简介概要

枝晶凝固过程溶质再分配的数值模型和快速算法

来源期刊：中国有色金属学报2003年第1期

论文作者：陈福义介万奇

文章页码：147 - 152

关键词：数值模型;溶质再分配;算法

Key words：numerical model； solute redistribution； algorithm

摘要：提出了固熔体合金在枝晶凝固过程中的溶质再分配模型，模型由扩散微分方程和溶质守恒方程组成，使用Crank-Nicholson有限差分法和Trapezoid法则离散控制方程，导出了一个计算固相内溶质界面浓度的迭代公式，在TDMA算法基础上，仅用一步迭代，就可以解出凝固过程中的溶质浓度场。用此算法分析了Al-4.5Cu和Al-1.5Cu-3Zn等合金的溶质再分配过程，通过与实验解析解的比较，发现数值模型和算法是严密内洽的。

Abstract: Solute redistribution is controlled by solute partition and solute diffusion during dendritic solidification of the solid solution alloy and is described by solute diffusion differential equation and species conserve equation. The Crank Nicholson finite difference scheme and the trapezoid law were used to solve these equations; a new iteration equation was derived to calculate the solute concentration at the solid and liquid interface. The solute concentration field during solidification was calculated on TDMA-based rapid algorithm. The solute redistribution of Al-4.5Cu and Al-1.5Cu-3Zn alloys was analyzed by the algorithm and compared with the results of analytical formula, and it is proved that the numerical model is efficient and consistent.

中国有色金属学报 2003,(01),147-152 DOI:10.19476/j.ysxb.1004.0609.2003.01.027

枝晶凝固过程溶质再分配的数值模型和快速算法

陈福义介万奇

摘要：

提出了固熔体合金在枝晶凝固过程中的溶质再分配模型 ,模型由扩散微分方程和溶质守恒方程组成 ,使用Crank Nicholson有限差分法和Trapezoid法则离散控制方程 ,导出了一个计算固相内溶质界面浓度的迭代公式 ,在TDMA算法基础上 ,仅用一步迭代 ,就可以解出凝固过程中的溶质浓度场。用此算法分析了Al 4 .5Cu和Al 1.5Cu 3Zn等合金的溶质再分配过程 ,通过与实验解析解的比较 ,发现数值模型和算法是严密内洽的。

关键词：

数值模型;溶质再分配;算法;

中图分类号： TG111.4

作者简介：陈福义(1966),男,博士研究生.;

收稿日期：2002-04-01

基金：国家重点基础研究发展规划项目 (G2 0 0 0 0 672 0 2 -1);

Numerical model and rapid algorithm of solute redistribution i n dendritic solidification

Abstract：

Solute redistribution is controlled by solut e partition and solute diffusion during dendritic solidification of the solid solu tion alloy and is described by solute diffusion differential equation and specie s conserve equation. The Crank Nicholson finite difference scheme and the trapez oid law were used to solve these equations; a new iteration equation was derived to calculate the solute concentration at the solid and liquid interface. The so lute concentration field during solidification was calculated on TDMA-based rap id algorithm. The solute redistribution of Al-4.5Cu and Al-1.5Cu-3Zn alloys w as analyzed by the algorithm and compared with the results of analytical formula , and it is proved that the numerical model is efficient and consistent.

Keyword：

numerical model; solute redistribution; algorithm;

Received： 2002-04-01

合金凝固过程中的溶质再分配影响凝固温度范围、枝晶臂的微观偏析、枝晶间的溶质富集速度及共晶含量、枝晶间夹杂物的形成温度和含量等凝固特征, 是决定凝固组织生长和形貌的重要因素。溶质再分配的研究, 在工艺优化和合金组织控制中有着重要的应用, 是凝固技术研究领域中一个十分活跃的分支 ^[1,2,3] 。

溶质再分配由固液界面上的溶质分凝和溶质扩散控制, 影响因素包括固相扩散、枝晶尖端过冷度、枝晶臂粗化现象、枝晶几何形状效应、液相的不完全混合作用等。其中, 固相扩散的作用最大, 在间隙溶质原子扩散的情况下, 是溶质再分配过程的控制步骤之一。 Brody和Flemings第一个提出了有限固相扩散情况下的溶质再分配过程解析模型, Clyne和Kurz ^[4,5] 通过一个假设的固相溶质分布参数, 改进了这个模型, 可在固相完全扩散情况下还原为经典杠杆定律, 在固相无扩散情况下还原为Scheil方程。 JIE 等 ^[6,7,8] 也提出了一些解析公式, 并已应用于晶体生长技术中。

为了考虑枝晶尖端过冷度等其它因素的影响, 同时偶合多元相平衡计算, 复杂的数值模型得到很大的发展, 相应的软件也成功地商业化。这些数值解虽然具有非常好的性能, 但算法非常复杂, 计算效率低, 与相图计算和宏观模拟耦合, 完成一次实际凝固模拟所用的时间很长, 甚至达到了不现实的地步(如数周) ^[9,10,11] 。提高计算效率是数值模拟的主要问题之一。 Roosz ^[12] 等将溶质守恒方程离散后加入扩散方程的系数矩阵中来提高计算效率, 但新的系数矩阵没有对角线对称性。 Poirier ^[13] 等使用Newton-Raphson法处理溶质守恒方程, 需要多次循环才能达到合理的准确性。

本文作者利用Crank-Nicholson有限差分法离散扩散微分方程, Trapezoid法则离散溶质守恒方程, 引入一个“虚拟固液界面”边界条件, 推出了一个新的迭代公式, 加入系统资源占用少的TMDA(Tri Diagonal Matrix Algorithm)算法中, 非常有利于编程。理论上, 仅用一步迭代就可以收敛, 极大地提高了计算效率, 并可用于处理多元合金的凝固过程。

1溶质再分配模型

1.1控制方程

实用的商业合金多数为固溶体合金, 凝固时形成枝晶结构, 凝固组织中约95%的体积由二次枝晶臂组成, 固溶体合金的枝晶凝固过程可用图1所示的体积元来表示。图1所示的体积元可以代表的区域是合金固液糊状区内不断凝固的枝晶臂, d代表二次枝晶间距(10～100 μm), 同时, 也可以代表一个宏观范围(10～100 mm)上的定向凝固的晶体。体积元中假设液相浓度C_L在凝固过程中是近似均匀的。这个条件在枝晶凝固速度v比较慢(v<1 mm/s), 液相扩散系数D_L比较大, 边界层D_L/v ?1时, 可以达到; 在大的体系中, 液相内的对流作用可以维持这个条件成立。

图1 模型所用的控制元和浓度分布

Fig.1 Control volume and concentration distribution in numerical model

模型所用的基本假设还包括:

1)凝固过程中体积元平均成分不变, 体系是封闭的。

2)固液界面局部平衡。

3)与凝固温度间隔相比, 固相形核前的过冷度可以忽略。

4)枝晶粗化的影响可以忽略。

使用这些假设, 固相溶质传输控制方程为Fick扩散微分方程, 即

$\frac{\partial C (t, x)}{\partial t} = D_{S} \frac{\partial^{2} C (t, x)}{\partial^{2} x} (0 \leq x \leq x_{S}) (1)$

式中 C(t, x)为时刻t位置x处的溶质浓度, D_S 为固相的扩散系数, x_S为固液界面的位置。

封闭体系的溶质守恒方程可以表示为

$\bar{C}_{S} f_{S} + C_{L} (1 - f_{S}) = C_{0} (2)$

式中 C₀为熔体初始浓度, $\bar{C}_{S}$ 和C_L分别为固相平均浓度和液相浓度, f_S为固相分数。

1.2边界条件

扩散微分方程在x=0处为无传质通量边界条件, 即

$\frac{\partial C (t, x)}{\partial t} = 0 (x = 0) (3)$

在x=x_S处为常浓度边界条件:

C(t, x)=kC_L (x=x_S) (4)

式中 k为溶质分配系数, 按照假设2, k为常数。

2数值算法

2.1空间和时间域的离散

在合金凝固过程中, 凝固速度可以表示为固液界面位置x_S(t)和时间t的函数f(t), 自由凝固时可以用下面的抛物线关系来表示:

$x_{S} (t) = λ \sqrt{t / t_{f}} (5)$

式中 λ是二次枝晶间距, t_f 是局部凝固时间。对于其它凝固方式, 要相应地改变公式(5)的形式。

以公式(5)为基础, 采用变化时间步长法离散时间和空间域, 保证每一时间步长固液界面移动一个空间步长。本模型所用有限差分节点和时域如图2所示, 曲线表示固液界面位置随时间的变化, 曲线上的节点处于固液界面上, 右侧节点处在液相中, 左侧节点处在固相中。

x方向上在0和λ之间有n个均匀的间距为Δx的单元, 总共有n₁个节点(n₁=n+1), 网格节点从x=0处开始标记, 依次为1, 2, …i, …, n₁。 i=0和i=n₁+1节点是虚拟节点。图2上方灰色条表示在n+1时刻固液界面处m₁+1节点上, 按照公式(5), 前一时层n时刻, 固液界面在m₁节点上, 界面位置x_S为mΔx。

图2 凝固模型的有限差分节点及和时域的关系

Fig.2 FDM grid and time domain in solidification model

第i个网格点的固相分数f_{S, i}是

$f_{S, i} = \frac{i - 1}{n} (6)$

在f_S和x坐标上度量得到的均匀间距分别为

$\begin{array}{l} Δ f_{S, i} = \frac{1}{n} (7) \\ Δ x = λ Δ f_{S} = \frac{λ}{n} (8) \end{array}$

如图2所示, 固液界面从m₁节点到m₁+1节点, 移动了Δx距离, 如果用t_m₁代表界面到达第m₁个节点的时刻, 则抛物线生长过程中, 界面移动到m₁+1节点所经历的时间Δt_m₁为

$\begin{array}{l} Δ r_{m_{1}} = t_{f} \frac{2 m_{1} - 1}{n^{2}} (m_{1} = 1, 2, \dots, n_{1}) (9) \end{array}$

2.2控制方程的离散

本模型中使用Crank-Nicholson隐式差分方法处理Fick扩散微分方程, 如果用C $_{p}^{0}$ 代表固相在i节点n时层、坐标为((i-1)Δx, t_n)处的浓度, C_p表示在i节点n+1时层的浓度, 则方程(1)的差分形式为

a_wC_w+a_pC_p+a_eC_e=a_n (p=1, 2, …, n₁) (10)

a_w=-r, a_p=2+2r, a_e=-r (11)

a_n=rC $_{w}^{0}$ +(2-2r)C $_{p}^{0}$ +rC $_{e}^{0}$ (12)

式中 a为系数, 下标w, e分别代表p节点左右两侧节点。当固液界面以方程(5)所示的规律移动, 处在m₁节点时, r=r_m₁可表示为

r_m₁ $= \frac{D_{S} Δ t_{m_{1}}}{(Δ x)^{2}} = D_{S} \frac{t_{f}}{λ} (2 m_{1} - 1) = α (2 m_{1} - 1) (13)$

式中 D_S为固体内溶质的扩散系数, α为扩散傅里叶准数。

当固液界面处于图2所示m₁节点n时层时, 溶质守恒方程(2)可以用Trapezoid法则来离散, 其离散形式为

$\begin{array}{l} [\frac{1}{2} (C_{1}^{0} + C_{m_{1}}^{0}) + \sum_{k = 2}^{m} C_{k}^{0}] \cdot f_{S ‚ m_{1}} + \\ (1 - f_{S, m_{1}}) \frac{C_{m_{1}}^{0}}{k} = C_{0} (14) \end{array}$

方程(14)中引入了边界条件方程(4)。

2.3界面浓度的迭代公式

为了使方程(10)～(13)所组成的线性方程组封闭, 可以使用TMDA算法求解, 还必须在固相两侧施加边界条件。

在TMDA算法中, 方程(3)可以使用作为绝热边界条件直接处理, 但为了求固液界面在n+1时刻m₁+1处的浓度C_m₁+1, 必须假设在n时刻固液界面也处在m₁+1处, 则线性方程组封闭的另一边界条件为: “虚拟界面”处n时刻浓度C⁰_m₁+1, 需要指出的是, n时刻“物理界面”在m₁节点。

如图2所示, C $_{m_{1} + 1}^{0}$ 用n时层相邻的3个点以抛物线差值公式来求出:

C $_{m_{1} + 1}^{0}$ =3C $_{m_{1}}^{0}$ -3C $_{m_{1} - 1}^{0}$ +C $_{m_{1} - 2}^{0}$ (15)

这样, 使用C $_{m_{1} - 1}^{0}$ , C $_{m_{1}}^{0}$ 和C $_{m_{1} + 1}^{0}$ 作为C $_{w}^{0}$ , C $_{p}^{0}$ 和C $_{e}^{0}$ , 按照方程(10)～(13)就可以确定n+1时层时同一节点上的浓度, 得到一个初始值C_{m₁+1, ini}, 使用这个初始的C_{m₁+1, ini}值可以建立组成一个估计真实界面浓度C_m₁+1的迭代公式, 并由下式来表示:

C_m₁+1=C_{m₁+1, ini}+ΔC_m₁+1 (16)

方程(16)中, ΔC_m₁+1为迭代误差, 可以使用溶质质量守恒方程(14)来确定, 方法如下:

1)将C_{m₁+1, ini}代入方程(14)的左边, 得到C_{0, ini}值。

2)将C_m₁+1代入方程(14)的左边, 由于C_m₁+1是真实界面浓度, 满足溶质守恒方程, 可得到C₀值。

3)将C_{0, ini}和C₀代入迭代公式(16), 可得到如下的误差计算公式:

ΔC_m₁+1=(C₀-C_{0, ini})/[1/n+(1-m/n)/k] (17)

式中 n, m为节点号(见图2), k为平衡分配系数, C₀, C_{0, ini}为确定值。如不考虑计算截断误差, 一步迭代就可以使迭代误差ΔC_m₁+1小于计算机最小值(如1.0E-20)。

2.4初始条件

计算时, 界面初始位置m₁可设定为3, 初始固相内的浓度由平衡凝固下的界面浓度C^*_S的杠杆定律公式来确定。

2.5流程图

将固液界面浓度迭代公式(16)、 (17)加入TDMA算法中可采用图3所示的流程。

计算过程为: 由方程(15)计算出C $_{m_{1} + 1}^{0}$ 的值, 和其它同时层的值一起输入由方程(10)～(13)组成的TDMA算法程序中, 得到一个下一时层的C_{m₁+1, ini}的值, 代入由方程(14)、 (16)和(17)组成的ΔC_m₁+1计算子程序。如ΔC_m₁+1小于设定值, 则得到真实的界面浓度C_m₁+1, 继续进行下一时层的计算;如ΔC_m₁+1大于设定值, 将C_{m₁+1, ini}赋给C⁰_m₁+1, 在同一时层内重新计算。

图3 固液界面浓度计算流程图

Fig.3 Flow chart of calculation of solid liquid interface concentration

将以上数值模型使用C/C⁺⁺语言和双精度数据编入程序, m₁取100个节点的典型值时, 在外频为100 MHz低端PC上, 一个二元合金的溶质再分配计算可以在几分钟内完成。

3数值计算结果和讨论

3.1数值模型的验证

长期以来的凝固研究 ^[4,5,14] 发现, 在以Al-Cu合金为代表的有色合金中的取代型溶质原子体系里, 凝固过程中固相扩散对溶质再分配的作用很小; 而在以Fe-C合金为代表的间隙型溶质原子体系中, 凝固时C原子的扩散非常快, 可以达到平衡状态。为了验证数值模型的准确性, 计算了这两个典型体系的溶质再分配, 所用部分合金热物理性质数据如表1所示。由于实际凝固过程中固体分数f_S接近1时, 合金由单相凝固方式转向共晶凝固方式, 数值计算时取固体分数f_S=0.95时的结果分别与Clyne-Kurz, Scheil和Level分析解进行比较。

图4所示是Al-Cu合金溶质再分配的计算结果, 有限差分(FDM)计算出的固相内的溶质分布C_S、固液界面浓度C^*和Scheil方程结果重合, 与Clyne-Kurz的结果也很接近, 和取代型溶质原子的溶质再分配实验规律一致。

表1 合金热物理性质数据 [4,5,14]

Table 1 Thermophysical data ^[4,5,14]

Alloy	k	D_S /( cm²·s^-1)	t_f / s	α
Cu in α-Al	0.17	1.4×10^-9	10	160
C in δ-Fe	0.20	6.4×10^-4	23.8	160
Cu in Al-1.5Cu-3.0Zn	0.40	1.4×10^-9	10	160

图4 Al-Cu合金fs=0.95时固相内溶质浓度CS和界面浓度C*

Fig.4 Segregation profile and interface concentration in solid of Al-Cu alloy at f_s=0.95

图5所示是Fe-C合金溶质再分配的计算结果, 有限差分(FDM)计算出的固液界面浓度C^*和Level定律结果重合, 在相当大的固相范围内, 固相溶质分布C_S几乎没有浓度梯度存在, 和间隙型溶质原子的溶质再分配实验规律一致。

图5 Fe-C合金fs=0.95时固相内溶质浓度CS和界面浓度C*

Fig.5 Segregation profile and interface concentration in solid of Fe-C alloy at f_s=0.95

3.2合金热物理性质变化的影响

在局部凝固时间t_f=23.8 s, 溶质扩散准数α=160的常见凝固条件下, 计算了各种固相扩散常数D和固液分凝系数k下固相内的溶质分布C_S和固液界面浓度C^*。计算结果如图6、图7所示。

可以发现此数值模型对合金热物理性质的变化有非常好的适应性能, 同时可以看出, 分凝系数一定时, 随着固相扩散常数D越来越小, C_S和C^*差异也越来越小; 固相扩散常数一定时, 分凝系数增加, 固相内的溶质分布越来越均匀。

图6 不同D值时的固相溶质浓度CS和界面浓度C*

Fig.6 Segregation profile and interface concentration under various D values at k=0.2

图7 不同k值时的固相溶质浓度CS和界面浓度C*

Fig.7 Segregation profile and interface concentration under various k values at D=6.4×10^-7 cm²·s^-1

3.3三元合金中的应用

在多元有色合金体系中, 由于固相扩散系数的数量级很小, 对溶质再分配的贡献不大, 多元合金溶质相互作用对溶质再分配的影响主要表现在固液分凝系数对溶质再分配的贡献, 如果实验测定了多元合金溶质分凝系数, 便可以使用本数值模型来研究多元合金的溶质再分配。如表1所示, 使用LMC定向凝固淬火技术 ^[15] 测量了Cu在Al-1.5Cu-3.0Zn合金中的溶质分凝系数为0.4, 其溶质再分配的计算结果如图8所示。