基于广义Hoek-Brown强度准则的岩体应变软化行为模型

韩建新^{1, 2}，李术才²，汪雷^{2, 3}，张永伟^{2, 4}，杨为民²

(1. 山东财经大学 数学与数量经济学院，山东 济南 250014；

2. 山东大学 岩土与结构工程研究中心，山东 济南 250061；

3. 工程兵学院，江苏 徐州，221004；

4. 山东省地质环境监测总站，山东 济南，250014)

摘要：基于岩体的强度参数随着最大塑性主应变的增加而逐渐演化这一力学行为，采用广义Hoek-Brown(H-B)强度准则，以最大塑性主应变作为应变软化参数，假设广义Hoek-Brown强度准则中的强度参数m，s和a为最大塑性主应变的双线性函数条件下，通过理论推导给出岩体应变软化曲线非线性表达式的求法。最后结合算例分析度参数m，s和a的演化规律对岩体应变软化行为的影响。研究结果表明：强度参数m和s的残余值越大且a的残余值越小，则软化曲线下降得越缓和，岩体的残余强度越大。

关键词：岩体；广义Hoek-Brown强度准则；应变软化行为；强度参数

中图分类号：TU45           文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)11-4702-05

Model for strain-softening behavior of rock mass based on generalized Hoek-Brown strength criterion

HAN Jianxin^{1, 2}, LI Shucai², WANG Lei^{2, 3}, ZHANG Yongwei^{2, 4}, YANG Weimin²

(1. School of Mathematic and Quantitative Economics, Shandong University of Finance and Economics, Jinan 250014, China;

2. Research Center of Geotechnical and Structural Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China;

3. Institute of Engineering Corps, Xuzhou 221004, China;

4. Shandong Monitoring Center of Geo-Environment, Jinan 250014, China)

Abstract: Based on the mechanical behavior that the strength parameters evolve with the increase of major principal plastic strain, the method of solving nonlinear express of strain softening curve of rock mass was proposed by theoretical derivation by using the generalized Hoek-Brown (H-B) strength criterion and choosing the major principal plastic strain as strain softening parameter, on the assumption that the strength parameters m, s and a in generalized Hoek-Brown strength criterion can be described by bilinear function of the major principal plastic strain. Finally, in numerical case, the influence of evolutional law of strength parameters m, s and a on strain softening behavior was discussed. The results show that the larger the residual values of m, s and the smaller the residual value of a, the post-failure strain softening curve falls more gently and the larger the residual strength is.

Key words: rock mass; generalized Hoek-Brown strength criterion; strain softening behavior; strength parameters

在岩体工程开挖中，围岩经常处于峰后应变软化状态，随着变形的增加，强度逐渐降低，岩体可能会突然失稳，造成经济上的损失，甚至人员伤亡。另外，在峰后软化阶段，由于应力的跌落方式的不确定性，其力学行为难以用经典理论来描述^[1]，随着变形的增加，各种力学特性也发生很大的变化。因此开展岩体应变软化行为研究对于理解岩体峰后的力学行为和工程安全预测具有重要的理论意义和实践意义。在岩体的峰后力学行为研究方面，最初人们使用理想弹塑性模型来描述岩体峰后应变软化行为，但随着工程实践的深入开展，人们发现这一模型对于质量较好的岩体来说并不合适。Hoek等^[2]根据岩体质量的好坏，把岩体的峰后力学行为划分为3种模式，分别是理想弹塑性模型、理想弹脆性模型和应变软化模型。对于前两种模型，由于其简便性在工程中已得到了一定的应用，而对于应变软化模型，为了准确刻画峰后软化行为，除了需要确定峰值处和残余阶段处的力学参数外，还需确定软化阶段力学参数的演化行为，因而研究起来比较复杂。在软化行为研究方面，人们采用不同方法开展了一定的研究工作。Krajcinovic等^[3-6]利用统计损伤模型来研究峰后的软化行为。陆银龙等^[7]通过对软弱泥岩进行常规三轴压缩试验得到了不同围压下的全应力–应变关系曲线，然后依据峰后岩石任意一点应力状态均满足Mohr-Coulomb极限破坏条件的假设，建立以广义黏聚力和广义内摩擦角2个状态参数来表征的软弱岩石后继屈服面模型，在此基础上，利用试验数据对软弱围岩峰后应变软化力学特性进行了分析。唐志成等^[8]通过对峰值后的强度降、切向位移进行归一化处理，给出了节理归一化的位移软化模型。王学滨^[9]基于梯度塑性理论对峰后变形特征进行了研究。周斌等^[10]通过考虑岩体应变软化特征，利用快速拉格朗日差分法建立三维数值计算模型，分析岩样在三轴应力作用下应力变形关系和抗剪强度参数的变化情况。Fang^[11]用岩石峰后折减系数来研究峰后的软化行为。王水林等^[12]采用数值试验对岩土介质的峰后应 力-应变曲线进行了研究。另外，张春会等^[13-14]也对峰后软化行为进行了研究。以上研究深化了人们对峰后软化行为的认识，但这些研究有的参数考虑比较单一，有的采用线性的Mohr-Coulomn强度准则(与很多岩石材料实验观察到的强度包络线为非线性不相符)，导致模型不便于工程应用或模拟结果与实际工程误差较大。在研究岩体的强度和软化行为方面(尤其是裂隙岩体)，作为非线性准则，Hoek-Brown强度准则是一个非常可靠的工具，在岩石力学领域得到了广泛的认可^[15]，但采用Hoek-Brown强度准则，以最大塑性主应变ε_1p作为应变软化参数，基于强度参数的演化行为，开展峰后软化行为方面的研究工作较少。本文作者采用广义Hoek-Brown强度准则，基于强度参数随着最大塑性主应变的增加而演化这一力学行为，以最大塑性主应变作为应变软化参数，研究了岩体的峰后应变软化行为，并结合实例讨论了强度参数m，s和a的演化规律对应变软化行为的影响。

1  岩体应变软化行为研究模型

如图1所示，假设岩体所受轴压为σ₁，围压为σ₃，提出如下假设：

(1) 假设在峰后软化阶段不存在弹塑性耦合现象；

(2) 在峰前变形阶段，应力应变之间满足线弹性关系；

(3) 在峰后软化阶段，广义Hoek-Brown强度准则成立。

图1  岩体力学模型

Fig.1  Mechanical model of rock mass

在应变软化阶段，强度参数随着最大塑性主应变ε_1p增加而变化，因此，以最大塑性主应变ε_1p作为应变软化参数来研究岩体应变软化行为。在应变软化阶段，广义Hoek-Brown强度准则中强度参数m，s和a随着ε_1p的增加而变化，其表达式可表示为

      (1)

式中：为完整岩石的单轴抗压强度；m，s，a为强度参数。m，s，a与ε_1p的关系可由实验等方法来确定。在工程上，m，s，a在峰值处和残余阶段处的值也可根据GIS等岩体质量指标来估计。本文为了使问题简化，假设m，s，a与ε_1p之间的关系如下式所示：

     (2)

其中：表示强度参数；和分别表示在峰值处和残余阶段开始处的强度参数；表示在残余阶段开始处的应变软化参数ε_1p。

式(2)可能为单调不增函数，也可能是单调不减函数，其对应的曲线如图2所示。

图2  强度参数的演化曲线

Fig.2  Evolution of strength parameters

将式(2)代入式(1)即可得到应变软化阶段最大主应力和最大塑性主应变ε_1p之间的关系表达式：

              (3)

根据式(3)，即可求得与每一个最大塑性主应变ε_1p对应的，根据假设(1)和(2)，可求得与每一个最大塑性主应变ε_1p对应的弹性应变ε_e：

         (4)

其中：E和v分别表示岩体的弹性模量和泊松比。将最大塑性主应变ε_1p与弹性应变ε_e相加可得岩体的最大主应变，即轴向应变为

      (5)

根据式(1)和(5)可得到应变软化阶段应力-应变的关系表达式。

假设塑性势函数为

        (6)

            (7)

其中，为剪胀系数；为剪胀角。根据正交流动法则可得：

             (8)

因此，岩体的最小主应变，即环向应变为

         (9)

其中，ε_3e和ε_3p分别表示沿环向弹性应变和塑性应变。

岩体体积应变为

(10)

将式(1)和(2)分别与式(5)，(9)和(10)联立，即可求出在峰后软化阶段岩体的应力与轴向应变、环向应变和体积应变之间的关系，据此可以分析岩体的应变软化行为。

2  算例分析

假设某一岩体的参数如下：E=5 700 MPa，v=0.30，σ_c=30 MPa，m_p=1.70，m_r=0.85，s_p=0.004，s_r=0.002，a_p=0.50，a_r=0.55，，， MPa，将这些参数代入式(1)，(2)，(5)，(9)和(10)中，即可求得主应力和ε₁，ε₃和ε_v之间的关系表达式，其对应的软化曲线如图3所示。

图3  岩体应变软化曲线

Fig.3  Strain softening curves of rock mass

表1所示为4种岩体数据。根据本文的方法，可以得到这4种岩体的应变软化曲线，如图4所示。从图4可以看出，在围压σ₃=18 MPa时，强度参数m和s的残余值越大，a的残余值越小，则峰后应力-轴向应变和应力-环向应变曲线下降越缓和，岩体的残余强度越大。但它们对峰后软化行为的影响程度不同，其中强度参数m的演化对软化行为的影响比较显著，强度参数a的影响较小，而强度参数s的影响则很微弱。

图4  强度参数演化规律对应变软化行为的影响

Fig.4  Effect of evolutional law for strength parameters on strain softening behavior

表1  岩体数据

Table 1  Data of rock mass

3  结论

(1) 基于广义Hoek-Brown强度准则，以最大塑性主应变ε_1p作为软化参数，假设强度参数m，s和a为最大塑性主应变ε_1p的双线性函数条件下，通过理论推导给出了岩体在峰后软化阶段，应力与轴向应变、环向应变和体积应变关系的非线性表示方法。

(2) 强度参数m和s的残余值越大且a的残余值越小，峰后应力-轴向应变和应力-环向应变曲线下降的越缓和，岩体的残余强度越大。其中，强度参数m的演化对软化行为的影响比较显著，强度参数a的影响较小，而强度参数s的影响则很微弱。

参考文献：

[1] 李文婷, 李树忱, 冯现大, 等. 基于Mohr-Coulomb准则的岩石峰后应变软化力学行为研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2011, 30(7): 1461-1466.

LI Wenting, LI Shuchen, FENG Xianda, et al. Study of post-peak strain softening mechanical properties of rock based on Mohr-Coulomb strength criterion[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2011, 30(7): 1461-1466.

[2] Hoek E, Brown E T. Practical estimates of rock mass strength[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 1997, 34(8): 1165-1186.

[3] Krajcinovic D. Statistical aspects of the continuous damage theory[J]. International Journal of Solids and Structures, 1982, 18(7): 551-562.

[4] 杨圣奇, 徐卫亚, 韦立德, 等. 单轴压缩下岩石损伤统计本构模型与试验研究[J]. 河海大学学报: 自然科学版, 2004, 32(2): 200-203.

YANG Shengqi, XU Weiya, WEI Lide, et al. Rock damage constitutive model and experimental study under uniaxial compression[J]. Hehai University: Natural Science, 2004, 32(2): 200-203.

[5] 徐卫亚, 韦立德. 岩石损伤统计本构模型的研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2002, 21(6): 787-791.

XU Weiya, WEI Lide. Study on statistical damage constitutive model of rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2002, 21(6): 787-791.

[6] 曹文贵, 赵明华, 刘成学. 基于Weibull分布的岩石损伤软化模型及其修正方法研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2004, 23(19): 3226-3231.

CAO Wengui, ZHAO Minghua, LIU Chengxue. Study on the model and its modifying method for rock softening and damage based on Weibull random distribution[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004, 23(19): 3226-3231.

[7] 陆银龙, 王连国, 杨峰. 软弱岩石峰后应变软化力学特性研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2010, 29(3): 640-648.

LU Yinlong, WANG Lianguo, YANG Feng. Post-peak strain softening mechanical properties of weak rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(3): 640-648.

[8] 唐志成, 夏才初, 黄继辉, 等. 节理峰值后归一化位移软化模型[J]. 岩土力学, 2011, 32(7): 2013-2016.

TANG Zhicheng, XIA Caichu, HUANG Jihui, et al. Post-peak normalized displacement softening model for discontinuous rock joint[J]. Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(7): 2013-2016.

[9] 王学滨. 基于梯度塑性理论的岩样峰后变形特征研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2004, 23(增1): 4292-4295.

WANG Xuebin. Characteristics of post-peak deformations of rock in uniaxial compression based on gradient-dependent plasticity[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004, 23(Supp.1): 4292-4295.

[10] 周斌, 张可能, 柳群义. 考虑应变软化特征的层状岩体三轴压缩数值试验分析[J]. 中南大学学报: 自然科学版, 2009, 40(3): 828-832.

ZHOU Bin, ZHANG Keneng, LIU Qunyi. Numerical test analysis for stratified rock mass under triaxial compression considering strain soften characteristic[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2009, 40(3): 828-832.

[11] Fang Z, Harrison J P. A mechanical degradation index for rock[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2001, 38(8): 1193-1199.

[12] 王水林, 王威, 吴振君. 岩土材料峰值后区强度参数演化与应力-应变曲线关系研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2010, 29(8): 1524-1529.

WANG Shuilin, WANG Wei, WU Zhenjun. Study of relationship between evolution of post-peak strength parameters and stress-strain curves of geomaterials[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(8): 1524-1529.

[13] 张春会, 赵全胜, 黄鹂, 等. 考虑围压影响的岩石峰后应变软化力学模型[J]. 岩土力学, 2010, 31(增2): 193-197.

ZHANG Chunhui, ZHAO Quansheng, HUANG Li, et al. Post-peak strain softening mechanical of rock considering confining pressure effect[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(Supp.2): 193-197.

[14] 张黎明, 王在泉. 粉砂岩峰后破坏区应力脆性跌落的试验和本构方程研究[J]. 实验力学, 2008, 23(3): 234-240.

ZHANG Liming, WANG Zaiquan. Theoretical and experimental study on siltstone brittle stress drop in post-failure region[J]. Journal of Experimental Mechanics, 2008, 23(3): 234-240.

[15] Lee K Y, Pietruszczak S. A new numerical procedure for elasto-plastic analysis of a circular opening excavated in a strain-softening rock mass[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2008, 23: 588-599.

(编辑  赵俊)

收稿日期：2012-09-07；修回日期：2013-01-10

基金项目：国家重点基础研究发展计划(“973”计划)项目(2010CB732002)；山东省高等学校科技计划项目(J13LG56)；国家自然科学基金青年科学基金资助项目(41102184)

通信作者：李术才(1965-)，男，河北涞水人，博士，教授，从事裂隙岩体断裂损伤、地质灾害超前预报与防治等研究；电话：0531-88399179；E-mail: lishucai@sdu.edu.cn