DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.10.027
围压作用下岩石峰后应力-应变关系模型
王佩新1, 2，曹平1，王敏1，陈瑜1，王聪聪1
(1. 中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083；
2. 中土集团福州勘察设计研究院有限公司，福建 福州，350013)
摘要：假定峰后软化阶段任意一点皆满足摩尔库仑极限破坏条件，建立岩石峰后后继屈服面模型。利用岩石峰值处和残余阶段初始处应力状态绘制几组莫尔应力圆，获得不同围压下峰值处和残余阶段初始处的黏聚力c和内摩擦角φ，然后分别建立黏聚力c和内摩擦角φ同围压的函数关系。基于莫尔-库仑准则，以最大主应变ε作为软化参数，以分段线性函数形式演化黏聚力c和内摩擦角φ的正切，反求内摩擦角φ，从而建立岩石峰后应力-应变关系模型。数值算例研究Tennessee大理岩三轴试验的峰后应变软化过程，模拟结果与试验结果较吻合。研究结果表明：建立的峰后应力-应变关系模型合理而可靠，可以较好地描述不同围压下岩石的峰后力学行为。
关键词：围压；峰后应力-应变；强度参数演化；Mohr-Coulomb 强度准则
中图分类号：TU45 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2017)10-2753-06
Post-peak stress-strain relationship model of rock considering confining pressure effect
WANG Peixin1, 2, CAO Ping1, WANG Min1, CHEN Yu1, WANG Congcong1
(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;
2. CCECC Fuzhou Survey & Design Institute Co. Ltd, Fuzhou 350013, China)
Abstract: Any point in rock’s post-peak softening stage satisfying Mohr-Coulomb critical failure criterion was assumed and then the post-peak rock subsequent yielding plane model was built. Several Mohr’s stress circles were drawn using the rock state both at the peak position and the initial residual stage. Then c and φ at the peak position or at the initial residual stage under different confining pressures were determined. The quadratic functional relationship between c or φ and confining pressure was found. Regarding maximum principal strain ε as strain softening parameter, c and tanφ were the piecewise linear functions based on Mohr-Coulomb criterion and the friction angle φ was deduced. The model of post-peak stress-strain relationship was obtained finally. The strain softening processes under variable confining pressures for Tennessee marble in triaxial test were modeled using numerical cases and the results agree well with the test data. The results show that the model is reasonable and it can describe the post-peak mechanical behavior of the rock under different confining pressures preferably.
Key words: confining stress; post-peak stress-strain; evolution of strength parameter; Mohr-Coulomb strength criterion
岩石是矿物的集合体，结构和组成成分复杂，是一种复杂力学性质的材料。其峰后力学特性既是岩石力学研究领域的重点，也是难点之一。刚性试验机的研制，为研究岩石峰后力学行为提供了基础。围岩松动圈理论表明岩体峰后力学特性才是决定巷道稳定性的关键，因此研究岩石的峰后力学行为对于巷道稳定性和支护理论的发展具有重要的指导意义。对于岩石峰后的力学特性，国内外学者进行了大量的研究工作[1-12]。HOEK等[1]于1997年将岩石峰后应力-应变曲线分成3个类型：理性弹脆性模型、理想弹塑性模型、应变软化模型。由于峰后应变软化模型较为复杂，岩石的峰后力学特性研究主要集中于这个类型。对于该方面的研究主要可分为3个方面：一方面是理论解析研究[2-4]，如：ALEJANO等[2-3]基于Hoek-Brown准则和Mohr-Coulomb准则提出了岩体峰后应变软化模型；SHARAN等[4]基于Hoek-Brown准则提出了围岩应变软化解析式。但由于该方面研究对岩体性质作了过多简化，计算结果与实际结果存在较大的误差。第二方面是室内试验研究，如：于永江等[5]通过对山西含碳泥岩三轴试验数据拟合，提出了基于退化角的岩石峰后应变软化模型；余华中等[6]采用颗粒流程序(PFC)中的簇单元模型(CPM)对研究锦屏深埋大理岩峰后变形破坏的脆-延-塑转换特性进行细观模拟研究。此外，也有学者从强度参数演化行为角度研究岩石峰后应变软化行为[7-10]，如：韩建新等[7]基于岩石材料峰后强度参数演化行为，结合强度准则，提出了建立峰后应力-应变关系的一般方法；仝兴华等[8]进一步提出了基于裂隙岩样的多组贯穿裂隙岩体的峰后应力-应变关系求法。这2种方法虽然计算较为简便，但其较少考虑围压对岩石峰后强度参数的影响，往往具有很大的局限性和不合理性。本文作者在前人的基础上，基于莫尔-库仑准则，充分考虑围压对岩石峰后强度参数的影响，运用分段线性函数形式对黏聚力c和内摩擦角φ的正切进行演化，反求内摩擦角φ，从而建立岩石峰后应力-应变关系模型，并建立数值模型，最后用Tennessee大理岩三轴试验数据[13]对数值模拟模型进行合理性验证。
1 不同围压影响下的岩石应力-应变关系
1.1 岩石应变软化模型
根据Tennessee大理岩三轴试验数据[13](见图1)，可将岩石应力-应变曲线简化为峰前弹性变形阶段oai(i=1，2，3)、峰后软化变形阶段aibi(i=1，2，3)和岩石残余阶段bici(i=1，2，3)，如图2所示。
本文基于Mohr-Coulomb强度准则。在固定围压条件下，其黏聚力c及内摩擦角φ随最大主应变ε的变化而变化，为此以最大主应变ε作为软化参数，求得岩石峰后应力-应变关系模型，其表达式为
(1)
其中：σ1和σ3分别为最大主应力和最小主应力。
图1 Tennessee大理岩三轴试验数据[13]
Fig. 1 Test data for Tennessee marble in triaxial compression[13]
图2 应变软化简化模型及同一卸载路径下的应力状态
Fig. 2 Post-peak strain softening simplified model stress states under the same unloading path
1.2 不同围压影响下的峰值处及残余阶段初始处的强度参数c和φ
岩石随着峰后塑性变形的发展，其内部结构逐步遭到破坏，裂隙快速发展、贯通形成宏观断裂面，出现块体滑移，其峰值状态屈服面[14]不同于残余状态屈服面，为此，其强度参数黏聚力c和内摩擦角φ各不相同[15]，如图3所示。
研究岩石峰后应力-应变关系模型，需要进一步研究黏聚力c和内摩擦角φ与围压σ3之间的关系。本文基于弹性卸载及峰后软化阶段任意一点皆满足摩尔-库仑极限破坏条件假设，其卸载路径L与峰值应力点割线M平行，如图2所示。不同围压下，在相同的卸载路径下，其塑性剪切应变εps相同，对应几组不同的极限应力状态，分别为
，
，
。
本文利用上述方法分别获得峰值处及残余阶段初始处下的对应的几组不同极限应力，并分别绘制峰值处及残余阶段初始处对应的莫尔应力圆，根据几个莫尔应力圆绘制莫尔强度包络线，通过包络线的切点绘制莫尔强度直线，获得不同围压下峰值处及残余阶段初始处相应的黏聚力c和内摩擦角φ，如图4所示。
图3 黏聚力c和内摩擦角φ与屈服面之间的关系[15]
Fig. 3 Relation between cohesion，internal friction angle and subsequent yielding plane[15]
图4 莫尔强度包络线
Fig. 4 Mohr’s strength envelope
利用Tennessee大理岩三轴试验数据[13]，根据上述方法，可获得其不同围压下峰值状态及残余状态相应的黏聚力c和内摩擦角φ，如表1所示。
根据表1，分别绘出图5和图6。图5所示为峰值状态下黏聚力c和内摩擦角φ与围压σ3的关系，图6所示为残余阶段初始处黏聚力c和内摩擦角φ分别与围压σ3的关系。从图5和图6可以看出：随着围压的增大，岩石峰值状态及残余阶段初始处，其黏聚力c逐渐增大，而内摩擦角φ逐渐减小。其原因是：黏聚力表征的是物质内部之间的相互吸引力，随围压的增大，峰后同一塑性剪切应变其相邻物质之间的间距变小，引力变大，黏聚力变大；内摩擦角表征的是颗粒间的内摩擦力及咬合力，随围压的增大，岩石由脆性逐渐向延性发展，物质内部间逐渐趋于平衡，其内摩擦力及咬合力变小，内摩擦角变小。同时，其黏聚力c和内摩擦角φ分别与围压σ3近似成二次函数关系，其表达式可写成：
(2)
(3)
其中：A1，B1，C1，A2，B2和C2均为函数系数，且A1＞0，A2＜0。
表1 不同围压下峰值状态及残余状态的黏聚力c和内摩擦角φ
Table 1 Cohesion c and internal friction angle φ at peak position and at initial residual stage under different confining pressures
图5 峰值状态下c，φ与围压σ3的关系
Fig. 5 Relationship between c, φ and confining pressure at peak position
图6 残余状态下c，φ与围压σ3的关系
Fig. 6 Relationship between c , φ and confining pressure at the initial residual stage
以表达式(2)和(3)拟合黏聚力c和内摩擦角φ与围压σ3的关系，得拟合参数如表2所示。其R2＞0.90，取得较好的拟合效果。
表2 黏聚力c和内摩擦角φ与围压σ3的拟合参数
Table 2 Fitting parameters between c, φ and confining pressure σ3
1.3 强度参数c和φ的演化规律
当确定完峰后软化阶段峰值处及残余阶段初始处的黏聚力c和内摩擦角φ后，应进一步研究同一围压下，其黏聚力c和内摩擦角φ在峰后的演化规律。为使问题简化，通常假定岩石峰后强度参数与应变软化参数之间为分段线性函数形式[16-18]，其表达式为
(4)
其中：η，ηp和ηr分别为强度参数，峰值阶段强度参数及残余阶段强度参数；γ*为残余阶段应变软化参数γ在残余阶段的初始值。其演化曲线如图7所示。
根据莫尔-库仑准则的直线形式可知：
(5)
其内摩擦角φ和黏聚力c变化形式不同，但tanφ与c变化形式相同，其原理与强度折减法类似。为此，不直接对内摩擦角φ采用上述演化方法，而是对φ的正切即tanφ和黏聚力c采用上述演化方法，而后再求出φ，最终获得强度参数c和φ的演化规律如下：
图7 峰后强度参数演化曲线[15]
Fig. 7 Evolutional curve of post-peak strength parameter[15]
(6)
(7)
式中：εp和εr分别为峰值处的主应变和残余阶段初始处的主应变；cp和cr分别为峰值处及残余阶段初始处的黏结力；φp和φr分别为峰值处及残余阶段初始处的内摩擦角。
由式(7)求反正切值，即可得φ(ε)：
(8)
首先确定围压，将围压代入式(2)和(3)，从而确定峰值处及残余阶段开始处的黏聚力c和内摩擦角φ，再将结果代入式(6)和(8)，获得黏聚力c和内摩擦角φ的演化规律，最后将式(6)和(8)代入式(1)，即可获得峰后的应力-应变关系模型。
2 算例及讨论
为验证本文岩石峰后的应力-应变关系模型的合理性，对FANG等[13]的Tennessee大理岩三轴试验数据(如图1所示)采用该关系模型进行验证。对Tennessee大理岩三轴试验数据整理如表3所示。
表3 Tennessee大理岩三轴试验数据
Table 3 Data of Tennessee marble in triaxial compression test
建立数值模型如图8所示，仅包含1个单元的立方体模型来模拟三轴压缩实验，其侧向施加侧围压，围岩σx=σy，模型的下表面为z方向的位移约束边界，加载过程采用轴向位移控制，控制速度为0.6×10-7 m/步。
图8 三轴压缩数值模型
Fig. 8 Numerical model of triaxial compression test
根据以上建立的数值模型，结合表3中数据，分别对围压为3.45，6.90，13.80，20.70和27.60 MPa这5种情况进行数值模拟。其中，Tennessee大理岩三轴试验峰值处和残余阶段初始处的黏聚力c和内摩擦角φ可根据表2计算获得，峰前弹性变形阶段采用原点与峰值点连接获得。
数值模拟获得的全应力-应变曲线与实测峰后应力-应变数据进行对比，如图9所示。从图9可以看出：不同围压下数值模拟峰后应力-应变曲线变化趋势与实验数据基本吻合，特别是其峰值强度和残余强度与实验数据基本一致，这表明本文建立的岩石峰后应力-应变关系模型能较好地描述不同围压下岩石的峰后软化行为，也表明本建立的岩石峰后应力-应变关系模型是合理的。
图9 三轴压缩试验数据与数值模拟曲线对比
Fig. 9 Comparison between triaxial compression test dates and numerical simulation curves
3 结论
1) 考虑围压对峰值处及残余阶段初始处其黏聚力c和内摩擦角φ的影响，发现其黏聚力c随围压的增大而增大，而内摩擦角φ随围压的增大而减小，黏聚力c和内摩擦角φ与围压分别成二次函数关系。
2) 基于莫尔-库仑强度准则，以最大主应变ε作为其软化参数。将岩石的黏聚力c和tanφ视为软化参数ε的分段线性函数，获得黏聚力c和内摩擦角φ的演化规律，从而给出岩石峰后应力-应变关系模型。
3) 结合算例，通过数值模拟获得三轴压缩模拟曲线，将之与实验数据进行对比，结果表明：数值拟合曲线与数据吻合较好，特别是峰值强度和残余强度与实验数据基本一致，说明本文给出的岩石峰后应力—应变关系模型能够准确描述峰后力学特性。
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(编辑 杨幼平)
收稿日期：2016-09-30；修回日期：2016-12-02
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(11772358)；中南大学硕士生自主探索创新项目(2016zzts448)(Project(11772358) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2016zzts448) supported by the Master Independent Explored Innovative of Central South University)
通信作者：曹平，博士，教授，从事岩石力学与工程领域研究；E-mail：pcao_csu@sohu.com
