煤和矸石颗粒冲击破碎概率差异的分形行为

刘瑜¹，周甲伟¹，杜长龙²

(1. 河南理工大学 机械与动力工程学院，河南 焦作，454000；

2. 中国矿业大学 机电工程学院，江苏 徐州，221116)

摘要：为揭示煤和矸石颗粒冲击破碎概率差异的内在机理，以冲击破碎概率分形模型为基础，对3个矿区的矸石颗粒进行冲击破碎实验，并与相同矿区内煤颗粒的冲击破碎实验结果进行比较。研究结果表明：粒度在50~100 mm内的矸石颗粒冲击破碎概率与冲击速度在对数坐标中呈线性关系，符合其分形模型；对同一矿区，由于煤和矸石颗粒的来源和物理机械性质不同，矸石颗粒的分形维数和破碎常数均小于煤颗粒的分形维数和破碎常数；在相同冲击速度下，矸石颗粒的冲击破碎概率小于煤颗粒的冲击破碎概率，并且存在最优冲击速度使二者的冲击破碎概率差值最大。

关键词：煤和矸石分离；冲击破碎概率差异；分形维数；破碎常数；冲击速度

中图分类号：TD451             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)09-2935-06

Impact crushing probability difference between coal and gangue particles based on fractal theory

LIU Yu¹, ZHOU Jiawei¹, DU Changlong²

(1. School of Mechanical and Power Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China;

2. School of Mechanical and Electrical Engineering, China University of Mining and Technology,

Xuzhou 221116, China)

Abstract: In order to reveal the intrinsic mechanism of the impact crushing probability difference between coal and gangue particles, the impact crushing experiments for gangue particles in three mines were carried out to make a comparison with the impact crushing data for coal particles in the same mine. The results show that the impact crushing probability of gangue particles whose granularity is between 50 mm and 100 mm has linear relation to the impact velocity on the logarithmic coordinate, which indicates that the fractal model of impact crushing probability is suitable for gangue particles. For coal and gangue particles in the same mine, the fractal dimension and crushing constant of gangue particles are both smaller than those of coal particles due to the differences of the source and mechanical properties. With the same impact velocity, the impact crushing probability of gangue particles is less than that of coal particles, and there is an optimum impact velocity which makes the impact crushing probability difference between coal and gangue particles have a maximum value.

Key words: separation for coal and gangue; impact crushing probability difference; fractal dimension; crushing constant; impact velocity

在井下对煤和矸石颗粒进行分离不但可以减少矸石地面排放，减轻矸石山对矿区环境的污染，降低煤矿的提运成本，而且可以为矸石充填提供原料，减轻开采沉陷灾害，是煤矿绿色开采的关键技术^[1-2]。冲击破碎分选是根据煤和矸石颗粒的物理机械特性差异，利用冲击破碎后二者的破碎情况不同实现分离的新方法。目前，对该方法的研究多以试验数据的统计分析为主。周甲伟^[3]通过冲击破碎试验研究，确定了煤和矸石颗粒破碎概率的影响因素为颗粒粒度和冲击速度，并得到破碎概率在试验冲击速度范围内(4.5~8 m/s)随冲击速度增加呈近似线性增加的结论。李建平等^[4-5]采用正交试验的方法，对丢煤率和混矸率的影响因素进行了分析，并指出当煤颗粒的普氏硬度系数小于2时，该方法具有较好的分离效果。煤和矸石颗粒均为脆性材料，内部存在不同尺度的微裂隙，其破碎是微裂隙生长、聚集和贯穿的结果，具有较强的随机性，需要采用概率统计的方法进行研究。分形理论自创立以来，被广泛应用于脆性材料的断裂破碎行为研究^[6-9]。谢和平等^[10-13]将其用于岩石微裂隙的研究，在岩石材料的分形损伤、分形断裂以及岩土介质的分形孔隙和分形粒子等领域得到了应用。赵明华等^[14]通过分形几何理论描述红层软岩崩解破碎的动态过程，并将分形维数作为该过程完成程度的衡量标准，进而得到岩石崩解破碎过程是分形生成的过程。吴爱祥等^[15]研究发现浸出过程中矿石表面微孔裂隙结构具有分形特征，分形维数、信息维数分别表征微孔裂隙结构的不均匀性或分布面积。Babadagli等^[16]对7种岩石试样在拉应力作用下表面裂纹扩展的分形特征进行测试，得到分形维数与颗粒粒度和孔隙率的关系。刘瑜等^[17]以分形统计强度理论、Hertz 接触假设以及碰撞动力学理论为基础，建立了煤颗粒的冲击破碎概率分形模型，并通过实验验证了该模型对不同矿区煤颗粒冲击破碎概率的适用性。本文将以文献[17]建立的冲击破碎概率分形模型为基础，对不同矿区的矸石颗粒进行冲击破碎实验，并通过整体破碎概率的统计分析确定理论模型对矸石颗粒的适用条件，进而对同一矿区内煤和矸石颗粒的分形维数和冲击破碎概率进行比较，寻求二者的差异，以期得到对生产实际有益的结论。

1  冲击破碎概率的分形模型

假设煤和矸石颗粒是半径为R的球体，并且在冲击破碎前始终处于弹性阶段。根据Hertz接触理论和碰撞动力学理论，可得到球形颗粒弹性碰撞的最大接触压应力p₀和颗粒内部裂纹发生扩展的临界裂纹长度l_c为^[18]

          (1)

              (2)

式中：E为等效弹性模量， ，E_j和(j=1, 2)分别为材料的弹性模量和泊松比，j=1表示颗粒，j=2表示冲击板；为颗粒的密度；为颗粒与冲击板碰撞时的相对速度；K_iC为i型(i=Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ)裂纹的断裂韧度，由试验测量得到；F_i为载荷状态系数，取决于接触半径、裂纹长度和裂纹位置。

若颗粒内部的裂纹分布具有分形特征，则根据最弱环理论，最大接触压应力为p₀时含有N条裂纹的颗粒破碎概率为^[19]

         (3)

式中：l_c为颗粒内部裂纹发生扩展的临界裂纹长度；l₀为裂纹核的尺寸，是裂纹特征尺度的下确界，即测量裂纹尺度的最小尺码；D为分形维数，表示裂纹的不规则程度，D越大，裂纹越不规则。

将式(1)和(2)代入式(3),可得颗粒的冲击破碎概率P_r为

  (4)

在工业应用中，需要对大量颗粒的整体破碎概率进行分析。用裂纹参数和材料参数的均值代替式(4)中的各参数，则式(4)可表示为

         (5)

式中：k为破碎常数，由颗粒的材料参数和裂纹参数均值确定。

对式(5)两边取对数，得到对数坐标下的冲击破碎概率分形模型为^[17]

  (6)

2  矸石颗粒冲击破碎概率的统计分析

在冲击破碎实验台上对不同矿区的矸石颗粒进行冲击破碎实验，并对其破碎情况进行统计分析。若冲击后最大碎块粒度与冲击前颗粒粒度之比大于0.8，表示裂纹引起的破碎尚未发生，碎块多为边角崩落导致，认为颗粒没有破碎；若该比值小于0.8，表示由裂纹引起的破碎已发生，则认为颗粒被破碎。颗粒的整体冲击破碎概率 P_r用下式计算：

              (7)

式中：n为统计范围内的试验煤或矸石颗粒数量；n₀为统计范围内发生破碎的煤或矸石颗粒数量。

2.1  新汶协庄矿矸石颗粒的冲击破碎概率分析

在50~60，60~70，70~80，80~90和90~100 mm这5个粒度范围内，分别按照冲击速度为0.5 m/s的区间间隔计算矸石颗粒的冲击破碎概率，得到新汶协庄矿矸石颗粒的冲击破碎概率与冲击速度在对数坐标中的关系，如图1(a)~(e)所示。

图1  协庄矿矸石颗粒的冲击破碎概率与冲击速度的关系

Fig. 1  Relationship between impact crushing probability and impact velocity of gangue particles in Xiezhuang mine

由图1(a)~(e)可见：新汶协庄矿矸石颗粒的冲击破碎概率在多数粒度水平上与冲击速度的相关性偏小，似乎不完全符合冲击破碎概率分形模型。这主要是由于在实验的冲击速度范围内矸石颗粒的冲击破碎概率较小，且实验的矸石颗粒数量有限，其统计结果未能很好体现了冲击破碎概率与冲击速度的关系。但粒度水平内实验颗粒数量越多，与分形分布的相关性越大，即在颗粒数量足够多的情况下，矸石颗粒的冲击破碎概率有可能符合分形模型。

图1(f)表示将粒度在50~100 mm内的所有实验矸石颗粒按照冲击速度为2 m/s的区间间隔计算得到的冲击破碎概率与冲击速度在对数坐标中的关系。图中拟合曲线的相关系数为R²=0.982，这表明对全部实验颗粒而言，新汶协庄矿矸石颗粒冲击破碎概率与冲击速度的关系可以用分形模型正确描述。

根据对图1(a)~(e)和图1(f)的比较和分析可知，当矸石颗粒破碎较少时，统计结果不能充分体现其冲击破碎概率的分布情况，但在大量试验的基础上，冲击破碎概率分形模型可以正确描述矸石颗粒的冲击破碎情况。因此，下面对其他矿区矸石颗粒的冲击破碎概率分析只针对全部实验矸石颗粒进行。

2.2  其它矿区矸石颗粒的冲击破碎概率分析

将粒度在50~100 mm内的所有实验矸石颗粒按照冲击速度为2 m/s的区间间隔分析计算，得到巩义大峪沟矿和徐州夹河矿矸石颗粒冲击破碎概率与冲击速度在对数坐标中的关系分别如图2(a)和(b)所示。图2中拟合曲线的相关系数分别为R²=0.988和R²=0.967，表明这2个矿区矸石颗粒的冲击破碎概率与冲击速度在对数坐标中近似为直线关系，符合冲击破碎概率分形模型。

通过对3个矿区矸石颗粒的冲击破碎实验分析可知，在大量实验的基础上，不同矿区矸石颗粒的冲击破碎情况均符合冲击破碎概率分形模型，即在对数坐标下冲击破碎概率与冲击速度呈斜率为4D/5的线性关系。依据文献[17]中的结论，不同矿区煤颗粒的冲击破碎情况同样符合冲击破碎概率模型，因此，该模型可以用来分析冲击破碎分选时煤和矸石颗粒的冲击破碎概率差异，为冲击破碎分选方法提供理论依据。

3  煤和矸石颗粒的冲击破碎概率差异分析

根据实验分析，新汶协庄矿、巩义大峪沟矿和徐州夹河矿煤和矸石颗粒的破碎常数和分形维数如表1所示，其中煤颗粒的数据取自文献[17]。

图2  其他矿区矸石颗粒冲击破碎概率与冲击速度的关系

Fig. 2  Relationship between impact crushing probability and impact velocity of gangue particles in other mines

表1  3个矿区煤和矸石颗粒的破碎常数和分形维数

Table 1  Crushing constant and fractal dimension of coal and gangue particles in three mines

由表1可知：对同一矿区而言，矸石颗粒的分形维数和破碎常数均小于煤颗粒的分形维数和破碎常数，即矸石的裂纹分散程度小于煤颗粒的裂纹分散程度。这种现象与煤和矸石颗粒的来源以及二者物理机械性质的有关。矸石主要来自于开采时的顶底板岩石或者煤层中的夹矸。顶底板岩石受开采设备的影响较小，其内部裂纹主要在岩石沉积和演化过程中形成；煤层中的夹矸和煤一起受到外界开采的作用，但是，矸石硬度一般都高于煤的硬度，即受到相同载荷作用时矸石内部的裂纹损伤要小于煤的裂纹损伤。因此，在同一矿区内，矸石颗粒的分形维数小于煤颗粒的分形维数，相同冲击速度下矸石颗粒的冲击破碎概率小于煤颗粒的冲击破碎概率，为煤和矸石颗粒通过冲击破碎进行分选提供了有利条件。

将新汶协庄矿煤和矸石颗粒的破碎常数和分形维数分别代入式(5)，得到该矿区煤和矸石颗粒冲击破碎概率随冲击速度的变化关系如图3所示。从图3可见：煤和矸石颗粒冲击破碎概率的梯度随冲击速度的增加都存在先增大后减小的趋势，同一矿区内煤和矸石颗粒在相同冲击速度下的冲击破碎概率存在差异；随着冲击速度变化，二者的冲击破碎概率差异也发生变化，并且存在1个最大值，该值所对应的冲击速度即为实现二者分选的最优速度。从图3可知：二者冲击破碎概率差异最大时对应的冲击速度约为 12.5 m/s。

图3  协庄矿煤和矸石颗粒冲击破碎概率随冲击速度的变化曲线

Fig. 3  Relationship between impact crushing probability and impact velocity of coal and gangue particles in Xiezhuang mine

为确定实现煤和矸石颗粒分选的冲击速度，以煤和矸石颗粒冲击破碎概率之差最大为目标函数，在MATLAB软件中选择“fminbnd函数”对其进行优化，得到新汶协庄矿冲击破碎分选的最优速度为12.8 m/s，此时煤颗粒的冲击破碎概率为94.08%，矸石颗粒的冲击破碎概率为35.46%，二者的冲击破碎概率之差为58.62%。

根据表1中的分形维数比较可知：不同矿区煤和矸石颗粒的分形维数差值均存在差异。在生产实际中，需要针对不同矿区设计选择合适的冲击速度以实现煤和矸石颗粒的冲击破碎分选。同样，以煤和矸石颗粒冲击破碎概率差值最大为目标函数，得到其他2个矿区冲击破碎分选的最优速度和冲击破碎概率差值如下：巩义大峪沟矿的最优速度为11.47 m/s，对应的煤和矸石颗粒冲击破碎概率差值为66.39%；徐州夹河矿的最优速度为15.80 m/s，对应的煤和矸石颗粒冲击破碎概率差值为39.49%。由优化结果可知：不同矿区煤和矸石颗粒的最优速度和冲击破碎概率差值均不相同，煤和矸石颗粒的破碎常数和分形维数的差值越大，最优速度对应的冲击破碎概率之差越大，冲击破碎分选的效果也越好。对进行实验的3个矿区而言，巩义大峪沟矿煤和矸石颗粒的冲击破碎分离效果最好。

值得注意的是：表1中的破碎常数和分形维数都是在颗粒粒度范围为50~100 mm时经大量冲击破碎实验测量得到的材料均值。因此，优化得到的最优速度只适用于在该粒度范围内的煤和矸石颗粒，并且在实际分选时应随煤质及矸石岩性的差异进行一定调整。

4  结论

1) 以大量颗粒的整体冲击破碎概率为研究对象，用分形维数和破碎常数将冲击破碎概率和冲击速度相关联，建立冲击破碎概率分形模型。冲击破碎概率分形模型对不同矿区的矸石颗粒均适用，即在对数坐标下冲击破碎概率与冲击速度呈斜率为4D/5的线性关系。

2) 由于煤和矸石颗粒的来源及物理机械性质不同，对同一矿区而言，矸石颗粒的分形维数和破碎常数均小于煤颗粒的分形维数和破碎常数，使得相同冲击速度下矸石颗粒的冲击破碎概率小于煤颗粒的冲击破碎概率，为煤和矸石颗粒通过冲击破碎进行分选提供了有利条件。

3) 改变冲击速度，会使煤和矸石颗粒的冲击破碎概率差异随之变化，并且存在1个最优速度使二者的冲击破碎概率差异最大。不同矿区煤和矸石颗粒的最优速度和冲击破碎概率差异最大值均不相同，煤和矸石颗粒的破碎常数和分形维数的差值越大，最优速度对应的冲击破碎概率差值越大，冲击破碎分选的效果也越好。

参考文献：

[1] 钱鸣高, 缪协兴, 许家林. 资源与环境协调(绿色)开采[J]. 煤炭学报, 2007, 32(1): 1-7.

QIAN Minggao, MIAO Xiexing, XU Jialin. Green mining of coal resources harmonizing with environment[J]. Journal of China Coal Society, 2007, 32(1): 1-7.

[2] 张吉雄, 缪协兴. 煤矿矸石井下处理的研究[J]. 中国矿业大学学报, 2006, 35(2): 197-200.

ZHANG Jixiong, MIAO Xiexing. Underground disposal of waste in coal mine[J]. Journal of China University of Mining and Technology, 2006, 35(2): 197-200.

[3] 周甲伟. 井下弹力式煤矸分选机理的试验研究[D]. 徐州: 中国矿业大学机电工程学院, 2009: 35-58.

ZHOU Jiawei. Experimental study on mechanism for coal and gangue elastic separation underground[D]. Xuzhou: China University of Mining and Technology. School of Mechanical and Electrical Engineering, 2009: 35-58.

[4] 李建平, 杜长龙, 徐龙江. 煤和矸石的冲击式破碎分离试验[J]. 煤炭学报, 2011, 36(4): 687-690.

LI Jianping, DU Changlong, XU Longjiang. Impactive crushing and separation experiment of coal and gangue[J]. Journal of China Coal Society, 2011, 36(4): 687-690.

[5] LI Jianping, DU Changlong, BAO Jianwei. Direct-impact of sieving coal and gangue[J]. Mining Science and Technology, 2010, 20: 611-614.

[6] Perfect E. Fractal models for the fragmentation of rocks and soils: A review[J]. Fngineering Geology, 1997, 48:185-198.

[7] Andrea C, Andrea S. A fractal analysis of size effect on fatigue crack growth[J]. International Journal of Fatigue, 2004, 24: 125-133.

[8] WU Dianliang, HU Yong, FAN Xiumin. Visual simulation for granular rocks crush in virtual environment based on fractal geometry[J]. Simulation Modelling Practice and Theory, 2009, 17: 1254-1266.

[9] Jrn H K. Fracal-geometry techniques in the quantification of complex rock structures: a special view on scaling regimes, inhomogeneity and anisotropy[J]. Journal of Structural Geology, 2013, 46: 2-21.

[10] 谢和平. 分形-岩石力学导论[M]. 北京: 科学出版社, 1996: 112-116.

XIE Heping. Introduction of the fractals-rock mechanics[M]. Beijing: Science Press, 1996: 112-116.

[11] 高峰, 谢和平, 赵鹏. 岩石块度分布的分形性质及细观结构效应[J]. 岩石力学与工程学报, 1994, 13(3): 240-246.

GAO Feng, XIE Heping, ZHAO Peng. Fractal properties of size-frequency distribution of rock fragments and the influence of meso-structure[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1994, 13(3): 240-246.

[12] 王谦源, 李晔. 分形节理岩体强度与变形尺度效应的试验研究[J]. 岩土力学, 2008, 29(5): 1325-1328.

WANG Qianyuan, LI Ye. Experimental study of scale effects in strength and deformation of fractal-joint rock masses[J]. Rock and Soil Mechanics, 2008, 29(5): 1325-1328.

[13] XIE Heping, LIU Jianfeng, JU Yang, et al. Fractal property of spatial distribution of acoustic emissions during the failure process of bedded rock salt[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2011, 48(8): 1344-1351.

[14] 赵明华, 陈炳初, 苏永华. 红层软岩崩解破碎过程的分形分析及数值模拟[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2007, 38(2): 351-356.

ZHAO Minghua, CHEN Bingchu, SU Yonghua. Fractal analysis and numerical modeling disintegrate process of red-bed soft rock[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2007, 38(2): 351-356.

[15] 吴爱祥, 姚高辉, 王贻明. 浸出过程中矿石颗粒表面微孔裂隙演化规律[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2012, 43(4): 1462-1468.

WU Aixiang, YAO Gaohui, WANG Yiming. Evolution rules of micropores and microfracture on surface of ore particles in heap leaching[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2012, 43(4): 1462-1468.

[16] Babadagli T, Develi K. Fractal characteristics of rocks fractured under tension[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2003, 39: 73-88.

[17] 刘瑜, 周甲伟, 杜长龙. 基于分形统计强度理论的煤颗粒冲击破碎概率研究[J]. 固体力学学报, 2012, 33(6): 631-636.

LIU Yu, ZHOU Jiawei, DU Changlong. Impact crushing probability of coal particles based on fracal statistical strength theory[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2012, 33(6): 631-636.

[18] Zukas J A, Nicholas T, Swift H F, et al. 碰撞动力学[M]. 张志云, 丁世用, 魏传忠, 译. 北京: 兵器工业出版社, 1989: 61-84.

Zukas J A, Nicholas T, Swift H F, et al. Impact dynamics[J]. ZHANG Zhiyun, DING Shiyong, WEI Chuanzhong, trans. Beijing: Weapon Industry Press, 1989: 61-84.

[19] 高峰, 谢和平. 脆性材料的分形统计强度理论[J]. 固体力学学报, 1996, 17(3): 239-245.

GAO Feng, XIE Heping. Statistically fractal strength theory for brittle materials[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 1996, 17(3): 239-245.

(编辑  邓履翔)

收稿日期：2013-08-19；修回日期：2013-10-20

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51404096)；江苏省高校科研成果产业化推进项目(JHB2011-31)；河南理工大学博士基金资助项目(B2012-040)

通信作者：刘瑜(1984-)，女，河北吴桥人，博士，讲师，从事井下煤矸分离研究；电话：15203914718；E-mail: hsifsmall@163.com