大型立式淬火炉温度分布参数系统参数辨识算法
喻寿益1，曹悦彬1，周 璇2
(1. 中南大学 信息科学与工程学院，湖南 长沙，410083；
2. 华南理工大学 化工与能源学院，广东 广州，510641)
摘 要：以块脉冲函数为基函数，利用正交函数变换将由偏微分方程描述的分布参数系统模型转化为最小二乘形式的代数方程，在此基础上推导出大型立式淬火炉温度分布参数系统的参数辨识算法，并进行仿真和31 m立式淬火炉温度控制系统应用，该算法能够满足控制规律对参数辨识实时性和精度的要求。研究结果表明：基于正交函数逼近法的分布参数系统参数辨识算法的关键在于正交函数正、反向积分运算矩阵的求解。辨识过程中考虑大型立式淬火炉温度分布参数系统模型边界条件和初始条件的影响，提高参数辨识精度，参数辨识精度为-6%~6%，保持系统的空间分布特性，算法计算量小，可以实现在线参数辨识。
关键词：分布参数系统；正交函数变换；积分运算矩阵；递推参数辨识算法
中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2008)06-1285-06
Algorithm of parameter identification for temperature distributed parameter system of large-scale vertical quench furnace
YU Shou-yi1, CAO Yue-bin1, ZHOU Xuan2
(1. School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;
2. School of Chemical and Energy Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)
Abstract: Taking block pulse function as basic function and using orthogonal function transfer, the partial differential equation describing distribution parameter system model was transferred to algebra equation of least square, and the parameter identification algorithm for temperature distribution parameter system of large-scale vertical quench furnace was deduced. The emulational was made and it was applied in 31 m vertical quench furnace temperature control system indicating that this method can meet the demand on real-time and precision of parameter identification. The results show that the key of this algorithm is the solution of the integral operational matrix of orthogonal function. The identification considers the influence of initial condition and boundary condition, so the parameter identification precision is improved to -6%—6% and that also keeps the special distribution characteristic of system. This parameter identification method is easy to compute and can realize online parameter identification.
Key words: distribution parameter system; orthogonal function transform; integral operational matrix; iterative algorithm of parameters identification
大型立式淬火炉是大型高强度铝合金构件淬火热处理的关键装备，这些构件包括火箭和导弹的端环、飞机大梁、机翼和尾翼的龙骨等，它们是航空航天器的重要组成部分。为获得高强度力学性能和均匀的晶粒织构，要求淬火热处理温度波动范围十分狭窄，一般需达到-3~3 ℃。大型立式淬火炉高达31 m，直径为3.5 m，工况复杂，采用多区段加热方式，炉内温度分布呈本征非均匀性，具有分布参数、非线性、强耦合等特点，温度控制精度和分布均匀性要达到-3~ 3 ℃相当困难[1-3]。大型立式淬火炉内多种热交换方式并存，以对流方式为主，其温度场可以用二阶分布参数系统近似描述，为了获得温度控制高精度和高均匀性，需要辨识系统参数。运用正交函数进行分布参数系统参数辨识是近年来迅速发展的一种方法[4]。该方法的实质是将描述分布参数系统的偏微分方程通过正交函数变换转化为代数方程组[5]，变换过程涉及正交函数的正、反向积分运算矩阵求解，以及求解变换后模型中的未知参数，算法的关键在于正交函数的选择和正、反向积分运算矩阵的求解[6-8]。在此，本文作者研究基于正交函数逼近法的大型立式淬火炉温度分布参数系统参数辨识过程，推导参数辨识在线递推算法，通过实例验证算法的有效性。并将该算法应用于31 m立式淬火炉温度控制系统中，以提高温度控制精度和均匀性。
1 积分运算矩阵的标准化求解方法
块脉冲函数由于具有原理简单、便于实现以及很好的逼近程度而得到广泛应用。本文利用块脉冲函数的正交特性[9-10]将分布参数系统的参数辨识问题转化为一般代数问题，避免了偏微分方程的运算，适合于在计算机上求解。
在区间t=[0, T]中包含m个分量的块脉冲函数族定义为
它可以表示为矩阵形式：
。
正向积分运算矩阵为：
式中：P和
均为m阶方阵。
反向积分运算矩阵为：
式中：R和
均为m阶方阵。
由
，可以推出：
2 二阶分布参数系统参数辨识的正交函数逼近法
大型立式淬火炉温度分布参数控制系统可以用二阶常系数混合型偏微分方程描述。
3 递推参数辨识算法
大型立式淬火炉热力学参数具有缓慢时变特性，其分布参数模型的未知参数需要在线进行参数辨识。若用式(11)表示的最小二乘法对系统参数进行辨识，会造成矩阵
的求逆运算随着数据点的增加而愈来愈困难[12-14]，从而使得参数辨识算法难以实现。因此，利用递推最小二乘法得到参数估计的递推算法。
递推计算步骤如下：
a. 置初值
，
。
b. 构成数据矩阵
。
c. 进行第
次采样，得到数据向量
。
d. 由(12b)计算
。
e. 由(12a)计算
。
f. 由(12c)计算
。
g. 使
，并返回c。
4 空间及时间步长分析
为了说明空间步长m和时间步长n对参数辨识精度的影响，忽略
和X(z, t)项，考虑偏微分方程
，
。
若输入
，则
待辨识参数：
；
方程特解：
；
初始条件：
，
；
边界条件：
，
，
；
；
。
在Matlab软件平台上利用式(12)研究空间步长m和时间步长n对参数
和参数
辨识精度的影响，其结果分别如图1和图2所示。
当m取值比较小时，被辨识的参数θ1受m变化的影响较大，辨识精度随m增大而迅速提高；当m＞5时，被辨识参数值的变化减小，逐渐趋于稳定。
1—m=3; 2—m=4; 3—m=5; 4—m=6; 5—m=7; 6—m=8
图1 空间步长m和时间步长n对参数θ1辨识精度的影响
Fig.1 Influence of space step m and time step n on identification precision of parameter θ1
1—m=3; 2—m=4; 3—m=5; 4—m=6; 5—m=7; 6—m=8
图2 空间步长m和时间步长n对参数θ2辨识精度的影响
Fig.2 Influence of space step m and time step n on identification precision of parameter θ2
当n取值比较小时，辨识结果受n的影响非常大：随着n的增大，辨识结果迅速收敛于真实值；而当 n＞8，m不变时，被辨识参数变化变小。这是因为
，当n超过一定数值时，输出增量过小，信噪比较大，故n的取值不必过大。
对于被辨识参数θ2，其变化趋势比被辨识参数θ1的变化趋势更快。
当空间步长m取值比较小时，被辨识参数θ2受空间步长m变化的影响很大，辨识精度随m的增大而迅速提高；当空间步长m＞4时，被辨识参数θ2的变化变小，逐渐趋于稳定；当空间步长m＞6时，被辨识参数θ2的值不再变化，趋于稳定。
当时间步长n取值比较小时，参数θ2的辨识结果受时间步长n的影响非常大：随着n的增大，辨识结果迅速接近于真实值，辨识精度明显提高；而当时间步长n＞8，空间步长m不变时，被辨识参数变化变小，基本收敛于真实值。
当m＞8，n＞8时，被辨识参数值基本趋于真实值，辨识精度不随着m和n的增加而提高，满足了大型立式淬火炉温度分布参数控制系统对参数辨识实时性和精度的要求。
从以上参数辨识结果可以看出，辨识得到的参数值与实际值θ1=θ2=0.101 3非常接近，仿真辨识结果符合要求。
5 大型立式淬火炉温度分布参数系统动态模型的参数辨识
大型立式淬火炉温度分布参数系统模型为
它分为11个区段，被加热的构件一般置于区段3~10之间，区段1靠近炉底，受外界温度影响很大，忽略区段1的温度采样值，区段2和区段11的采样值可视为边界条件。初始条件取时刻为18:56:10的数据。有效高度取其中的8个区段，即0≤z≤23 m，区段高h=23/8=2.875 m。
31 m立式淬火炉1至11区实时温度采样值如表1所示。
有效时间0≤t≤480 s，升温段的输入为单位阶跃
表1 实时温度采样值
Table 1 Sampling values of real time temperature
输入。边界条件为
[1.130 1.099 0.999 0.946 0.800 0.713 0.613 0.546]T。
[0.547 0.384 0.297 0.262 0.122 0.087 0.058 0]T。
利用式(12)参数辨识算法得到
0.142 8，
0.024，
0.667 3。
辨识误差为-6%~6%，计算时间小于1 ms。
6 结 论
a. 利用正交函数逼近法将描述大型立式淬火炉温度分布参数系统的偏微分方程转化为代数方程，从而可以获得分布参数系统的参数辨识模型。
b. 考虑分布参数系统模型边界条件和初始条件的影响，可以提高参数辨识精度，31 m立式淬火炉温度控制系统参数辨识误差为-6%~6%，保持了系统的空间分布特性，计算量小，实现简单。
c. 实际运行结果表明该算法能够满足分布参数系统参数在线辨识的实时性和辨识精度要求，该参数辨识算法已用于31 m立式淬火炉温度控制系统，满足了温度控制精度达到-1~1 ℃对系统参数辨识的要求。
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收稿日期：2008- 01-15；修回日期：2008-03-28
基金项目：国家自然科学基金重点资助项目(60634020)
通信作者：喻寿益(1940-)，男，江西南昌人，教授，从事自适应控制、过程控制和进化计算理论及应用等研究；电话：0731-8836739；E-mail: s_yushouyi@sina.com
