高陡边坡桥梁基桩内力计算的幂级数解
杨明辉，赵明华，刘建华，邬龙刚
(湖南大学 岩土工程研究所，湖南 长沙，410082)
摘 要：基于施工或外部荷载造成的岩(土)坡体滑动现象，以滑动面为界，对山区高陡边坡桥梁基桩荷载进行合理简化：将桩顶处的上部荷载分解成竖向与横向荷载共同作用，桩后岩质边坡滑坡体推力按抛物线分布，而桩前岩(土)体抗力稳定段呈线性分布，滑动面以下地基比例系数k服从(mz+C)的线性增长规律，在此基础上，计入桩顶P-?效应的影响，采用矩阵计算方法，得到高陡边坡桥梁基桩内力分析计算的幂级数解。理论解与现场实测数据的对比结果表明，桩身弯矩的相对误差基本在15%以内，且最大弯矩的误差仅为6%，故基桩内力分析的幂级数解合理、可靠，可满足工程设计的需要。
关键词：高陡边坡；桥梁基桩；内力位移；幂级数解
中图分类号：U443.15 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2007)03-0561-06
Power-progression solution for inner-force analysis of
bridge pile in steep slope
YANG Ming-hui, ZHAO Ming-hua, LIU Jian-hua, WU Long-gang
(Geotechnical Institute of Hunan University, Changsha 410082, China)
Abstract：Based on the slope landslide caused by construction or load the slide-plane was made as interface, the load of bridge pile in steep slope was simplified rationally: the load on pile top was decomposed into vertical and horizontal load; the law of landslide-thrust behind obeyed parabola distribution; the resistance above slide-plane obeyed linear distribution and the foundation coefficient satisfied (mz+C). Then, P-? effects was considered, and the power-progress solution was deduced by matrix analysis method. The results show that the relative error of bending moment along pile is under 15%, the biggest bending moment’s relative error is 6% only, so the power-progression solution of pile inner force calculation is feasible and rational, which can satisfy the need of engineering design.
Key words：steep slope; bridge pile; inner-force; power-progression solution
随着西部高速公路建设的发展，在高陡边坡段修建桥梁基桩逐渐增多。基桩在桩顶将承受竖向及水平荷载，同时，可能承受来自山体的下滑推力、岩(土)体的抗力等，其内力比常规基桩内力更加复杂。若采用常规计算方法，均存在一定的局限，如：倾斜荷载下平地基桩的计算方法考虑了荷载的复杂性，却未考虑边坡效应及岩(土)体与桩体相互作用的形成机 理[1-4]；而抗滑桩内力计算方法考虑坡体效应，但没有考虑基桩的承重功能与复杂荷载，因此，抗滑桩的内力计算方法亦不适用[5-6]。为此，本文作者在探求基桩侧向岩(土)体推力及地基系数分布规律的基础上，考虑水平荷载与竖向荷载的共同作用的复杂情况，建立高陡边坡桥梁基桩的受力模型，并采用幂级数方法导出其内力的计算方法。
1 滑坡推力及地基系数分布规律
滑坡推力分布受滑坡的类型、滑动面形状、部位、地层性质、基桩变形情况及地基系数等综合因素的影响，分布相当复杂[7-9]，目前，在抗滑桩研究领域，一般将滑坡推力的分布简化为三角形、矩形和梯形3种。而实际上，由于桩头附近变位比下部的大，因而受力比下部的小，又由于滑体与滑动面间存在摩擦，因而滑面附近推力有所减小，下滑推力从桩头至滑动面，经历了逐步增大至逐步减小的过程，上述3种假设与实际情况均存在一定的差别。而抛物线方程则基本反映上述规律，我国一些滑坡现场试桩的实测资料[10]也证明了这一点。
桩前岩(土)体的抗力分布与滑动面以上滑体的稳定状态紧密相关，仅在滑体基本稳定的情况下，岩(土)体才能提供一定的抗力，但该抗力显然小于被动土压力。在此，本文作者考虑滑体稳定时抗力的分布。此时，桩周岩(土)体一般处于弹性阶段，故可采用地基系数计算作用于桩身的弹性抗力及其分布。边坡岩(土)体一般为砂黏土、碎石土或风化破碎成土状的软质岩层，因此，采用m法计算其地基系数较合适[11]，但由于存在滑动面，对于滑面以下的岩体，其在滑动面处的地基系数将不为零，即应满足(mz+C)的线性增长规律。根据上述分析，基桩的受力模型如图1所示。
图1 高陡边坡桥梁基桩受力模型
Fig.1 Model for bridge pile in steep slope
2 基本假定及微分方程
2.1 基本假定
将桩顶处的上部荷载简化为竖向与横向荷载共同作用，并将桩体分为受荷段与嵌固段，对滑面以上非稳定段的桩前岩(土)体抗力与桩后坡体抗力进行合理简化，而对滑面以下的岩(土)体的抗力按地基反力系数法进行计算。基本假定如下。
a. 设基桩岩(土)体的下滑推力沿深度服从抛物线规律，其分布函数为：
p(z)=az2+bz。 (1)
式中：a和b为待定系数。
b. 桩体处于弹性工作状态。
c. 滑面以上岩(土)体的地基系数沿深度呈线性变化，即m法，而滑面以下岩体的地基系数服从(mz+C)的线性增长规律。
2.2 微分方程的建立
由于存在滑面，滑面上下基桩的受荷情况有所差别，以下分别建立其微分方程。
若假定在桩顶作用有倾斜荷载，可分解为竖向荷载P0 = Qθcosq 和水平荷载Q0 = Qθsinq 共同作用。取土体中基桩某一微元(如图2所示)，则两端承受弯矩、剪力和轴力、下滑推力以及桩侧随土体抗力q。此外，沿桩轴向还受有桩侧土的摩阻力及桩自重作用，二者影响均用dP表示。因此，对图中单元体下端中点取矩可得：
(2)
略去二阶微分，则有：
。 (3)
又由于
，故
，即
。 (4)
将式(3)对z求导，得：
。 (5)
将式(4)及
代入上式，得：
。(6)
若桩的截面保持不变，即EI为常数，则上式可变为：
。 (7)
图2 滑面以上基桩微元受力示意图
Fig.2 Stress of Pile element above slip plane
此即为滑面以上基桩的挠曲微分方程式。根据岩(土)体的抗力q(x, z)及滑坡推力p(z)的假设不同，其解答亦不同。
对于滑动面以下陡坡基桩部分，其微分方程的建立思路与滑面以上的建立思路相同，微元体结构如图3所示。与滑面以上微元不同之处是，此时基桩处于稳定的嵌固区，左侧没有下滑推力，因此，建立的挠曲微分方程式为：
。 (8)
图3 滑面以下基桩微元受力示意图
Fig.3 Stress of Pile element below slip plane
显然，在滑动面处，方程(7)与方程(8)的解答应满足位移、内力、转角、弯矩连续条件。
2.3 微分方程的幂级数解
2.3.1 滑动面以上的基桩内力解
根据m法假定，q(x, z)=mz。沿桩轴单位长度桩身自重为常数，根据现行地基规范，桩侧单位面积摩阻力(对同一层土)也为常数，因此，可令沿桩轴的轴向力为：
将式(9)代入微分方程(7)，得：
。
(10)
式中：
；
；
；
；
。设方程的解为：
。 (11)
将上式代入基本微分方程，由待定系数法，可依次求得各系数之间的关系：
为推导方便，将x幂级数函数各系数统一量纲，计算截面至桩顶距离无量纲化，令：
；
。 (12)
代入式(11)，得：
。 (13)
再将各系数之间的递推关系表示为矩阵系数形式：
。 (14)
各矩阵系数的关系如下：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；其余di, j=0。
矩阵[C]为常数矩阵；
；
；其余ci=0。
可进一步将所有系数
表示为前4项系数
，
，
和
的函数，即：
。 (15)
式中,矩阵[B]由[D]转换得到，两者之间元素的关系式为：
(16)
由式(16)可以看出，桩身水平位移的幂级数函数无量刚系数均为λ，k，α，β，g，，，和的表达式。其中：λ，k，α，β和g 已知；，，和则可通过联立边界条件求解。
假定桩顶位移x0、转角j0、弯矩M0、剪力Q0为已知，则桩顶边界条件为：
(17)
由此可求得，，和。只要选定合适的幂级数的项数，方程即可求解。在一般情况下，幂级数取6项即可满足精度要求。
2.3.2 滑动面以下的基桩内力解
对于滑面以下的微分方程式(8)，仍采用幂级数方法求解，坐标以滑动面与基桩交点为坐标原点，微分方程可表示为：
。 (18)
式中：
；
；
；
；
为滑面处的基桩轴向力。
设方程(19)的解为：
。 (19)
与滑面以上计算方法类似，仍将幂级数函数的系数统一量纲化、计算深度z无量纲化，令
，
，并将各系数之间的递推关系表示为矩阵系数形式：
。 (20)
矩阵[F]各元素的关系为：
；
；
；
；
；
；
；
。
n≥5，其余元素fij=0。将幂函数的参数表示为前4项的函数，即：
。 (21)
，
，
和
可由边界条件求解。
由于方程(7)和(8)在滑动面处满足位移连续条件，因此，滑动面处基桩的位移x1、转角j1、弯矩M1及剪力Q1可由滑动面以上方程求解，此时可作为已知边界条件：
(22)
据此，可求得滑面以下的基桩内力。
2.4 滑坡推力系数求解
由上述推导过程可知，微分方程种仅有2个待定系数，即滑坡推力系数a和b，可根据极限平衡分析法得到。设滑坡推力总和为E，可由条分法计算：
。 (23)
并假定下滑力合力作用点距桩顶的距离与h1的比值为k，则有：
。 (24)
而k可根据文献[11]中的方法确定。由此，得到a和b的表达式：
(25)
3 算例分析
现以湖南省邵怀高速公路K83+745陡坡基桩为例，对幂级数解进行校验[12]。该工程为人工挖孔桩，基桩直径1.8 m，桩身全长26 m。现场勘查结果表明，桩位覆盖层较薄，地面以下主要为2种岩层：上部为力学性质差，承载力较低，分布不稳定的强风化板岩，厚度23.62 m；下部为力学性质较好，承载力高，分布稳定的微风化板岩，厚度2.38 m，在9 m处存在潜在滑动面，地基比例系数m=30 MN/m4。基桩参数为：桩身容重γ=25 kN/m3，弹性模量Ec＝2.79×1010 Pa；作用于桩顶荷载为：轴力P0=1.1022 MN，水平力Q0=150 kN，偏心弯矩M0=150 kN·m，施工及运营过程中在基桩内共埋设11组钢筋应力计和9组土压力传感器，设作用在基桩上的滑坡推力呈抛物线分布，a=1，b＝6，滑坡推力分布函数为：
幂级数解计算结果见图4，与现场观测试验进行比较，比较结果如表1所示。由表1可以看出，桩身弯矩计算值与实测值的变化规律一致，误差基本在15%以内，且基桩设计的控制指标——最大弯矩的相对误差仅为6%，故幂级数解用于工程实际是可行的。
(a) 桩身位移图；(b) 桩身剪力图；(c) 桩身弯矩图；(d) 桩侧土压力图
图4 桩身位移及内力计算结果
Fig.4 Distribution of internal force and displacement of pile
表1 桩身弯矩实测值与计算值比较
Table 1 Comparison between measures values and calculation results of pile shaft’s moment
4 结 论
a. 高陡边坡桥梁基桩受力相当复杂，在桩顶可将荷载分解为水平荷载与竖向荷载的组合，而若边坡存在滑动面，则考虑桩前下滑推力的作用。
b. 桩前岩(土)体的抗力分布与滑动面以上滑体的稳定状态紧密相关，在滑体稳定时，可采用地基系数计算作用于桩身的弹性抗力及其分布，其中滑面以上符合线性分布，滑面以下满足(mz+C)的线性增长规律。
c. 采用幂级数解可较合理地计算陡坡桥梁基桩内力及位移，亦可用于坡体上房建基桩的计算，而平地上基桩可作为其特例。现场观测数据证明了该方法的可行性。
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收稿日期：2006-12-16
基金项目：国家自然科学基金资助项目(50578060)；湖南省自然科学基金资助项目(E60D050)
作者简介：杨明辉(1978-)，男，湖南邵阳人，博士，讲师，从事桩基础及软土地基处理研究
通讯作者：杨明辉，男，博士，讲师；电话：0731-8821659; E-mail:yamih@126.com
