DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.09.041
浅埋隧道围岩破裂面的极限平衡分析
郭子红1, 2, 3，刘新荣2，朱占元1, 3
(1. 四川农业大学 土木工程学院，四川 都江堰，611830；
2. 重庆大学 土木工程学院，重庆，400045；
3. 四川农业大学 村镇建设防灾减灾四川省高等学校工程研究中心，四川 都江堰，611830)
摘要：为探索浅埋隧道稳定性定量分析，采用极限平衡法和变分原理分别建立自由边界条件下浅埋隧道的垂直型、倾斜型和曲线型破裂面稳定分析方法，结合数值模拟共同分析浅埋隧道破裂面分布形式和稳定性指标。研究结果表明：当F为静止土压力时，曲线型和倾斜型破裂面条件下所获浅埋隧道破裂面分布和安全系数很接近，且所获安全系数最小，选择其作为浅埋隧道稳定性分析比较保守；浅埋隧道围岩破裂面分布受内摩擦角、内聚力和支护压力的影响相对较小，受隧道埋深影响最显著；内摩擦角和埋深对隧道安全系数影响相对较小，内聚力和支护压力对隧道稳定系数影响最显著，增加围岩内聚力和支护压力是提升隧道安全系数最有效的方法。
关键词：浅埋隧道；破裂面；稳定；极限平衡；变分原理
中图分类号：U415 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2016)09-3217-08
Limit equilibrium analysis for shallow tunnel’s surrounding rock sliding surface
GUO Zihong1, 2, 3, LIU Xinrong2, ZHU Zhanyuan1, 3
(1. School of Civil Engineering, Sichuan Agricultural University, Dujiangyan 611830, China;
2. School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China;
3. Sichuan Higher Institution Engineering Research Center of Rural Construction Disaster Prevention and Reduction, Sichuan Agricultural University, Dujiangyan, 611830, China)
Abstract: In order to analyze the shallow tunnel’s stability, the analytical methods for shallow tunnel’s sliding surface were set up on the base of the limit equilibrium method and the variational principle in the hypothesis that sliding surfaces were vertical line, inclined line or curve. The shallow tunnel’s sliding surface distribution and stability index were studied with the numerical simulation and analytical method. The results show that when F is equal to the static earth pressure and the sliding surfaces are inclined line and curve, the shallow tunnel’s safety factors and sliding surface distribution are consistent with each other for both sliding surface, the value of safety factor is minimum, and it is conservative to choose it for stability analysis for a shallow tunnel. The shallow tunnel surrounding rock’s cohesion, internal friction and support pressure have a little influence on the sliding surface’s distribution. But the tunnel depth has an evident influence on it. The shallow tunnel surrounding rock’s cohesion and support pressure have obvious influence on the tunnel’s safety factor, and the tunnel depth and friction angle’s effect on tunnel safety factor is unobvious. Increasing cohesion and support pressure is the most applicable methods of enhancing tunnel stability.
Key words: shallow tunnel; sliding surface; stability; limit equilibrium; variational principle
浅埋隧道是隧道工程中常见的形式，通常情况下围岩的力学特性较差，受力和破坏比较复杂，施工过程中很容易出现塌方和冒顶等不利现象，浅埋隧道围岩稳定性备受工程界关注[1-2]。基于极限平衡法，TERZAGHI等[3-4]提出浅埋隧道的受力计算方法，这些方法主要是以给定的简单直线破裂面为基础进行受力分析的，而折线型破裂面[5-8]和曲线型破裂面[9-13]分别用于对受力分析改进，模型试验结果表明浅埋隧道破裂面为曲线分布[14]，但就隧道破裂面分布的形式和位置而言，暂无公认的结论。安全系数作为定量评价指标广泛用于边坡稳定性分析，有限元、FLAC、RFPA、理论分析逐渐用于分析隧道的安全系数作为稳定性判据[15-19]，但现有成果有待深入研究，开展浅埋隧道的稳定性定量分析具有重要现实意义。鉴于此，本文作者采用极限平衡法和变分原理分别建立自由边界条件下浅埋隧道的垂直型、倾斜型和曲线型破裂面稳定分析方法，结合数值模拟共同分析浅埋隧道破裂面分布和稳定性指标；以此分析各种因素对浅埋隧道破裂面和稳定系数的影响，研究成果可供浅埋隧道的设计与施工参考。
1 浅埋隧道受力模型简化
地表作用有均布荷载q，支护结构作用有均匀法向应力
，围岩自重为
，内聚力为c，内摩擦角为
，埋深为t，地面到隧道中心垂直距离为h，拱顶半径为r的浅埋隧道进行简化受力分析模型如图1所示。隧道处于结构对称荷载对称状态，从AB处将隧道切开，截面上没有剪应力而只有正应力。可将AB截面上的应力简化为一个垂直于该截面的合力F。如果能将合力F的位置与大小确定，可选取结构的一半进行隧道稳定性分析。
数值模拟分析隧道开挖对AB截面平均正应力影响如图2所示。由图2可知：当相对埋深为0.5时，平均应力增加系数ks(应力增加平均值/原始应力平均值)为2.03；当相对埋深增加至3时，平均应力增加系数ks减少至0.23。由此可知开挖隧道后AB截面平均正应力具有增加趋势，此时应力会大于静止土压力，但不会超过土的临界承载力，将分别选择F为静止土压力和临界承载力进行分析。简化静止土压应力
，根据半经验公式选取
作为隧道拱顶的静止土压力系数；土单轴抗压强度为临界承载力。
图1 浅埋隧道分析模型
Fig. 1 Shallow tunnel model
图2 隧道开挖对AB截面平均正应力影响
Fig. 2 Excavation tunnel’s influence on average normal stress of section AB
2 浅埋隧道围岩破裂面及稳定性分析
根据图1，浅埋隧道地表可采用
表示，隧道上半圆可采用
表示。为简化分析假设：1) 隧道处于平面应变状态，只探讨平面内的破坏；2) 滑动区域内的地表荷载全部简化为下滑力；3) 水对隧道围岩稳定的影响主要考虑围岩被水浸湿后其自重变为
，内聚力为
，内摩擦角为
；4) 地震对隧道围岩稳定的影响主要考虑地震的垂直作用影响，地震系数为
。
2.1 基于垂直破裂面对浅埋隧道围岩稳定性分析
Terzaghi地压理论在分析围岩压力时假定破裂面为垂直线，以图1中浅埋隧道的垂直破裂面为分析对象，假定浅埋隧道的破裂面为沿隧道周边移动的任意垂直面，截面AB上只存在水平应力，其合力为F，简化水平应力对滑体ABDC稳定产生的影响为阻止其下滑的抗力
； C和D 2点的x坐标为x0，滑体ABCD向下的滑移力为FX
(1)
式中：
，截面CD上阻止滑体ABCD向下的抗滑力为FK
(2)
滑体ABCD滑动时应沿着破裂面DC向下移动，破裂面应为安全系数最小的截面。定义浅埋隧道的安全系数Fs为下滑力FX与抗滑力FK的比值：
(3)
令Fs对x0求偏导等于0可得满足Fs极值条件方程，简化得：
(4)
求得x0后代入式(3)可得出浅埋隧道的安全系数Fs。
2.2 基于倾斜破裂面对浅埋隧道围岩稳定性分析
对图1中破裂面为倾斜面条件下浅埋隧道的稳定性进行分析，C和D这2点的坐标分别为
和
，破裂面CD的斜率为k，破裂面CD的表达式为
，可得隧道破裂面上的下滑力
为
(5)
隧道破裂面上的抗滑力
为
(6)
式中：
为破裂面与水平方向的夹角。同样选取浅埋隧道的破裂面为安全系数最小的滑裂面，安全系数
为下滑力与抗滑力的比值。
(7)
Fs内含有x0和k 2个变量，由多元函数的极值求解可知Fs取得极值的充分条件为
(8)
式(8)为非线性方程组，可采用迭代法求出x0和k取得极值时的数值，再将x0和k代入式(7)求得安全系数。
2.3 变分原理对浅埋隧道围岩稳定性分析
浅埋隧道破裂面的位置和形状暂无公认结论，当破裂面为任意位置和任意曲线时其受力可简化为图1所示曲线型破裂面。此时破裂面通过地表的D点和隧道周边的C点都是不确定的，且破裂面的类型也不确定，该条件下无法采用常规方法令函数求导为0进行求解。如能建立一个与浅埋隧道稳定性相关的泛函，便可根据可动边界的变分问题求解出D和C这2点的位置及破裂面的表达式。
将DC面上的下滑力与抗滑力的作用方向视为同一方向，水平应力对滑动区域产生的影响为：增加抗滑力
和减小下滑力
，为C和D 这2点的连线与水平方向的夹角。
图1中C和D 2点的坐标分别为
和
，可得浅埋隧道曲线型破裂面上的下滑力
：
(9)
浅埋隧道曲线型破裂面上的抗滑力
：
(10)
隧道安全系数
，安全系数Fs要取得极值，应满足Fs分别对x0和x1求偏导等于0，从而建立2个方程，作为Fs达到极值时x0和x1必须满足的条件：
(11)
(12)
此处必须解决x0，x1和y的分布问题，y是属于
区域函数，且分布形式不明确，不能直接采用求导方法求解。如只分析y在区域内的极值，可采用变分原理进行分析，但Fs属于
区域。怎样将区域的安全系数
的极值问题与区域破裂面y的分布结合起来，是求解Fs的关键问题。令对y求偏导等于0，可得：
(13)
当与相等，即
时，式(13)可简化为只含偏导部分表达式，由于和只在区域才有y，式(13)即可简化为区域内对某一函数求极值的形式。
区域内的土体产生的抗滑力和下滑力分别为：
(14)
(15)
选取泛函
：
(16)
取得极值的条件正好与=1时式(13)极值的条件一致，同时将式(11)和式(12)简化为：
(17)
(18)
当所得≠1时，采用强度折减法改变土体强度参数，得浅埋隧道破裂面的计算流程如图3所示。y(x)的表达式就是所求的破裂面，沿该破裂面所求出的隧道安全系数应为最小。把求解浅埋隧道的破裂面问题转化为求解泛函T的极小值问题。
图3 破裂面分析流程
Fig. 3 Analysis process of sliding surface
为获得破裂面y(x)的表达式，必须根据边界条件选择恰当的基函数。因为泛函T的边界条件属于非齐次的，并且在该坐标下满足条件的基函数相当复杂，为使计算简单将坐标原点移至C点。由式(16)获得新泛函
为
(19)
泛函
的边界条件为
(20)
将该非齐次边界条件简化为齐次边界，令函数z为
(21)
(22)
(23)
式(20)能同时满足式(19)和式(21)的边界条件，所以是合理的。采用Ritz法选取基函数
：
(24)
将所选基函数代入式(19)和式(21)，令泛函取得极小值则有：
(25)
根据式(17)、式(18)和式(25)建立n+2个等式的方程组，可求得破裂面y(x)的分布和隧道的安全系数。
3 浅埋隧道破裂面优选
根据垂直型、倾斜型和曲线型破裂面条件可得出浅埋隧道的3种破裂面的分布与安全系数，根据该3种破裂面分析方法采用Matlab编程获取数值解。以下采用案例分析不同方法获得浅埋隧道破裂面的分布与安全系数，并结合ANSYS共同分析浅埋隧道的破裂面分布和稳定性。
浅埋隧道地表作用有均布荷载q=50 kPa，围岩自重为
2.2×10=22 kN/m3，埋深为t=6 m，拱顶半径为r=6 m，垂直方向的地震系数
，内聚力和内摩擦角分别为c=150 kPa，
35°，F为临界土压力时可得Fc=3 458 kN；F为静止土压力时根据经验公式可得F0=297 kN。
F为临界土压力时获得垂直型和倾斜型破裂面结果，且倾斜型破裂面已经变成垂直破裂面，两者的结果基本重合，破裂面如图4所示。
图4 F为临界土压力下的破裂面
Fig. 4 Sliding surface when F is equal to critical earth pressure
F为静止土压力下的破裂面的分布，如图5所示。由图5可知：变分方法获得的浅埋隧道破裂面与倾斜破裂面条件获得的破裂面基本重合。采用变分方法获得破裂面的起点的x0坐标为5.31 m，终点的x1坐标为9.56 m，起点和终点的连线非常接近直线，斜率大于2，总体基本形成一漏斗，与文献[6]的分析结果接近。垂直型破裂面条件获得破裂面起点和终点的x坐标为5.05 m，该破裂面分布形式与其他2种方法获得的结果相差较大。
基于强度折减法将稳定系数接近1时浅埋隧道的竖向位移和塑性剪切应变如图6所示。由图6可知：最大塑性剪切应变分布在拱肩附近，最大竖向位移分布在拱顶处。从最大塑性剪切应变处为起点，竖向位移等值线所围成的区域与F为静止土压力下倾斜型和曲线型破裂面围成区域性质较接近。
图5 F为静止土压力下的破裂面
Fig. 5 Sliding surface when F is equal to static earth pressure
图6 浅埋隧道数值分析结果
Fig. 6 Numerical simulation results of shallow tunnel
数值模拟和3种类型破裂面条件下获得的安全系数如图7所示。由图7可知：数值模拟获得的安全系数为1.69；当F为临界土压力时，采用变分原理进行计算时收敛困难，暂无结果；垂直型和倾斜型破裂面获得的安全系数很接近，为2.68，按现有规范中倾斜型破裂面起点位于拱脚，分析得安全系数为3.73，远大于数值模拟结果。当F为静止土压力时，垂直型破裂面条件下获得的安全系数为1.20，倾斜型破裂面条件下获得的安全系数为0.944，曲线型破裂面获得的安全系数为0.942，此时的安全系数全小于数值模拟结果。当倾斜型破裂面起点在拱脚进行分析，其安全系数为0.991。当F为临界土压力时，所得安全系数远大于数值模拟所得安全系数；当F为静止土压力时，所得安全系数都小于数值模拟所得安全系数。因此，选择F为静止土压力进行浅埋隧道稳定性分析是相对保守和可行的。
图7 浅埋隧道安全系数对比
Fig. 7 Safety factor comparison of shallow tunnel
虽然采用变分方法求解的隧道破裂面及稳定性假设条件少，获得的结果更合理，但分析过程较为复杂。由图4~6可知：数值模拟、倾斜型、曲线型破裂面所获破裂面分布相近，倾斜型和曲线型破裂面所获安全系数基本相等，且小于数值模拟结果。采用自由边界条件下浅埋隧道倾斜型破裂面稳定分析方法可较好获取破裂面分布和稳定系数，且避开复杂分析过程。
4 浅埋隧道围岩破裂面的影响因素
选择F为静止土压力和自由边界条件下浅埋隧道倾斜型破裂面稳定分析方法，以案例为基础，分析各参数对浅埋隧道围岩破裂面分布和稳定性的影响。
浅埋隧道围岩内摩擦角对破裂面的影响如图8所示。由图8可知：随着内摩擦角从20°增加到40°，破裂面的起点x0从5.87 m增加到5.96 m，破裂面斜率k从1.89增加到2.58，表明内摩擦角对破裂面的影响较小。
图8 内摩擦角对破裂面的影响
Fig. 8 Internal friction angel’s influence on sliding surface
浅埋隧道围岩内聚力对破裂面的影响如图9所示。由图9可知：随着内聚力从80 kPa增加至160 kPa破裂面的斜率k从2.53减小到2.00，破裂面的起点坐标没有明显变化，表明内聚力对破裂面的影响较小。
图9 内聚力对破裂面的影响
Fig. 9 Cohesion’s influence on sliding surface
浅埋隧道相对埋深(t/r)对破裂面的影响如图10所示。从图10可以看出：随着隧道埋深的不断减小，隧道破裂面的起点不断向拱顶靠近；相对埋深从1.25减小至0.25时，x0的坐标从5.96 m减小到5.09 m，斜率k从 2.18增加到2.33，表明当浅埋隧道埋深对破裂面的影响较大，埋深越小，破裂面越往拱顶靠拢。
支护压力对浅埋隧道破裂面的影响如图11所示。由图11可以看出：当支护压力从0 kPa增加到80 kPa时，破裂面的斜率k从2.19减少到1.80；破裂面起点x0从5.92增加到5.99，破裂面具有向两侧移动的趋势，但总体影响小。
浅埋隧道稳定性影响因素如图12所示。从图12可以看出：当围岩内摩擦角从20°增加到40°时，安全系数从0.75增加到0.80；相对埋深从0.25增加到1.25时，安全系数变化只有0.02，表明隧道相对埋深和内摩擦角对安全系数的影响较小。当内聚力从80 kPa增至160 kPa时，安全系数从0.57增加到0.98；支护压力从0 kPa增加到80 kPa时，安全系数从0.78增加到0.94，表明提高浅埋隧道内聚力和支护压力能显著提升其稳定性。
图10 隧道相对埋深( t/r)对破裂面的影响
Fig. 10 Influence of tunnel’s t/r on sliding surface
图11 支护压力对破裂面的影响
Fig. 11 Influence of supporting pressure on sliding surface
图12 浅埋隧道稳定性影响因素
Fig. 12 Factors affecting stability of shallow tunnel
5 结论
1) 基于极限平衡法和变分原理分别获得了自由边界条件下浅埋隧道的垂直型、倾斜型和曲线型破裂面稳定分析方法。
2) 当F为临界土压力时，倾斜型与垂直型破裂面条件下的破裂面和安全系数基本一致，但安全系数远大于数值分析结果，不宜选择F为临界土压力进行隧道安全性分析。
3) 当F为静止土压力时曲线型和倾斜型破裂面条件下所获破裂面分布和安全系数都很接近，其两者所获稳定系数最小，选择其作为浅埋隧道稳定性分析较为合理和保守。
4) 分析浅埋隧道围岩破裂面和稳定性的影响因素得：浅埋隧道围岩破裂面受内摩擦角、内聚力和支护压力的影响相对较小，受隧道埋深影响最显著；内摩擦角和埋深对的隧道安全系数影响相对较小，内聚力和支护压力对隧道稳定系数影响最显著，内聚力和支护压力越大，隧道越稳定。
参考文献：
[1] 张建国, 王明年, 罗禄森, 等. 浅埋大跨度隧道拆撑对初支安全性影响分析[J]. 岩土力学, 2009, 30(2): 497-502.
ZHANG Jianguo, WANG Mingnian, LUO Lusen, et al. Analysis of influence of dismantling temporary supports on preliminary lining of large-span shallow tunnel[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(2): 497-502.
[2] 李鹏飞, 周烨, 伍冬. 隧道围岩压力计算方法及其适用范围[J]. 中国铁道科学, 2013, 34(6): 55-60.
LI Pengfei, ZHOU Ye, WU Dong. Calculation methods for surrounding rock pressure and application scopes[J]. China Rail Way Science, 2013, 34(6): 55-60.
[3] 龚建伍, 夏才初, 雷学文. 浅埋小净距隧道围岩压力计算与监测分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2010, 29(增2): 4139-4145.
GONG Jianwu, XIA Caichu, LEI Xuewen. Analysis of field measurement and theoretical calculation on rock pressure in shallow-buried twin tunnels with small spacing[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(Suppl 2): 4139-4145.
[4] LEI Mingfeng, PENG Limin, SHI Chenghua. Calculation of the surrounding rock pressure on a shallow buried tunnel using linear and nonlinear failure criteria[J]. Automation in Construction, 2014, 37: 191-195.
[5] 杨小礼, 王作伟. 非线性破坏准则下浅埋隧道围岩压力的极限分析[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2010, 41(1): 299-302.
YANG Xiaoli, WANG Zuowei. Limit analysis of earth pressure on shallow tunnel using nonlinear failure criterion[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2010, 41(1): 299-302.
[6] 刘小军, 张永兴, 黄达. 破碎围岩浅埋偏压隧道衬砌荷载的计算方法[J]. 土木建筑与环境工程, 2011, 33(5): 28-33.
LIU Xiaojun, ZHANG Yongxing, HUANG Da. Load calculation method of shallow tunnel under unsymmetrical loadings in broken surrounding rock[J]. 2011, 33(5): 28-33.
[7] YAMAMOTO K, LYAMIN A V, WILSON D W. Stability of a circular tunnel in cohesive-frictional soil subjected to surcharge loading[J]. Computers and Geotechnics, 2011, 38(4): 504-514.
[8] YAMAMOTO K, LYAMIN A V, WILSON D W, et al. Stability of dual circular tunnels in cohesive-frictional soil subjected to surcharge loading[J]. Computers and Geotechnics, 2013, 50(5): 41-54.
[9] YANG X L, HUANG F. Collapse mechanism of shallow tunnel based on nonlinear Hoek–Brown failure criterion[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2011, 26(6): 686-691.
[10] FRALDI M, GUARRACINO F. Evaluation of impending collapse in circular tunnels by analytical and numerical approaches[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2011, 26(4): 507-516.
[11] FRALDI M, GUARRACINO F. Limit analysis of collapse mechanisms in cavities and tunnels according to the Hoek–Brown failure criterion[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2009, 46(4): 665-673.
[12] FRALDI M, GUARRACINO F. Analytical solutions for collapse mechanisms in tunnels with arbitrary cross sections[J]. International Journal of Solids and Structures, 2010, 47(2): 216-223.
[13] STERPI D, CIVIDINI A. A physical and numerical investigation on the stability of shallow tunnels in strain softening media[J]. Rock Mechanics and Rock Engineering, 2004, 37(4): 277-298.
[14] LEI Mingfeng, PENG Limin, SHI Chenghua. Model test to investigate the failure mechanisms and lining stress characteristics of shallow buried tunnels under unsymmetrical loading[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2015, 46(1): 64-75.
[15] GOH A T C, ZHANG W. Reliability assessment of stability of underground rock caverns[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2012, 55(10): 157-163.
[16] 李树忱, 李术才, 徐帮树. 隧道围岩稳定分析的最小安全系数法[J]. 岩土力学, 2007, 28(3): 761-766.
LI Shuchen, LI Shucai, XU Bangshu. Minimum safety factor method for stability analysis of surrounding rockmass of tunnel[J]. Rock and Soil Mechanics, 2007, 28(3): 761-766.
[17] 郑颖人, 邱陈瑜, 张红, 等. 关于土体隧洞围岩稳定性分析方法的探索[J]. 岩石力学与工程学报, 2008, 27(10): 1968-1980.
ZHENG Yingren, QIU Chenyu, ZHANG Hong, et al. Exploration of stability analysis methods for surrounding rocks of soil tunnel[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(10): 1968-1980.
[18] 唐春安, 李连崇, 李常文, 等. 岩土工程稳定性分析 RFPA 强度折减法[J]. 岩石力学与工程学报, 2006, 25(8): 1522-1530.
TANG Chunan, LI Lianchong, LI Changwen, et al. RFPA strength reduction method for stability analysis of geotechnical engineering[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2006, 25(8): 1522-1530.
[19] 黄阜, 杨小礼, 赵炼恒, 等. 基于非线性破坏准则和强度折减法的浅埋隧道安全系数上限解[J]. 工程力学, 2013, 30(12): 160-166.
HUANG Fu, YANG Xiaoli, ZHAO Lianheng, et al. Upper bound solutions of safety factor for shallow tunnels subjected to nonlinear failure criterion and strength reduction method[J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(12): 160-166.
(编辑 刘锦伟)
收稿日期：2015-06-12；修回日期：2015-09-18
基金项目(Foundation item)：国家高技术研究发展计划(863计划)项目(2007AA11Z110)；国家自然科学基金资助项目(50334060)；四川省教育厅资助科研项目(11ZB055) (Project(2007AA11Z110) supported by the National High Research Development Program (863 Program) of China; Project(50334060) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(11ZB055) supported by the Education Department’s Scientific Research Foundation of Sichuan Province)
通信作者：郭子红，博士，副教授，从事岩土工程与地下工程的教学与研究；E-mail: guozihonghyx@126.com
