DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2019.01.023

多破坏模式和二次受力影响下FRP加固RC梁抗弯承载力

方圣恩^{1, 2}，武棒棒¹

(1. 福州大学 土木工程学院，福建 福州，350116；

2. 福州大学 土木工程防震减灾信息化国家地方联合工程研究中心，福建 福州，350116)

摘要：针对实际工程应用中FRP加固RC梁存在多种破坏模式和二次受力影响等关键问题，提出采用能基本表征受压区混凝土实际应力-应变情况的Hognestad本构模型，以考虑受压区混凝土非线性应力变化。推导FRP加固RC梁受压混凝土等效应力和受压区高度各自对应的相关比值，并得出FRP拉断、钢筋屈服前、后受压区混凝土压碎这3种不同破坏模式下的梁正截面极限抗弯承载力计算公式，同时推导加固梁FRP最大、最小加固量的计算公式以定义各破坏模式间的临界状态，并考虑二次受力影响和滞后应变效应。研究结果表明：所推导的公式能有效表征加固梁的不同破坏模式及二次受力效应，所计算的承载力与试验值较吻合，可以用于RC梁加固设计和承载力分析。

关键词：FRP加固；Hognestad本构模型；破坏模式；二次受力；极限抗弯承载力

中图分类号：TU528.572        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2019)01-0180-09

Ultimate load capacity of FRP-strengthened RC beams considering different failure modes and secondary loading effects

FANG Shengen^{1, 2}, WU Bangbang¹

(1. School of Civil Engineering, Fuzhou University, Fuzhou 350116, China;

2. National and Local United Research Center for Seismic and Disaster Information of Civil Engineering,Fuzhou University, Fuzhou 350116, China)

Abstract: With consideration of the different failure modes and the influence of secondary loading for FRP-strengthened RC beams, the Hognestad constitutive model that is close to actual stress-strain situations of concrete was used for the nonlinear changes in the compressive zone of concrete. The coefficients related to the equivalent stress of concrete under compression, as well as to the depth of compressive zone of concrete, were deduced based on the Hognestad model. Then the formulas of ultimate bending moments of RC beams were established with respect to three different failure modes i.e., FRP tensile failure, reinforcement yield before and after concrete crushing. Meanwhile, the maximum and the minimum FRP amounts for beam reinforcement were given to define the critical conditions between different failure modes. The secondary loading effects with lag strains were also involved in the context. Lastly, the proposed formulas were validated by using some tested FRP-reinforced RC beams. The results show that the proposed formulas consider different failure modes and the influence of secondary loading. The ultimate loads calculated with the formula are in agreement with the experiments results, which indicates that the formula can be used to design the FRP reinforcement and analyze the corresponding ultimate load of RC beams.

Key words: FRP reinforcement; Hognestad constitutive model; failure mode; secondary loading; ultimate bending moment

建筑结构经过长期使用后，由于损伤、材料老化、使用功能改变、不适用于新的设计荷载等，容易存在各种安全隐患，可以采用增大截面、外包钢、预应力、纤维复合材料加固等方法对结构进行加固^[1]，使其安全性满足要求。纤维增强复合材料(fiber reinforced polymer，FRP)具有质量小、强度高、施工便捷、耐腐蚀性强等优点，近些年在许多方面特别是在建筑结构基础构件如梁、柱、板的受力性能方面得到广泛研究和应用^[2-6]。但相关研究多针对FRP种类、包裹层数、锚固方式、混凝土强度等方面，对可能存在的破坏模式和二次受力影响的研究较少。王文炜等^{[2, 7]}在试验基础上，结合理论推导给出了梁在多种破坏模式下的正截面受弯极限承载力计算公式，但所采用的混凝土本构关系均为RUSCH建议的混凝土单轴受压应力-应变曲线即二次抛物线(上升段)+水平直线(下降段)^[8]。该本构模型较简单，也被我国GB 50010—2011“混凝土结构设计规范”^[8]所采纳。但RUSCH模型对混凝土受压过程下降段的模拟显然不符合实际情况，且其假设梁达到极限承载力时，受压区混凝土的应力峰值在边缘处。然而，试验表明^[9]，此时应力峰值并不在边缘处，而是在受压区边缘的内侧，同时受拉区已开裂的混凝土不再承受拉应力，不参与抗拉，因此，采用RUSCH模型进行极限承载力分析时，会导致分析结果存在较大误差。此外，若结构在加固前没有卸载，则加固部分只在新荷载作用下才会受力，其应变始终滞后于原结构的应变，因此，结构在加固前的卸载程度将直接影响加固后的极限承载力，即二次受力的影响也需要考虑。王滋军等^[10]对考虑二次受力的FRP加固RC梁进行了抗弯性能试验，得出与直接加固梁相比，考虑二次受力的加固梁正截面极限承载力有所降低。与此同时，当加固梁的破坏模式为FRP布被拉断时，二次受力对梁最终的极限抗弯承载力影响不大；而当破坏模式为受压区混凝土被压碎时，则需要考虑二次受力的影响^[4]。为了准确模拟混凝土受压本构关系且不失简单实用性，本文作者基于HOGNESTAD模型^[8](上升段与Rüsch模型的相同，下降段为1条斜率为负的直线)分别推导了适用于是否考虑二次受力的BFRP和CFRP布加固RC梁的正截面抗弯承载力计算公式。考虑FRP布被拉断、钢筋屈服后混凝土被压碎、钢筋屈服前受压区混凝土被压碎这3种破坏模式，并通过与既有试验梁结果进行对比，以验证所提出公式的适用性。

1  FRP加固梁正截面抗弯承载力计算原理

1.1  破坏模式

试验研究^{[2, 7]}表明，有可靠锚固时FRP加固梁的弯曲破坏模式有3种：1) FRP布被拉断，类似于普通RC梁的少筋破坏，属于脆性破坏；2) 钢筋屈服后混凝土被压碎，此时FRP布没有被拉断，类似于适筋破坏；3) 钢筋屈服前受压区混凝土被压碎，类似于超筋破坏，也属于脆性破坏。其中适筋破坏是最理想的破坏模式，而脆性破坏具有突然性，在加固设计时应当避免。

需指出的是，当FRP加固梁的抗弯承载力比未加固梁的抗弯承载力提高过多时，加固梁也有可能发生剪切破坏，因此，通常加固梁的正截面受弯承载力提高幅度不应超过40%^[1]。此外，FRP布剥离破坏也是FRP加固梁比较常见的破坏模式，主要是梁底裂缝发展或FRP布端部应力集中所致。FRP布发生剥离破坏与很多因素有关，如粘贴层数、混凝土强度、施工质量、有无可靠锚固等，可以在加固过程中采取专门构造措施予以避免，因此，本文在分析过程中暂不考虑。

1.2  基本假定

1) 加固前后保持平截面假定，且不考虑混凝土的抗拉强度。

2) 混凝土受压本构关系采用Hognestad模型(图1，其中，A对应峰值应力点，B对应极限压应变点)，上升段为二次抛物线，下降段为斜直线。

上升段：

，         (1)

下降段：

，    (2)

式中：f_c为峰值应力，即棱柱体极限抗压强度；为相应于峰值应力时的应变；为极限压应变；为混凝土应变；为混凝土应力。

3) 纵向钢筋本构关系为理想弹塑性模型，FRP采用理想线弹性应力-应变关系。

4) 不考虑FRP布厚度，即认为FRP加固梁的截面高度与原截面高度一致。

上述基本假定是为了在确保计算准确度的同时，避免由于理论计算过于复杂而不利于工程实际应用的问题。

图1  混凝土受压时的本构关系曲线

Fig. 1  Constitutive relation curve of concrete under compression

1.3  受压区混凝土压应力合力及作用点

单筋矩形截面适筋梁采用FRP加固后，假设理论受压高度为x_c，等效受压高度为x，则其截面应力分布如图2所示。受压区混凝土的压应力符合图1所示曲线的变化规律。

图2  梁截面等效应力分布图

Fig. 2  Equivalent stress distributions of beam section

已知受压区混凝土压应力的合力C为^[9]

           (3)

式中：x_c为中和轴高度，即受压区的理论高度；b为截面宽度；k₁为本构关系曲线系数。

由此可以推导出：

1) 当时，

    (4)

2) 当时，

  (5)

即

   (6)

合力C到中和轴的距离y_c为^[9]

      (7)

式中：k₂为本构关系曲线系数。同样经推导可以得到：

1) 当时，

             (8)

2) 当时，

   (9)

即

   (10)

由式(3)和(7)可知，合力C和y_c只与混凝土本构关系曲线系数k₁和k₂及受压区高度x_c有关。

设图2中等效矩形应力为，高度为x，则根据GB 50010—2011“混凝土结构设计规范”^[8]可得：

1) 混凝土压应力合力应相等，即

             (11)

2) 受压区合力C的作用点位置不变，即

         (12)

所以，

            (13)

           (14)

式中：系数为受压区混凝土等效应力与混凝土轴心抗压强度设计值的比值；系数为等效应力受压区高度x与中和轴高度x_c的比值。

根据推导的公式，计算不同受压区边缘混凝土压应变所对应的和 (见表1)，可供FRP加固梁的抗弯极限承载力计算使用。需说明的是，表1中没有出现，相应的和可以通过上述公式直接计算，所得结果更精确，也可采用内插方式进行计算。

表1  不同受压区边缘混凝土压应变的和

Table 1 andof compressive strains of concrete at different compression areas

2  破坏模式一：FRP布拉断

2.1  FRP布最小加固量

当加固梁发生FRP布被拉断的破坏模式时，受压区混凝土一般未达到极限压应变，但FRP布达到了极限拉应变而被拉断。这种破坏模式属于脆性破坏，设计时可采用加大FRP布使用量来避免，即至少保证FRP布的最小加固量。最小加固量所对应的临界破坏状态为当加固梁达到极限承载力时纵筋发生屈服，FRP布被拉断的同时受压区混凝土达到极限压应变时的状态。该临界状态也是1.1节中前2种破坏模式的界限状态。

假设加固梁达到上述界限时受压区的理论高度为x_c，界限受压区高度为，相对界限受压区高度为，由图3所示应变关系和受力平衡可推导得到以下参数。

图3  最小FRP布加固量时梁截面应力和应变分布

Fig. 3  Stress and strain distributions of beam section using the minimum FRP reinforcement

界限受压区高度为

             (15)

相对界限受压区高度为

           (16)

由力的平衡得：

        (17)

所以，FRP布最小加固量为

       (18)

式中：和为受压区边缘混凝土达到极限压应变时的值，根据表1取为=0.910 1，=0.967 0；h为截面高度；h₀为截面有效高度；为FRP布的极限应变；为FRP布的滞后应变；为受拉钢筋屈服强度；为受拉纵筋截面积；为FRP布的弹性模量；为FRP布有效截面面积。根据GB 50367—2013“混凝土结构加固设计规范”^[1]可得，其中，k_m为厚度折减系数，当粘贴1层FRP布时，k_m=1；粘贴多层时，采用计算，k_m不能超过0.9；n_f为FRP层数；t_f为FRP的厚度。

当FRP布加固量＜时，加固梁受压区混凝土一般不会达到极限压应变，但FRP布会被拉断，属于脆性破坏，加固设计时应当避免。但在现实情况中，难免由于加固条件限制或设计失误，导致脆性破坏模式的发生，为此，有必要推导出该破坏模式下加固梁的极限承载力，作为后续安全性评估的依据。

2.2  极限承载力公式推导

当＜时，加固梁截面的应力、应变分布如图4所示，据此可以推导FRP布被拉断破坏模式下加固梁的极限承载力公式。

图4  FRP布拉断时梁截面的应力和应变分布

Fig. 4  Stress and strain distributions of beam section when FRP breaks

            (19)

            (20)

            (21)

        (22)

联立式(19)~(22)可以求得，和x。

根据ACI-440的FRP设计指南^[11]，FRP布拉断时发生脆性破坏，为了保证结构具有较好的延性，可在计算的正截面抗弯承载力基础上再乘以1个折减系数()：

     (23)

2.3  允许拉应变的确定

王文炜等^{[2, 7]}发现FRP布拉断时发生明显的脆性破坏，但FRP布极限拉应变，使得FRP布在拉断时的应变不好控制，这是导致很多承载力计算方法准确性较低的重要原因。因此，采用允许拉应变来代替极限拉应变可能更加合理。

郑建军等^[12]的研究表明，FRP布拉应变折减系数k与粘贴层数、FRP布弹性模量、厚度等有很大关系。当粘贴1层FRP布时，折减系数一般在0.7~0.8之间；当粘贴2层FRP布时，折减系数一般在0.6~0.7之间；当粘贴3层FRP布时，折减系数一般在0.5~0.6之间；当粘贴层数超过4层时，FRP布的强度会大大减小，无法得到充分发挥。张丹伟^[13]指出，当其他变量都一样时，CFRP的折减系数比BFRP的稍大。为了便于工程应用，本文在计算允许拉应变时，折减系数k统一取值：当粘贴1层FRP布时，折减系数k = 0.75；当粘贴2层FRP布时，折减系数k=0.65；当粘贴3层FRP布时，折减系数k=0.55。

3  破坏模式二：钢筋屈服后受压区混凝土压碎破坏

3.1  FRP布最大加固量

受压区混凝土被压碎可能发生于加固梁纵筋屈服前或屈服后，由此定义了2种不同的破坏模式，两者间的界限可以作为确定FRP布最大加固量的依据。当FRP布使用量超过最大加固量时，纵筋屈服前受压区混凝土先被压碎，类似于普通RC梁的超筋破坏；当FRP布使用量刚好达到最大加固量时，纵筋屈服的同时受压区边缘混凝土达到极限压应变，此时，FRP布应变未达到极限拉应变。

当加固梁处于上述界限时，假设受压区的理论高度为，相对受压区高度为，最大FRP布加固量时梁截面应力、应变分布见图5。

图5  最大FRP布加固量时梁截面应力和应变分布

Fig. 5  Stress and strain distributions of beam section using the maximum FRP reinforcement

已知等效受压区高度为，其中为受压区混凝土达到极限压应变时的值，=0.867 0。

界限受压区高度x_b2为

                (24)

界限受压区相对高度为：

             (25)

                (26)

             (27)

由截面受力平衡可推导得到

     (28)

所以，FRP布最大加固量为

          (29)

3.2  极限承载力公式推导

当时，钢筋屈服后混凝土被压碎，=0.910 1，=0.867 0。加固梁抗弯承载力计算公式推导如下。

受压区高度为

             (30)

由受力平衡关系得

          (31)

联立式(30)和(31)求解x和，然后可得加固梁的抗弯极限承载力为

      (32)

4  破坏模式三：钢筋屈服前受压区混凝土压碎破坏

当FRP布使用量超过最大加固量(＞)时，加固梁会发生钢筋屈服前受压区混凝土被压碎的破坏模式，此时FRP布强度的利用率很低，类似于普通RC梁的超筋破坏，属于脆性破坏，在加固设计中应当避免。为了预防现实情况中由于加固条件限制或设计失误而导致此种破坏模式的发生，本文也推导了相应的加固梁极限承载力计算公式，作为后续安全性评估的依据。

当＞时，钢筋屈服前混凝土已经被压碎，根据表1，有=0.910 1，=0.867 0。

假设混凝土受压区的理论高度为x_c，FRP布加固量过多时梁截面应力、应变分布见图6。

图6  FRP布加固量过多时梁截面应力和应变分布

Fig. 6  Stress and strain distributions of beam section using redundant FRP reinforcement

              (33)

由可得纵筋应变、应力分别为：

      (34)

         (35)

其中：为钢筋弹性模量。同理，

              (36)

因此，FRP布应变、应力分别为：

       (37)

        (38)

由受力平衡关系得

           (39)

联立式(34)，(37)和(39)可求解混凝土受压区高度x，对应加固梁的抗弯承载力为

        (40)

5  滞后应变和二次受力影响

若结构在加固前没有预先卸载，则新加固部分只有在新加荷载作用下才参与受力，即体现二次受力影响，此时，新加固部分的应变始终滞后于原结构应变，发生滞后应变现象，因此，结构在加固前的卸载程度将直接影响加固结构的极限承载力。本文为了考虑二次受力的影响，采用GB 50367—2013“混凝土结构加固设计规范”提供的滞后应变计算公式^[1]：

              (41)

式中：M_0k为加固前受弯构件验算截面上原作用的弯矩标准值；为综合考虑受弯构件裂缝截面内力臂变化、钢筋拉应变不均匀以及钢筋排列影响等的计算系数，均按规范采用。

6  算例及验证

6.1  FRP布拉断破坏模式

杨玫等^[14-15]采用CFRP布加固了12根高强钢筋混凝土试验梁和6根普通强度钢筋混凝土试验梁，以研究加固梁的受弯破坏特征和极限承载力。为了验证本文推导公式的适用性和可靠性，采用文献[14-15]中6根破坏模式为FRP布拉断的试验梁进行极限承载力计算，并与试验结果进行对比。此处选取文献[14]中1根编号为RLI-2的梁演示计算过程。

已知RLI-2梁粘贴了2层CFRP布，梁截面b×h=150 mm×250 mm，净跨l₀=2 400 mm，采用两点对称加载。纵筋采用2根直径为12 mm的HRP335钢筋，A_s=226 mm²，配筋率0.68%，f_y=391.78 MPa，f_c=61.90 MPa，E_f=237 GPa，f_f=4 330 MPa，t=0.167 mm。试验破坏荷载为99.02 kN。

该梁厚度折减系数为 0.903＞0.900。取k_m=0.9，FRP布面积为A_ef=45.09 mm²，允许拉应变为，代入式(19)~(22)联立解得：x=26.34 mm，0.001 95，0.881 1，再代入式(23)，得到极限弯矩：

，

换算为破坏荷载，其与试验值99.02 kN相比，相对误差为6.9%。该计算精度符合工程要求，说明本文推导的公式是准确的。同样地，其余5根梁的理论计算结果及试验结果对比见表2。由表2可见：本文公式计算值与文献中的试验值较吻合，计算精度较高。

表2  破坏模式一下破坏荷载计算值与试验值对比

Table 2  Failure load comparison of calculated values with experimental results in failure mode 1

6.2  钢筋屈服后混凝土压碎破坏模式

同样地，采用文献[14-16]中的4根试验梁验证钢筋屈服后混凝土压碎的破坏模式下本文所推导公式的适用性。这里选取文献[14]中1根编号RLII-1的梁演示计算过程。

已知RLII-1梁粘贴了1层CFRP布，梁截面b×h=150 mm×250 mm，净跨l₀=2 400 mm，采用两点对称加载。纵筋采用2根直径为22 mm的HRP335钢筋，A_s=760 mm²，配筋率2.30%，f_y=380.81 MPa，f_c=57.36 MPa，E_f=237 GPa，f_f=4 330 MPa，t=0.167 mm。试验破坏荷载为178.51 kN。

已知受压区混凝土被压碎，查表1得0.910 1。FRP布的面积A_ef=25.05 mm²。将式(30)和(31)联立解得：x=47.55 mm，0.013 5。代入式(32)，得到计算的极限弯矩：

最终破坏荷载为F=188.15 kN，与试验值178.51 kN相比，本文公式计算结果的相对误差为5.4%。

其余3根梁的理论计算及试验值对比见表3。从表3可见：本文计算值与文献试验值较吻合，计算精度较高。

表3  破坏模式二下破坏荷载计算值与试验值对比

Table 3  Failure load comparison of calculated values with experimental results in failure mode 2

6.3  考虑二次受力时FRP布被拉断破坏模式

赵璟^[17]采用BFRP布加固了15根钢筋混凝土试验梁，黄楠^[18]采用CFRP布加固了7根钢筋混凝土试验梁。本文对其中考虑二次受力且出现FRP布拉断破坏模式的5根梁进行计算。选取文献[17]中的1根编号为AL-6的梁演示计算过程。

已知AL-6梁粘贴了1层BFRP布，梁截面b×h=120 mm×200 mm，净跨l₀=1 300 mm，采用两点加载，分配梁间距500 mm。纵筋采用2根直径为10 mm的HRP335钢筋，A_s=157 mm²，配筋率0.75%，f_y=376.66 MPa，f_c=27.69 MPa，E_f=91 GPa，f_f=1 487.9 MPa，t=0.16 mm。初始荷载为30%破坏荷载P_u (P_u=48 kN)。试验最终破坏荷载为66 kN。

FRP布的面积为A_ef=120 mm×0.16 mm，允许拉应变为

根据规范^[1]采用内插法求得系数，故滞后应变为

代入式(19)~(22)得：x=25.93 mm，0.002 52，0.928 8。最后求得极限弯矩为

12.15 kN·m

对应的破坏荷载。与试验值66 kN相比，相对误差为-8.6%。

其余4根梁的理论计算结果及试验结果对比见表4。

从表4可见：采用本文公式所得计算值与文献试验值基本吻合，相对误差均在10%左右，满足工程精度要求。考虑到二次受力情况的复杂性，本文推导公式的计算准确性较高。

表4  考虑二次受力时破坏荷载计算值与试验值对比

Table 4  Failure load comparison of calculated values with experimental results considering secondary loading

7  结论

1) 本文公式建立在与实际情况比较接近的混凝土单轴受压应力-应变曲线的基础上，同时采用了几个合理的基本假定，在确保计算准确度的同时，可以避免由于理论计算过于复杂而不利于工程实际应用的问题。

2) 采用本文推导公式所得计算结果与试验结果较吻合，同时对二次受力加固梁的承载力预测也符合工程精度要求。

3) 本文试验验证采用了BFRP和CFRP加固量，但所推导的公式可以应用于其他类型FRP布(如AFRP和GFRP布)加固案例，仅需对极限应变的折减系数进行修正。

4) 在实际应用中应根据最大、最小加固量确定加固所需的FRP布使用量，避免出现脆性破坏的不利情况，同时，要尽可能利用FRP布的抗拉强度。需要指出的是，加固梁设计时要满足“强剪弱弯”要求，以防止梁正截面抗弯极限承载力提高太多而使构件发生受剪破坏。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2018-02-10；修回日期：2018-04-22

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金面上项目(51578158)；福州大学“旗山学者”奖励支持计划项目(GXRC-1688) (Project(51578158) supported by the Natural National Science Foundation of China; Project(GXRC-1688) supported by the Qishan Scholar Plan Program of Fuzhou University)

通信作者：方圣恩，博士，教授，博士生导师，从事土木结构健康监测、材料和加固等研究；E-mail: shengen.fang@fzu.edu.cn