一种新的小波阈值去噪算法在弱信号检测中的应用
季策1，路学亮1，张志伟2
(1. 东北大学 信息科学与工程学院，辽宁 沈阳，110004；
2. 中国科学院 国家天文台，北京，100012)
摘要：为了改进微弱信号消噪效果，提高去噪质量，结合小波阈值降噪中估计小波系数的软阈值和硬阈值方法的各自特点，提出一种新的算法。在阈值函数中引入参数，通过调整参数以获得较优的小波系数的阈值估计，使得改进阈值介于硬阈值与软阈值之间，克服了硬阈值函数的分段性及软阈值函数的恒定偏差及导数不连续的缺点。仿真结果进一步证明了该算法的有效性。
关键词：小波变换；阈值；去噪；信噪比；均方误差
中图分类号：TP391 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2011)S1-0689-04
New wavelet threshold de-noising method and its application in detection of weak signal
JI Ce1, LU Xue-liang1, ZHANG Zhi-wei2
(1. College of Information Science and Engineering, Northeastern University, Shenyang 110004, China;
2. National Astronomical Observatories, Beijing 100012, China)
Abstract: In order to improve the effect of weak signal de-noising and increase its quality, a new threshold de-noising function based on characteristics of soft-threshold function and hard-threshold algorithm which is used in the estimating wavelet coefficients was proposed. The new algorithm can obtain better threshold which is between the hard threshold and soft threshold by adjusting the parameters. It not only overcomes the segmentation of hard-threshold function effectively, but also solves the constant deviation and discontinuous derivative of soft-threshold function. The simulation results demonstrate the effectiveness of the algorithm.
Key words: wavelet; threshold; de-noising; SNR; RMSE
微弱信号幅值极小，测量时受传感器和测量仪器本身噪声的限制，表现出的总体效果是待检测信号往往被强噪声信号淹没。噪声是影响信号质量的重要因素，正确处理微弱信号和噪声问题可以提高信号传输和处理的质量。微弱信号检测的宗旨是研究如何从强噪声中提取有用信号。近年来，随着对非线性系统研究的不断深入，提出了诸如谐波小波、混沌、随机共振等新理论和方法，为微弱信号检测开创了新的思 路[1]。由于小波分析具有良好的时频局部性，通过小波变换可对信号的不同频率成分进行分解，为信号滤波、信噪分离和强噪声背景下弱信号特征的提取提供了有效途径。不少研究者采用传统的小波阈值消噪方法进行微弱信号检测[2-5]，通常传统的阈值方法在提取微弱信号时特征信息损失较大，不利于恢复原信号。
本文作者结合小波阈值降噪中估计小波系数的软阈值和硬阈值方法[6-8]各自的特点，提出了一种改进的方案。在仿真过程中，将该方法用于叠加了高斯白噪声的微弱信号的降噪处理，采用信噪比和均方误差作为评定降噪结果的标准，结果表明,该方法得到了较好的降噪效果。
1 小波阈值降噪方法的基本原理
小波变换实际上是一滤波过程，小波变换可以根据信号和噪声的不同特性进行非线性滤波，在得到信噪比改善的同时，具有很高的时间(位置)分辨率，而且对信号的形式不敏感，具有传统的滤波方法无法比拟的优势，因此，小波变换方法特别适合于弱信号的检测。
1.1 小波阈值降噪过程
假设一个叠加了加性噪声的有限长信号可表示为：
y=x+n
其中：x为原始信号；y为含噪信号；n为噪声信号。通常n表现为高频信号，而在工程实际中x通常表现为低频信号，或者是一些比较平稳的信号。一般假设噪声n是一个平稳的高斯白噪声，其小波系数的平均功率与尺度成反比。小波变换的基本目的就是从被污染的信号中，最大限度地恢复原始信号x、抑制或消除噪声。一般说来，一维信号的消噪过程可以分为如下3个步骤进行。
(1) 一维信号的小波分解
选择一个正交小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号y进行N层小波分解，得到各尺度小波分解系数Wj,k。
(2) 对小波分解的高频系数进行阈值处理
为保持信号的整体形状不变，保留所有的低频系数，对第1层到第N层的每一层高频系数Wj,k，选择一个阈值t进行阈值函数处理。
(3) 一维小波的重构
根据小波分解的第N层的低频系数和经过阈值处理后的第1层到第N层的高频系数
，进行一维信号的小波重构，得到恢复的原始信号估计值
。
由小波降噪的基本原理可以看出，小波阈值去噪的核心是小波系数的估计，即对高频系数进行阈值处理。阈值的选取与阈值处理直接关系到小波去噪的 效果。
1.2 阈值函数的选取
小波系数的估计，也称阈值处理。不同的小波系数估计模型，对应于不同的小波阈值降噪方法。最常用的阈值函数有软阈值函数(见图1)和硬阈值函数(见图2)[5-6]。
(1) 软阈值处理
(1)
(2) 硬阈值处理
(2)
图1 软阈值函数
Fig.1 Soft-threshold function
图2 硬阈值函数
Fig.2 Hard-threshold function
硬阈值算法和软阈值算法是比较常见的两种收缩规则，但它们具有各自的局限和缺点。硬阈值算法是将绝对值小于阈值的小波系数变成零，而将绝对值大于阈值的小波系数不加任何处理给予保留。硬阈值算法可以很好保留原始信号边缘等局部特征，由于其收缩函数是不连续的，这在数学上是不易处理的，因此，重构所得的信号可能会产生一些振荡。
软阈值算法在处理绝对值大于阈值的小波系数时不是完全保留，而是作收缩处理，即减小这些系数。采用软阈值方法估计小波系数，虽然整体连续性好，但是当小波系数较大时，分解系数之间总存在恒定的偏差，这将直接影响重构信号与真实信号的逼近程度，给重构信号带来不可避免的误差。
2 改进的阈值函数
本文作者综合了软、硬阈值函数的不同特点，提出了一种新的阈值函数，用于小波系数的估计。实现如下：
(3)
其中：0≤t≤1；n为正整数；f(wj, k)=
用于动态调节阈值的大小。当|Wj,k|≥λ时，
，则0＜f(wj,k)≤1。也就是说，当|Wj,k|=λ时，f(wj,k)=1，随着Wj,k的增大，
不断增大，从而f(wj,k)不断减小；当|Wj,k|→∞时，
f(wj,k)→0。这样可以减小软阈值方法中对绝对值大的小波系数总存在恒定衰减的偏差，用f(wj,k)衡量对其的衰减程度，使得对绝对值大的小波系数的衰减随着其绝对值的增大而减小，动态减小了对绝对值大的小波系数的衰减，从而可以避免高频信息的损失，提高信号去噪后的信噪比。新的阈值函数在小波域内是连续的，且具有高阶导数，便于各种数学处理。
调节因子n可以调整f(wj,k)对于阈值的影响程度，调节因子t则决定了消噪后信号的信噪比，t越大，信号失真越多，振荡越小；t越小，信号失真越少，振荡越严重。实际应用中，可以通过调整t和n来达到理想的去噪效果。
3 仿真验证
为了比较不同阈值降噪方法的降噪效果，将原始信号作为标准信号x(n)，经小波降噪后信号为
，信号长度为L，信噪比(RSN)定义为：
(4)
估计信号与原信号之间的均方根误差(ERMS)定义为：
(5)
信号的信噪比(RSN)越高，去噪后信号与原信号的均方误差越小，则去噪后信号就越接近原始信号，降噪效果越好。
为了说明新阈值函数在小波阈值去噪算法中的有效性，采用MATLAB进行仿真实验，实验信号为含噪Doppler信号，分别选取传统的软硬阈值函数和改进阈值函数对信号进行去噪。本方法中的调节因子
和n，分别取t=0.3，n=2，选用的小波基函数为db4 [8]，分解层数为5层，并在每个分解层数上按照sqt-wolog规则进行阈值的估计。去噪效果对比如图3所示。
3种方法对含噪声信号去噪后，信号的信噪比SNR和均方根误差RMSE如表1所示。
从实验数据中可以看出，改进的阈值函数较传统的阈值函数在信噪比和均方误差方面都得到了提高。
表1 3种阈值函数去噪后数据对比
Table 1 Comparison of data after de-noising by three threshold functions
图3 3种阈值函数去噪后弱信号的波形对比
Fig.3 Comparison of waves after de-noising by three threshold functions
改进的阈值法并没有软阈值法的平滑效果好，但通过表1可以看出，使用改进阈值函数去噪后的信噪比要比使用软阈值去噪后的高，最小均方差比软阈值法的小；改进的阈值法能像硬阈值法一样保留原始信号的有用信息，虽然信噪比硬阈值法有较小提高，但最小均方差比硬阈值法的要小。因此，改进的阈值法在整体上要比传统的硬阈值和软阈值去噪效果好。
小波去噪算法中影响去噪效果的因素还很多，比如根据经验选取小波基、阈值等。目前，还没有一种通用算法使去噪效果达到最优，在解决实际问题时还需具体问题具体分析才能得到最优解。
4 结论
通过分析小波变换处理信号噪声的方法及其传统阈值方法在微弱信号检测方面的不完善之处，提出一种新的阈值函数，该函数既能克服软阈值方法造成的与原始信号产生恒定偏差的缺点，又能有效减小硬阈值方法中由于其函数不连续而使重构信号所产生的振荡。仿真实验结果表明，新阈值函数可以获得比软、硬阈值函数更好的去噪效果，显著提高了信号信噪比、减小了均方误差。
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(编辑 陈卫萍)
收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15
基金项目：国家自然科学基金联合资金资助项目(10878017)
通信作者：季策(1969-)，女，辽宁沈阳人，副教授，从事盲信号分离及图像处理等研究；电话：13940420293；E-mail：jice@ise.neu.edu.cn
