执行器安装偏差的航天器姿态跟踪自适应滑模控制

霍星^{1, 2}，肖冰²，胡庆雷²

(1. 渤海大学 工学院，辽宁 锦州，121000；

2. 哈尔滨工业大学 控制科学与工程系，黑龙江 哈尔滨，150001)

摘要：针对采用反作用飞轮控制的刚体航天器，设计一种自适应滑模姿态跟踪控制算法。该方法应用滑模控制来处理不确定转动惯量，而采用自适应技术来估计外部干扰的上界，从而实现对干扰的抑制控制以及系统不确定性的鲁棒控制。同时考虑反作用飞轮安装偏差，提出所设计的控制器在安装偏差情况下实现姿态跟踪控制的充分条件，并基于Lyapunov方法证明闭环姿态跟踪系统的全局渐近稳定性。最后将所提出的方法应用于某型航天器的姿态跟踪任务中，仿真结果验证了该方法的有效性，及其对飞轮安装偏差的处理能力。

关键词：航天器；执行器安装偏差；姿态跟踪；滑模控制

中图分类号：V448.22          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)S1-0233-07

Adaptive sliding mode attitude tracking control for spacecraft under actuator misalignment

HUO Xing^1,2, XIAO Bing², HU Qing-lei²

(1. College of Engineering, Bohai University, Jinzhou 121000, China;

2. Department of Control Science and Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract: An adaptive sliding mode control scheme is proposed for rigid spacecraft attitude tracking, which is activated by reaction wheels. Sliding mode control is employed to treat with uncertain inertia parameters, while adaptive technique is also utilized to estimate the upper bound of external disturbance; therefore, external rejection and robustness to system uncertainties are guaranteed by the proposed controller. Moreover, a sufficient condition is presented with reaction wheel misalignment taken into consideration, under which the attitude maneuver can be successfully performed with the synthesized control law. The associated stability proof is constructive and accomplished by the Lyapunov analysis, which shows that the resulting closed-loop attitude tracking system is globally asymptotically stable. Numerical simulation results of an application to a rigid spacecraft are also presented that not only highlight the attitude tracking performance and the effectiveness of the control law derived here but also illustrate its great capability to handle reaction wheels misalignment.

Key words: spacecraft; actuator misalignment; attitude tracking; sliding mode control

航天器姿态控制系统，作为航天器系统工程中重要的子系统之一，其技术水平直接决定了航天器能否完成既定的通讯、侦查、绕飞等飞行任务以及特定的在轨功能。为了高效、可靠地完成这些任务，要求航天器的有效载荷能够保证对给定姿态轨迹的定向与跟踪控制。因此姿态跟踪控制已成为航天工程中亟待解决的一个重要控制问题。 但是在轨的航天器其姿态跟踪系统不但具有很强的非线性，而且它将受到各种干扰的作用，特别是来自外部环境的干扰力矩。另一方面，有效载荷的运动将引起系统参数的不确定性；同时燃料消耗所引起的星体质量变化将导致航天器转动惯量的不确定性。为此如何设计一种算法简单、工程实用价值高的姿态跟踪控制算法便显得尤为重要，它的解决与否将直接决定航天器有效载荷对特定目标的跟踪任务能否圆满完成。

为了实现对期望姿态的高精度跟踪控制，国内外学者从工程应用的角度出发进行了大量的研究，并取得了一定的研究成果^[1-4]。考虑到航天器受到各种干扰以及不确定参数的影响，因此对干扰的抑制以及对不确定参数的鲁棒姿态跟踪控制已引起了学者的广泛关注，如文献[5]考虑执行器输出力矩饱和问题，提出的自适应跟踪算法不但可以实现对期望姿态高精度控制，而且能够实现对外部干扰的抑制控制。文献[6]针对采用修正罗德里格参数描述的挠性航天器姿态跟踪控制问题，设计了滑模控制器。Yoon等^[7]针对多输入多输出的Hamiltonian系统，考虑不确定惯量特性，提出了自适应跟踪策略；但是它并没有考虑外部干扰对姿态跟踪精度的影响。为此，Cai等^[8]设计自适应律在线估计系统不确定参数与干扰的上界，为推力器故障的刚体航天器设计了一种自适应控制器。Sanyal等^[9]设计了一种不依赖于转动惯量的姿态控制器，从而实现对姿态的几乎全局渐近跟踪控制，并实现对外部干扰的抑制控制。特别地，考虑到发射成本以及敏感器自身的物理限制等诸多因素，导致角速度、姿态信息不可精确测量的问题，Taybei^[10]仅利用姿态信息设计了不需角速度的输出反馈跟踪控制器，但是该方法并没有考虑不确定惯量特性、外部干扰；为此，Song   等^[11]基于观测器设计技术，为不可精确获得的姿态设计观测器，并基于观测信号为惯量特性未知、外部干扰作用以及控制力矩受限的航天器设计了自适应控制器，已实现对姿态的一致最终有界跟踪控制。

尽管上述文献可实现对转动惯量不确定并且受到外部干扰的航天器的高精度姿态跟踪控制，但这些研究结果均是在执行器的输出力矩不存在不确定性的条件下获得。事实上，实际的航天工程中由于工艺、航天器发射时运载器振动等因素，导致执行器的安装是存在偏差的，即其输出力矩存在不确定性。这种安装偏差的存在将在不同程度上影响姿态跟踪性能。 文献[12]针对推力器安装存在偏差的卫星编队控制问题，提出了一种自适应控制设计策略以实现对这种安装偏差的补偿。 但推力器提供的推力是固定不变的，而反作用飞轮提供的力矩是时变的；因此文献[12]的结果并不适用于飞轮控制的航天器。

为此，本文作者针对采用反作用飞轮的刚体航天器，考虑外部干扰力矩以及不确定的转动惯量等因素的影响，提出了一种滑模姿态跟踪控制策略，从而保证在反作用飞轮安装存在大偏差的情况下实现对期望姿态以及期望角速度的高精度跟踪。应用Lyapunov稳定性理论，从理论上证明了当飞轮安装偏差满足某一充分条件时，所涉及的控制器可保证航天器实际姿态对期望姿态的全局渐近跟踪控制。最后，将该控制策略应用于某型航天器的姿态跟踪控制，仿真结果表明该方法对外部干扰、不确定惯量特性以及执行器安装偏差具有很好的鲁棒性，能够满足姿态跟踪要求。

1  预备知识

1.1  航天器姿态动力学

由于四元数描述的航天器姿态不存在奇异现象，故本文采用姿态四元数法来描述姿态，此时航天器姿态运动学方程可表示为^[13]：

式中：为航天器相对于惯性系I的角速度在本体系B中的投影；I₃为3阶单位矩阵。而表示本体坐标系B和惯性坐标系I之间的姿态四元数；对定义叉乘算子为：

本文所考虑的航天器为刚体航天器，它采用四斜装反作用飞轮控制，其中，3个反作用轮正交安装于航天器本体轴，而在与本体系B三轴成等角的方向上安装第4个飞轮，其具体的安装结构图如图1所示。此时，根据欧拉定理得出航天器的姿态动力学为^[13]：

式中：为航天器的转动惯量矩阵，为反作用飞轮作用于航天器3个本体轴的控制力矩，为航天器受到的干扰力矩。但由于负载、挠性附件的转动以及能量的消耗，致使航天器惯量J是不确定的。为此，记J为，其中，J₀表示标称的转动惯量，而?J表示不确定的转动惯量。

图1  4个反作用飞轮安装结构图

Fig.1 Configuration of four reaction wheels

1.2  航天器姿态跟踪数学模型

令本体系T表示航天器姿态跟踪任务中期望的坐标系，而和分别表示期望坐标系T相对于惯性系I的角速期望度与期望的姿态。 此时则有

定义四元数为航天器实际姿态Q与期望姿态Q_d之间的姿态跟踪误差，其中“”表示四元数间的乘法运算；且定义误差角速度为本体系B相对于期望坐标系T的角速度，则有

式中：表示期望系T到本体系B的旋转矩阵，且满足。

根据上述分析，由式~可得出航天器姿态跟踪数学模型为：

且误差四元数将满足如下等式：

1.3  执行器安装偏差

图1所示为标准的反作用飞轮的安装结构，但是实际的航天工程中常存在执行器安装偏差这一问题，即反作用飞轮实际的安装角与期望的安装位置之间存在一小角度偏差，如图2所示。 图中

分别表示前3个反作用飞轮实际安装轴与星体3个本体轴之间的偏差角，而表示飞轮安装轴投影与本体坐标轴之间的夹角；此外与表示第4个飞轮的安装偏差角。

图 2  反作用飞轮安装存在偏差

Fig.2  Misalignment of reaction wheels

根据图1给出的反作用飞轮安装框图，可进一步得出给飞轮实际输出力矩与作用于星体本体轴的控制力矩关系为：

式中表示第i个反作用飞轮实际的输出力矩，且上式中安装偏差角的单位均为弧度。

虽然反作用的安装由于安装工艺的影响而存在偏差，但是安装偏差角与总体而言是很小的。为此可进行如下的近似：

≈≈

≈≈         

至此根据式，式可进一步简化为：

其中，，为需要设计的姿态控制力矩，且

显然从上述矩阵定义可准确获得D₀航天器标称的控制力矩分配矩阵；而?D表示4个反作用飞轮因安装偏差而产生输出力矩不确定项。 特别地，根据图1所示结构图，由于第4个飞轮与星体3个本体轴成等角安装，故可计算出

1.4  姿态跟踪问题描述

针对航天器姿态跟踪误差模型~，在全局范围内作如下假设：

假设1 转动惯量矩阵J是正定对称的，且存在未知常数γ₁满足。

假设2 干扰力矩d(t)是有界的，即，其中d_max是未知的正常数。

假设3 期望角速度ω_d和均有界，即存在常数γ₂与γ₃使得如下不等式成立。

文中和定义||x||与分别为向量x的2范数与无穷范数，而表示矩阵A 的无穷范数。

至此，本文的控制目标可描述为：针对采用四斜装反作用飞轮控制、且存在安装偏差的航天器姿态跟踪误差控制系统~，在假设1~3的前提下，设计控制律τ(t)实现对期望姿态的全局渐近跟踪控制，即有与成立。

2  航天器姿态跟踪控制

由于滑模控制能够保证控制性能对系统参数不确定性具有很好的鲁棒性，故本文将基于此理论设计姿态跟踪控制器。为此设计滑模面

其中，k为一正常数，且。 此时可得出如下引理：

引理1 若设计控制器τ(t)使得滑模到达条件得以满足，则当时有，以及成立。

证明 根据滑模控制理论可知，当滑模到达条件得以保证时，此时则有

选取Lyapunov函数

由式与，则V₁对时间的导数可计算为：

由式可知：当且仅当e=0时有，故时有成立，此时根据式知成立。

此外根据单位四元数等式约束得出当时有成立。 此时考虑Lyapunov函数，由式可进一步得：

根据式与系统不稳定理论可知平衡点

是不稳定的。 综上分析可知，基于滑模面所设计的姿态控制器可保证为唯一平衡点。此引理得证。

当反作用飞轮存在安装偏差时，由滑模面以及航天器姿态跟踪误差动力学方程，则有

虽然存在惯量不确定项?J，但相对于航天器标称惯量而言此不确定项毕竟是小量，因此根据假设1有成立。 由， 以及，根据假设1~3则有如下不等式成立：

至此，由假设2并根据式~，可进一步得出如下的关系式：

其中：，。 显然常值向量中每个元素是

未知的。基于上述分析，便可得出定理：

定理1 针对反作用飞轮安装存在偏差的航天器姿态跟踪控制系统~，当安装偏差满足不等式时，若设计滑模控制器：

以及自适应更新律：

其中，；为的估计值，且与c₀为正的控制参数，则整个姿态跟踪闭环控制系统是全局渐近稳定的，且当有，以及成立。

证明 选取Lyapunov函数

由式和~，式两边同时对时间求导得：

由于对，有不等式成立，故有

根据δ的定义，应用式可进一步化简式为：

上式表明：当且仅当时，成立，故由Barbalat引理^[14]可知：当时，有，也即。 此时表明滑模到达条件得以实现，此时由引理1便可证明整个姿态跟踪闭环系统是全局渐近稳定的，即和成立。

从上述证明可知，定理1给出了保证姿态跟踪控制器对反坐飞轮安装偏差的有效处理的一个充分条件，即。

根据?D与矩阵范数的定义，则有，其中

另一方面，不等式成立意味着。 因此，由式可知：定理1成立的条件是，即本体轴中任意2个飞轮的安装偏差角与第4个飞轮的安装偏差角之和不超过。 针对图1所示的标称安装结构图可算出：定理1适用的最大的总安装偏差角不能超过16.370 2°。

定理1中控制器的设计中虽然是未知的，但是从充分条件可知，总可以通过选取充分接近1，从而保证所设计的姿态控制器能够在存在较大反作用飞轮安装偏差的情况下实现对姿态的跟踪控制，即选择越接近1，则所能处理的安装偏差角便越大。

3  仿真结果

为了验证文中所设计的自适应滑模姿态控制器的有效性，对某型航天器姿态跟踪操作进行了数值仿真。航天器物理参数选自文献[10]，其中，标称转动惯量J₀与不确定惯量?J分别为

其中，以及。 该航天器采用如图1所示反作用飞轮安装结构进行姿态控制。 此外航天器所受到的外干扰力矩作用如下：

其中，N·m，rad/s为航天器轨道角速度。

反作用飞轮安装偏差：星体3个本体轴上的飞轮的安装偏差角均在-2°~+2°之间随机选择，均在-180°~+180°之间随机选择；而第4个飞轮的安装偏差角和在-2°~+2°之间随机选择。 仿真中航天器初始角速度以及初始姿态分别为，；期望姿态初值为，期望角速度为。 且控制器中的控制参数选取为k=0.9，，γ=0.02和ε=0.002 5。

当存在上述反作用飞轮安装偏差时，采用控制器进行姿态跟踪控制，航天器姿态跟踪误差以及跟踪误差角速度的时间响应曲线分别如图3~4所示。 从图3可知：即使存在大的飞轮安装偏差，文中所设计的控制器可保证星体姿态在35 s内跟踪上期望姿态，完成既定的科学任务；同时从图4所示的角速度误差跟踪曲线可进一步验证控制器的高精度姿态跟踪控制性能。

图 3  姿态跟踪误差时间响应曲线

Fig.3  Time response of attitude tracking error

图 4 角速度跟踪误差时间响应曲线

Fig.4  Time response of angular velocity error

4  结论

本文设计了自适应滑模姿态跟踪控制器，实现航天器姿态对期望姿态的全局渐近跟踪控制。 该方法应用自适应技术来学习干扰的上界，而采用滑模控制处理系统不确定性参数，从而保证所设计的控制器能够实现对干扰抑制以及对不确定参数的鲁棒控制。 特别地，考虑反作用飞轮安装偏差问题，提出了所设计姿态跟踪控制策略对偏差有效处理的充分条件。 将本文提出的姿态跟踪控制方法应用于某型航天器，仿真结果验证了该方法的有效性及其工程实用价值，具有较好的应用前景。

参考文献：

[1] Boskovic J D, Li S M, Mehra R K. Robust tracking control design for spacecraft under control input saturation[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 2004, 27(4): 627-633.

[2] Luo W C, Chu Y C, Ling K V. H-infinity inverse optimal attitude tracking control of rigid spacecraft[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 2005, 28(3): 481-493.

[3] Chaturvedi N A, Bernstein D S, Ahmed J. Globally convergent adaptive tracking of angular velocity and inertia identification for a 3-DOF rigid body[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2006, 14(5): 841-853.

[4] Chen Z Y, Huang J. Attitude tracking and disturbance rejection of rigid spacecraft by adaptive control[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, 54(3): 600-605.

[5] Li Z X, Wang B L. Robust attitude tracking control of spacecraft in the presence of disturbances[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 2007, 30(4): 1156-1159.

[6] Jin E. D, Sun Z. W. Robust attitude tracking control of flexible spacecraft for achieving globally asymptotic stability[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2009, 19(11): 1201-1223.

[7] Yoon H, Agrawal B N. Adaptive control of uncertain Hamiltonian Multi-Input Multi-Output systems: with application to spacecraft control[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2009, 17(4): 900-906.

[8] Cai W C, Liao X H, Song Y D. Indirect robust adaptive fault-tolerant control for attitude tracking of spacecraft[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 2008, 31(5): 1456-1463.

[9] Sanyal A, Fosbury A, Chaturvedi N. Inertia-free spacecraft attitude tracking with disturbance rejection and almost global stabilization[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 2009, 32(4): 1167-1178.

[10] Tayebi A. Unit quaternion-based output feedback for the attitude tracking problem[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2008, 53(6): 1516-1520.

[11] Song Y D, Cai W C. Quaternion observer-based model-independent attitude tracking control of spacecraft[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 2009, 32(5): 1476-1482.

[12] Lim H C, Bang H. Adaptive control for satellite formation flying under thrust misalignment[J]. Acta Astronautica, 2009, 65(1/2): 112-122.

[13] Sidi M J. Spacecraft dynamics and control[M]. London: Cambridge University Press, 1997: 100-111.

[14] Krstic M, Kanellakopoulos I, Kokotovic P V. Nonlinear and Adaptive Control Design[M]. NewYork: Wiley, 1995: 491-492.

(编辑 陈爱华)

收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61004072)；辽宁省教育厅高校科研计划项目(L2010009)

通信作者：胡庆雷(1979－)，男，河南太康人，博士，副教授，从事航天器姿态控制研究；电话：0451-86402727; E-mail: huqinglei@hit.edu.cn