DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.019
基于一类新窗的滑动DTFT相位差测量算法及分析
沈廷鳌，涂亚庆，李明，张海涛
(后勤工程学院 信息工程系，重庆，401311)
摘要：为更好地抑制频谱泄露的影响，增强算法的动态性能，提高相位差测量精度，在传统DTFT算法的基础上，施加通过若干矩形窗进行卷积运算构造出的一类新窗，计及负频率成分的影响，利用滑动递推的思想，提出一种基于一类新窗的滑动DTFT相位差测量算法，并阐述算法原理、公式推导过程及算法实现步骤。研究结果表明：该算法计算量较小，实现简单，应用于相位差测量可有效减小频谱泄露引起的测量误差，能够获得比传统DTFT算法更高的相位差测量精度。实验分析与应用验证结果均证实了该算法的有效性和可行性。
关键词：相位差；DTFT；余弦窗；频谱泄露；负频率
中图分类号：TN911 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)04-1302-08
New sliding DTFT algorithm for phase difference measurement based on a new kind of windows and its analysis
SHEN Tingao, TU Yaqing, LI Ming, ZHANG Haitao
(Department of Information Engineering, Logistical Engineering University, Chongqing 401311, China)
Abstract: In order to obtain a stronger inhibition of spectral leakage, a better dynamic characteristic and a higher accuracy of phase difference measurement, a new sliding DTFT algorithm for phase difference measurement based on a new kind of windows was presented, which was based on the traditional discrete time Fourier transform (DTFT) algorithm, and a new kind of windows was adopted by conventional cosine window combined with negative frequency contribution and the idea of sliding recursive. Its principle, the process of formula derivation and achievement method were also detailed. The results show that the algorithm has less computer work and is easy to be realized. When the algorithm is applied to phase difference measurement, the measuring error caused by spectral leakage can be reduced, and the new method obtains a higher precision than conventional method of cosine window DTFT does. Simulations and engineering applications verify the feasibility and effectiveness of the proposed method.
Key words: phase difference; discrete time Fourier transform; cosine window; spectral leakage; negative frequency
振动信号的相位差测量在信号分析、工业测量、故障诊断、电力系统等领域均有广泛应用，例如，在高精度的雷达精密定位上，依赖于对同频信号相位差的高精度测量[1]；电网电能计量中功率因素的确定涉及相应电压与电流间相位差的准确测量[2]；在高精度流量测量领域得到广泛应用的科氏流量计，相位差的测量精度直接影响流体质量测量精度[3]。因此，实现对相位差的高精度测量显得尤其重要。目前，相位差的测量方法较多，其中数字相关法[4-5]和频谱分析法[6-7]是应用和研究较多的2种方法。数字相关法具有较强的噪声抑制能力，但难以消除谐波干扰，且算法要求对周期信号实行严格地整周期采样。频谱分析法是利用傅里叶变换将时域信号变换到频域再进行处理，算法要求同步采样。在非同步采样的条件下，为提高测量精度，通常采用加窗或插值办法减小频谱泄露的影响。然而，当信号频率很低或者接近奈奎斯特频率(即采样频率的一半)时，上述方法的测量精度均不太理想，且此类信号在仪器仪表、振动工程、状态检测与故障诊断等领域均大量存在，例如，当待测信号频率较低、采样频率远高于待测频率时，待测频率在频谱中就处于相对低频的位置[8]；在故障诊断领域，受硬件条件及成本等因素的影响，当现有采样装置的采样频率限定为1 024 Hz时，旋转机械转子系统松动故障产生的10倍频间谐分量为500 Hz，信号频率就接近奈奎斯特频率[9-10]。对此类信号进行分析，除了频谱泄露和栅栏效应外，负频率成分的干涉也是影响其精度的重要原因。如何减小频谱泄露和负频率成分的影响，已引起很多学者的关注，但在测量精度和计算复杂度等方面均有待进一步完善。为更好地抑制频谱泄露的影响，文献[11]提出了组合双窗的概念，并结合DFT算法进行相位差测量，获得了比传统加窗DFT更高的计算精度。受其启发，本文作者在传统DTFT算法的基础上，施加由若干矩形窗进行卷积运算构造出一类新窗(本文着重阐述2阶卷积窗和4阶卷积窗的构造过程及特点)，计及负频率成分的影响，并利用滑动递推的思想，提出一种基于一类新窗的滑动DTFT相位差测量算法，以增强算法的动态性能，提高算法的相位差测量精度。给出算法原理、公式的推导过程及算法实现步骤，并与传统DTFT算法进行比较分析。
1 算法原理及实现
1.1 新窗的构造及特点
文献[13]提出2个矩形窗通过卷积运算可构造得到一种新窗，称为矩形双窗。该窗具有更快的旁瓣衰减速率，能更好地抑制频谱泄露的影响。其构造过程如下。
长度为M的矩形窗时域和频域表达式分别为：
(1)
(2)
通过将2个长度为M的矩形窗进行卷积运算，得到1个长度为2M-1的新序列，在新序列的首部或尾部加上1个0，即可得到长度为2M的矩形双窗。本文在首部加0，并令N=2M，可得矩形双窗的时域和频域表达式分别为：
(3)
(4)
采用类似方法，由若干矩形窗进行卷积运算，并适当地加0，可得到一类新窗，定义为矩形自卷积窗(简称为卷积窗)，并把进行卷积的矩形窗的个数定义为阶数。为此，将4个长度为M的矩形窗进行卷积运算，得到长度为4M-3的新序列
，在新序列的前面加上2个0，后面加上1个0，即可得到长度为4M的4阶卷积窗。令N=4M，其时域和频域表达式分别为
(5)
(6)
由上述构造方法可以得出：将m个相同长度的矩形窗进行m-1次卷积运算，再在卷积序列的前面加m/2个(m为偶数时)或(m-1)/2个(m为奇数时) 0，在序列后面加(m-2)/2个(m为偶数时)或(m-1)/2个(m为奇数时) 0，即可得到m阶卷积窗。在频域，其DTFT表达式为
(7)
考察式(7)不难发现：m阶卷积窗的主瓣宽度为
，阶数越高，主瓣越宽。为了避免降低频谱分辨率，卷积窗的阶数一般不超过4。另外，卷积窗在
处的频谱幅值为0，且在这些零点处的1~m-1阶导数均为0，即卷积窗频谱在零值点附近取值非常平坦。卷积窗具有良好的谱泄漏抑制效果，本文选择2阶卷积窗和4阶卷积窗进行下一步研究。
1.2 加窗的DTFT算法
1.2.1 DTFT相位差测量原理
设两路同频率的实正弦信号为
(8)
式中：n=0，1，…，N-1；A1和A2为信号的幅度；θ1和θ2为信号的初相。设
为
的估计值，则信号
在处的DTFT为
(9)
忽略负频率成分的影响，只计算正频率部分，则
(10)
用φ1和φ2分别表示
和
的相位，用
表示两路信号的相位差，则可得
(11)
式(11)即为传统DTFT法测量相位差的基本原理。从式(11)可以看出：传统DTFT法测量相位差时忽略了负频率成分的影响，当负频率成分影响较小时，采用传统DTFT法能较准确地计算出相位差；当信号频率很低或接近奈奎斯特频率时，负频率成分影响显著增大，导致传统DTFT法的测量精度明显下降甚至无法测量。为此，本文在传统DTFT法的基础上，提出一种计及负频率成分影响的相位差测量算法，分别推导加2阶卷积窗和4阶卷积窗所对应的相位差测量公式。
1.2.2 加2阶卷积窗的测量算法
对于式(8)中的两路同频正弦信号，用长度为N的2阶卷积窗对信号进行加权截断，得到加窗信号在处的DTFT为
(12)
需要说明的是，根据频域卷积定理，时域相乘对应于频域卷积，因此，也可理解为
假设
，对式(12)进行推导可得
(13)
进而求得
(14)
式中：
为
的相位；
。
由
，可计算得到两路信号的相位差为
(15)
在一般情况下，当信噪比不是特别低时，采用自适应陷波器或离散频谱校正的方法所求得信号的频率值与真实值很接近，可近似认为
，
，代入式(15)可得
(16)
式中：
式(16)即为基于2阶卷积窗的DTFT相位差计算公式。当
时，可推导得到与式(16)完全相同的相位差计算公式。因此，在实际计算过程中，无需事先判断是否等于。此外，算法的推导过程中考虑了负频率成分的影响，故通过式(14)还能准确求出两路信号的初始相位。
1.2.3 加4阶卷积窗的测量算法
式(5)和式(6)分别给出了4阶卷积窗的时域和频域表达式，参照加2阶卷积窗的DTFT相位差计算公式的推导过程，可得到2路信号的相位差为
(17)
式中：
。
1.3 滑动DTFT递推算法
对于观测信号x(n)，设m时刻开始采样得到N个采样数据x(m)，x(m+1)，…，x(m+N-1)。N点滑动时间差见图1。这N个数据可理解为采用宽度为N的矩形窗对信号进行截取所得到的，则该有限长序列的DTFT为
(18)
在m+1时，得到新采样点x(m+N)，剔除x(m)，则由N个采样数据x(m+1)，x(m+2)，…，x(m+N-1)和x(m+N)组成的新的采样序列在
处的DTFT为
(19)
N点滑动时间窗如图1所示。比较式(18)和式(19)可以看出：若
指定为信号在第m号矩形窗内最后1个采样点处的频率，则信号在第m+1号矩形窗内用
来计算
是不准确的，因为2个相邻窗有N-1个采样点相同。由于矩形窗的宽度很短，相邻2点和的变化很小，于是，对式(19)进行修正为
(20)
式(20)即为滑动DTFT的递推公式。
图1 N点滑动时间窗
Fig. 1 Sliding time window for N points
对于传统DTFT法，每计算1点新的DTFT，均需要进行N点常规的DTFT运算，共需要N次复数乘法和N-1次复数加法，从图1可以看出：传统DTFT法还存在N-1点的冗余计算。递推算法由于利用相邻2个矩形窗存在的递推关系，每采入1点新的数据后，只需进行2次复数加法和2次复数乘法，整个算法只需在第1个窗内进行常规的DTFT运算，消除了冗余计算，且不存在不断叠加溢出的问题，大大降低了计算量，并能反映实际信号频率变化的特性，增强了算法的动态性能。
1.4 算法实现步骤
本文所提的基于一类新窗的滑动DTFT相位差测量算法的实现步骤如下。
1) 求出的估计值。
2) 在第1个矩形窗内的采样序列进行常规DTFT运算。
3) 在频域加2阶卷积窗或4阶卷积窗进行卷积运算，分别求出
和
。
4) 由和N求出m1~m4，并同和一起代入式(16)或(17)，即可求得相位差。
5) 利用滑动DTFT递推公式(20)，求出2路信号在任意指定频率
处的DTFT。
6) 重复步骤3)和4)，从而可求得2路信号在任意时刻的相位差。
需要指出的是：基于一类新窗的滑动DTFT相位差计算公式的推导过程中，由于未进行任何近似和省略，因此，在无噪声背景下，当准确已知时，通过式(16)或(17)求得的相位差在理论上误差为0；当未知时，的估计值越准确，则相位差的计算精度越高。
2 实验分析与应用验证
为验证本文所提算法的有效性，首先采用单一频率实正弦信号，分别在有无噪声、采样点数变化和频率波动的情况下，对本文算法(加2阶卷积窗和加4阶卷积窗)与DTFT法进行比较分析，然后利用本课题组研制的科氏流量计实验平台进行应用验证。在实验分析中，采样点数取1 024点，采样频率为1 000 Hz，频率分辨率为0.976 6 Hz，2路信号的相位差为1.8°。
2.1 噪声影响
图2所示为无噪声背景下频率很低或接近Nyquist频率时，传统DTFT法和本文算法(加2阶卷积窗和加4阶卷积窗)在不同频率处相位差的相对误差。信号频率取值范围分别为1.0~10.0 Hz和490.0~499.0 Hz，变化步长均为0.1 Hz。从图2可以看出：当频率很低或接近Nyquist频率时，传统DTFT法的测量误差均较大，而本文算法均具有很高的测量精度。其原因为：在频率很低或接近Nyquist频率时，旁瓣干涉较大，本文算法施加了一类新窗并计及负频率成分的影响，有效地抑制了频谱泄露的影响，所以能获得较高的测量精度。随着信号频率远离低频或者Nyquist频率时，信号频率从2.0 Hz开始逐渐增大或从498.0 Hz开始逐渐减小，加4阶卷积窗的测量精度明显高于加2阶卷积窗的测量精度。其原因为：4阶卷积窗的主瓣比2阶卷积窗的主瓣宽，过于靠近两端的频率时，4阶卷积窗比2阶卷积窗更容易产生主瓣干涉，进而影响算法测量精度；随着信号频率远离低频或者Nyquist频率，主瓣干涉的影响将减小，4阶卷积窗将体现出比2阶卷积窗更好的谱泄漏抑制效果。图形均呈现震荡趋势，是因为当信号频率靠近频率分辨率的整数倍时，负频率成分的影响较小。
图2 无噪声背景下的相位差测量相对误差
Fig. 2 Measured relative errors of phase difference under noiseless condition
为更直观地比较算法的测量精度，在加噪声的情况下，选择较短的、在信号频率很低或接近Nyquist频率的信号频率取值范围内对算法进行实验比较分析，频率取值分别为0.5~2.0 Hz和498.0~499.5 Hz，变化步长均为0.05 Hz。图3所示为当信噪比SNR=25 dB，频率很低或接近Nyquist频率时，分别采用DTFT法和本文算法(加2阶卷积窗和加4阶卷积窗)，经200次独立实验得到的相位差估计均方误差随频率变化的曲线。从图3可以看出：当频率为0.5~2.0 Hz时，DTFT法的测量精度随着频率的增大有逐渐提高的趋势，其中在靠近0.5，1.0，1.5和2.0 Hz附近精度较高，接近本文算法计算精度，本文算法始终保持着较高的测量精度；当频率为498.0~499.5 Hz时，DTFT法的测量精度随着频率的增大有逐渐减小的趋势，其中在靠近498.0，498.5，499.0和499.5 Hz附近精度较高，接近本文算法计算精度，而本文算法始终保持着较高的测量精度。其原因为：在频率很低(靠近0.5 Hz)或接近Nyquist频率(靠近499.5 Hz)时，负频率成分会产生旁瓣干涉，进而影响传统DTFT法的相位差测量精度；在频率远离这两端尤其当信号频率靠近频率分辨率的整数倍时，负频率成分的影响较小，传统DTFT法接近本文算法测量精度。而本文算法考虑了负频率成分的影响，并施加了一类新窗，有效地抑制了频谱泄露的影响，所以能始终保持着较高的测量精度；此外，随着信号频率远离低频或者Nyquist频率时，加4阶卷积窗信号比加2阶卷积窗的测量效果更好，这也证明了理论分析的正确性。
图3 噪声背景下的相位差估计均方误差
Fig. 3 Estimated mean square errors of phase difference when SNR=25 dB
2.2 采样点数变化影响
为考察采样点数变化对相位差测量精度的影响，给出在迭加白噪声的情况下，取信号频率为2.5 Hz，采样点数在100~1000范围内变化时相位差均方误差的变化曲线，如图4所示。从图4可以看出：当信号频率靠近频率分辨率的一半的整数倍时，负频率成分的影响较小，DTFT法精度接近本文算法精度；随着采样点数的增加，DTFT法的测量精度明显提高，而本文算法的测量精度提高较小；本文算法始终保持着较高的测量精度，说明本文算法在较少采样点数的情况下也可获得较高的测量精度。此外，当采样点数增加到满足一定采样点数时，再增加采样点数也不会明显提高相位差的测量精度。
图4 采样点数变化下的相位差估计均方误差
Fig. 4 Estimated mean square errors of phase difference under different sample points
2.3 频率波动影响
为考察频率波动对相位差测量精度的影响，模拟科氏流量计相位差测量实验进行比较分析。首先产生2路加高斯白噪声的正弦时变信号，采用自适应格型陷波器进行滤波以求其频率，然后对滤波后的信号分别采用DTFT法和本文算法测量相位差。由于本文算法中采用2阶卷积窗和4阶卷积窗的精度相当(4阶卷积窗的效果略好于2阶卷积窗)，在图形中2条曲线基本重合，本文在此仅选择4阶卷积窗进行对比实验。设信号频率为146 Hz(采样频率远高于信号频率，可视为频率很低的情况)，采样频率为10 kHz，采样点数为20 000，信噪比为25 dB，相位差呈线性变化。由于陷波器存在一个收敛过程，为去除收敛过程带来的影响，选取从3 000点以后开始进行相位差的计算，图5所示为2种算法的相位差估计曲线。从图5可以看出：本文算法在噪声条件下，能实时跟踪相位差的线性变化，能始终保持着较高的测量精度，而DTFT法随着采样点数的不断增加，测量误差越来越大。其原因是：传统DTFT法需要取较长的数据点数才能保证算法的测量精度，从而影响该算法的实时性；随着采样点数的不断增加，测量精度下降；而本文算法计及负频率成分的影响，采用较短的数据点数就可获得较高的测量精度，并采用滑动递推的思想，减小了计算量，消除了冗余计算，增强了算法的实时和动态性能；采用4阶卷积窗有效地抑制了频谱泄露的影响，所以，对动态信号能始终保持较高的测量精度。
2.4 应用验证
为进一步考察本文所提算法的实际效果，利用图6所示的科氏流量计实验平台进行实验验证。在实际应用中，因流体特性和流量状态不同，科氏流量计信号频率呈现出时变特性，采用自适应格型陷波器进行实时跟踪估计，然后分别采用DTFT法和本文算法(加4阶卷积窗)测量相位差，进而计算时间差。流量计振动信号的频率约为146 Hz，采样频率为10 kHz。由于现有技术条件的限制，无法得到每点的实际相位差和时间差，可根据流量计的性能曲线，将实际流量换算成相应的时间差，以此作为时间差的理论参考值来估计相对误差。表1所示为不同流量下应用DTFT法和本文算法计算得到的时间差均值及相对误差。从表1可见：本文算法(加4阶卷积窗)的计算结果更接近理论参考值，精度更高，这也证实了本文算法在实际应用中是实用、有效的。
图5 2种算法的相位差估计曲线
Fig. 5 Comparison curves of phase difference estimated by two methods
图6 科氏流量计实验平台示意图
Fig. 6 Experimental platform of coriolis mass flowmeter
表1 不同流量下的时间差均值及相对误差
Table 1 Estimated time delays and relative errors under different flow rates
3 结论
1) 采用由卷积运算构造出的一类新窗、计及负频率成分的影响以及采用滑动递推的思想，提出一种基于一类新窗的滑动DTFT相位差测量算法。
2) 本文所提算法能更好地抑制频谱泄露的影响，在有无噪声、采样点数变化和频率波动的情况下，均能始终保持较高的测量精度；应用于实际的科氏流量计相位差测量，同样能始终保持较高地测量精度，可适用于高精度的相位差测量应用场合。
3) 采用的一类新窗能够有效地抑制频谱泄露；采用滑动递推的思想，减小了算法的计算量，增强了算法的实时和动态性能。与传统DTFT法相比，该算法性能有很大提高，能实现相位差的高精度测量，可应用于工程实际。
参考文献：
[1] 吴静, 赵伟. 适用于非同步采样的相位差准确测量方法[J]. 电网技术, 2006, 30(7): 73-76.
WU Jing, ZHAO Wei. A new accurate measuring method of phase difference suitable for asynchronous sampling[J]. Power System Technology, 2006, 30(7): 73-76.
[2] 郑胜峰, 陈素明, 狄金海, 等. 一种基于多重互相关的相位差测量方法[J]. 宇航计测技术, 2012, 32(1): 34-40.
ZHENG Shengfeng, CHEN Suming, DI Jinhai, et al. Phase difference measurement of sinusoidal signal based on multi-layer cross-correlation[J]. Journal of Astronautic Metrology and Measurement, 2012, 32(1): 34-40.
[3] 张海涛, 涂亚庆. 基于DTFT的一种低频振动信号相位差测量新方法[J]. 振动工程学报, 2007, 20(2): 180-184.
ZHANG Haitao, TU Yaqing. A new phase difference measurement method for low-frequency vibration signals based on DTFT[J]. Journal of Vibration Engineering, 2007, 20(2): 180-184.
[4] 刘灿涛, 赵伟, 袁俊. 基于数字相关原理的相位差测量新方法[J]. 计量学报, 2002, 23(3): 219-223.
LIU Cantao, ZHAO Wei, YUAN Jun. A new method for phase difference measurement based on digital correlation theory[J]. Acta Metrologica Sinica, 2002, 23(3): 219-223.
[5] 肖树妹, 梅海平, 钱仙妹, 等. 大气湍流随机相位差的相关解调算法研究[J]. 光学学报, 2011, 31(2): 11-15.
XIAO Shumei, MEI Haiping, QIAN Xianmei, et al. Atmospheric turbulence random phase difference with the demodulating algorithm of correlation[J]. Acta Optica Sinica, 2011, 31(2): 11-15.
[6] 李叶, 徐科军, 朱志海, 等. 面向时变的科里奥利质量流量计信号的处理方法研究与实现[J]. 仪器仪表学报, 2010, 31(1): 8-14.
LI Ye, XU Kejun, ZHU Zhihai, et al. Study and implementation of processing method for time-varying signal of coriolis mass flowmeter[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2010, 31(1): 8-14.
[7] 沈廷鳌, 涂亚庆, 张海涛, 等. 科氏流量计的时变信号处理方法[J]. 重庆大学学报, 2013, 36(4): 93-98, 109.
SHEN Tingao, TU Yaqing, ZHANG Haitao. A time-varying signal processing method for Coriolis mass flowmeter[J]. Journal of Chongqing University, 2013, 36(4): 93-98, 109.
[8] 毛育文, 涂亚庆, 张海涛, 等. 极低频信号的一种离散频谱校正新方法[J]. 振动工程学报, 2012, 25(4): 474-480.
MAO Yuwen, TU Yaqing, ZHANG Haitao, et al. A discrete spectrum correction method for ultra low frequency signals[J]. Journal of Vibration Engineering, 2012, 25(4): 474-480.
[9] 张平, 张小栋. 证据熵在旋转机械故障诊断中的应用[J]. 振动、测试与诊断, 2010, 30(1): 55-58.
ZHANG Ping, ZHANG Xiaodong. Application of proof entropy in fault diagnosis of rotating machinery[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010, 30(1): 55-58.
[10] 向玲, 杨世锡, 唐贵基. 次同步谐振下机组轴系弯扭振动信号分析[J]. 振动、测试与诊断, 2011, 31(2): 233-236, 269.
XIANG Ling, YANG Shixi, TANG Guiji. Crankle vibration analysis for engines radices frequency synchronous syntony[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(2): 233-236, 269.
[11] 易立强, 邝继顺, 欧阳雄. 基于一类新窗的高精度相位差测量方法[J]. 系统仿真学报, 2007, 19(23): 5543-5545.
YI Liqiang, KUANG Jishun, OU Yangxiong. New accurate measurement method of phase difference based on double-windows[J]. Journal of System Simulation, 2007, 19(23): 5543-5545.
(编辑 陈灿华)
收稿日期：2014-05-12；修回日期：2014-06-22
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61271449, 61302175)；重庆市自然科学基金和重庆市研究生创新基金资助项目(CSTC2013jcyjA40030，CYB14100)(Projects (61271449, 61302175) supported by the National Natural Science Foundation of China; Projects (CSTC2013jcyjA40030, CYB14100) supported by the Natural Science Foundation and Postgraduate Research Innovation of Chongqing City)
通信作者：涂亚庆，教授，从事智能检测与智能仪表研究；E-mail：yqtcq@sina.com
