DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2020.10.026
非线性强度准则下抗滑桩加固边坡稳定性极限平衡分析
罗伟1, 2，徐长节1，荣耀2，陈磊1，戴程琳3
(1. 华东交通大学 土木建筑学院，江西 南昌，330013；
2. 江西省交通科学研究院，江西 南昌，330200；
3. 江西交通咨询有限公司，江西 南昌，330008)
摘要：考虑到现有极限平衡方法无法揭示非线性强度准则下抗滑桩加固边坡的作用机理，应用土压力理论简化抗滑桩与边坡滑体的力学计算模型，并根据力学平衡条件推导出抗滑桩桩侧有效压力。然后，基于瑞典法所得滑面应力计算式，由边坡安全系数定义建立非线性强度准则下抗滑桩加固边坡稳定性极限平衡解决方案。最后，通过工程实践验证本文解决方案的有效性。研究结果表明：岩土体非线性参数对边坡稳定性有着显著影响，且考虑岩土体非线性时需增加抗滑桩桩长才可确定边坡满足稳定性要求；抗滑桩布置于临近坡脚点位置有利于提高边坡稳定性，但应防止位于抗滑桩上方的边坡滑动体出现局部破坏。工程实例结果表明本文解决方案可有效应用于边坡抗滑桩加固设计。
关键词：抗滑桩；边坡稳定性；极限平衡；非线性强度准则；安全系数
中图分类号：TU470 文献标志码：A 开放科学(资源服务)标识码(OSID)
文章编号：1672-7207（2020）10-2950-09
Limit equilibrium analysis on stability of slope reinforced by anti-slide piles with the nonlinear strength criterion
LUO Wei1, 2, XU Changjie1, RONG Yao2, CHEN Lei1, DAI Chenglin3
(1. School of Civil Engineering and Architecture, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China;
2. Jiangxi Transportation Institute, Nanchang 330200, China;
3. Jiangxi Transportation Consulting Co. Ltd., Nanchang 330008, China)
Abstract: Considering that the reinforcement mechanism for the slope reinforced by the anti-slide piles with the nonlinear strength criterion has not yet been revealed by the existing limit equilibrium methods, the earth theory was applied to simplify the mechanical model of the anti-side pile in the slope sliding body, and the effective pressure on the side of anti-slide pile was deduced according to its mechanical equilibrium condition. Then, based on the formula of stress on the slip surface obtained by the Swedish method, the limit equilibrium solution of slope stability with nonlinear strength criterion was established according to the definition of slope safety factor. Finally, the effectiveness of the proposed solution was validated by engineering practice. The results show that the nonlinear parameter of geotechnical body has significant influence on slope stability, and it is necessary to increase the length of anti-slide pile for achieving the design goal of the slope in stable state when the strength nonlinear of geotechnical body is considered. It is beneficial for the anti-slides piles arranged near the slope toe to improve the slope stability, but the slope local failure above the anti-slide piles should be prevented. The results from engineering case show that the proposed solution is effective for guiding the reinforcement design on the slope reinforced by the anti-slide piles.
Key words: anti-slide pile; slope stability; limit equilibrium; nonlinear strength criterion; factor of safety
滑坡作为一种常见的地质灾害对人类的生产和生活构成了严重威胁[1]。为了维持边坡稳定性，通常对可能存在滑动或者已经出现滑动迹象的边坡进行加固处置，抗滑桩是其中应用最普遍的一种边坡加固桩。抗滑桩通过将其在滑体内锚入滑床一定深度，并借助其与桩周岩土的共同作用将滑坡推力传递到稳定地层，然后，利用稳定地层的锚固作用和被动抗力来平衡滑坡推力，从而提高边坡的抗滑安全系数。因此，抗滑桩对边坡抗滑作用显著，且已被工程实践证明其对边坡加固非常有效[2]。另外，抗滑桩因其桩位灵活、施工安全方便和适用范围广等特点，被广泛应用于边坡加固工程中[3-5]。
现有对抗滑桩加固边坡稳定性进行分析的方法主要有以下3种：极限平衡法、极限分析法和有限元方法。如李荣建等[6]考虑基质吸力作用，利用数值模拟方法研究了抗滑桩加固非饱和土边坡的三维稳定性问题；陈乐求等[7]通过Fortran语言编制边坡在抗滑桩加固情况下的稳定性程序；谭捍华等[8]结合强度折减技术和极限分析上限理论，基于失稳状态耗能最小原理对边坡的抗滑桩预加固计算方法进行了研究；年廷凯等[9]利用考虑桩-土-边坡相互作用的强度折减有限元方法，结合典型算例边坡开展了抗滑桩加固边坡的三维数值分析；王聪聪等[10]利用数值方法分析了抗滑桩在边坡中的加固效果；梁冠亭等[11]基于Morgenstern-Price(M-P)法建立了抗滑桩支护边坡的分析模型，进而得到了抗滑桩下滑力和边坡安全系数的表达式；郭震山等[12-13]基于有限元强度折减法对降雨作用下抗滑桩边坡稳定性进行了数值模拟；饶平平等[14]对抗滑桩加固边坡进行了三维极限上限分析。在上述计算方法中，极限分析法能够考虑土体的土拱效应问题，但计算推导过程复杂，需要构建真实的破坏机制；有限元方法能很好地反映边坡的应力场和位移场，但涉及材料屈服准则的选用和失稳判据的确定等诸多复杂因素，而这些因素的确定尚无统一的标准，使得一线工程技术人员难以掌握和应用。而极限平衡法计算过程简单，所得结果满足工程实际需求，应用广泛，并被列入各行业规范中。现有极限平衡方法大多基于线性M-C强度准则建立边坡稳定性平衡方程，主要在于线性M-C强度准则表达公式简单，并能以一个已知条件来构建边坡滑面剪切力与法向力的线性关系。然而，真实岩土体剪切强度表现出一定的非线性特征，此时，岩土体剪切强度与其正应力之间的关系为复杂的曲线关系，通常采用指数方程来表达。因此，利用强度折减技术所得边坡滑面剪切力与法向力的关系也很复杂，其难以作为一个已知条件在传统的极限平衡方法中来推导边坡安全系数计算公式。另外，现有计算方法主要将抗滑桩对边坡所施加的加固力设为定值，忽视了抗滑桩与边坡滑动面位置存在响应关系。滑动面位置或滑动面几何形体参数不同，抗滑桩对边坡所能形成的加固效果也并不一致，因此，现有极限平衡方法尚不能明晰地揭示出非线性强度准则下抗滑桩加固边坡的作用机理。
在传统极限平衡方法中[15-19]，瑞典法忽略了条间作用力增量而获得滑面应力的显式解。尽管瑞典法所得结果不够严格，导致计算结果较为保守，但可借鉴其所得滑面应力公式，根据边坡安全系数的定义推导非线性强度准则边坡稳定性极限平衡解答。另外，瑞典法所得结果保守，可为工程设计提供充足的设计余量。为此，本文作者根据DENG等[20]建立的抗滑桩加固模式，利用土压力理论将抗滑桩、滑动体和抗滑桩嵌入段岩土体的相互作用模型进行简化，进而根据抗滑桩的力学平衡条件推导桩侧有效压力的简单计算公式；然后，基于瑞典法所得滑面应力计算式，由边坡安全系数的定义建立非线性强度准则下抗滑桩加固边坡稳定性极限平衡解答。最后，将研究成果应用于工程实例，以期指导边坡抗滑桩加固设计。
1 非线性强度准则下抗滑桩加固边坡稳定性极限平衡计算方法
1.1 边坡抗滑桩加固模式及桩侧抗滑力计算公式
边坡抗滑桩加固计算模式如图1所示。在坡体内设置抗滑桩对边坡进行加固，其设计参数有埋置深度HP和在坡面处的位置(以坡脚点为原点建立xy轴坐标系时，采用x轴坐标xP表示)。
图1 边坡抗滑桩加固计算模式
Fig. 1 Calculation mode of reinforcement for slope reinforced by anti-slide pile
抗滑桩对边坡的加固作用主要依靠位于滑动面范围内桩身所能提供的桩侧有效压力P，其取值与抗滑桩自身强度和埋置深度有关，本文采用与文献[20]中一致的抗滑桩力学分析模式。此时，对于抗滑桩自身强度，认为抗滑桩拥有足够大的自身强度而不会造成桩身破坏。与此同时，在一定抗滑桩埋置深度下，可通过力学平衡条件来求解桩侧有效压力P。其中，位于滑动面以下桩身部分受到的是土压力作用，抗滑桩在横向布置方向上单位宽度的土压力系数为k0，土压力即为从坡顶向下的三角形分布力。此外，为了便于计算，同样也将桩侧有效压力P简化为三角形分布力，P=λk0γh2/2，其中λ为比例系数，γ为土的重度，h为抗滑桩位于滑动体内的部分长度。
在图1中，根据文献[20]中边坡抗滑桩力学计算模式，可将抗滑桩分为3个部分：EF部分桩侧有效压力P、FG部分桩后土压力和GO部分桩前土压力。由作用在抗滑桩上的各力在水平方向上的力平衡条件，进而可得比例系数λ以及桩前土压力范围深度z的计算公式分别为：
(1)
(2)
式(2)中，参数d0，p0和q0的计算式分别为：
(3)
(4)
(5)
在式(2)、式(4)和式(5)中，参数a0，b0和c0的取值分别为：a0=1，b0=-h，c0=0。
将式(2)求得的z代入式(1)便可得到比例系数λ，则抗滑桩的桩侧有效压力P为
(6)
在边坡坡体内纵向水平方向上布置多排抗滑桩时，同样可由式(6)求得第j排抗滑桩的桩侧有效压力Pj。
1.2 非线性强度准则下抗滑桩加固边坡稳定性安全系数计算公式
图2所示为一般情况下抗滑桩加固边坡的力学分析模式。在图2中，边坡坡高为H，点A和B分别为滑动面的下、上滑出点。在滑动体内任取宽度为dx的竖直微条分abcd进行受力分析，其中，设第j排抗滑桩的桩侧有效压力Pj作用在微条分abcd上。通过对微条分abcd进行受力分析，可知一般情况下作用在其上的力有重力wdx、水平和竖直方向地震作用力kHwdx和kVwdx、坡面外荷载q在x和y轴方向上的分量qxdx和qydx、抗滑桩的桩侧有效压力Pj、滑动底面上的法向力σdx/cosα和剪切力τdx/cosα及滑动底面上的水压力udx/cosα，其中，kH和kV分别为水平和竖直方向地震作用力系数(当水平地震作用力指向坡外时，kH为正，反之为负；当竖直方向地震作用力方向与重力方向一致时，kV为正，反之为负)；σ和τ分别为滑动底面正应力和剪应力；u为滑动底面孔隙水压力且u=ruw；ru为孔隙水压力系数；α为滑动面切线在水平方向上的倾角。
图2 抗滑桩加固边坡稳定性极限平衡计算模式
Fig. 2 Calculation mode of limit equilibrium analysis on stability of slope reinforced by anti-slid piles
在传统极限平衡严格法(如M-P法)中，通常将岩土体所服从的剪切强度准则作为已知方程来推导边坡安全系数计算公式。当剪切强度准则为线性方程(即线性M-C强度准则)时，边坡安全系数的解析解容易得到。然而，当剪切强度准则为非线性方程或超越方程(即非线性M-C强度准则)时，则难以建立边坡安全系数的解析解。
相较于传统极限平衡严格法，极限平衡瑞典法作为一种简化方法，其忽略了条块间的条间作用力增量而推导出边坡安全系数的计算公式，故所得结果较为保守。与此同时，由于瑞典法忽略了条块间的条间作用力增量，因此，其可获得滑面应力的显式计算公式，并可结合非线性强度准则来建立边坡安全系数的解析解。为此，基于瑞典法的力学分析模型，建立非线性强度准则下抗滑桩加固边坡稳定性极限平衡解。
如图2所示，当竖直微条分abcd上不考虑条间作用力增量时，采用瑞典法，由力学平衡条件可推导得滑动底面正应力(σ)和剪应力(τ)的计算公式为：
(7)
(8)
假设边坡滑动为剪切破坏，并服从一般非线性M-C强度准则[21-23]，则可知岩土体的剪切强度τf为
(9)
式中：c0为初始黏聚力且c0≥0，σt为单轴抗拉强度，且σt≥0；参数m(m≥1)反映土体剪切强度与土体所受正应力之间的关系，当m=1时，土体剪切强度与土体所受正应力的关系为线性关系(即线性M-C强度准则)，而当m>1时，土体剪切强度与土体所受正应力的关系为曲线关系(即非线性M-C强度准则)，且随着土体所受正应力的增大，土体剪切强度曲线趋缓。
将式(9)绘成曲线，如图3所示。
图3 非线性M-C强度准则示意图
Fig. 3 Diagram of nonlinear M-C strength criterion
将式(9)转换为与线性M-C强度准则一致的表达式，可得
(10)
式中：ci和φi分别为岩土体的瞬时黏聚力和内摩擦角。
在式(10)中，ci和φi的计算式分别为：
(11)
(12)
根据边坡安全系数定义，可知其为滑动面上的总抗滑力与下滑力之比。其中，抗滑力由剪切强度来获取，而下滑力由滑面剪应力进行计算。进而，通过将瑞典法所得滑动底面正应力(式(7))与剪应力(式(8))引入边坡安全系数定义中，可得一般非线性M-C强度准则下抗滑桩加固边坡的安全系数FS计算公式为
(13)
2 参数分析
取边坡坡高H=10 m和坡角β=45°。对于边坡岩土体，其天然重度为γ=18 kN/m3，并考虑边坡岩土体材料服从非线性M-C强度准则。设非线性强度准则下边坡岩土体的强度参数为c0=0.15γH和arctan(c0/σt)=15°。为了验证抗滑桩对边坡的加固作用，在边坡坡体内纵向水平方向上布置一排抗滑桩，并令抗滑桩在横向布置方向上单位宽度的土压力系数k0=0.6。对于抗滑桩，取其在坡面处的水平位置为xP=0.2H/tanβ(以坡脚点为原点建立xy轴坐标系)以及桩长为HP=1.0H。
当非线性强度参数m分别为1.0，1.2和1.4时，分析边坡坡角和边坡坡高变化以及地震作用下未加固与抗滑桩加固边坡的稳定性，由此可得不同边坡坡角β下未加固与抗滑桩加固边坡的最小安全系数曲线，如图4所示。不同边坡坡高H下未加固和抗滑桩加固边坡最小安全系数曲线如图5所示，不同地震荷载作用下未加固和抗滑桩加固边坡最小安全系数曲线如图6所示。在图6中，对于地震荷载，水平地震作用系数与竖直地震作用系数存在如下关系：kH=0.5kV。对于最小安全系数，其为对应临界滑动面(如临界圆弧滑动面)下边坡安全系数，可通过选取众多圆弧滑面并对这些滑动面进行搜索以获取边坡安全系数的最小值。
图4 坡角变化下未加固和加固边坡最小安全系数曲线
Fig. 4 Curves of the minimum slope factor of safety for unreinforced slope and the reinforced slope with variations of slope angle
由图4~6可知：1) 无论是未加固边坡还是抗滑桩加固边坡，非线性参数m对边坡稳定性有着显著影响，以坡高H=10 m和坡角β=45°且无地震荷载作用为例，相比m=1.0时的情况，m=1.4时边坡安全系数分别降低了11.59 %(未加固边坡)和17.26 %(抗滑桩加固边坡)；2) 当强度参数c0与γH存在线性关系时，边坡坡高H变化对未加固边坡和抗滑桩加固边坡的稳定性均不会产生影响；3) 在地震荷载作用下，边坡稳定性会降低，以m=1.0为例，相比无地震荷载作用(即kV=0)的情况，kV=0.200时边坡安全系数分别降低了7.37 %(未加固边坡)和19.08 %(抗滑桩加固边坡)；4) 相比未加固边坡，图4中安全系数曲线的斜率表明边坡坡角增大时抗滑桩加固边坡的稳定性降低幅度要小，而图6中安全系数曲线的斜率表明竖直地震作用系数增大时，抗滑桩加固边坡的稳定性降低幅度更大。
图5 坡高变化下未加固和加固边坡最小安全系数曲线
Fig. 5 Curves of the minimum slope factor of safety for unreinforced slope and the reinforced slope with variations of slope height
图6 地震荷载下未加固和加固边坡最小安全系数曲线
Fig. 6 Curves of the minimum slope factor of safety for unreinforced slope and reinforced slope under earthquake loads
3 工程实例
工程案例边坡示意图如图7所示，工程边坡来源于江西省某高速公路沿线路基边坡。该段路基边坡土质主要由粉质黏土组成，根据地勘资料和室内试验，可得到粉质黏土的重度γ=18.6 kN/m3，黏聚力c=25 kPa，内摩擦角φ=19.7°。由于该粉质黏土的土质较差，且遇水下坡积粉质黏土的强度急剧降低。因此，在施工期间该边坡已发生滑塌。
图7 工程案例边坡示意图
Fig. 7 Diagram of slope from engineering case
为了确保边坡在高速公路建设以及运营期能够处于稳定状态，将边坡设计成6级边坡。其中，第1级边坡坡率k1为1.00:1.10，坡高H1=8 m；第2级至第5级边坡坡率k2~k5均为1.00:1.25，坡高Hi=8 m (i=2~5)；第6级边坡坡率k6为1.00:1.50，坡高 H6=8 m。另外，在上下2级边坡之间设置缓冲平台，且平台的宽度Bi(i=1, 2,
, 5)均为2 m。与此同时，考虑到边坡较高且边坡岩土体抗剪强度较弱，进而采用一排抗滑桩对边坡进行加固，并令抗滑桩在横向布置方向上单位宽度的土压力系数k0=0.6。
对于抗滑桩，将其接近于坡脚点布置，并考虑抗滑桩位于坡面处的水平位置xP为5，10和15 m这3种情况，研究抗滑桩的桩长(HP)与边坡稳定性的关系，所得结果如图8所示。在图8中，将未考虑强度参数的非线性影响引入室内试验结果，并令非线性参数m分别为1.0，1.1和1.2，且非线性强度准则下粉质黏土的其他强度参数为：c0=25 kPa，arctan(c0/σt)=19.7°。
由图8可知：1) 随着抗滑桩桩长增加，最小边坡安全系数近似呈线性增大；2) 抗滑桩的布置位置越接近于坡脚点，则抗滑桩对边坡的加固作用越有利；3) 以抗滑桩位于坡面处的水平位置xP=5 m为例，当非线性参数m=1(即服从线性M-C强度准则)时，抗滑桩需达到28.5 m才能确保边坡处于稳定状态(即最小边坡安全系数为1.000)，而当非线性参数m=1.2时，抗滑桩需达到58.6 m才能确保边坡处于稳定状态，这表明考虑边坡岩土体强度参数非线性时，需增加抗滑桩桩长才可达到设计所要求的边坡稳定性；4) 以非线性参数m=1(即服从线性M-C强度准则)为例，相比未加固边坡，抗滑桩加固边坡可提高边坡稳定性34.44 %(HP=15 m时)~129.91 %(HP=70 m时)，由此表明抗滑桩能有效地用于边坡加固。
图8 抗滑桩不同设计参数下边坡稳定性分析结果
Fig. 8 Results of stability analysis on reinforce slope under different design parameters of anti-slide pile
事实上，上述结论是基于边坡整体稳定性而得到的。如图7所示，当接近于坡脚点布置一排抗滑桩加固时，边坡的真实滑动体可能会上移至抗滑桩的上方而出现局部稳定性，此时，抗滑桩的桩长对边坡的局部稳定性无影响。通过对边坡局部稳定性进行分析，可得非线性参数m=1.0(即图8(a))条件下，当xP=5 m时，最小边坡安全系数为0.916；当xP=10 m时最小边坡安全系数为0.937；当 xP=15 m时，最小边坡安全系数为0.970。对于非线性参数m=1.1(见图8(b))，边坡局部稳定性分析结果为：当xP=5 m时，最小边坡安全系数为0.813；当xP=10 m时，最小边坡安全系数为0.836；当xP=15 m时，最小边坡安全系数为0.868。对于非线性参数m=1.2(见图8(c))，边坡局部稳定性分析结果为：当xP=5 m时，最小边坡安全系数为0.733；当xP=10 m时，最小边坡安全系数为0.756；当xP=15 m时，边坡的最小安全系数为0.788。由此可见，仅采用1排抗滑桩对边坡进行加固还不足以维持边坡稳定性(包括局部稳定性)，故建议除在边坡坡脚处附近设置1排抗滑桩外，还需在第2级至第6级边坡辅以锚杆(索)对边坡进行加固。
4 结论
1) 岩土体非线性参数对边坡稳定性有着显著影响，且随着岩土体强度准则中非线性参数的增大，边坡稳定性降低，从而需增加抗滑桩桩长才可确定加固边坡满足稳定性要求。
2) 相比未加固边坡，边坡坡角增大时抗滑桩加固边坡的稳定性降低幅度要小，而在地震作用下，随着地震作用系数增大，抗滑桩加固边坡的稳定性降低幅度更大。
3) 相比未加固边坡，工程实例中抗滑桩加固边坡安全系数可提高34.44 %，表明抗滑桩可有效地用于边坡加固。
参考文献：
[1] 郑颖人, 陈祖煜, 王恭先. 边坡与滑坡工程治理[M]. 北京: 人民交通出版社, 2007: 2-4.
ZHENG Yingren, CHEN Zuyu, WANG Gongxian. Engineering treatment of slope and landslide[M]. Beijing: China Communications Press, 2007: 2-4.
[2] 王恭先. 滑坡防治工程措施的国内外现状[J]. 中国地质灾害与防治学报, 1998, 9(1): 1-9.
WANG Gongxian. Present situation of engineering measures for preventing and controlling landslide in China and abroad[J]. The Chinese Journal of Geological Hazard and Control, 1998, 9(1): 1-9.
[3] 冯永, 谢飞亚, 李旭光. 地震荷载下边坡抗滑桩桩土机理的三维模拟分析[J]. 地震工程学报, 2017, 39(1): 32-38.
FENG Yong, XIE Feiya, LI Xuguang. Three dimensional simulation of pile-soil interaction mechanism of anti-slide piles under seismic loads[J]. China Earthquake Engineering Journal, 2017, 39(1): 32-38.
[4] 李玉瑞, 吴红刚, 赖天文, 等. 分层填筑对桩-锚-加筋土组合结构加固边坡试验研究[J]. 中国地质灾害与防治学报, 2018, 29(6): 77-85.
LI Yurui, WU Honggang, LAI Tianwen, et al. Effects of layered filling on slope reinforcement with pile-anchor-reinforced soil composite structure[J]. The Chinese Journal of Geological Hazard and Control, 2018, 29(6): 77-85.
[5] 陈冲, 王卫, 吕华永. 基于复合抗滑桩模型加固边坡稳定性分析[J]. 岩土力学, 2019, 40(8): 3207-3217.
CHEN Chong, WANG Wei, LU Huayong . Stability analysis of slope reinforced with composite anti-slide pile model[J]. Rock and Soil Mechanics, 2019, 40(8): 3207-3217.
[6] 李荣建, 于玉贞, 李广信. 抗滑桩加固非饱和土边坡三维稳定性分析[J]. 岩土力学, 2008, 29(4): 968-972.
LI Rongjian, YU Yuzhen, LI Guangxin. 3D global stability analysis of unsaturated soil slope reinforced with piles[J]. Rock and Soil Mechanics, 2008, 29(4): 968-972.
[7] 陈乐求, 杨恒山, 林杭. 抗滑桩加固边坡稳定性及影响因素的有限元分析[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2011, 42(2): 490-494.
CHEN Leqiu, YANG Hengshan, LIN Hang. Finite element analysis for slope stability and its influencing factors with pile reinforcement[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2011, 42(2): 490-494.
[8] 谭捍华, 赵炼恒, 李亮, 等. 抗滑桩预加固边坡的能量分析方法[J]. 岩土力学, 2011, 32(S2): 190-197.
TAN Hanhua, ZHAO Lianheng, LI Liang, et al. Energy analysis method for pre-reinforcing slopes with anti-slide piles[J]. Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(S2): 190-197.
[9] 年廷凯, 徐海洋, 刘红帅. 抗滑桩加固边坡三维数值分析中的几个问题[J]. 岩土力学, 2012, 33(8): 2521-2526, 2535.
NIAN Tingkai, XU Haiyang, LIU Hongshuai. Several issues in three-dimensional numerical analysis of slopes reinforced with anti-slide piles[J]. Rock and Soil Mechanics, 2012, 33(8): 2521-2526, 2535.
[10] 王聪聪, 李江腾, 廖峻, 等. 抗滑桩加固边坡稳定性分析及其优化[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2015, 46(1): 231-237.
WANG Congcong, LI Jiangteng, LIAO Jun, et al. Stability analysis of slope reinforced with piles and optimization[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2015, 46(1): 231-237.
[11] 梁冠亭, 陈昌富, 朱剑锋, 等. 基于M-P法的抗滑桩支护边坡稳定性分析[J]. 岩土力学, 2015, 36(2): 451-456, 469.
LIANG Guanting, CHEN Changfu, ZHU Jianfeng, et al. Stability analysis of pile stabilized slope based on Morgenstern-Price method[J]. Rock and Soil Mechanics, 2015, 36(2): 451-456, 469.
[12] 郭震山, 赵建斌, 赵紫阳. 降雨入渗条件下抗滑桩加固边坡稳定性分析[J]. 土木工程与管理学报, 2017, 34(4): 47-52.
GUO Zhenshan, ZHAO Jianbin, ZHAO Ziyang. Stability analysis of the slope reinforced with anti-slide pile under the condition of rainfall infiltration[J]. Journal of Civil Engineering and Management, 2017, 34(4): 47-52.
[13] 李宁, 刘冠麟, 许建聪, 等. 降雨条件下抗滑桩边坡三维稳定性分析[J]. 中国地质灾害与防治学报, 2018, 29(3): 38-46.
LI Ning, LIU Guanlin, XU Jiancong, et al. 3D numerical analysis of the stability of a slope reinforced with piles under rainfall conditions[J]. The Chinese Journal of Geological Hazard and Control, 2018, 29(3): 38-46.
[14] 饶平平, 赵琳学, 刘颖, 等. 抗滑桩加固边坡稳定性3维极限上限拓展分析[J]. 工程科学与技术, 2018, 50(6): 184-192.
RAO Pingping, ZHAO Linxue, LIU Ying, et al. Extended 3D stability analysis of a slope reinforced with piles using upper-bound limit analysis method[J]. Advanced Engineering Sciences, 2018, 50(6): 184-192.
[15] FELLENIUS W. Calculation of the stability of earth dams[C]// Proceedings of the 2nd Congress on Large Dams, Washington D C: 1936: 445-462.
[16] BISHOP A W. The use of the slip circle in the stability analysis of slopes[J]. Géotechnique, 1955, 5(1): 7-17.
[17] MORGENSTERN N R, PRICE V E. The analysis of the stability of general slip surfaces[J]. Géotechnique, 1965, 15(1): 79-93.
[18] SPENCER E. A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel inter-slice forces[J]. Géotechnique, 1967, 17(1): 11–26.
[19] JANBU N. Slope stability computations[C]// Proceedings of Embankment Dam Engineering. New York: John Wiley and Sons. 1973: 47-86.
[20] DENG Dongping, LI Liang, ZHAO Lianheng. Limit-equilibrium method for reinforced slope stability and optimum design of antislide micropile parameters[J]. International Journal of Geomechanics, 2017, 17(2): 06016019.
[21] YANG Xiaoli. Seismic bearing capacity of a strip footing on rock slopes[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2009, 46(8): 943-954.
[22] YANG Xiaoli, LI Liang, YIN Jianhua. Seismic and static stability analysis for rock slopes by a kinematical approach[J]. Géotechnique, 2004, 54(8): 543-549.
[23] YANG Xiaoli, YIN Jianhua. Slope equivalent Mohr-Coulomb strength parameters for rock masses satisfying the Hoek-Brown criterion[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering, 2010, 43(4): 505-511.
(编辑 伍锦花)
收稿日期： 2020 -03 -15; 修回日期： 2020 -05 -15
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51078359)；江西省交通运输厅科技项目(2016C0004, 2016C0058, 2015D0061, 2014R0009, 2020Z0001)；江西省岩土工程基础设施安全与控制重点实验室资助项目(20161BCD40010)；高速铁路基础研究联合基金资助项目(U1934208)；江西省自然科学基金资助项目(20202BABL204067) (Project(51078359) supported by the National Natural Science Foundation of China; Projects(2016C0004, 2016C0058, 2015D0061, 2014R0009, 2020Z0001) supported by the Department of Transportation of Jiangxi Province; Project(20161BCD40010) supported by the Key Laboratory for Safety and Control of Geotechnical Engineering Infrastructure of Jiangxi Province; Project(U1934208) supported by the High Speed Railway Joint Fund of NSFC; Project(20202BABL204067) supported by the Natural Science Foundation of Jiangxi Province)
通信作者：罗伟，讲师，博士，从事岩土构筑物稳定性分析及加固机理研究；E-mail：luoweicsu@126.com
