DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.12.043
基于能量准则的Ⅱ型板式轨道稳定性
杨俊斌，曾毅，刘学毅，代丰，任娟娟
(西南交通大学 高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都，610031)
摘要：采用界定结构平衡准则中的能量变分原理推导Ⅱ型轨道板竖向稳定性的临界力计算公式，并通过数值分析方法验证该公式的正确性；基于本文推导的临界力计算公式，计算Ⅱ型轨道板的最不利波长及不同变形波长下轨道板的临界力，将临界力对应的轨道板容许升温幅度与轨道板的实测升温幅度进行比较。研究结果表明：Ⅱ型轨道板容许升温幅度远大于轨道板实测升温幅度，因此，Ⅱ型轨道板在温度压力作用下丧失稳定性的可能性很小。
关键词：能量变分；Ⅱ型轨道；稳定性；临界力；容许升温
中图分类号：U231.5+3 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)12-4707-06
Stability of CRTS-Ⅱ slab track based on energy norm
YANG Junbin, ZENG Yi, LIU Xueyi, DAI Feng, REN Juanjuan
(MOE Key Laboratory of High-speed Railway Engineering of Ministry of Education,
Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)
Abstract: Using the energy variation principle of the norms to define the structural equilibrium, the computational formula of the critical force for the vertical stability of Chinese railway track system (CRTS)-Ⅱ slab track was deduced. The correctness of the formula was verified by the numerical analytical method. Based on the derived computational formula for the critical force, the allowable temperature-rising amplitudes of the slab were calculated under the condition of the CRTS-Ⅱ slab track with the most detrimental chord length or several variational chord lengths. The allowable temperature range of the critical force was compared with the actual temperature range of track slab. The results show that the allowable temperature-rising amplitude for the CRTS-Ⅱ track slab is much larger than the measured value. Consequently, the CRTS-II track slab, under the temperature pressure, is less likely to lose stability.
Key words: energy variation; CRTS-Ⅱ slab track; stability; critical force; allowable temperature rising
Ⅱ型板式轨道轨道板之间在纵向将伸出钢筋用张拉锁具进行连接，又称为纵连板式轨道。该型轨道结构由于均匀性好、耐久性强、横向及纵向的抗滑移阻力高等特点在京津、京沪等高速铁路都有较长里程的铺设。在实际使用中发现，在夏季高温天气，Ⅱ型板式轨道会出现轨道板上拱现象，从而造成板端混凝土劈裂、轨道板与CA砂浆层连续离缝、宽接缝处填缝混凝土剥离等继发性病害，而且个别地段轨道板上拱高度达到10 mm以上，严重影响轨道平顺性，威胁行车安全。因此，Ⅱ型轨道板上拱现象已成为该型无砟轨道在使用时出现的主要问题之一。国外已铺设的Ⅱ型板式轨道尚未出现轨道板上拱现象。国内一些科研单位通过对轨道板上拱现象出现的时间、地点及气温等条件的分析并进行数值模拟后指出Ⅱ型轨道板的上拱现象是纵连轨道板在温度荷载作用下的竖向变形，但未对该现象进行系统的理论研究[1]。考虑到随着温度压力的增加，Ⅱ型轨道板的上拱可能最终使轨道板在竖向丧失稳定性，本文从结构稳定性角度出发，采用能量变分原理对Ⅱ型板式轨道在温度压力作用下的轨道板上拱现象进行研究。稳定性问题是指物体或构件保持其原有平衡状态的能力。当结构所受载荷达到某一值时，若增加一微小的增量，则结构的平衡位形将发生很大的改变，这种情况叫做结构失稳或屈曲[2]。界定平衡状态是否稳定的常用准则有静力准则、动力准则和能量准则。静力准则基于稳定问题中的小挠度理论，计算较简便，但在一些结论上存在局限性。动力准则用于求解结构失稳时，荷载方向将发生变化的非保守体系的稳定问题。能量准则采用势能驻值原理认为结构处于平衡状态的充要条件是在虚位移过程中，总势能取驻值，由于势能驻值原理与静力平衡等价，因此，结构的稳定性问题最终通过求解静力平衡微分方程解决。能量准则在20世纪70年代中期已被用于无缝线路稳定性分析，20世纪80年代以后，在研究无缝线路稳定性的“等波长模型”及“不等波长模型”中均以能量变分原理为理论基础[3-6]。由等波长模型推导的“统一无缝线路稳定性计算公式”(以下简称统一公式)由于计算过程相对简单，计算精度满足要求，已为铁路现场广大技术人员熟练掌握，一些教学科研单位采用“等波长模型”对铁路线路领域的其他问题进行理论研究[7-11]。本文也采用“等波长模型”对Ⅱ型轨道板稳定性进行研究。
1 Ⅱ型轨道板稳定性分析理论
1.1 基本假设
基本假设为：
1) 相对于轨道板而言，钢轨自重及抗弯刚度均较小，因此忽略不计，扣件系统对形变能影响较小，计算中不予考虑。
2) 轨道板视为1根两端铰支的铺设在连续弹性均匀介质上的长梁，在变形过程中两端点无位移。该梁是在温度压力作用下处于平衡状态的弹性体系。
3) 由于列车荷载、CA(cememt asphalt)砂浆材料性能及环境因素的影响，CA砂浆层与轨道板间的粘结状态在线路运营后将极大减弱甚至消失，因此，CA砂浆黏结强度在计算中不予考虑。
1.2 变形曲线的线型确定
Ⅱ型轨道板在温度压力作用下的竖向变形方向受板下结构层的限制，只能产生如图1所示的变形波型。图1中的第2波形曲线为多波形，由于各半波相同，因此，可以按照第1波形曲线将多波形的1个半波作为研究对象。由于变形曲线的曲率是由两端向中间逐渐增加，故可近似假设轨道板在温度压力作用下的变形曲线yf为正弦形[12]。当变形波长为l、变形矢度为f时，变形曲线yf可写为
(1)
列车通过时，转向架最前及最后轴上的车轮会使轨道板产生类似于图2所示变形，同时，轨道板早期离缝区域由于不再受CA砂浆黏结强度的约束，离缝区域轨道板的变形与轨道板上拱方向的变形一致，因此，轨道板的此类变形可定义为板的弹性初始形变，用正弦曲线yoe表示。当变形波长为l、变形矢度为foe时，轨道板弹性初始弯曲的变形曲线yoe可表示为
(2)
图1 温度压力作用下轨道板竖向变形
Fig. 1 Vertical deformations of slab under temperature pressure
图2 轨道板弹性初始弯曲示意图
Fig. 2 Schematic diagram of elastic initial bending of slab
由生产、铺设环节造成的轨道板塑性变形很少，因此，Ⅱ型轨道板的塑性变形可由竖曲线及作为线下基础的桥梁梁体变形引起。
在统一公式中，考虑到曲线轨道上曲线半径对塑性初弯的影响，塑性初始弯曲采用圆曲线线型表示：当变形波长为l，曲线半径为R0时，塑性初始弯曲yop的变形曲线表示为
(3)
高速铁路线路的竖曲线半径不小于25 km[13]，竖曲线的曲率仅为0.04 mm-1，因此，竖曲线对Ⅱ型轨道板塑性初弯的影响可以忽略不计。
桥梁梁体造成的轨道板的塑性变形主要由梁端转角及梁体的收缩徐变产生。图3和图4所示分别为梁端转角及梁体徐变上拱下轨道板的变形示意图。
对于无砟轨道，最大的梁端转角θ仅为0.003 rad[13]。考虑到相邻支座间间距受桥墩截面尺寸影响一般较小，因而，梁端转角作用下的轨道板初始挠曲相对较小，故轨道板塑性初始变形曲线中忽略该项。
图3 梁端转角造成的轨道板变形
Fig. 3 Slab deformation caused by rotation angle of bridge end
图4 桥梁徐变上拱造成的轨道板变形
Fig. 4 Slab deformation caused by bridge camber
由图4可知：桥梁上拱造成的轨道板变形线型与梁体上拱挠曲相同。桥梁结构在计算预应力混凝土简支梁体徐变上拱变形造成的结构初始弯曲时，既可采用正弦曲线，也可采用余弦曲线，但多采用的是半波余弦曲线，即当变形波长为l，塑性初始弯曲矢度为fop时，塑性初始弯曲yop表示为
(4)
采用式(4)所示的半波余弦曲线表示轨道板的塑性初始弯曲时，临界压力表达式中塑性变形矢度fop将被约去，即临界压力不受轨道板塑性初始弯曲的影响，这一结论与实际情况不相符。考虑到梁体徐变上拱与轨道板受温度压力作用下的变形方向一致，均为上拱，本文中轨道板的塑性初弯变形曲线yop也采用正弦线型表示，具体形式为
(5)
因此，考虑初始弹、塑性弯曲变形时，Ⅱ型轨道板在有、无温度压力作用下的变形曲线yT及yo可分别表示为：
(6)
(7)
1.3 轨道结构形变能
基于1.1节中的基本假设，对于Ⅱ型板式轨道结构而言，在温度压力作用下，使轨道板保持竖向稳定性的有利因素由轨道板抗压缩、抗弯曲的能力以及轨道板自重构成。
1.3.1 轨道板压缩形变能A1
在温度压力P作用下，轨道板产生轴向压缩△l，则轨道板压缩形变能A1可写为
(8)
轨道板的轴向压缩△l可通过计算变形波长l变形后的弧弦差△lT与变形前的弧弦差△l0的差值获得。若设变形波长l中任一微小弦长dx对应的变形前后的弧长分别为ds与dsT，则△l0，△lT，ds及dsT的相互关系如图5所示。由图5可知，△lT，△l0及△l分别可写为：
(9)
(10)
(11)
图5 弧弦差示意图
Fig. 5 Schematic diagram of difference between arc and chord
将式(6)，(7)和(11)代入式(8)可得轨道板压缩形变能A1为
(12)
1.3.2 轨道板弯曲形变能A2
轨道板简化成压杆后，由于弯曲而产生的弯矩为Mf，转角为θf。若轨道板弹性模量为E，横截面惯性矩为J，β为换算系数，则由材料力学可知
。因此，由于弯曲而储存于轨道板内的形变能
。 A2由2部分组成：一部分是由原始弹性弯曲内力矩Moe变形而储存的形变能
；另一部分是由变形过程中因新增加的内力矩Mf而储存的形变能。
由以上分析可知，轨道板弯曲形变能A2可写为
(13)
1.3.3 轨道板重力势能A3
本文将轨道板的重力简化成沿梁长方向的均布荷载。若轨道板横截面面积为A，轨道板密度为ρ，重力加速度为g，则轨道板的重力势能A3可表示为
(14)
2 临界温度力计算公式
将式(12)~(14)相加可得轨道板总势能A的表达式为
(15)
按照势能驻值原理，对式(15)求关于变形矢度f的偏导，可得
(16)
则临界温度力(以下简称临界力)P的表达式为
(17)
由式(17)可知：当初始弯曲(foe，fop，l)一定，且在温度压力作用下轨道板产生变形
时，若要保持Ⅱ型轨道板结构稳定，则温度压力不大于P。
3 公式验证
由式(17)可知，临界力P与初始波长l、初始弹、塑性弯曲矢度foe以及fop和容许变形矢度f等参数密切相关。由于目前关于Ⅱ型轨道板稳定性的研究尚处于起步阶段，上述各项参数的取值均未确定，为便于对式(17)进行验证，本文除初始波长取为轨道板长度6.45 m外，其余参数按照文献[3]中统一公式的各参数取值，即容许变形矢度f为2 mm，初始弹、塑性弯曲矢度foe和fop均取为3 mm。Ⅱ型轨道板宽为2.55 m，厚度为0.2 m，弹性模量为3.5×1010 Pa，密度为2.5 t/m3，轨道刚度换算系数β为1，重力加速度为9.8 m/s2。
在无缝线路稳定性分析中，从轨道结构安全角度考虑，容许变形矢度f并未采用与真实临界力对应的矢度，而是取轨道结构处于弹性变形阶段的某一矢度。Ⅱ型板式轨道采用钢筋混凝土轨道板取代了散粒体的石砟道床，结构整体性及抗弯能力均明显比有砟轨道的强，若将Ⅱ型轨道板的容许变形矢度、初始弹、塑性弯曲矢度均按照统一公式的相应参数取值，则当轨道板的上拱变形矢度达到容许矢度时，Ⅱ型轨道板变形仍处于弹性状态。
因此，采用数值方法[14-15]验证本文推导的Ⅱ型轨道板的临界力计算公式。在初始弯曲(foe，fop，l)相同的条件下，若施加在使计算模型的变形矢度为f时的温度压力等于本文推导的临界力计算公式的计算结果，则证明该公式是正确的。
将各项参数代入式(17)中，计算的临界力P为17.21 MN。
若混凝土材料的线胀系数为α，弹性模量为E，横截面面积为A，则Ⅱ型轨道板的升温幅度△T与临界力P的关系式为[16]
(18)
将临界力P=17.21 MN代入式(18)，则Ⅱ型轨道板的容许升温幅度△t为91.8 ℃。
将△t=91.8 ℃作为温度荷载施加在通过ANSYS软件建立的同一弦长、同一初始弹、塑变形的计算模型中，计算的压杆上拱矢度如图6所示，上拱矢度为2.088 mm，与计算临界力P时采用的容许变形矢度2.000 mm相比，误差很小。
采用式(17)及数值分析方法分别计算了另外5种变形矢度，计算结果如表1所示。由表1可知：5种情况下，2种计算方法的变形矢量最大相对误差仅为2.3%，相对误差很小。说明本文推导的Ⅱ型板式轨道临界力计算公式是正确的。
图6 轨道板上拱变形
Fig. 6 Up-warping deformation of slab
表1 变形矢度公式计算结果与数值模拟结果对比
Table 1 Comparison between calculated results and numerical simulation results mm
4 最不利波长
由式(17)可知，临界力P与轨道板的弯曲刚度及波长范围内轨道板的自重密切相关。若容许变形矢度f保持固定，变形波长 l越长，则轨道板的弯曲形变能越小，而重力势能大；变形波长l越短，则轨道板的弯曲形变能越大，而重力势能越小。因此，必然有1个变形波长l能够使临界力P为最小，通过对式(17)按照函数极值问题的求解方法，即对临界力P求关于变形波长l的导数，可求得最不利的变形波长lmin，使临界力P为最小。临界力P为最小时的变形波长lmin为
(19)
将各项参数代入式(19)中可得最不利波长lmin为6.53 m。即临界力P为最小的变形波长lmin为6.53m，约为1块Ⅱ型轨道板的长度。
5 Ⅱ型轨道板稳定性分析
当式(17)中的各参数按照文献[3]中的统一公式各项进行取值时，变形波长l与临界力P的关系如图7所示。由图7可知：在5种变形波长条件下，本文推导的临界力公式的计算结果与用有限元方法计算的结果非常接近；当变形波长从6.45 m增加到32.25 m时，临界力则由17.21 MN增加到209.92 MN。说明随着变形波长的增加，轨道板保持竖向稳定的能力增强。产生这一结果的原因是：随着变形波长的增加，轨道板的压缩形变能及重力势能均在增加，因此，波长越长，轨道板上拱相同矢度时，需要的温度压力也越多。
在5种变形波长条件下，轨道板的最小容许升温幅度为91.8 ℃，即若轨道板的板温升高幅度不大于91.8 ℃，则轨道板处于稳定状态。目前已有实测结果表明，Ⅱ型轨道板最大升温幅度约为40 ℃，在5种变形波长条件下，Ⅱ型轨道板允许升温幅度相对于实测最大升温幅度要大很多，因此，在温度压力作用下，轨道板虽然有一定程度的上拱，但轨道结构丧失稳定性的可能性很小。
图7 变形弦长与临界力关系曲线
Fig. 7 Relationship between deformation wavelength and critical force
6 结论
1) 推导的Ⅱ型轨道板的临界力计算公式经数值分析方法验证是正确的。
2) 采用推导的临界力计算公式计算临界力最小时的最不利波长为6.53 m，约为1块轨道板的长度。
3) 临界力公式计算的轨道板允许升温幅度远大于实测的最大升温幅度，因此，轨道板由温度压力产生的上拱变形造成轨道板竖向失稳的可能性很小。
参考文献：
[1] 中铁第四勘察设计院集团有限公司. 客运专线无砟轨道维修技术研究[R]. 武汉: 中铁第四勘察设计院集团有限公司, 2013: 145-155.
The Fouth Railway Survey and Design Institute Group Co.Ltd. Maintenance technology research on ballastless track of passenger dedicated line[R]. Wuhan: The Fourth Railway Survey and Design Institute Group Co. Ltd., 2013: 145-155.
[2] 陈铁云, 沈惠申. 结构的屈曲[M]. 上海: 上海科学技术文献出版社, 1993: 20-132.
CHEN Tieyun, SHEN Huishen. Buckling of the structure[M]. Shanghai: Shanghai Science and Technology Press, 1993: 20-132.
[3] 曾志平. 有限单元法在无缝线路稳定性计算中的应用[J]. 石家庄铁道学院学报, 2002, 15(2): 69-72.
ZENG Zhiping. The application of finite element method in stability calculation of CWR[J]. Journal of Shijiazhuang Railway Institute, 2002, 15(2): 69-72.
[4] 广钟岩, 高惠安. 铁路无缝线路[M]. 北京: 中国铁道出版社, 2005: 108-132.
GUANG Zhongyan, GAO Huian. Jointless rail[M]. Beijing: Chinese Railway Press, 2005: 108-132.
[5] 张向民, 陈秀方. 无缝线路稳定性可靠度计算及参数敏感性分析[J]. 铁道学报, 2007, 29(4): 70-73.
ZHAO Xiangmin, CHEN Xiufang. Calculation of reliability of CWR track stability and parameter sensitivity analysis[J]. Journal of the China Railway Society, 2007, 29(4): 70-73.
[6] 杨荣山. 轨道工程[M]. 北京: 人民交通出版社, 2013: 30-80.
YANG Rongshan. Railway engineering[M]. Beijing: China Communications Press, 2013: 30-80.
[7] 王平, 刘学毅. 冻结无缝线路稳定性分析[J]. 西南交通大学学报, 2000, 35(5): 460-464.
WANG Ping, LIU Xueyi. An analysis of the stability of tracks with frozen joints[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2000, 35(5): 460-464.
[8] 田春香, 王平. 基于统一公式的无缝道岔稳定性分析[J]. 西南交通大学学报, 2003, 38(4): 375-379.
TIAN Chunxiang, WANG Ping. Stability analysis of jointless turnout based on general formula[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2003, 38(4): 375-379.
[9] 张向民, 陈秀方. 无缝线路轨道稳定性简便计算方法[J]. 铁道学报, 2007, 29(1): 124-126.
ZHANG Xiangmin, CHEN Xiufang. A convenient computational method for analyzing the stability of continuously welded rail tracks[J]. Journal of the China Railway Society, 2007, 29(1): 124-126.
[10] 罗雁云, 李振廷. 轨道参数变化对无缝线路稳定性影响[J]. 中国铁道科学, 2008, 29(2): 33-37.
LUO Yanyun, LI Zhenting. Effect of parametric variation on CWR track stability[J]. China Railway Science, 2008, 29(2): 33-37.
[11] 李秋义, 陈秀方. 基于模糊横移限值的无缝线路稳定性可靠度[J]. 中国铁道科学, 2001, 22(3): 63-66.
LI Qiuyi, CHEN Xiufang. Reliability analysis of CWR track stability based on allowable lateral track displacement[J]. China Railway Science, 2001, 22(3): 63-66.
[12] 许实儒. 能量变分原理在无缝线路稳定计算中的运用[M]. 北京: 中国铁道出版社, 1985: 30-40.
XU Shiru. The energy variational principle used in CWR stability calculation[M]. Beijing: Chinese Railway Press, 1985: 30-40.
[13] TB 10621—2014. 高速铁路设计规范[S].
TB 10621—2014. Code for design of high speed railway[S].
[14] 魏贤奎, 陈嵘, 王平. 护轨对桥上无缝线路稳定性的影响[J]. 中国铁道科学, 2012, 33(4): 91-93.
WEI Xiankui, CHEN Rong, WANG Ping. Guard rail's influence on the stability of CWR on the bridge[J]. China Railway Science, 2012, 33(4): 91-93.
[15] 冯青松, 宗德明, 雷晓燕. 无缝线路稳定性分析有限元模型[J]. 中国铁道科学, 2005, 26(1): 7-13.
FENG Qingsong, ZONG Deming, LEI Xiaoyan. Finite element model for analyzing the stability of CWR[J]. China Railway Science, 2005, 26(1): 7-13.
[16] 练松良, 宗德明. 特殊地段无缝线路的结构分析[J]. 交通运输工程学报, 2001, 1(3): 15-17.
LIAN Songliang, ZONG Deming. The structure analysis about continuously welded rail in special railway section[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering, 2001, 1(3): 15-17.
(编辑 赵俊)
收稿日期：2014-12-13；修回日期：2015-02-20
基金项目(Foundation item)：国家重点基础研究发展规划(973计划)项目(2013CB036202)；国家自然科学基金资助项目(51278431，51208438)(Project (2013CB036202) supported by the National Basic Research Development Program (973 Program) of China; Projects (51278431, 51208438) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：刘学毅，博士，博士生导师，从事高速重载轨道结构及轨道动力学研究；E-mail：yliu@home.swjtu.edu.cn
