水平应力与裂隙密度对顶板安全厚度的影响

江学良^{1, 2}，曹  平¹，杨  慧¹，林  杭¹

 ( 中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083；

2. 湖南城市学院 土木工程学院，湖南 益阳，413000)

摘  要：将地下空区顶板视为梁模型，采用结构稳定理论，建立水平应力与地下空区顶板安全厚度之间的关系；以裂隙张量为基础，将岩体中的裂隙看作初始损伤，对含随机分布裂隙的顶板岩体进行分析，推求裂隙岩体的等效变形模量和等效泊松比，从而建立地下空区顶板厚度与岩体裂隙密度之间的关系，并探讨水平应力与岩体裂隙密度对地下空区顶板厚度的影响。研究结果表明：地下空区顶板厚度与水平应力及岩体裂隙密度具有较大的相关性，最小安全厚度随着水平应力的增大而增大，当水平应力由0 MPa增加到15 MPa时，对安全厚度的影响较大；当水平应力大于15 MPa时，随着水平应力的增大，安全厚度的增加幅度较小；最小安全厚度随着岩体裂隙密度的增大而增大，安全厚度与裂隙密度近似呈直线关系。

关键词：地下空区；顶板安全厚度；水平应力；岩体裂隙密度

中图分类号：TD 313         文献标识码：A         文章编号：1672-7207(2009)01-0211-06

Effect of horizontal stress and rock crack density on

roof safety thickness of underground area

JIANG Xue-liang^{1, 2}, CAO Ping¹, YANG Hui¹, LIN Hang¹

 ( School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

2. School of Civil Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, China)

Abstract: The roof of underground vacant area was taken as a beam model, the relationship between safety height and horizontal stress was built using structure stability theory, and the behavior of rock mass containing a random distribution cracks was discussed regarding cracks as initial damage on the basis of crack tensor. The equivalent modulus and the equivalent Poisson’s ratio were derived, and the relationship between safety height and rock crack density was built, the influence of horizontal stress and rock crack density on the height of roof were discussed. The results show that the height of roof is related to horizontal stress and rock crack density, and the height of roof increases with the increase of horizontal stress and rock crack density. The influence of horizontal stress is bigger when the horizontal stress increases from 0 MPa to 15 MPa than that when horizontal stress is bigger than 15 MPa. The relationship between the roof height and crack density is approximately linear.

Key words: underground vacant area; safety thickness of roof; horizontal stress; rock crack density

地下空区分为两大类：一类是自然原因(如地质构造等)形成的，如溶洞；另一类是由于人类活动(如矿产资源的采掘、隧道开挖、地下厂房等)在地表以下留下的各种形态、规模和不同分布的空洞。地下采空区是第2类地下空区的典型代表。地下空区具有隐蔽性、复杂性、突发性等特点。确定顶板安全厚度的方法主要有半定量法^[1-2]、有限元法^[3-6]、极限分析法^[7]、数值流形法^[8]、拉格朗日法^[9]、模型预测法^[10-11]等。数值分析方法可用于模拟复杂的边界条件，且能用于分析地下洞室顶板应力与变形的具体情况，但用于确定顶板安全厚度时较复杂。目前，确定地下洞室顶板安全厚度的方法基本上还是采用传统半定量分析方法。将地下空区顶板简化成简直梁或固端梁模型属于半定量方法中的1种，在实际工程中应用较多，具有方便、快速、简单的特点，但是这种模型具有2个明显的缺陷：a. 模型中未考虑梁端水平应力的影响；b. 将岩体视为连续介质，未考虑岩体裂隙的影响。地下空区顶板赋存于特定的地质环境中，通常存在水平应力场，顶板岩体中常含有大量的裂隙，这些裂隙的存在对岩体的宏观力学性质产生很大的影响。显然，此种模型忽略了水平应力与岩体裂隙影响，与工程实际情况存在着较大差异。在此，本文作者运用结构稳定理论与裂隙张量和损伤理论对常用的梁模型进行改进，探讨水平应力与岩体裂隙对空区顶板厚度的影响。

1  水平应力对模型的影响分析

以简支梁为例，地下空区顶板计算简图如图1所示，其中：q为地下洞室顶板的自重以及顶板上作用的荷载；N为地下洞室顶板两端作用的水平荷载，N=σ_h·h，σ_h为梁端水平应力；h为顶板厚度；y为在荷载作用下产生的挠度；l为顶板跨度。沿顶板纵向长度为1 m。采用瑞利-里兹法^[12]研究在横向分布力与轴向荷载作用下模型的特性。忽略轴向压缩能量，只考虑弯曲变形能。

图1  改进简支梁模型

Fig.1  Modified simply-supported beam model

在如图1所示的外力作用下，构件弯曲，贮存在构件内的应变能为：

式中：E为考虑岩体裂隙影响顶板岩石的等效弹性模量；I为单位宽度顶板截面的惯性矩，I=h³/12。横向均布荷载q所做的功为:

N所做的功为：

系统的总能量为：

满足边界条件(y)_x=0=0，(y)_x=l=0，设挠度具有以下形式：

式中：δ为跨中挠度。对于平衡系统，总势能П对于δ的变分必定为0，即

记欧拉荷载为N_e=π²EI/l²；，为仅有横向分布荷载q作用时简支梁的最大挠度。

在横向均布荷载与轴向荷载作用下，构件的最大弯矩为：

式中：M₀=ql²/8，为仅有横向均布荷载作用下的最大弯矩。顶板破坏的条件为：

其中：σ为顶板底最大拉应力；[σ]为最大容许拉应力。

2  初始地质缺陷的影响

岩体常常含有大量的裂隙，这对岩体的宏观力学性质产生很大的影响，使得岩体的变形模量降低，泊松比增大，从而降低岩体的强度、刚度和稳定性。Oda^[13]基于颗粒材料力学性质，提出了裂隙张量(crack tensor)的概念，促进了对具有随机裂隙分布材料的研究。杨延毅等^[14-16]也进行了这方面的工作。这一理论方法的重要意义在于，借助裂隙岩体几何张量，可以将包含裂隙的工程岩体等效为相应的连续介质。这里以该理论为基础，推求裂隙对地下空区顶板厚度的影响。

2.1  裂隙张量

裂隙的方向以裂隙面单位法向矢量n表达，其与产状的关系如图2所示。

图2  裂隙法向矢量与产状的关系

Fig.2  Relationship between crack normal vector and attitude

图3所示为裂隙特征示意图，图中V₀为圆柱体体积。所有与单位长e_i测线相耦的裂隙矢量2an之和需对n和a在0≤a≤∞域内积分得到，和矢量的分量为：

式中：F_ij为裂隙张量；E(n, a)是半径为a、单位法矢量为n的裂隙概率密度函数，具有对称性E(n, a)= E(-n, a)；Q为立体角，即4π。

将四阶裂隙张量定义为：

(a); (b)

图3  裂隙特征示意图

Fig.3  Map of crack character

2.2  等效初始柔度张量

由热力学第二定理可知，具有损伤的材料本构关系^[12]为：

2.3  等效变形模量

损伤体等效柔度张量的分量为：

式中：E和v分别等效弹性模量与等效泊松比。记裂隙密度参数χ=ρa³，通过式(19)与(20)中3个公式的任意2个得到：

将式(21)或(22)代入式(8)和(9)可得到地下空区顶板厚度与岩体裂隙密度之间的关系。

3  实例分析

西南某水电站地下厂房的地质条件为^[17]：无断裂构造发育，出露地层为玄武岩。将该地层划分为若干岩流层，层间发育层间错动带(C)，为厂房区控制性结构面，层内随机分布有层内错动带L_C，层间错动带C₄与顶拱斜交，呈缓波状，倾角为5°~10°，带宽为5~ 20 cm。错动带由碎裂岩、角砾岩与石英绿帘石条带组成，结构较紧密，呈弱风化状态，为岩块岩屑型，部分为熔结型。图4所示为地下厂房地质模型。厂房为椭圆顶拱，直立边墙。根据C₄的特征，将其近似视为是水平梁，简化的力学模型如图1所示。

图4  安全厚度地质模型

Fig.4  Geological model of safety thickness

地应力回归参数为：q=18 MPa，σ_h=15 MPa，l= 33.8 m，E₀=15 GPa，v₀=0.25，取岩体裂隙密度参数χ=0.4，岩体容许抗弯强度[σ]=6 MPa。将参数代入式(8)，(9)，(21)和(22)可得出：不考虑岩体裂隙影响时，安全厚度h≥8.53 m；考虑岩体裂隙影响时，安全厚度h≥8.60 m。

刘军等^[18]采用结构力学方法将顶板视为3次超静定的变截面梁，采用同样的计算参数，得到顶板安全厚度h≥7.53 m。该方法将岩体视为均匀弹性介质，也未能有效考虑水平应力场的影响。采用本文方法不考虑岩体裂隙与水平应力影响时，最小安全厚度经计算为8.35 m。由此可知，采用本文方法所得结果与采用文献[18]中方法所得计算结果较为一致。

图5所示为岩体密度参数χ=0.4时，安全厚度与水平应力之间的关系；图6所示为水平应力σ_h=15 MPa时，安全厚度与岩体裂隙密度参数之间的关系。从图5和图6可知：最小安全厚度随着水平应力的增加而增大，当水平应力由0 MPa增加到15 MPa时，对安全厚度的影响较大；当水平应力大于15 MPa时，随着水平应力的增加，安全厚度的增加率较小；最小安全厚度随着岩体裂隙密度参数的增加而增大，安全厚度与裂隙密度近似呈直线关系。

图5  安全厚度与水平应力的关系

Fig.5  Relationship between safety thickness and horizontal stress when χ=0.4

图6  安全厚度与岩体裂隙密度的关系

Fig.6  Relationship between safety thickness and crack density when σ_h=15 MPa

4  结  论

a. 顶板安全厚度与水平应力以及岩体裂隙具有较大相关性，安全厚度随着水平应力与裂隙密度参数的增加而增大。

b. 采用改进的梁模型分析顶板安全厚度能有效考虑裂隙与水平应力对顶板最小安全厚度的影响。

c. 在实际工程中，地下空区存在着程度不同的水平应力，顶板也存在着天然裂隙，所以，考虑水平应力与岩体裂隙对顶板安全厚度的影响能够更好地反映工程实际。

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收稿日期：2008-03-26；修回日期：2008-05-30

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50774093)；高等学校博士点学科专项基金资助项目(20060533071)；湖南省自然科学基金资助项目(07JJ6084)

通信作者：江学良(1977-)，男，湖南益阳人，博士，从事岩土力学与地下工程研究；电话：0737-6614001；E-mail: iamjxl@tom.com