基于叠前逆时偏移技术的Lamb波多损伤探测

郭原草，郭少华

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410004)

摘要：通过地球物理勘探中的偏移技术解释波场后向散射和损伤成像，被证明是一种探测板式结构中多重损伤成像与探测的有效方法。集驱动、传感一体化方法可以用来激发和接受低阶反对称Lamb波。这种方法利用二维有限差分法模拟反射波和进行叠前偏移操作， 并由Mindlin板理论的解析解验证数值计算的精确度。对于基于射线追踪概念的时间激励成像条件也被运用到损伤探测中。用叠前逆时偏移技术将损伤反射能量传播回来，同时对偏移后承受横向变形的板进行照相。这样损伤的位置、尺寸以及严重程度可以直观地展示出来。数值算例显示多重损伤可以被有效地探测到，并且损伤成像与目标损伤的特征密切相关。

关键词：多重损伤；Lamb波；叠前逆时偏移技术；Mindlin板理论；快照技术

中图分类号：TU435; TU452; O347.4        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)05-1871-06

Lamb wave detection of multiple damages based on prestack reverse time migration

GUO Yuan-cao, GUO Shao-hua

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410004, China)

Abstract: A migration technique used in geophysical exploration to interpret the backscattering wave field and to image the flaws in the structure is proved to be an effective method detecting and imaging multiple damages in a plate structure. A structural health monitoring system (SHMS) with integrated actuators/sensors can be used to activate and receive lowest-order antisymmetric Lamb waves. The proposed approach is executed by a two-dimensional finite difference method both in simulating the reflection waves and in implementing the prestack migration. An analytical solution based on Mindlin plate theory is utilized to verify the accuracy of the numerical algorithm. An excitation-time imaging condition is presented based on the ray tracing concept, and prestack reverse-time migration is executed to propagate the reflection energy back to the damages. The plate is imaged in terms of the transverse deformation velocity after migration is executed. Thus the dimensions, locations and seriousness of the damages can be displayed visually. Numerical examples show that multiple damages can be detected effectively and the image of the damages correlates with the characters of target damages.

Key words: multiple damage; Lamb wave; prestack reverse-time migration; Mindlin plate theory; snapshot

基于超声波的地震勘探技术在地球物理勘探领域中已经得到广泛的运用。由于超声波可以传播很长的距离，并且地球内部地质环境远比工程结构内部复杂，因此，近年来已开始被学者类似地应用于工程结构的损伤识别和健康监测领域^[1]。普通超声波技术可以探测到结构表面或内部的损伤，对小尺寸损伤的探测则可以通过简单的提高诊断信号频率来获得^[2]。但是超声波运用的难点是接收到的波信号存在较大分散性和随机性，并且复杂转换关系将给信号解释带来不少困难。目前已有的研究表明使用叠前逆时偏移技术解释反射波的可以较为有效地解决这个困难。Virieux^[3]的研究表明偏移量可以被应用到混凝土结构无损检测中。通过使用Mindlin板理论以及时间激发的照相条件呈现出了数值试验的偏移图像，从而证明了照相损伤与目标损伤的位置与尺度的关联性，并最终达到结构损伤识别与健康监测之目的。

1  有限差分计算方法

根据Mindlin板理论^[4]，弯曲波在均匀各向同性弹性板中的传播可以被描述成一阶矩阵形式的控制方程：

         (1)

式中：E₀为弹性模量；w为波场位移；A₀，B₀和C₀为常数；q为集中力。

在极坐标体系中由作用在r=0处的集中力激发的轴对称波在频域范围内可以表示成如下形式：

             (2a)

            (2b)

            (2c)

     (3a)

           (3b)

式中：和为极坐标下弯矩；为极坐标下剪力；为极坐标下相位；为材料密度；h为板厚度。

将式(2)代入式(3)得到2个运动方程并消去后，可以得到一个关于横向位移的方程^[5]：

          (4)

式中：；；。

这里定义2个实数：，，则方程(4)的解^[6]

         (5)

式中：模量C由施加荷载决定。横向剪力用可以表示为：

      (6)

对于一个中心承受点荷载的小圆柱，通过剪力等效关系，模量C可以由下式估算为：

           (7)

式中：为角频率；k为波数；G为剪切模量；D为弯曲刚度；i为虚数单位。

对于Kirchhoff薄板，转动惯性和剪切变形可以被忽略。因此有关系式A=0，，并且有，这时得到经典板理论的解如下^[7]：

     (8)

横向位移可以通过等式(5)和(8)的傅里叶逆变换获得。将以上得到的解与Medick经典板理论^[4]进行比较。图1所示为2种理论在板半径r=16 cm处横向位移的瞬时响应。在图1计算中，板结构材料选择Al-6061，相关参数设定为h=0.16 cm，E=72.5 GPa，v=0.38，ρ= 2 710 kg/m³。点荷载的时间函数表达式为：

        (9)

式中：H(t)为Heaviside阶梯函数；为施加力的持续时间，β=10 μs。Medick解得横向位移为^[8]：

(10)

式中：M(x)定义为；Si(x)为正弦积分，；Ci(x)为余弦积分， 。两个解正则化为：

            (11)

图1所示为2种估计理论的差别。对于时间间隔，Mindlin板理论给出了尽可能接近的结果。但是对于信号主要由高频组分组成的时间段，结果显示了2种解之间的差异。Mindlin解与经典理论相比表明：相位角出现延迟、波幅增长。这可以解释为方程中的惯性量导致了相位角延迟，且横向剪切变形会将垂直位移  放大^[9]。

图1  r=16 cm时横向位移与时间的变化关系

Fig.1  Variety rule of displacement when r=16 cm

一般情况下，瞬态波的激励是一个调制正弦信号：

        (12)

载荷f₀=100 kHz，N_P=5的波形和对应的频率谱如图2所示。

从以上结果可以看到有限差分法模拟的精确度高度依赖于波长。选取网格空间?s=0.06 cm。在图2(a)中，中心频率为20 kHz，相应的波长。这样就满足了下列条件：波长必须小于网格空间至少10倍，因此有限差分结果与解析解较好的吻合。当网格空间保持不变时，增加中心频率会减少计算精确 ^[10]。如图2(b)所示，当中心频率f_c=81 kHz，两种解之间的误差就可以识别。基于图2可知有限差分计算方法可以模拟基于Mindlin板理论的波场。

图2  由解析法与有限差分法解出的横向位移解对比

Fig.2  Transverse displacement comparison of analytic and finite difference solution

2  基于叠前偏移的损伤照相

对于一个驱动、传感分布监控的系统，每一个驱动器在板内都可以激发一个Lamb波。所有的传感器收集到散射波并组成一个时间截面。这种处理技术增加了信噪比从而提高了偏移技术的质量^[11]。但是普通校正是建立在反射体是平面的假设上，因此叠后技术只适用于驱动器和传感器沿阵列分布的情况，并且损伤界面与该阵列平行^[12]。此外如果记录的信号在偏移前被转换成零偏移，与驱动、传感器距离相关的反射幅值信息就会丢失。在研究中，用来执行偏移的是来自单个波源激发的未经校正的时间截面，并将叠置技术应用到图像偏移上。叠前偏移技术的亮点是它不受缺陷形式的限制，因此有探测任何形状损伤的潜能^[13]。

叠前偏移技术使用了有限时间截面，即一个点在它的激励时间上被照相，在图像空间中的每一个点都有自己的照相时间。因此在每一个时间步长?t上所有网格节点上的成像被定义为：

               (13)

式中：t_d为从荷载点到点的单路径传播时间；N为总时间步长。直接传播时间可以通过有限差分法获得。基于Fermat原理，各向异性介质中任意射线路径P由下列方程控制^[14]：

          (14a)

         (14b)

式中：；；c(x, y)为波速度。

式(14)可以进一步变换成

             (15a)

             (15b)

         (15c)

 (15a)和(15b)指出射线位置关于时间的变化。式(15c)指出了射线方向关于时间的变化。将沿着射线路径的所有区段的传输时间积分就得到传输时间：

         (16)

如果忽略损伤尺寸且将板看成是均匀的，式(15)中的θ是一个恒量，表示首波是中心在荷载点上且射线路径是沿着半径的直线。直接抵达时间等于

t_d=r/c_l

其中：c_l为波速度。

当板中有如形式的波，γ代表波数，低速波与高速波情况可以合并成：

，i=1, 2          (17)

式中： ；R=h²/12；S=D/(k²Gh)。

因此，低速与高速波的速度v₁和v₂是依赖频率的。当频率很高时速度可以表示为：

              (18)

         (19)

高速弯曲波的抵达在数值模拟和实验中都很难被识别。原因可能是大部分能量以剪切波c_s速度传播，这个速度接近于低速弯曲波的速度。在本文中用来估计直接到达时间的速度可以大致选择为：

                 (20)

图3所示为在逆时偏移过程中4个不同时刻的反射波的波场快照图^[15]。预先设置时间T并将传播时间分成5 000个时间步长，板按照40×40进行单元划分。反射波场由位于A和B两点的两个微小损伤产生。由于损伤的存在导致波的传播特征出现显著变化^[16]。当波的传播进入损伤区域后不同方向的双曲线波场随即出现。随着波场不断向上传播，双曲线波场轨迹出现发散与变形，反射波场能量继续向上传播并且传播路径开始出现发散现象。当波场完全通过损伤区域后一个方向上的双曲线轨迹逐渐消失。由于不同的损伤显示效果取决于超声波入射角度，来自单个驱动器的时间截面偏移就不能给出损伤的完整成像。对于装有分布式驱动传感器的板结构，在每个时刻都有一个驱动器用于激发弯曲波，同时所有传感器用于收集信号，然后组成一个时间截面。对每个时间截面应用偏移技术得出板的图像。通过叠加所有时间截面图像可获得完整损伤图像^[17]。偏移后的叠置过程可以增加信噪比。驱动器数量越多，快照图片信噪比越高，快照成像效果越好。基于应力波的叠前逆时偏移技术从数值上被证明可以应用在主动式的结构健康监测中。叠前逆时偏移技术可以将分布式驱动器传感器与超声波信号联系起来，从而使构造实时、自动和精确的结构健康监测体系成为可能^[18]。

图3  基于叠前逆时偏移技术的不同时间截面t的反射波场快照图

Fig.3  Reflection wave field snapshot based on prestack reverse time migration technology of different time sections

3  结论

(1) 叠前偏移技术不仅能探测结构内部损伤的存在，还能提供关于损伤尺度、位置和严重程度方面的信息。

(2) 本文研究中将板结构损伤模拟成点散射源。这种近似虽然不能完全反映出实际情况，但是当损伤可以看作点源反射体的集和时，叠前偏移技术可以探测到结构内任意形状与尺度的损伤。

(3) 叠前偏移技术简化了数据处理与计算过程，所以诸如由许多叠置过程导致的数据扭曲和变形都可以避免，从而提高了损伤照相与成像的真实度与精确度。

(4) 叠前偏移技术还有助于补偿散射波对损伤探测精确度的影响。基于以上特点，叠前逆时偏移技术在工程结构无损探伤领域具有较高的研究价值和较为广阔的应用前景。

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(编辑 杨幼平)

收稿日期：2011-05-17；修回日期：2011-10-10

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50778179)

通信作者：郭少华(1960-)，男，陕西西安人，教授，博士生导师，从事结构健康监测方面的研究；电话：13974814025；E-mail: gsh@csu.edu.cn