铁路客货运量预测的随机灰色系统模型
张飞涟1,史 峰2
(1.中南大学 土木建筑学院,湖南 长沙,410075;2.中南大学 交通运输工程学院,湖南 长沙,410075)
摘要: 针对现有铁路客货运量预测方法的不足和铁路客货运量的随机波动性,基于灰色预测理论,建立了铁路客货运量预测的随机灰色系统模型。该模型在对客货运量原始数据生成处理的基础上,建立了符合检验要求的残差GM(n,h)模型,以预测铁路客货运量的发展趋势;再通过引入相对误差序列的随机过程,建立了随机GM(n,h)模型,以综合考虑随机因素对铁路客货运量未来发展趋势所带来的影响,提高铁路客货运量预测的精度。理论分析和实例计算结果表明:随机灰色系统预测模型直观,且操作性强,预测结果精度较高。
关键词: 客货运量; 随机; 灰色系统; 预测
中图分类号:F53 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)01-0158-05
Stochastic Grey System Model for Forecasting
Passenger and Freight Railway Volume
ZHANG Fei-lian1, SHI Feng2
(1. School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;
2. School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)
Abstract: Considering the imperfections of existing forecasting methods of passenger and freight railway volume and the stochastic fluctuation of the volume, based on the theory of gray system, the stochastic grey system model for forecasting the passenger and freight volume was established. After the original data being generated and processed, residual GM(n,h) model was developed to forecast the development trend of the volume. Stochastic GM(n,h) model was established by the introduction of stochastic process of relative error series, and this stochastic model can give comprehensive analysis about the impact of stochastic factors on the development trend of the volume and a more precise forecast. The results show that the model is explicit, feasible, and of high forecasting precision.
Key words: passenger and freight volume; stochastic; grey system; forecasting
客货运量是铁路建设项目经济评价与后评价的重要基础数据,其预测的精度和铁路建设项目经济评价与后评价的可信度密切相关。实际上,铁路客货运量受多层次、多因素的影响[1-3],为了准确预测铁路客货运量,必须收集大量信息,考虑各种影响因素,从而导致建模困难,有时即使模型能够建立,往往也会因为缺乏足够的信息而不能估计模型参数,导致无法预测。根据灰色系统理论所得出的灰色模型预测方法,不涉及这些复杂的相互关系,只注重系统本身的白色信息,寻找系统自身的内在规律,并利用已知、完全明确的白色信息,把系统灰色信息白色化[4,5]。根据这个原理,在铁路建设项目经济评价与后评价中,可根据类似项目或项目后评价时以前的实际客货运量数据,建立铁路客货运量的灰色预 测模型,再考虑客货运量的随机波动性,加入偏差变量扰动项的随机过程,最终建立铁路客货运量的随机灰色系统预测模型,以提高预测的精度[6,7]。
1 随机灰色系统预测模型建模步骤
设有原始数据序列:
X(0)(t)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),
它是一列随机变量,且在一定范围内变化。
1.1 对无规律的原始数据x(0)(t)进行生成处理
若对x(0)(t)依次做r次累加,则计算公式为[8]:
其中:r=1,2,3,…。第r次累加简记为r-AGO,得到r次累加生成序列:
X(r)(t)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))。
1.2 建立GM(n,h)模型
建立生成数据序列X(r)(t)的微分方程模型GM(n,h),估计其参数,得到时间响应函数,进行模型检验。下面以GM(1,1)为例介绍模型建立过程[9]。
GM(1,1)模型的一般形式是:
其中: a和u均为待估参数。
在时刻k,当Δt很小,取1个单位时,离散形式近似为:
当Δt取单位时间间隔时,变量x(t)从x(k)变到x(k+1)。由于Δt很小,并且
存在,x(k)变到x(k+1)不会出现突变。因此,对应于,变量x(t)的离散值可以近似地表示为:
令z(1)(t)=0.5x(1)(t)+0.5x(1)(t-1)(其中,t=2,3,…,n),则
Z(1)(t)=(z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n)),
为X(1)(t)的紧邻均值生成序列。
x(1)(t)的GM(1,1)模型为:
将上式离散化,并根据式(3)和(4),可得式(5)的近似表达式:
取k=1,2,…,n-1,便有下列方程组成立:
式(7)可改写为:
YN=B。
运用最小二乘法原理可求得参数a和u,即
由式(5)得: 
。
令初始值t=1,得常数
,于是,
。
当t=t+1时,得到GM(1,1)一次累加生成的时间响应函数模型:
式(10)即为GM(1,1)的还原模型。
式(10)说明, x[DD(-1]^[DD)](0)(t+1)只与系数a,u和x(0)(1)有关,因此,建立还原模型时,并不需要依靠生成的时间响应函数模型(9)式,而是在求出参数a和μ后,即可直接建模求出还原值。
1.3 预测模型的精度检验
求出预测值后,还要对预测模型的精度进行检验,预测模型精度由方差比c和小误差概率p控制,其计算公式为[5,10]:
式中:S1为原始数据列的均方差;S2为残差的均方差;n′为满足
的基本事件数。
c和p的精度等级按表1来判断[5],取c和p所确定等级的大者为模型精度等级。若精度不合要求,则需进行残差修正,修正的办法如下。
表 1 模型精度等级
Table 1 Model precision grades
1.4 建立残差GM(n,h)模型
若按x(0)(i)建立的GM(n,h) 还原模型经检验不合格,则可以考虑建立残差GM(n,h)模型对原模型进行修正[11]。修整方法如下:设
为还原模型GM(n,h)的预测值,则残差q定义为:
其中: i=1,2,…,n。据此,可得到残差数列Q(0)(t)=(q(0)(1), q(0)(2),…q(0)(n)),根据GM(n,h)模型的时间响应函数,建立q(0)(t)的时间响应函数。如对q(0)(t)建立GM(1,1)模型,则其时间响应函数为
将式(14)代入式(10),即得残差GM(n,h)模型。例如,残差GM(1,1)模型为:
1.5 加入随机扰动项建立随机灰色系统预测模型
将残差GM(n,h)模型预测值记为
,它也为随机变量。同式(13)类似,可定义其残差数列q(0)(t),作相对误差序列:
将式(17)与残差GM(n,h)模型结合,即得带随机扰动项的最终预测模型。如GM(1,1)带随机扰动项的最终预测模型为:
因为x(0)t和x[DD(-1]^[DD)]′(0)(i)都是随机变量,故ε(t)也是随机变量。可以根据ε(t)的概率分布及变动范围,通过模拟技术模拟若干组ε(t)的值,最终预测铁路建设项目历年客货运量的期望值
。
2 随机灰色系统预测模型在实际项目中的应用
已知某铁路电气化工程项目X-Y段上行客运量如表2所示。
表 2 X-Y段上行客运量
Table 2 Up directional passenger volume
in X-Y section
客运量/(万人·a-1)
根据实际数据的变化规律,建立随机GM(1,1)模型,对该项目未来年份客运量进行预测。
首先,对数据进行1-AGO运算,得到累加数据序列x(1)(t)以及紧邻均值序列z(1)(t),如表3所示。
由表3可见,对原始数据x(0)(t)进行1-AGO生成处理,数列即可满足非负、单调并符合指数规律的要求。这样,根据表3中的数据,将YN和B代入式(8),可计算出参数a和u的值。
由式(9)和(10)分别得到时间响应函数、还原模型为:
由此可得各年预测运量,如表4所示。
进一步,可计算出残差q(0)(t)和相对误差ε(t),如表5所示。
表 3 紧邻均值序列计算值
Table 3 Calculating value of adjacent mean series
表 4 X-Y段上客运量预测值
Table 4 Forecasting value of up directional passenger volume in X-Y section
预测客运量/(万人·a-1)
表 5 原始运量与预测运量残差及相对误差计算值
Table 5 Calculating value of residual and relative errors of original volume
and forecasting volume
根据式(11)和(12)得:c=0.7811≥0.6500, p=0.6667≤0.7000, 说明所建模型精度不合要求。根据式(15)建立残差GM(1,1)模型,并考虑随机因素对客货运量的影响,建立随机扰动项即相对误差ε(t)的随机过程,修正原有预测模型,得到随机灰色系统预测模型,预测铁路客货运量。
按统计学的一般假定,可假设ε(t)服从正态分布N(λ,σ)。根据本项目的实际情况,得:λ=-0.64%, σ=0.0918。这样,ε(t)的分布函数为:
再依据项目实际情况,确定ε(t)的变化范围。通过式(19)随机模拟产生50组ε(1), ε(2),…,ε(n)的值,求其期望值,最后根据式(18)即可预测铁路建设项目X-Y段历年上行客运量[14]。
同理,可以预测该项目其他各段的客货运量,再根据项目经济评价与后评价其他相关数据,利用Excel,便可算出经济评价与后评价中各项评价与后评价指标的期望值及各指标满足评价标准的概率,对铁路建设项目经济效益进行更客观、全面的评价。
3 结语
a. 灰色系统预测模型应用于铁路客货运量预测,基于客货运量变化本身的白色信息,寻找其变化的内在规律和发展趋势,提高了铁路客货运量预测方法的直观性和可操作性。
b. 给出了一种随机灰色系统预测模型建立的方法,能准确地预测客货运量的变化趋势。
c. 灰色系统预测的本质是一种指数增长预测,成功地建立和应用灰色模型的必要和充分条件是,原始数列必须是非负的,单调的,并符合指数规律。因此,应对不满足要求的数据进行处理,以满足灰色系统预测的要求。
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收稿日期:2004-06-10
基金项目:国家铁道部软科学研究计划项目(2000F009)
作者简介:张飞涟(1964-),女,湖南湘潭人,教授,博士研究生,从事工程经济与管理的研究
论文联系人:张飞涟,女,教授;电话: 2655988(O), 13974809870(手机)
