DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.07.017

水平井压裂多裂缝同步扩展数值模拟

孙峰¹，逄铭玉¹，张启汉²，薛世峰¹

(1. 中国石油大学(华东) 储运与建筑工程学院 山东 青岛，266580；

2. 青海油田钻采工艺研究院，甘肃 敦煌，736200)

摘要：采用有限单元法对水平井压裂多裂缝同步扩展问题进行数值分析。考虑压裂过程中高压流体、岩层变形/破裂与裂缝扩展之间的多物理场耦合响应，建立多裂缝同步扩展力学模型；采用裂缝单元记录岩层破裂信息、确定裂缝扩展路径。应用有限元方法求解耦合模型并编制计算程序，模拟水平井多裂缝同步起裂、扩展和转向过程。研究结果表明：水平井多裂缝同步压裂，起裂压力相差较小；延伸压力受缝间应力干扰影响，中间裂缝处压力高于两侧裂缝；随裂缝扩展，多裂缝之间应力干扰效应提高，主应力方向偏转范围增大，促使复杂裂缝的形成；通过优化射孔簇间距与数量可增强裂缝间应力干扰效应，增加水平井多裂缝扩展的复杂性。

关键词：水平井；多裂缝；同步扩展；裂缝单元；有限单元法

中图分类号：TE357.1        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2017)07-1803-06

Numerical simulation of simultaneous propagation of multiple fractures in horizontal well

SUN Feng¹, PANG Mingyu¹, ZHANG Qihan², XUE Shifeng¹

(1. College of Pipeline and Civil Engineering, China University of Petroleum, Qingdao 266580, China;

2. Institute of Drilling and Production Technology Development, Qinghai Oilfield, PetroChina, Dunhuang 736200, China)

Abstract: The finite element method was used to simulate the simultaneous propagation of multiple fractures in a horizontal well. Based on the coupling effects of fluid transportation, reservoir deformation and fracturing propagation during fracturing, a mechanical model for the simultaneous propagation of multiple fractures was constructed. Crack element model was used to record the rock cracks coordination, and calculated the cracks propagation paths. Finite element method was used to solve the coupled governing equations, and corresponding code was made to simulate the dynamic fractures initiation, irregular extending trajectory, and turning round of multi-fractures. The results show that breakdown pressure of multiple fractures is similar during simultaneously fracturing, and the propagation pressure of middle fracture is higher than that of the side fractures for stress interference. Because of the effect of stress shadow, deflection range of the main stress direction is increased, promoting the formation of complex fractures. By optimizing the perforation clusters spacing and numbers, which can produce more stronger effects of stress shadow, the complex multiple fractures extending trajectories can be achieved.

Key words: horizontal well; multiple fractures; simultaneous propagation; crack element model; finite element method

水平井分段多簇压裂在每个压裂段布置多簇射孔，各射孔簇同时压裂形成多条人工裂缝，极大增加了油藏改造体积，是目前开发致密油气资源的关键技术^[1-3]。裂缝形成后在裂缝面周围会产生诱导应力场，导致多裂缝扩展过程中缝间应力干扰影响显著。国内外学者针对水平井多裂缝起裂、扩展及缝间干扰问题采用多种不同的数值模拟方法进行研究分析。HUNSWECK等^[4]采用有限元法(FEM)，FRIES等^[5-6]采用扩展有限元法(XFEM)，ROUSSEl等^[7]采用有限差分法(FDM)，WU等^[8-10]采用位移不连续法(DDM)研究了水平井多裂缝同步扩展问题；MEYER等^[11]基于离散裂缝网模型(DFN)开发了“MShale”软件；KRESSE等^[12]提出了非常规裂缝模型(UFM)。其中，利用有限元方法研究多裂缝扩展，主要采用黏结单元(CZM)预设裂缝扩展路径^[13]。该方法对研究多裂缝间应力干扰导致的裂缝扩展、转向问题具有局限性。本文作者基于多孔介质流-固耦合理论，建立水平井多裂缝同步扩展力学模型，应用有限元方法求解高压流体传输与岩体变形/破裂的耦合控制方程。根据网格单元的应力状态结合断裂强度准则确定裂缝起裂位置，描述裂缝扩展路径，模拟水平井压裂多裂缝同步起裂、扩展和转向的变化过程，定量分析多裂缝间诱导应力场变化及射孔簇间距和数量对裂缝扩展轨迹的影响。

1  水平井多裂缝同步扩展力学模型

水平井多裂缝同步扩展力学模型包括多孔介质 流-固耦合模型、裂缝扩展力学准则及裂缝单元模型3个部分。

1.1  多孔介质流-固耦合模型

基于连续介质力学和Biot有效应力定律，考虑岩层变形与孔隙流体压力耦合作用的多孔介质流-固耦合模型方程包括岩层骨架平衡方程和流体连续性方程^[14-15]：

       (1)

      (2)

式中：和分别为岩层骨架所受地应力和有效应力，Pa；p为岩层流体压力，Pa；为Biot系数；为Kronecker符号；为流体密度，kg/m³；为孔隙度；K为渗透率，μm²；为流体黏度，Pa·s。

耦合模型初始条件和边界条件为

        (3)

式中：u_ij为岩层位移，m；为边界位移，m；n_j为外边界外法线方向余弦；T_i为边界地应力；为孔隙压力边界流体压力，Pa；q为流体载荷边界流速，m/s；和分别为岩层骨架位移和应力边界；和分别为孔隙流体压力和流速边界。

1.2  裂缝扩展力学准则

在流-固耦合模型连续计算的基础上，应用最大拉应力准则和Drucker-Prager剪切准则判断单元破坏状态和破裂方向。

 (4)

式中：和分别为拉伸和剪切应力状态的函数；为岩层最大拉应力，Pa；为岩层抗拉强度，Pa；c为内聚力，Pa；为内摩擦角，(°)；I₁为应力张量第1不变量，；J₂为应力偏量的第二不变量，。

1.3  裂缝单元模型

进行计算单元应力强度判断时，取网格单元各节点应力的平均值：

               (5)

式中：m为单元节点数。

将达到强度破坏判定准则的计算网格定义为裂缝单元^[16]。

裂缝单元位置信息按单元各节点坐标的平均值记录为

，        (6)

裂缝单元弹性模量按带有残余强度的弹脆性本构关系进行刚度退化处理，表示为

               (7)

式中：E₀和E分别为裂缝单元初始和动态弹性模量，Pa；W为强度损伤系数。

考虑渗流-应力-破裂耦合效应影响的裂缝单元渗透率变化可表示为

         (8)

式中：为破裂对渗透性能影响系数；为渗透率应力敏感性系数。

2  模型求解及多裂缝同步扩展计算方法

水平井多裂缝同步扩展力学模型是一组非线性的偏微分方程，本文采用有限单元法进行数值求解。

2.1  耦合模型有限元公式

采用Galerkin有限元方法推导式(1)中岩层骨架平衡方程的有限元计算格式为

      (9)

推导式(2)中孔隙流体连续性方程的有限元计算格式为

        (10)

式中：为求解区域；为求解边界；为压缩系数，1/Pa；Q为边界流体流速，m/s。

取差值函数

，          (11)

式中：N_u为位移形函数；u_i为节点位移；N_p为压力形函数；p_i为节点压力。

则岩体变形与流体流动耦合模型有限元公式可写为如下矩阵形式：

             (12)

          (13)

式中：K，S和H分别为岩层弹性刚度矩阵，流体流动的质量和刚度矩阵；F_p，F_s和F_f分别为压力、边界力和体积力载荷矩阵；F_Q和分别为流量和体积应变载荷矩阵。

本文编制了水平井岩层变形和流体渗流2个计算模块，采用顺序解耦和参数迭代的方法求解式(12)和(13)耦合矩阵，两模块计算模型及网格划分一致，通过耦合参数迭代(体积应变和流体压力p)进行顺序求解。

2.2  计算误差及精度控制

裂缝单元产生后，其弹性刚度矩阵退化和渗透性能大幅度增加会引起岩层材料系数产生复杂的时空变化。为提高方程(12)求解的稳定性和计算精度，岩层变形模块中的变形和受力分析按增量加载的方式，采用Newton全隐士迭代算法。在每一计算步按当前步的应力水平形成单元刚阵，迭代求解位移和应力增量，根据迭代误差量自动修正近似解。迭代误差精度控制为

           (14)

式中：为位移增量迭代误差；为某计算时步节点位移计算误差；u_i为上一计算时步节点位移；N_n为总节点数目。

流体渗流模块中为消除数值计算的不稳定性，时间步长dt服从Courant条件。

          (15)

式中：为孔隙流体扩散特征参数；x和y分别为有限元网格划分尺度。

2.3  多裂缝同步动态扩展计算方法

针对水平井多裂缝同步扩展问题，根据射孔方案确定多个裂缝单元初始位置。将多裂缝同步动态扩展描述为不同计算区域裂缝单元网格的逐次破裂过程。

裂缝扩展方式如图1所示，计算步骤如下。

图1  多裂缝同步扩展方法示意图

Fig. 1  Illustration of multiple fractures simultaneous propagation method

1) 设定不同计算区域A和B，赋以响应材料属性及初始射孔位置；

2) 对应时间步t_i，计算模型流体压力分布、岩层变形和应力状态；

3) 判断裂缝单元A₂和B₂的相邻单元是否达到强度条件，按强度准则确定裂纹扩展方向；

4) 若相邻多个单元同时达到强度条件，指定应力值最大的网格单元为裂缝单元；

5) 计录新产生裂缝单元A₅和B₅的位置信息坐标()，定义该位置为裂缝前缘；

6) 在时间域上顺序计算，得到最终时间步上的水平井多裂缝扩展区域。

采用上述方法处理裂缝扩展，通过调整裂缝单元的刚度、渗流系数矩阵，保证了裂缝起裂/扩展后岩层介质应力与变形的准确性，计算过程中网格随裂缝的扩展不需要重构，简化了程序设计。各个计算区域同步并行计算，多裂缝扩展形态既受局部应力场控制，同时受到多裂缝相互干扰的影响，从而模拟水平井多裂缝同步起裂、扩展、转向的复杂变化形态。

3  算例分析与讨论

根据某油田区块水平井开发方案建立计算模型如图2所示，水平段范围为0~100 m。模型内包括多个射孔簇，对射孔孔眼端部进行局部网格加密处理。模型边界条件为：岩层变形模块中AB和BC为位移边界，AD和CD为应力边界；流体渗流模块中，AD为定压力边界，射孔壁为定流量边界，AB，CD和BC为渗流封闭边界。

图2  计算模型及边界条件

Fig. 2  Analysis model and boundary conditions

计算模型中弹性模量为23.0×10⁴ MPa，泊松比为0.25，内摩擦角为28°，内聚力为10.0 MPa，抗拉强度为3.0 MPa，Biot系数为1.0，渗透率为2.0×10^-3 μm²，流体黏度为1.0×10^-3 Pa·s，最大水平地应力为37.0 MPa，最小水平地应力为35.0 MPa，储层孔隙度为15.0%，孔隙压力为20.0 MPa，单个射孔处流量为0.2 m³/min，计算时间步长为0.5 min。

3.1  多裂缝同步扩展模拟

模拟射孔簇间距l=15 m时水平井多裂缝同步扩展动态及水平有效应力变化如图3所示。从图3可见：随射孔内流体压力增加，射孔端部有效应力达到抗拉破裂条件，裂缝单元产生。裂缝单元行成的高渗透通道导致单元端部水平有效应力增加，裂缝单元汇聚成主裂缝并沿最大水平地应力方向扩展，如图3(a)所示。受裂缝单元内高压流体的影响，水平有效应力在裂缝周围呈椭圆形状分布导致地应力场方向发生改变，进而引起裂缝扩展方向偏转。模拟工况下，3条裂缝前缘扩展至9.3 m时，左、右侧裂缝扩展方向发生偏转，如图3(b)所示。

提取射孔壁处网格节点流体压力随泵注时间变化如图4所示。当计算时步为6时，射孔壁流体压力达到最大值，该数值对应模拟水平井压裂的破裂压力。

各射孔壁破裂压力相差较小，平均为51.5 MPa。根据文献[17]中水平井射孔完井岩石破裂压力模型公式计算为53.2 MPa，两者相对差3.19%，计算结果相符合。

图3  多裂缝扩展水平应力云图

Fig. 3  Horizontal stress contours of multiple fractures dynamic propagation

图4  射孔壁流体压力变化

Fig. 4  Changes of pressure on perforation holes

计算中假设岩层为均质且各向同性的，模拟得到的压力曲线上下小幅度波动；3段裂缝前缘随机扩展，出现不同的升压、扩展、降压现象。初始0~300计算时步，各段裂缝长度较短，缝间应力干扰较小，裂缝延伸压力相差不明显；随裂缝长度增加，裂缝间应力干扰增加，中间裂缝延伸压力高于左、右两侧裂缝 2~3 MPa。

3.2  裂缝扩展诱导应力场变化

选取沿水平井筒轴线剖面数据，定量分析裂缝扩展诱导水平主应力差()变化如图5所示。由于缝内高压流体诱导应力影响，裂缝两侧产生主应力差≤0区域， 即产生了主应力方向偏转。主应力方向偏转导致裂缝扩展方向的改变，促使复杂裂缝或网络裂缝的形成。模拟工况下，裂缝两侧地应力方向偏转范围随裂缝扩展而增大，由初始3.2 m增加至18.5 m；多裂缝之间区域由于应力叠加效应影响，主应力差最大达到-4.7 MPa。

图5  多裂缝同步扩展诱导应力场变化

Fig. 5  Stress change induced by multiple fractures simultaneous propagation

3.3  射孔簇间距对裂缝扩展的影响

射孔簇间距对水平多裂缝同步扩展影响如图6所示。模拟射孔簇间距为10 m工况，当3段裂缝前缘沿最大水平主应力方向扩展至8.2 m，受缝间诱导应力场变化影响，左、右侧裂缝扩展方向偏转呈迂曲状扩展特征、裂缝偏转幅度较大；中间裂缝延伸方向小幅度偏转，如图6(a)所示；射孔簇间距为20 m时，左、右侧裂缝扩展过程中向两侧偏转幅度较小，中间裂缝延伸方向未产生改变。计算结果表明：水平井压裂多裂缝转向位置、转向幅度受射孔间距影响显著。

图6  射孔间距对裂缝扩展影响

Fig. 6  Effects of perforation space on fractures propagation

3.4  射孔簇数量对裂缝扩展的影响

水平井压裂段内射孔簇数量对裂缝扩展影响如图7所示。当水平段包含4组射孔簇时，两侧第1段和第4段裂缝扩展轨迹转向，而中间第2段和第3段裂缝由于应力干扰相互对称影响，裂缝扩展方向未产生明显偏转，如图7(a)所示；当水平段包含5组射孔簇时，外侧第1段和第5段裂缝扩展受内部多缝干扰影响，转向幅度增加；第2段和第4段裂缝扩展轨迹小幅度偏转，中间第3段裂缝沿最大水平主应力方向扩展、未产生裂缝转向，如图7(b)所示。随水平井压裂段射孔簇数目变化，裂缝间应力干扰叠加效应改变，增加了多裂缝扩展轨迹的复杂性。

图7  射孔簇数量对裂缝扩展影响

Fig. 7  Effects of perforation numbers on fractures propagation

4  结论

1) 基于多孔介质流-固耦合理论，建立了水平井多裂缝同步扩展力学模型；采用裂缝单元记录岩层破裂信息，将多裂缝同步动态扩展描述为不同计算区域裂缝单元网格的逐次破裂过程。算例表明本文模型求解的水平井裂缝破裂压力与模型公式结果吻合较好，该模型对研究水平井压裂多裂缝复杂扩展问题具有良好的适用性。

2) 水平井多裂缝同步压裂起裂压力相差较小，延伸压力受缝间应力干扰影响，中间裂缝高于两侧裂缝；随裂缝扩展，多裂缝之间应力干扰效应增加，主应力方向偏转范围增大，促使复杂裂缝的形成。

3) 水平井压裂过程中，可根据储层物性与应力环境，合理优化压裂段射孔簇间距和数目，增强多裂缝间应力干扰效应，提高裂缝扩展轨迹的复杂性，从而获得更好的压裂效果。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2016-07-28；修回日期：2016-10-24

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51304230)；中央高校基本科研业务费基金资助项目(16CX05001A) (Project(51304230) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(16CX05001A) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

通信作者：薛世峰，博士，教授，博士生导师，从事油气田地下工程力学研究；E-mail: xuesf@126.com