DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.06.034
基于信息熵-模糊谱聚类的非均质碎屑岩储层孔隙结构分类
葛新民1, 2，范宜仁1, 2，唐利民3，陈义国4，齐林海5，邢帅6
(1. 中国石油大学 地球科学与技术学院，山东 青岛，266580；
2. 中国石油大学CNPC测井重点实验室，山东 青岛，266580；
3. 中国石油大庆油田井下作业分公司，黑龙江 大庆，163000；
4. 陕西延长石油(集团)有限责任公司研究院，陕西 西安，710075；
5. 中国石油大庆油田海拉尔石油勘探开发指挥部，黑龙江 大庆，163000；
6. 中国石油集团测井有限公司长庆事业部，陕西 西安，710201)
摘要：提出基于信息熵-模糊谱聚类算法的孔隙结构自动分类技术，应用谱聚类算法解决凸分布聚类问题，实现全局收敛，有效避免“维数灾难”。根据信息熵理论对谱聚类算法中的尺度参数进行优化，得到孔隙结构类型。在此基础上，结合模糊数学算法得到每个样本对孔隙结构类型的隶属度，根据隶属度最优法则(样品对某一类孔隙结构的隶属度大于70%)确定不同样本所属孔隙结构类别。研究结果表明：该算法所得孔隙结构分类结果与试油、试采等生产测试结果十分吻合，工程应用效果十分明显。
关键词：非均质碎屑岩；孔隙结构分类；模糊谱聚类算法；信息熵；尺度参数优化
中图分类号：P631.8+4 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)06-2227-09
Pore structure typing of heterogeneous clastic reservoir using information entropy-fuzzy spectral clustering algorithm
GE Xinmin1, 2, FAN Yiren1, 2, TANG Limin3, CHEN Yiguo4, QI Linhai5, XING Shuai6
(1. School of Geosciences in China University of Petroleum, Qingdao 266580, China;
2. CNPC Key Well Logging Laboratory in China University of Petroleum, Qingdao 266580, China;
3. Down Hole Service Sub-Company of Daqing Oilfield Company, Daqing 163000, China;
4. Research Institute of Shanxi Yanchang Petroleum (Group) Co. Ltd., Xi’an 710075, China;
5. Hailar Headquaters of Petroleum Exploration and Development of Daqing Oil field Company, Daqing 163000, China;
6. Changqing Division, China Petroleum Logging Co. Ltd., Xi’an 710201, China)
Abstract: A method of automatic typing was proposed by using information entropy-fuzzy spectral clustering algorithm. Complete convergence was obtained by using spectral clustering algorithm to solve the convex distribution clustering problem, thus the ‘dimension disaster’ was avoided effectively. In the light of information entropy theory, the scale parameters of spectral clustering algorithm were optimized and then the types of pore structures were presented. On this basis, in combination with each sample of the pore structure types of membership from fuzzy mathematics algorithm, various types of pore structure of different samples can be obtained according to the membership degree of optimal rule(membership degree of samples for one pore structure is greater than 70%). The results show that the results of pore structure typing obtained from the algorithm are in good agreement with well test and production test results, and its engineering application effect is very obvious.
Key words: heterogeneous clastic reservoir; pore structure typing; fuzzy spectral clustering algorithm; information entropy; scale parameter optimizing
碎屑岩的孔隙结构特征及孔隙类型是储层评价的重要内容，不同孔隙结构储层具有不同的物性、含油性、测井响应等特征，进而影响储层的产能。通过诸如铸体薄片、扫描电镜、核磁共振、毛管压力及常规物性分析等岩石物理实验进行储层孔隙结构定性描述、定量分析，进而提取相关孔隙结构表征参数进行孔隙结构划分是通过实验分析储层类型的重要思路。应用特征参数进行储层和孔隙结构类型的划分，除了交会图外，聚类分析、灰色关联等算法的应用也十分广泛。Dyman等[1]应用因子分析和聚类分析定量研究了蒙大拿州西南地区中白垩纪砂岩的岩石物理和孔隙结构相的特征。王本鉴等[2]根据模式识别和专家系统建立了不同类别储层的判定模型。刘顺生等[3]应用对应分析和聚类分析选取了储层分类参数，并结合专家分类意见确定了最佳储层分类系统。姚萌等[4]应用多元逐步回归分析和Q型聚类分析对枣南油田孔一段储层进行了综合分类。蔡忠等[5]探讨了灰色聚类分析在储集层分类评价中的应用。吴东胜等[6]应用模糊聚类分析法进行了储层类别划分并建立了评价标准。张顶学等[7]提出了基于模糊物元欧氏贴近度分析的储层分类方法。Dubois等[8]对比了贝叶斯判别、模糊逻辑分类器和人工神经网络分类器在岩相及孔隙结构分类中的应用效果。焦创赟等[9]对压汞分析数据进行聚类分析，研究了鄂尔多斯白豹油田长4+5的储层类型。张晓东等[10]结合层次分析法和模糊数学评判法建立了蜀南气田嘉二段储层的分类标准。Genty等[11]对核磁共振横向弛豫时间谱进行高斯函数拟合并得到特征参数，结合Bayes判别研究了孔隙结构识别方法。杨波等[12]应用Q型分层聚类算法进行了储层分类研究。Rodolfo等[13]应用改进的流动单元指数实现了孔隙类型的划分。Emad等[14]应用极限学习和支持向量机方法进行了碳酸盐岩储层的岩相识别。何琰[15]建立了基于模糊综合评判与层次分析的储层定量评价模型。王礼常等[16]对比了判别分析和决策树在致密砂岩气藏储层分类的准确率。谭锋奇等[17]对比了基于划分、基于层次、基于模型和基于密度的4种聚类算法在储层分类中的效果，优选基于划分的K-means算法作为砾岩油藏储层分类方法。非均质碎屑岩储层孔隙结构复杂、各向异性严重等特征往往使得常规聚类和识别算法在孔隙结构分类中难以取得理想效果。本文作者引入谱聚类方法进行孔隙结构分类，应用信息熵理论和模糊算法优化聚类结果，得到最佳孔隙结构类型及样本。
1 谱聚类算法基本原理
谱聚类算法是建立在谱图理论的基础之上，将数据的划分转化为对图的分割问题，与样本数据的维数无关。与传统聚类算法相比，具有能在任意形状的样本空间上聚类和全局收敛的优点，在处理高维数据方面具有明显的优势。设G={g1，g2，…，gm}(其中，gj(1≤j≤m)为第j个孔隙结构特征参数，m为特征参数个数)，S={s1，s2，…，sn}表示实验样品构成的集合(其中si(1≤i≤n)为同一样品的所有孔隙结构特征参数，n为样品个数)，由所有样品构成的孔隙结构特征参数矩阵为[18-20]
(1)
式中：pi, j为第i个样品的第j种孔隙结构特征参数。
根据图的相关理论将孔隙结构分析数据映射为高维空间中的点，并以样本为节点构造图G=G(V，E)(其中，V为待聚类的样本集，E=V×V表示节点间的边界)。2个节点i和j之间的边权值W的元素可写为
(2)
式中：d(si，sj)为两节点的欧氏距离，一般为||si-sj||2；σ为尺度参数。对任意i，j和σ，均有0≤Wij≤1。
边权值反映2节点间的相似程度，Wij越大，表明2节点属于同一类的可能性也越大。由边权值组成的矩阵W称为边权矩阵。与节点i连接的所有节点的边权和称为度di：
(3)
由度di构成的对角阵称为度矩阵D，可写为
(4)
因此，Laplacian矩阵可定义为
(5)
对L进行特征值分解得到特征值λi(i=1，2，…，n)，设λ1≥λ2≥…≥λn。相邻特征值的差值(称为谱隙)为
(6)
取前k个特征值λi(i=1，2，…，k，k＜n)及对应的特征向量vi(i=1，2，…，k，k＜n)组成新的n×k矩阵X，每1行可看成是k维空间的1个向量，然后用K-means聚类算法对n个向量进行聚类分析。样品的类别数与δ具有紧密的联系，当孔隙结构类内分布越紧密，类间分布越分离时相应的δk也越大，孔隙结构类别数可用下式确定：
(7)
确定孔隙结构类别数后，选择Laplacian矩阵L的前k个特征向量构造新的矩阵X，并对行向量进行归一化得到矩阵Y，即
(8)
对矩阵Y进行K-means聚类，则得到每个孔隙结构样本所属的孔隙结构类别。谱聚类算法的基本流程如图1所示[21]。表征孔隙结构的微观参数有很多，针对所取岩心开展常规孔渗、铸体薄片、核磁共振和核磁共振成像等实验，得到孔隙度、渗透率、圆度、形状因子、比表面、纵横比、非均质性系数、迂曲度、T2几何平均值、T2算术平均值、孔隙半径、分维数(分别表示为f，K，RD，SF，S/V，AR，I，τ，T2L，T2M，r和DNMR)共12种特征参数。
相关系数是反映变量间密切程度的重要指标。对于2个变量x和y，若它们的样本值分别为xi和yi(i=1，2，3，…，n；n为样本个数)，两者的相关系数r为
(9)
式中：E为数学期望；cov表示协方差。
因
，式(9)可写为
(10)
当r＞0时为正相关，当r＜0时为负相关。对r取绝对值，r越大说明相关程度高。相关系数矩阵是由多个相关系数组成的矩阵，对12个孔隙结构参数进行相关分析可得相关矩阵R，矩阵中
。经分析得相关矩阵为
(11)
从式(11)得到关联程度后，选择相关系数小、正交性强的6个参数作为表征孔隙结构的特征向量。计算每个参数与其他参数的相关系数之和可得
(12)
式中：rx为变量x的总相关系数。
通过相关系数的排序确定孔隙结构特征参数为SF，AR，I，τ，r和DNMR。
2 信息熵法优化尺度参数
算法中尺度参数σ需人工输入，给分类结果带来一定误差。图2和图3所示分别为不同σ的特征值λ与谱隙δ分布。从图2和图3可见：随着尺度参数的增大，特征向量的差异逐渐减小，k越大(当σ为0.2时，k=5；当σ为0.5时，k=9)。尺度参数对聚类结果影响非常大，如何优化选取尺度参数是谱聚类方法亟待解决的关键问题。引入信息熵理论进行尺度参数优化，其本质是对信息熵求极小。信息熵描述离散随机变量不确定性程度。若变量X是所有信息x的集合，p(x)是X属于x的概率，则变量X的信息熵为[22]
(13)
当X对所有信息的概率均相等时熵最大，即当p(x)=1/n时H(σ)=logn。信息熵越小，则不确定性越小，信息量也越小。数据集信息熵越小，则说明数据分布越散；数据集信息熵越大，则说明数据分布越集中。
图1 谱聚类算法的基本流程
Fig. 1 Basic flow of spectrum clustering algorithms
对边权矩阵W，定义概率函数
(14)
边权矩阵信息熵为[23]
(15)
图2 σ为0.2时样本特征向量及谱隙分布
Fig. 2 Distributions of eigenvector and eigengap when scaling factor is 0.2
图3 σ为0.5时样本特征向量及谱隙分布
Fig. 3 Distributions of eigenvector and eigengap when scaling factor is 0.5
边权矩阵与尺度参数σ有关，信息熵是尺度参数的函数。当σ→0时，p(xi)→1/n，此时H(σ)最大，即H(σ)=logn。当σ由0逐渐增至
时，H(σ)开始逐渐减小并在某个σ时达最小，然后逐渐增大，当σ→∞时再达到最大[23]。样本的H(σ)与σ关系如图4所示。从图4可知：当σ为0.122时，H(σ)达极小(2.656)，因此，选择0.122为最优尺度参数。最优尺度参数下的谱隙分布如图5所示。谱隙最大时k为5，因此，将孔隙结构分为5类。
图4 信息熵与尺度参数的关系
Fig. 4 Relationship between entropy of information and scaling factor
图5 最优尺度参数下的谱隙分布
Fig. 5 Eigengap distribution under optimal scaling factors
3 模糊算法确定孔隙结构类别和最优样本
谱聚类算法中通过对新矩阵进行K-means聚类分析确定每个样本所属类型。K-means算法是一种硬聚类方法，输出的隶属度只有0和1，而实际样本往往存在一些模糊信息，譬如某样本兼有A和B两类的性质，但隶属于A类的可能性较大，因此，需通过隶属度来进行判断类的属性，这种算法称为模糊聚类法。应用模糊聚类法得到每个样本的隶属函数后通过最大隶属函数准则实现样品的聚类。
对于给定样本集S={s1，s2，…，sn}，每个样本中的特征参数有m个，其模糊聚类划分空间中的k个模糊子集满足：
(16)
式中：uij为第j个样本在第i类的隶属度。
类内加权误差平方和目标函数为
(17)
式中：
为加权系数；dij为样本xj到第i类聚类中心vi的距离。
(18)
式中：A为m×m阶正定矩阵。当A为单位阵时，dij为欧氏距离。
最理想的距离是将
取极小
，式(18)为极小时满足[24]：
(19)
(20)
2次计算uij距离满足收敛条件时得到。模糊聚类算法的步骤[25]如下。
1) 给定初始化参数k和m并计算初始z；2) 根据式(19)和式(20)更新z和u；3) 给定ε，若找到1个合适的范数矩阵使
则停止迭代，否则转步骤2)。
得到距离最小时各样品在不同类中的隶属度uij并根据最大隶属度原则即可确定所有样本的类别。本文中的最优样本是指对某类隶属度大于0.75的样本，隶属度越大，表明样本所属类别的确定性强。通过基于信息熵的模糊谱聚类算法对样本分析得到488个最优样本，其中：第I类86个，第II类122个，第III类96个，第IV类78个，第V类106个。
4 不同孔隙结构类型的微观特征分析
应用信息熵-模糊谱聚类算法将储层孔隙结构分为5类后可得每类孔隙结构的微观结构特征，应用“岩心刻度测井”可得每类孔隙结构储层的产液性质。I类孔隙结构的铸体薄片、核磁共振横向弛豫时间谱等实验结果如图6所示(由于核磁共振信号与孔隙度有关,根据核磁共振谱幅度的累加可刻度成孔隙度，因此，不同横向弛豫时间所对应的信号幅度可转换成孔隙度分量)。从图6可见：孔隙度分布在18.4%~25.7%之间，平均为20.88%；渗透率(气测法)分布在54.71×10-3~ 688.45×10-3 μm2之间，平均为236.2×10-3 μm2；岩石以中粒为主，分选较好，磨圆以次棱为主，泥质含量较小，孔隙主要为原始粒间孔及少量粒内溶孔，原始孔隙发育，连通性好，分布均匀；颗粒以直接接触为主，胶结类型以孔隙式胶结为主。该类样品的核磁共振饱和谱以双峰大孔为主，离心前后峰的幅度变化较大，可动峰幅度基本消失，束缚水饱和度分布在9.2%~24.5%之间。该类孔隙结构的储渗性能最好，是主要的产油气层，日产液量一般大于150 t。
II类孔隙结构的铸体薄片、核磁共振横向弛豫时间谱等实验结果如图7所示。从图7可见：孔隙度分布在15.33%~20.15%之间，平均为17.08%；渗透率分布在10.36×10-3~150.76×10-3 μm2之间，平均为48.38×10-3 μm2；岩石以细粒为主，分选中等，磨圆度中等(次棱为主，次圆为辅)，泥质含量较低，孔隙以原始粒间孔及少量粒内溶孔为主，但连通性较差；颗粒以直接接触为主，胶结类型以接触式胶结为主。该类孔隙结构的核磁共振饱和谱以双峰为主，离心后可动峰幅度变小，不可动峰幅度基本不变，束缚水饱和度分布在17.68%~50.27%之间。该类孔隙结构的储集性能较好，日产液量一般在20~150 t之间。
图6 I类孔隙结构典型特征
Fig. 6 Typical features of pore type I
III类孔隙结构的铸体薄片、核磁共振横向弛豫时间谱等实验结果如图8所示。从图8可见：孔隙度分布在10.4%~17.63%之间，平均为13.26%；渗透率分布在1.44×10-3~20.62×10-3 μm2之间，平均为8.38×10-3 μm2；岩石以细粉粒为主，分选中等，磨圆度中等(次棱为主)，泥质含量较高，孔隙连通性差；颗粒以直接接触为主，胶结类型以接触式胶结为主。核磁共振饱和谱以双峰为主，不可动峰幅度大，束缚水饱和度在26.2%~65.5%之间。该类孔隙结构具一定的储集性能，但渗透性差，非均质性强，日产液量一般在10~20 t之间。
IV类孔隙结构的铸体薄片、核磁共振横向弛豫时间谱等实验结果如图9所示。从图9可见：孔隙度分布在5.4%~11%之间，平均为7.2%；渗透率分布在0.2×10-3~16.3×10-3 μm2之间，平均为2.8×10-3 μm2；分选差，磨圆度中等(以次棱为主、次圆为辅)，孔隙类型主要为粒间溶孔，孔隙零散分布于颗粒和胶结物间，连通性差，以孔隙式胶结为主。核磁共振饱和谱以不可动峰为主，束缚水饱和度在68.5%~84.6%之间。该类孔隙结构的储渗能力差，自然日产液量一般在2~5 t之间，一般需压裂改造才可能获得较低产能。
图7 II类孔隙结构典型特征
Fig. 7 Typical features of pore type II
V类孔隙结构的铸体薄片、核磁共振横向弛豫时间谱、核磁非均质性系数、毛管压力等实验结果如图10所示。从图10可见：孔隙度分布在0.7%~6.3%之间，平均为3.2%；渗透率分布在0.01×10-3~6.8×10-3 μm2之间，平均为0.8×10-3 μm2；分选和磨圆度中等(次棱为主)，孔隙类型主要为粒间或粒内溶孔，孔隙发育在颗粒边缘、方解石胶结物的解理缝或长石溶蚀孔(缝)内，连通性差，以孔隙式胶结为主。核磁共振饱和谱以不规则峰为主，束缚水饱和度大于80%。该类孔隙结构储层一般为干层，无开采价值。
5种孔隙结构的微观特征参数范围及产液能力如表1所示。由表1可知：从I类到V类，孔隙度和渗透率逐渐减小，孔隙的连通性变差，束缚水饱和度增大，非均质性变强，产液能力逐渐变弱，孔隙结构分类结果与试油结果十分吻合，说明算法的有效性。微观特征参数结果表明：形状因子及孔隙半径减小，孔隙纵横比、迂曲度、非均质性系数和分维数增大。
图8 III类孔隙结构典型特征
Fig. 8 Typical features of pore type III
图9 IV类孔隙结构典型特征
Fig. 9 Typical features of pore type IV
图10 V类孔隙结构典型特征
Fig. 10 Typical features of pore type V
表1 不同孔隙结构类型的微观参数特征
Table 1 Micro pore structure parameters for different pore types
5 结论
1) 谱聚类算法的本质与非均质储层孔隙结构具有一致性，适用于非均质程度高、孔隙结构复杂、常规硬聚类算法难以解决的非线性分类问题，收敛性好。
2) 将信息熵理论应用于谱聚类算法中，避免了尺度参数人为设定对分类结果产生的误差，实现了尺度参数的自动计算，信息熵-谱聚类算法所得孔隙结构分类结果与试油结果具有良好的对应性。
3) 模糊算法的引入有效地解决了样本归属问题。通过最优隶属度准则确定了最佳孔隙结构样本，不同孔隙结构类型的微观参数有所差异，表现为：形状因子及孔隙半径减小，孔隙纵横比、迂曲度、非均质性系数和分维数增大；从I类到V类物性变差，孔隙结构变复杂，非均质性变强。
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(编辑 罗金花)
收稿日期：2014-10-10；修回日期：2014-12-20
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(41404086)；山东省自然科学基金资助项目(ZR2014DQ007)；中国博士后基金资助项目(2014M56059)；国家科技重大专项(2011ZX05020-008)(Project (41404086) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (ZR2014DQ007) supported by the Natural Science Foundation of Shandong Province; Project (2014M56059) supported by the China Postdoctoral Science Foundation, Project (2011ZX05020-008) supported by the Major Project of Science and Technology of China)
通信作者：葛新民，博士(后)，从事测井储层评价、岩石物理实验及解释方面的研究；E-mail：gexinmin2002@163.com
