等^[13-14]引入电场中心线(EFCL)的概念并根据像素与电场中心线的距离确定该像素的权重系数，进而构成权重矩阵，数值仿真结果表明采用该权重矩阵可改善中间区域的成像质量。本文作者类比射线CT中投影矩阵的计算，依据电场中心线和传感器的几何参数计算灵敏度矩阵，并通过两相流成像实验验证其有效性。

1  ECT系统数学模型

图1所示为16电极ECT系统结构图。由图1可见：典型的ECT系统包含传感器、数据采集系统和成像计算机3个部分。传感器由n个包围管道的阵列电极组成，采用单电极激励模式，可获得n(n-1)/2个独立电容测量值。数据采集系统提供激励信号并将测量数据进行处理，然后转化为数字信号送给上位机。上位机控制硬件系统并由测量数据重建被测物的介电常数分布图像。

图1  16电极ECT系统结构图

Fig. 1  Structure of ECT system with a 16-electrode sensor

将ECT的敏感场假设为“似稳场”，其数学模型可用Laplace方程描述：

            (1)

其中： 为场域内的介电常数；为电位。

理论上，激励电极与测量电极间的电容可由下式计算：

       (2)

式中：V为激励与测量电极间的电压；Г为电极表面。利用有限元法(FEM)得到式(2)的线性化、离散化形式为

               (3)

式中：λ为归一化的电容向量；g为归一化的介电常数向量；S为灵敏度矩阵；M为独立测量数；N为像素数目。对16电极ECT系统，采用相邻激励测量方式，每帧可获得M =16×(16-1)/2=120个独立测量值；本文采用64×64的方形网格将成像区域离散化，得到成像区域内像素数目N=3 228；因此，灵敏度矩阵维度为120×3 228。图像重建即由测量值λ和灵敏度矩阵S求解式(3)以获得 g 。由于N＜＜  M，式(3)为一个欠定性方程组，且灵敏度矩阵具有严重的病态性，因此，式(3)的解不唯一且不稳定。

由于的S逆矩阵不存在，无法直接求解式(3)。若将S 视作从介电常数向量空间到电容测量值向量空间的线性映射，则S^T 可视作从测量值向量到介电常数向量空间的映射，由此得到g的估算方法(即LBP 算法)

g = S^T λ                 (4)

虽然从数学角度LBP算法并不精确，但该算法具有迭代类算法无法比拟的高实时性和简便性，因此，在在线成像中获得了广泛应用。

2  灵敏度矩阵计算

2.1  典型灵敏度矩阵

在ECT图像重建中，S通常是利用空场测量由下式计算得到：

  (5)

式中：为电极对i-j对坐标为(x, y)的像素的灵敏度；，，和分别为电极i和j上的电势在x和y方向的导数；p(x, y)为(x, y)处的像素面积。图2所示为16电极ECT系统中，激励电极1，分别测量电极2，4，6和9时的灵敏度分布，其中圆形管道内物质均匀分布。可见：靠近激励/测量电极的像素灵敏度系数高，而靠近传感器中心的像素灵敏度系数较低，因此，管道中心的分辨率较低。

2.2  基于EFCL的灵敏度矩阵

KIM等^[13]在介绍用于ECT的定向ART(DART)算法中提出电场中心线(EFCL)的概念，对于物场均匀分布的圆形传感器，定义每对激励/测量电极对之间电场线中心的曲线为1条EFCL。因而EFCL的总数与独立测量数相同，以16电极ECT传感器为例，采用相邻激励测量模式，共获得120个独立测量数据。基于电场中心线，类比CT中权重矩阵的一种常用定义^[15](第j个像素对第i条射线的权重系数为1减去第i条射线到第j个像素中心的归一化距离)，可利用像素到EFCL的距离估算ECT的权重矩阵，像素越靠近EFCL，其灵敏度越高，这和图2所示的灵敏度分布情况是一致的。

图3所示为电场中心线示意图。由图3可见：将120条电场中心线按m个1组(m=7或8)分成互不交叉的16组。假定每组中两相邻电场中心线之间的像素仅影响这2条线对应的测量值，则第j个像素对第k组中第i条和i+1条EFCL的权重因子分别定义为

      (6)

其中：k=1，2，…，16；i=1，2，…，m；j=1，2，…，N；d₁为第j个像素到第i条EFCL的距离；d₂为第j个像素到第i+1条EFCL的距离。

图2  空场时激励电极1分别测量不同电极时的灵敏度分布

Fig. 2  Sensitivities map for vacuum permittivity distribution when electrode 1 is excited and different electrodes are measured respectively

图3  电场中心线示意图

Fig. 3  Sketchs of EFCLs

基于上述分析，本文提出一种基于EFCL的ECT权重矩阵计算方法，步骤如下。

1) 计算EFCL的特征参数。图4所示为电场中心线特征参数示意图。由图4可见：以传感器中心为Cartesian坐标原点，用圆C_i上的一段弧近似第i条电场中心线L_i，C_i与对应L_i的2个电极在交点处互相垂直，则EFCL 可用2个特征参数来描述：C_i的圆心O_i 和半径r_i 。将16个电极视为线段，由传感器尺寸可知这16条线段的中点和斜率，由对应电极的延长线的交点可得O_i的坐标，而r_i 等于O_i到电极中点的距离。

2) 计算每条EFCL对应的权重因子。假设第j个像素点E_j位于第i条和第i+1条电场中心线L_i和L_i+1之间，则d₁=-r_i，其中为O_i与E_j之间的距离，类似可得d₂=r_i+1-。根据式(6)，对每条EFCL算出N 个权重因子。特别地，当E_j在电场中心线上、L₁之外或L_m之外时，相应的权重因子设为1。由此，对M条EFCL, 得M×N维的权重矩阵。

图4  电场中心线特征参数示意图

Fig. 4  Sketch of character parameters of EFCLs

3) 根据测量顺序重排矩阵的行向量。步骤2得到的权重矩阵的行向量是按图3所示的顺序排列的，应根据测量顺序重新排列，并按下式进行归一化，以获得灵敏度矩阵S：

               (7)

为了简单，后文中归一化的灵敏度矩阵均用S表示。

3  图像重建结果

为验证本文方法的可行性，利用16电极ECT系统对4种不同模型进行图像重建试验。传感器由16个嵌在100 mm内径的管道内壁的矩形电极构成，电极间安装径向屏蔽电极以减少电极与金属外壳间的电容效应。试验用ECT数据采集系统采样率可达到1 000帧/s，信噪比约为65 dB^[16]。典型的灵敏度矩阵利用有限元仿真软件Comsol3.4与MATLAB R2010a计算，PC配置为Pentium(R) 4 CPU 2.93 GHz主频、2 GB RAM。测量的4种典型模型(层流、环流、泡状流和十字形)如表1中第2行所示，其中气相为空气(介电常数为1)， 固相为有机玻璃(介电常数为3.0)。

分别用传统方法(即式(5))和本文方法(如2.2节所述)计算的2种灵敏度矩阵进行图像重建，并对像素进行归一化处理，结果如表1所示。由表1可见：对于简单流型如层流，采用传统方法即可准确分辨流型。当流型相对复杂时，如表1中的环流和靠近灵敏场中心的3个泡(各泡之间距离大于20%管道内径)的泡状流，使用典型灵敏度矩阵重建的图像中伪影较明显，严重影响了流型识别，更无法分辨3个泡。对十字形分布的重建结果也反映了典型灵敏度矩阵的固有缺点，即在边界区域灵敏度系数较高，图像分辨力相对较强；而场域中心灵敏度系数低，图像分辨力低。由表1第4行可见：采用本文方法计算的灵敏度矩阵，4种流型均可正确识别，明显提高了敏感场中心的空间分辨率。本文方法模拟CT中投影矩阵的计算，灵敏度系数仅取决于物场和传感器的几何结构(由像素到电场中心线的距离决定)，因而在场域中心处的分辨力相对较好，但由这种权重矩阵的转置重建图像具有CT中LBP法的固有缺点，即受测量数据数目少的限制，分辨率不高，多次反投影的结果会在图像边界区域产生拖尾图像。

表1  传统方法与本文方法计算灵敏度矩阵的成像效果

Table 1  Images reconstructed using typical and proposed method

表2 利用相对图像误差定量比较了采用不同灵敏度矩阵的LBP算法的成像质量，相对图像误差定义如下：

               (8)

其中：为归一化的真实图像向量，f为归一化的重建图像向量。由表2可见，采用本文方法计算的灵敏度矩阵提高了LBP算法的重建质量。

表2  表1中重建图像的相对图像误差

Table 2  Relative image errors of reconstructed images in Table 1

4  结论

1) 该方法计算的灵敏度矩阵适用于典型流型的在线识别。

2) 相对于有限元仿真计算的灵敏度矩阵，该方法提高了敏感场中心区域的空间分辨率，提高了基于LBP算法的在线成像质量。

3) 由于基于EFCL的灵敏度矩阵计算参考射线CT中的投影矩阵定义，灵敏度系数只由传感器的几何参数决定，因而空间分辨率不受软场效应影响。但LBP算法成像质量有限，对于多相流定量测量，仍需在成像算法方面进行进一步研究，以便获得更精确的在线成像算法。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2016-01-13；修回日期：2016-04-20

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61401466，61102096)；中央高校基本科研业务费中国民航大学专项基金资助项目(3122013C007) (Projects(61401466, 61102096) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(3122013C007) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities: Special Project for Civil Aviation University of China)

通信作者：薛倩，讲师，博士，从事电学层析成像技术研究；E-mail: xueqian@tju.edu.cn