用Fisher判别法确定矿井突水水源
陈红江1, 2，李夕兵1, 2，刘爱华1, 2，彭述权1, 2
(1. 中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083；
2. 深部金属矿产开发与灾害控制湖南省重点实验室，湖南 长沙，410083)
摘 要：运用Fisher判别分析(FDA)理论，根据含水层的标型组分和涌水点水样的化学成分，针对简单的两类和复杂的多类突(涌)水水源识别，分别建立Fisher的线性判别函数模型和典则判别的函数模型，并对它们进行判别分析，将所建的矿井突(涌)水水源识别的Fisher判别模型应用于华北某矿井予以验证。研究结果表明：该模型利用回代估计法所得到的误判率小，并具有较强的判别能力。运用该模型进行判别分析，简易方便，分类效率高，对研究矿井突(涌)水水源的快速、有效判别意义明显；该模型适用性强，有广阔的应用前景。
关键词：矿井突水；突(涌)水水源判别；水化学方法；Fisher判别分析
中图分类号：TD713 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2009)04-1114-07
Identifying of mine water inrush sources by
Fisher discriminant analysis method
CHEN Hong-jiang1, 2, LI Xi-bing1, 2, LIU Ai-hua1, 2, PENG Shu-quan1, 2
(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;
2. Hunan Key Laboratory of Resources Exploitation and Hazard Control for Deep Metal Mines,
Changsha 410083, China)
Abstract: A usual discriminant analysis method, i.e., Fisher discriminant analysis (FDA) was used to identify mine water inrush sources. On the basis of Fisher discriminant analysis theory, Fisher’s linear discriminant functions was applied in identifying simple mine water inrush sources and canonical discriminant functions was applied in complicated situations. The results indicate that the FDA method can be used to reduce the dimension effectively and extract the features based on the classification by fusing information in training data, the mine water inrush prediction model of FDA has excellent discriminant performance and the resubstitution error rate is very low. It is easy and efficient to make discriminant analysis using this model and it can provide efficient method to identify mine water inrush source in order to deal with water inrush disasters correctly. It has good prospect for the identification and classification of mine water inrush.
Key words: mine water inrush; determination of mine water inrush sources; hydrochemistry method; Fisher discriminant analysis (FDA)
矿井突(涌)水是煤矿生产过程中最具威胁的自然灾害之一。如何及时准确地判断突(涌)水成因，查找突(涌)水水源，是防治突水灾害的关键，已成为煤矿安全生产中亟待解决的重大问题。人们通常采用地下水化学、同位素、水温、水位动态观测和分析等方法判别突(涌)水水源。经验表明，水化学方法是其中较有效的方法[1-3]。水化学方法用于判别矿井突(涌)水水源的依据是不同含水层的水具有不同的水化学成分。这些能用于区分不同含水层地下水特征的组分称为“标型元素”或“标型组分”。以往应用较多的标型组分(元素)是“6大离子”(即Na++K+，Ca2+，Mg2+，Cl-，SO42-和HCO3-)、溶解氧、硝酸根离子等。在判别方法上常应用Piper三线图法(基于6大离子相对含量)、单组分值域法或两组分作图法。近年来，一些数理统计方法也相继应用于对包括突(涌)水水源在内的水化学样品的分析和研究[4-7]。水化学数据反映了地下水的本质特征，用水化学成分判别水源具有快速、准确、经济的特点。目前，根据水化学成分判别水源的方法很多，贲旭东等[8]采用模糊综合评判法对矿井突水水源的判别进行了探讨；徐忠杰等[9]应用人工神经网络技术判断矿井水源问题；胡友彪等[10]引进灰色系统理论，借助于水化学资料，应用灰色关联度方法对矿井水源进行判别；张许良等[11]利用数量化理论方法建立了某矿区地下水判别模型，为该区判别新的突(涌)水水源提供了简便、快捷的工具；闫志刚等[12]基于水文地球化学方法，利用支持向量机(SVM )分析矿井涌水水源情况。上述方法有其自身的特点，同时，也存在一定的局限性。为此，本文作者提出一种基于统计学理论Fisher判别分析理论的矿井突(涌)水水源识别 方法。
1 Fisher判别分析
1.1 Fisher判别分析的基本思想
Fisher判别分析方法的基本思想[13]是投影，即将高维数据点投影到低维空间上，这样，数据点就变得比较密集，从而可以克服由于维数较高而引起的“维数祸根”，根据类间距离最大、类内距离最小的原则确定判别函数，再依据建立的判别函数判定待判样品的类别。
1.2 Fisher判别分析求解方法
Fisher判别分析方法将多维问题转化为一维问题，而且仍用线性判别函数解决多个总体判别问题[14-16]。
则
记
于是，组内差为
组间差为
令
。为了使
达到最大，且使解有惟一性，通常附加1个条件：
。于是，问题就转化为在条件下求使
达到最大的u。为此，用拉格朗日乘数法，令
。 (7)
对式(7)求偏微分，并使之为0，即
。 (8)
经进一步整理得：
。 (9)
这表明λ应是W-1B的最大特征值，u就是最大特征值λ所对应的特征向量，这样就可以求出判别函数。
1.3 Fisher判别效果检验
为考察上述判别准则是否优良[17]，采用以训练样本为基础的回代估计法计算误判率。来自总体Gi容量为ni的训练样本
(其中，
=1, 2, …, ni；i=1, 2, …, m)，以所有的训练样本作为新样本，依次代入建立的判别函数中，并且利用判别准则进行判别，该过程称为回判。用nij表示将属于总体Gi的样本误判为总体Gj的个数，设总的误判个数为N，则误判率η的回代估计为：
2 矿井水源识别的Fisher判别模型
针对Fisher判别分析的基本思想，建立矿井突(涌)水水源识别的Fisher判别模型。在若干矿井突(涌)水水源统计数据的基础上，分别建立针对简单的2类突(涌)水水源识别的Fisher的线性判别函数和针对复杂的多类矿井突(涌)水水源识别的典则判别函数，并对它们进行判别分析。
2.1 2类水源识别的Fisher判别模型
华北某矿井充水水源主要有2个，即顶板砂岩裂隙含水层和底板岩溶裂隙含水层。这2个含水层地下水质存在一定差异。正确识别矿井涌水水质类型，进而判明矿井充水水源，对于防治该矿井水具有重要 意义[18]。
2.1.1 判别参数的确定
各含水层中化学成分众多，需综合考虑离子的重要性及数据的有效性[19]。这里选取Ca2+，Mg2+，Na+，K+，Cl-，HCO3-，SO42-，NO32-和F-这9种离子组分的含量和pH值作为矿井突水水源识别的判别分析变量进行判别分析。
2.1.2 判别模型的建立
为了建立2类水源识别的Fisher判别分析模型，参照文献[18]，1~3号水样取自顶板砂岩裂隙含水层，假定为第Ⅰ种水质类型；4~6号水样取自底板岩溶裂隙含水层，假定为第Ⅱ种水质类型；7~10号水样取自井下不同涌水点，为待识别水样。根据Fisher判别分析理论，建立如下Fisher的线性判别函数：
由于其他几种离子的含量及pH值对该判别作用不大，所以，可以省略不计。以待判1号水样为例，将其水样各变量分别代入式(11)和式(12)，可以得到Y(Ⅰ)=737.6，Y(Ⅱ)=234.9。由于Y(Ⅰ)＞Y(Ⅱ)，所以，将待判水样7号判为第Ⅰ类。用同样的方法可以判别其余的待判水样，结果见表1。
表1 矿井突(涌)水水源判别的变量
Table 1 Data of cases used in discriminating of resource of coal mine inrush
注：“*”表示待识别水样。
2.1.3 判别效果的检验
利用回判估计法对6个训练样本进行检验，判别结果与实际情况完全相符，代入回判公式可知误判率为0，并且与采用人工神经网络(ANN)方法[18]、支持向量机(SVM)方法[12]所得预测结果一致。可以证明，所建立的Fisher判别分析模型判别能力较稳定。
2.1.4 判别模型的应用
运用建立的Fisher判别分析模型对4个待判水样进行判别。表1所示为利用人工神经网络(ANN)方法、支持向量机(SVM)方法以及本文的Fisher判别分析方法所得的预测结果，可见，采用这几种方法所得的预测结果完全一致。
当学习样本数量发生变化时，Fisher判别分析方法相对于人工神经网络(ANN)方法和支持向量机(SVM)方法不存在优化判别网络结构的问题，并且Fisher判别分析方法具有学习速度快、效率高等优点。因此，该方法用于2类突(涌)水水源识别是可行的，也是高效的。
2.2 多类水源识别的Fisher判别模型
2.2.1 判别过程分析
人工神经网络方法等仅仅能区分2类水样，事实上，矿井的含水层多，层与层之间有复杂的水力联系。下面研究如何利用Fisher判别分析方法识别多类矿井突(涌)水水源。为了方便比较，引用文献[11]中的数据(见表2)，共有35个水源样本，分为4类：Ⅰ为二灰和奥陶纪含水层；Ⅱ为八灰含水层；Ⅲ为顶板砂岩含水层；Ⅳ为第4系含水层(砂砾石成分以石灰岩为主)。选取Na++K+，Ca2+，Mg2+，Cl-，HCO3-和SO42-这6种离子组合作为判别分析的变量进行判别分析，分析结果见表2。
表2 矿井突(涌)水水源判别的变量
Table 2 Data of cases used in discriminating of resource of coal mine inrush
表3所示为第1、第2和第3类判别函数的系数项和常数项，因此，通过判别分析可以分别得出以下3个判别函数：
表3 典则判别函数系数
Table 3 Canonical discriminant function coefficients
； (13)
； (14)
。 (15)
在Fisher判别分析中，判别方程量可以用其方差所占的比例来解释。从表4可以看出，第1判别函数方差贡献率为82.6%，说明该函数可以解释样品82.6%的信息，仅利用此函数还不能完成绝大部分样品的判别。当联合运用3个判别函数来判别样本时，可以解释所有样本的信息，即当利用式(13)无法对样本属类作出明确判断时，可结合式(14)甚至式(15)来实现完全判断。
表4 典则判别函数附加特征值
Table 4 Eigenvalues of canonical discriminant function
表5所示为各典则判别函数在各组别的中心值。以第1判别式为例，其在Ⅰ类水源(二灰和奥陶纪含水层)的中心得分为-0.921，在Ⅱ类水源(八灰含水层)的中心得分为-2.556，在Ⅲ类水源(顶板砂岩含水层)的中心得分为0.6544，在Ⅳ类水源(第四系含水层)的中心得分为-2.838。在此基础上，可以通过比较待判水样函数值与4类水源组别的中心值的距离来判别某一新样本归属哪一组别。
表5 各典则判别函数在个类别的中心值
Table 5 Values of canonical discriminant function at
group centre
图1所示为运用第1类判别函数与第2类判别函数进行分组的示意图，据此可以清晰地区分各个组别。
图1 第1和第2类判别函数的分组图
Fig.1 Figure of grouping using first and second
discriminant function
2.2.2 判别效果检验
判别分析自检结果见表6。从表6可以看出，利用回判估计法对35个水源训练样本进行检验，其中只有1个样本的预测结果与实际结果不符，其误判率只有3%。可见，利用统计分析的Fisher判别分析方法可以较好地用于矿井突(涌)水水源的判别，并且方法简便，准确率高。出现错判的样本编号为1，由图1可以观察到该样本位于Ⅰ组(二灰和奥陶纪含水层)和Ⅳ组(第4系含水层)的交界处，比较容易发生误判。因此，在实际工程中，必须密切结合矿井的其他地质条件，以保证水源判别的准确性。
表6 判别分析自检结果
Table 6 Results of self-test for discriminant analysis
2.2.3 工程应用
利用所建立的判别模型对新的突(涌)水水样进行水源判别。为了检验判别效果，选取A，B，C和D这4个突(涌)水水样进行实际验证，其水样资料如表7所示。
表7 矿井突(涌)水水源判别的待判数据
Table 7 Data of testing simples used in discriminating of resource of coal mine inrush
将以上指标代入第1判别式中，可以分别得到4个突(涌)水水样的得分，结果如表8所示。然后，分别计算各突(涌)水水样的得分到各类别中心值的距离。以A水样样本为例，可以分别计算其得分yA到各类中心得分的距离分别为0，1.635，7.465和1.917。由于yA距第1类中心点的距离最小，因此，可以将A水样水源判别为I类(二灰和奥陶纪含水层)。同理，可以对水样样本B，C和D进行判别。
表8 矿井突(涌)水水源判别分析结果
Table 8 Results of canonical discriminant function
采用不同判别分析方法所得判别结果见表9。从表9可见，4个突(涌)水水样的判别效果较好，正确率为100%，误判率为0。表9同时列出了利用人工神经网络(ANN)方法、支持向量机(SVM)方法、文献[11]中方法以及本文的Fisher判别分析方法的预测结果，可见，这几种方法的预测结果完全一致。但是，本文方法从数理统计的角度出发，与其他方法相比，具有理论性强、判别速度快、成功率高等优点。
表9 不同判别分析方法对比
Table 9 Comparison of results based on different discriminant methods
从Fisher的线性判别函数式(11)和式(12)可以看出，Mg2+的系数最大。同样，从建立的典则判别函数式(13)~(15)可以看出，Mg2+的系数也最大，这表明所建立的判别函数对Mg2+的含量是最敏感的。因此，在一定程度上，Mg2+的含量能较好地反映矿井突(涌)水水源的类别。
3 结 论
a. 运用Fisher判别分析理论，综合考虑含水层的标型组分和涌水点水样的化学成分，针对简单的两类和复杂的多类突(涌)水水源识别，分别建立了Fisher的线性判别函数模型和典型判别的函数模型。
b. 模型检验及实例计算结果表明，利用所建立的判别分析模型对矿井突(涌)水水源进行判别是合理可行的。然而，该矿井突水水源判别模型建立在有限的工程实例原始数据资料基础上，受原始资料数据代表性、准确性的影响。因此，在实际应用中，可根据具体情况，广泛收集工程实例资料，建立相应的样本数据库，对模型进行训练，增强该模型的适用性。此外，矿井突水水源判别不仅与水化学指标有关，还受到其他因素的影响，这有待于进一步研究。
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收稿日期：2008-10-15；修回日期：2009-01-20
基金项目：国家重点基础研究发展计划(973计划)项目(2007CB209402)；湖南省研究生学位创新项目(1343-74236000013)；湖南省自然科学基金资助项目(08JJ4014)
通信作者：陈红江(1983-)，男，河北衡水人，博士研究生，从事采矿工程、安全工程及矿山突水等方面的研究；电话：13467514041；E-mail: c@126.com
